Ограниченные проекторы в некоторых пространствах гармонических в шаре функций со смешанной нормой

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 55
ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОЕКТОРЫ В НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГАРМОНИЧЕСКИХ В ШАРЕ ФУНКЦИЙ СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ1
О.Е. Антоненкова
Строится ограниченный проектор, отображающий весовые пространства измеримых в шаре функций со смешанной нормой на соответствующие пространства гармонических функций.
Ключевые слова: весовые пространства, интегральные представления, проекторы, гармонические функции, зональные гармоники.
Пусть Вп =
X є Яп: X =
X,
]=і
& lt- 1 & gt- - единичным шар в евклидовом пространстве
Яп, Яп-1 = дВп = {хє Яп: ||Х| = і} - единичная сфера.
Обозначим через Ьрач ° Ьрач (Вп) — пространство измеримых в Вп функций /, для которых конечна норма
ы
ТР, 9
1 / 9 л
I (1 — г 2) а '-з У тп~1ёг
0 г& gt-п-1)
1
9
& gt- & lt- +? ,
где 1 & lt- р & lt-?, 1 & lt- 9 & lt-?, 0 & lt- а & lt-?, а — нормированная мера Лебега на сфере. Тогда Ир9 ° Ир'9(Вп) — подпространство пространства Ьрач, состоящее из гармонических в Вп функций.
В работе [1] исследовано пространство Арр ° Ирл (Вп). В частности, получено интегральное представление функций из класса Арр и построен интегральный проектор из пространства ЬРр в пространство Арр. В своей работе мы распространяем результат А.Э. Джрба-шяна на более общий класс функций Ир9. А именно:
Теорема. Пусть 0 & lt- а & lt- (3 & lt-? , 1 & lt- р & lt- ?, 1 & lt-. & lt- ?. Тогда оператор
тР (/)0) = | |(1 -р2)3О (®'и)/(ри)рп~^рёа"к «є Вп'
0 я& quot--
где
Оа (®'и) = 2^-
Г (а +1 + к ±)
п
-гк р к2 * & gt-'-),
(1)
к=0 Г (а + 1) Г (к + ^)
отображает пространство Ьрач в пространство Ир4, причем
Т (Ы)|и,. & lt-СЛа-
Для доказательства основного результата статьи используем следующие вспомогательные утверждения.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ: № 09−01−97 517
Лемма 1. Если / е Ирq, где 1 & lt- р & lt- ?, 1 & lt- q & lt- ?, 0 & lt- а & lt- ?, то имеет место интегральное представление
/(ш) = | |(1 — р2) а Оа (°, ь)/(рь)рп-1йрйа{у),
0
где Оа — ядро из (1), ш, ье Вп, ш = г • шь = р-ь'-, е 8"1
Лемма 2 (см. [1]). Для ядра Оа имеет место оценка
а (С, Ь^ & lt-
С
— +
С (1 — гр) —
С
/ /|п+а ' | / /|п+[а] 1 /1 ^/-„л1+а
грс — ь грш — ь (1 — гр)
(2)
где с = г сь = рь'-, [а ]- целая часть а, а {а }= а — [а ].
Лемма 3. Пусть 0 & lt- а & lt- 3 & lt-? , р е (0,1) тогда имеет место оценка
1 (1 — гр г & lt-{1 — р Г'-
Доказательство теоремы.
Рассмотрим все возможные случаи.
1. Пусть р = q = 1. Зафиксируем, а и 3, 0& lt-а & lt-3 & lt- ?. Пусть /е Ьа (Вп). Имеем (с = гш '-, ь = рь'-)
1
| |Тр (/)(гс'-)|(1 — г2)“ гп-1йгйа (ш) & lt-
0 8п-1
11
& lt-1 1 (1 -г2)» 1 1 (1 -р2)3@3 (ш, ь)|/(рь/)|рп~1йрйа (ь'-)гп~1йгйа (а& gt-) =
0
0
= 1 1|/(рь'-)|(1 — р2)31 1 (1 — Г 2) а Оз (т, ь) гп~1ёгёа (т'-)р п~1йрйа (ь'-). (3)
0 я& quot-
0 яп-
Оценим внутренний интеграл, воспользовавшись леммой 2:
1
1 1 (1 — г2)" |23 (ш, ь)| гп-1йгйа (& lt-х>-)& lt-
0
& lt-
С1 (1 — г2г 1
(1 — гр у
-{3}
/ /|п+ 3 1 I ~г /I п+[3 ]
ура — ь грю — ь
?¦у
(ш'-) +
+
С2 1
1(1 — у 2) а гп-1йг
0 (1 — гр)1+3
Заметим, что для любого т & gt- 2 независимо от ьг е 8п-1 имеем
йа О С'-
(4)
т-2
5"-* |грш — ь | (1 — грУ
Следовательно, внутренний интеграл в первом слагаемом (4) равен 1 (1 — гр)-{3}
— + ¦
(1 — гр)& quot-
I / /|п+3 I / /|п+[3 ]
гро& gt- -ь грш -ь
йа (о'-)= С313 +
(1 — гр)1+3 (1 — гр)
1+[3 ]
& lt-_ С4
(1 — гр)1+3 '
Таким образом, применяя лемму 3, получим
11 (1 — г2)" |03 (ш, ь)|г п-1йгйа (ш) & lt- С51
1(1 — г2) а гп-1 йг & lt- С
0 я*
(1 — гр)1+3 (1 — р)
3-а
1
0
0
Подставим эту оценку в правую часть неравенства (3), получим:
11 (/ гю'-)|(1 — г г) а г^ЫМа (О)
& lt-
0
& lt- С| | |/(р"'-)|(1 — Р (И'-) = С| Ц/(р"'-)|(1 — р& quot-)арп-1^а (иГ
0
0 ^ (1-р)Р& quot-«
Таким образом, первый случай доказан.
2. Пусть р = 1, 1 & lt- q & lt-?. Покажем, что (/) 1 q & lt- С •
II 11 Иа
Оценим интеграл 1 Т ^)(гт'-)|йа (ш'-). Так как подынтегральная функция по условию
8п-1
теоремы имеет вид
Т3 /(ш) = 11(1 — р2) 3 @3 (ш, ь) У (рь'-) р п~1йрйа (ь'-),
0
то
I/(о'-)(іа (о'-)& lt-111(1 -р2)3(°'Ь)/(рь)рп-1араа (ь)аа (°'-)
& lt-
яп-1 0 я1−1
її1 — р2) 1 Ц/ (Рь'-)о3 (о'и |^а (Уа (о0
0 ^ яп-1 яп -1
& lt- 1(1 -р2) I/(РиI 1 °р (о'иVа (о)а (г/)
рп 1ёр
& lt-
р п-1ёр.
С
Из леммы 3 следует, что 103 (ш, ь)|йа (ш'-)& lt- --------3+1. Следовательно,
яп-1 (1 — гр)
1 1 1 (1 — р2)303 (ш, ь)/(рь'-)рп~1йрйа (ь)йа (ш):
п-1 Л г. п-1
яп-1 0 я
& lt-
1
1
(1 —
р
(1 — гр)
3+1
I/ (ри)^а (и)
О п 1ёр.
Таким образом, имеем
& lt-
1(1 — г2) 1
(1 —
Р'
(1 — ГР)
3+1
11/ (ри 1^а (и)
9
Оп 1ёр
гп 1ёг
Умножим и разделим правую часть полученного неравенства на вспомогательную
1 11 функцию х7(х)=Л,, Чу/^, хе Вп, где 0 & lt- у & lt-(3 +1^'- и — + -= 1, получим
(1-
9 9
1(1-г2)а 1
(1-р 2 У Хг (р)
(1- гР)3+1 Хг (р)
11/ (ри'-)а (и)
о п-1с1р
гп~1ёг
1
(1 — р2)3 (9+?) ху (р)
(1 — гР)(3^ 9+9 0Ху (Р)
11
/ 9 1
11/ (ри №а (и) О п~1ёр гп~1ёг
ггп-1 У 0
0
п-1
я
9
Воспользуемся неравенством Гельдера с 1 +1 = 1, получим
q q
Т (/I,
& lt-
(1- р 2 У Су (р)
(1-гр)3+1 Су (р)
(ч ч * ч
11У (рь'- 1йа (ь'-) р п-1йр гп-1йг & lt-
ггп-1 0
& lt-
'-1 (1 — р2 у
-ЦУ*- Ц у (гь'-?а (ь'-)
(1 -гр) * Су (г)5п-1
V
гп 1йг
X
X
1
/ Е (1 — р2 У Су (р)
3+1
(1 — гр) т
рп 1йр
гп 1йг
(1 1 и «2 3 (
1 (1 — г! Г1 (1 -грТс * (р)'- ||/(рь& gt- М
рп 1йр X
1(1 — р2 У С* (р) п-1й х р йр Применяя к внутреннему интегралу оценку (см. [4])
гп-1йг
1 (1 — р2) сд' (р) — ,
1-л-)3± р п-1йр & lt-С • с- (г), получим
•'- (1 — гр)3
1 (1-р2 Ус* И
(1- гр|+1 с* (р)
Ц у № Щь'-)
5п-1
р п-1йр
п-1йг
& lt-
/ /
& lt-
1
1 (ъ-?!_
С* (р)
Т 1 (1 — 2) а
11У (рь'-)а (ь'-) рп-1йр 1(1_ '-)+1 С*(г)гп-1 8п-1 0 (1 гр)
йг
С* (р)
В силу того, что [-А--------^й+гС9 (г)гп 1йг & lt- С--у 3-, из последнего неравенства име-
•'-(1 — гр)3 у (1 — р '-
ем:
(1 — р)
ч.
11У (рь 1йа (ь)
С. (р)
п-1йр
(1 — р)
& lt-
& lt- С 1 (1 — р2) (ч 11 / (рь 1йа (ь) * ч р п-1йр
0 V ггп-1 Vя 0 0
С
Что и требовалось доказать.
3. Докажем, что ||Т3 (/)Ц & lt- С||/||^ * при 1 & lt- р & lt- ?, * = 1. Оценим интеграл
N
1 |Т3(/)(г а1Рйа (а о
-1
у
1
1 1 1(1 — р23 (а, ь)/(рь/)рп-1 йрйа (ьО йа (а)
-1 0 -1
воспользуемся обобщенным неравенством Минковского, получим
1 |Т3(/)(г а1Рйа (ао
& lt-

1 113(а ьу (рь/)1йа (ь'-) '
ггп-1 ггп-1
йа (а'-)
рп 1 йр.
Далее, используем неравенство Г ельдера с — + -г = 1.
Р Р
1 Ы (1 — рг г (л
00 г-п -1 8 V
1 Ц (а ь)|| у (рь0|Рйа И
V Р 1 р
X
X
113(а, ь) йа (ьО
йа (а'-)
рп 1 йр
Так как р
11
~ + «7
Р Р
= р и
11б3(а, ь '-Ьа (ь 0& lt- т---------^+1, из (5) следует, что
/А (1 — гр У
11Т3(/)(г а1Рйа (а о
& lt-1
Г (1 — р2)3
(1 — гр) р'-
1
& lt-1
11У (рь т йа (ьО 1103(w, ь) йа (а& gt-)
¦п-1 ^п-!
1
(1 — р 2)
рп 1 йр & lt-
(3+^ (М
(1 — гр) р'- -(1 — гр) р
11у (рь Т йа (ьО
рп -1 йр & lt-
& lt-1
г (1 — р 2 Г
(1 — гр)
(+1)
Ц у (рь Т йа (ь'-)
рп-1 йр.
(5)
Умножим обе части последнего неравенства на (1 — г2) а и проинтегрируем по
г е (0,1).
1

1 (1 -г2)» 1 Т (/ХН'-йаМ
гп 1йг & lt-
п -1
ем:
& lt-1(1 — г 2) а 1 (- р 1 У
(1 — гр Г
1 (Г
1(1 — р 2 У Ц У (рь ^ р йа (ь ^ 1
0 ^ Я1−1
. 1 (1 — г2 а
11 / (рь'-)| ' ?а (ь')
п-1
1
1 (1 — г2)
р & quot--1dрr"--¦1dr
/

(1 — гр)
3+1 гп-1йгрп-1йр.

Так как по лемме 3: I -А--------: 3+1гп~1йг & lt-
0 (1 — гр)3
С
(1 — р)

то из последнего неравенства име-
1

1 (1 — г 2) а 1 Т (ЛН'- йа (ш'-)
(1 — р)
Ц У (рь 0| & quot-йа (ь Г)
г иг & lt-
= С1(1 — р2) а ЦУ (рьр^а (ьГ)
рп 1йр =
ЬрЛ '-
Следовательно, в этом случае теорема доказана. 4. Пусть 1 & lt-р<-?, 1 & lt- * & lt-?. Так как
я1−1
га'-)р йа (а)) = 1
Я1−1
1
11(1-р2)3о,(а, ь)/{рь'-)рп~1срй1а{ь'-) йа{ю)
0 Я1−1
то, используя обобщенное неравенство Минковского, получим
1 |Т3(/)(га/)^а (аО
& lt-
& lt-1(1 — р2 г

1 1 °33(а, ьIУ (рь/)|йа (ь'-) & lt-
йа (а'-)
рп 1 йр.
Используя далее неравенство Г ельдера с — + -г = 1 имеем
р р
р 1..
1 |Т3(/)(г а'-)Р йа И & lt-1(1 — р2)
1 Ц 0р (а ь)\у (рьТ йа (ь0
1

V
X
Так как
11
_+р р р
X
= р и
йа (а'-)
1 (а, ь) йа (ь'-)
-1
1-°3(а, ь ^(ь
1 |Т3(/)(га/)рйа (аО
рп 1 йр.
имеем
& lt-
р
0
V
п-1
Я
V
п-1
я
V
? 1
(1- гр)
1
?1
(3+1)
1 / (Ри 0| Рао (ь'-) 1 ь (а, ь | ёа (а)
¦ И-1 ^П-1
1
ы
рп 1ёр ?
(Ь+^ (ь+^
(1 — гр) р -(1 — гр) Р
11 / (ри01Рёа (и О
рп ёр ?
1 (1 — гр 1
(3+1)
Ц / (ри'-] «ёа (и О
рп 1ёр.
Умножим и разделим правую часть последнего неравенства на вспомогательную функцию Ху (р) = --1, где О & lt- у & lt- (3 +1)д. Тогда
(1 — р)
1 (1-г 2) с
1 (1-р2)
р п~1ёр
г п ёг
1 (1- г 2)
1
1
(1 — р2 Т Ху (р)
(1 — гр Г1 Ху (р)
Ц / (ри Тёа (и О
рп 1ёр
гп 1ёг
Используем неравенство Г ельдера с — +1 = 1.
д д
/ / 1 Ч а
— 2 1 (- р2) 1 /(ри) ао (и) г& gt-п-1 Л) Л д р п-1ар
— уХ
V V 0
х
х
1
(1-р2 Ухд'-{р)
1
-,-д
д
(1 — гр)
+1
р ёр
гп 1ёг
Поскольку
1 (1 — р2) хч'-(р) 1
Г ^___н '- & quot-¦ р ёр
1 (л, л^+1) р ар

д
(1 — гр)(
? С ¦('?(г))/'- = С — хд (г),
то
1 (1-г2)'-
(1-фГ1 хд (р)
11 Ари'-УМ»)
р п-1ар
хд (г)гп-1аг
?
г Ь& gt-2'-
1 хд (р)
Л р 1 (1 — г 2) хд (г)
Л/(риТааИ 1 -[л-)3+1-гп-1агр п-1ар
8п-1. О (1 — гр)
Р
Р
Р
п-1
Ч
Р
Ч
?
Ч
В силу того, что I
(1- rr)
b+1
rn-1dr & lt-
(1 — Р)-«'
имеем
I о — p2)» j|/(p"'-)rdCT («'-)
pn 1dp
ll/I
Что и требовалось доказать. Теорема доказана полностью.
We construct an integral projection which maps the weighted spaces of measurable functions in a ball with mixed norm onto the corresponding spaces of harmonic functions.
The key words: weighted spaces, integral representations, projections, harmonic functions, zonal harmonics.
Об авторе
О. Е. Антоненкова — канд. физ-мат. наук, доц., Брянский государственный университет им. академика И. Г. Петровского, anto-olga@yandex. ru.
0
q

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой