Применение пакетов символьной математики к исследованию концентрации напряжений на контуре отверстий

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 539. 31:517. 928. 7
применение пакетов символьной математики
к исследованию концентрации наирижений на контуре отверстий Щукина Н. А.
ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)», Москва, e-mail: shchukinan@ya. ru
Статья посвящена применению метода эффектов второго порядка для решения плоских задач нелинейной теории упругости. Данный метод использует разложение в степенные ряды по малому параметру объектов, описывающих напряженно-деформированное состояние. В рамках построенной приближенной математической модели найдено аналитическое решение задачи о концентрации напряжений на контуре квадратного отверстия, свободного от нагрузок, при равномерном растяжении на бесконечности. Данный алгоритм реализован в пакете символьной математики Maple. Показано, что величина коэффициента концентрации напряжений зависит от внешней нагрузки. При этом при определенных значениях малого параметра в области концентраторов напряжений наблюдается раздвоение максимума на два симметричных.
Ключевые слова: нелинейная теория упругости, эффекты второго порядка, приближенная математическая
модель, коэффициент концентрации напряжений, система автоматизированного вычисления
APPLICATION MATHEMATICAL PACKAGES TO STUDY OF STRESS CONCENTRATION ON THE CONTOUR HOLES
Shchukina N.A.
Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics, Moscow, e-mail: shchukinan@ya. ru
This article is devoted to the application of the second order method for the solution of plane problems of the nonlinear theory of elasticity. This method uses the decomposition in power series objects describing the stressstrain state. Within the constructed approximate mathematical model the analytical solution of the problem of stress concentration on relaxed square hole contour in case of uniform stretching. This algorithm is implemented in package Maple. The influence of external loads on the stress concentration factor. For some values of small parameter in the field of stress concentrators has a split peak at two symmetrical.
Keywords: nonlinear elasticity theory, the second order effects, an approximate mathematical model, the stress concentration factor, system of automatic calculations
В настоящее время поиск аналитических решений задач нелинейной теории упругости является достаточно сложной задачей. Одной из сложностей при построении математических моделей таких задач является учет несжимаемости материала. Условие несжимаемости несет дополнительную информацию о геометрии деформирования. В работе [1] предложена приближенная математическая модель нелинейной теории упругости для плоской деформации однородного изотропного материала, в рамках которой условие несжимаемости выполняется автоматически. В качестве метода построения приближенной модели плоской деформации используется метод возмущений, использующий разложения по степеням малого параметра объекты, описывающие напряженно-деформированное состояние.
Однако из-за громоздких вычислений разложение выше второго порядка практически не используется. Появление современных пакетов символьной математики позволяет написать программы, облегчающие манипулирование с громоздкими выражениями, описывающими эффекты второго порядка при произвольном напряженно-деформированном состоянии. Эти эффекты выделяются при ограничении разложений для радиус-вектора частиц в текущей конфигурации К и функции гидростатического давления р членами до второго порядка по малому параметру Л.
Математическая постановка задачи В рамках рассматриваемой модели можно ограничиться выражением для потенциала энергии деформации в форме, предложенной в [2]:
* = 1 {(3ц+ц) [/ (О) — 3] - ц [/2 (О) — 3] +ЩрН[/2 (о) — 3]2,
где т, т и т2 — константы, причем т — модуль сдвига линейной теории, /к (О) — главные инварианты меры деформации Коши G.
Следуя работе [3], разложение радиус-вектора точек в плоскости, ортогональной оси в текущей конфигурации представляется в виде
Я = г + V /п + [7/-7 7/ + 7^^. (1)
° .5. 5
Здесь г — радиус-вектор точек в отсчетной конфигурации, V = 1--+ ]- - оператор
'-. д .д & amp- ду Гамильтона в базисе исходной конфигурации, V = - 1--± - симплектический опе-
ду дх
ратор. Дифференциальные операторы действуют только на первый множитель справа, не являющийся оператором. Точка означает скалярное произведение.
Используя разложение (1), получим представления в рамках эффектов второго порядка тензора напряжений Коши
Э = ап + Э2п2, (2)
где 0 = 2^ + рЕ), 82 = 2^ 1 в2 +(р2 — I (В) + ае1) Е + 777/^ + В + Вт^
1Г777/+77Л «Г^,^! -* -I
В1 = 2 (77/ + 77^, е2 =1 |у7Л + 77Н|, а= ,
10 Г я о я ! 1 Г 0 я О я я 00 я ! В = 4 У[у/-77/! =1 (77/-77/ + 7/-777/J,
Г 1 2!
р = |[ - ~ + р1п + Р2 П I — функция, связанная с гидростатическим давлением, знак „Т“ -транспонирование.
Уравнения равновесия приводятся к системам дифференциальных уравнений для эффектов первого и второго порядков соответственно:
2 77 р1 +7 А/ = 0,
7 (р2 -11 (В) + ае1 — - е1) +177 АН +177 А/-77 77 / + 77- (В + ВТ) = 0, (3)
Условие интегрируемости системы уравнений (3) для эффектов первого, второго и третьего порядков соответственно приводит к дифференциальным уравнениям:
АА/ = 0, ААН = 0.
Обозначим $ =Л + $ & quot-л — разложение вектора плотности внешних сил, приложенного к деформированной боковой поверхности и рассчитанного на единицу площади этой поверхности. Тогда силовые граничные условия в напряжениях запишутся в виде
п-(в1 + рЕ) = ^
п-[2е2 +(р2 — ?1 (В) + ав1 --В1)= ?2 — п-(В + Вт — рх 77/^, (5)
$'- $ „$ г
где ^ = -, ^ =--п — е1 — п -.
2| 2| 2|
Если плотность внешних сил Г = Г П + $ '-П2 задана в отсчетной конфигурации, а нагру-$'- $& quot-
жение „мертвое“, то? = -, = -.
1 2| 2 2|
Выражения (1) — (5) представляют постановку граничной задачи нелинейной теории упругости. Так как уравнения (4) для эффектов первого и второго порядков приводят к бигармоническим уравнениям относительно искомых функций / (х, у) и И (х, у), то поиск аналитического решения краевых задач для эффектов первого и второго порядка можно проводить единым образом в автоматическом режиме.
С помощью стандартной процедуры [4] граничные задачи линейной теории упругости для эффектов первого и второго порядков сводятся к интегральным уравнениям теории функций комплексной переменной. Рассматриваются только области, которые можно конформно отобразить на внешность окружности единичного радиуса с центром в начале координат с помощью функции вида
-at
к=0

где
ак = const.
Для этих областей интегральные уравнения теории функций комплексной переменной приводятся к алгебраическим уравнениям с помощью интегралов типа Коши.
Перейдем к комплексным переменным г = х + 1у, г = х — Iу и введем комплексные потенциалы по формуле Гурса:
граничным условиям (5) на бесконечности и на контуре отверстия. На бесконечности с помощью предельного перехода получаем конечную систему линейных алгебраических уравнений для части коэффициентов разложения. Получение уравнений для оставшихся коэффициентов требует вычисления интегралов типа Коши на контуре отверстия. Т.к. на свободном от нагрузки контуре нормальные напряжения равны нулю, то тангенциальные напряжения на контуре, потребные для вычисления коэффициента концентрации, вычисляются в виде инварианта тензора напряжений Коши

и S“ = Sтт+ S»" = S" + S22
для эффектов первого и второго порядков соответственно.
Для нахождения аналитического решения задач о концентрации напряжений около отверстий на базе пакета символьной математики Maple создан комплекс программ, позволяющий автоматизировать символьные вычисления. Все операции распространены на тензоры до второго порядка включительно, компоненты которых являются рядами по малому параметру. Алгоритм позволяет находить выражение коэффициента концентрации напряжений для различных
/ (г, г) = гЭ (г) + гЭ (г) + х (г) + х (г),
И (г, г) = г^(г) + г?(г) + у (г) + у (г)
Для данных потенциалов уравнения (4) выполняются тождественно, а решением системы уравнений равновесия (3) являются функции:
р (г, г) = 2л (э (г) -0(г)),
р2 (г, г) = - 2аа (4а +1) — 2ЪЭ& quot-(г) — 2ЪЭ& quot-(~г) + 1 (с (~г) -С'-(г)),
где
а = z0& quot-(z) + x& quot-(Z), а = Z0& quot-(z) + x& quot-(z), b = z0'-(Z) + 0(z) + x'-(Z):
b = Z0(z) + 0(Z) + X (-).
Искомые потенциалы аппроксимируются разложением в ряды Лорана, а коэффициенты находятся из условия удовлетворения
форм отверстия при различных видах деформации в рамках эффектов второго порядка.
Задача о концентрации напряжений около квадратного отверстия при равномерном растяжении на бесконечности
Без потери общности будем считать радиус отверстия равным единице. Контур отверстия свободен от напряжений. На бесконечности приложена равномерная радиальная нагрузка интенсивности р, Н/м2. Универсальным силовым параметром, имеющим ту же размерность, является модуль сдвига линейной теории упругости |. Поэтому естественно возникает безразмер-
_ Р
ный малый параметр вида Л — -.
нат
В цилиндрической [r, Ф, z}
r=1
системе коорди-
введем единичный базис e1 = cos ф1 + sin ф], e2 = - sin ф1 + cos ф], e3 = k. Коэффициент концентрации напряжений в нелинейной теории, как и в классическом решении линейной теории, будем определять как
S
k =
Конформное отображение внешности квадрата на внешность круга, а & gt- 1
с 1 1 задается формулой г — а + --з ±-тт.
6с, 56а
Вершинам квадратного контура соответствуют значения полярного угла Ф — 0, п
ф -п и ф — ±-. На бесконечности приложена равномерная нагрузка интенсивности р —, где П — малый параметр. Тогда на бесконечности вектор внешних сил f — fП + f& quot-п2 на площадках с нормальным вектором | имеет разложение f — |, f & quot- - 0, а на площадке с нормальным вектором ] разложение — f — 1, f — 0.
Для квадратичного приближения разложение коэффициента концентрации напря-
Р
жений по малому параметру Л — в вер-
|
шинах квадратного отверстия принимает
вид k =
1426 240 455
П. Таким образом,
где 522 — тангенциальная компонента «плоской» части тензора истинных напряжений Коши 8 — 511е1е1 + 522е2е2. Представление этой компоненты в рамках приближенной теории имеет вид 522 — о22п + 5^2Л2, откуда, вспоминая, что р — МЛ, получим выражение для коэффициента концентрации в рамках приближенной теории:
159 50 562
наблюдаем уменьшение значения тангенциальных напряжений с увеличением величины интенсивности приложенной внешней нагрузки р. Графики распределения относительных тангенциальных напряжений на внутреннем контуре отверстия, свободном от нагрузок, вычисленных в рамках эффектов первого и второго порядков при различных значениях параметра Л, изображены на рис. 1 и 2.
= 2s = °22Л +2л2 = + S22n = k1 + k2 Л
Р r=1 ^ r=1 r=1 ^ r=1
I 1 2 Э 4 5 Е
Рис. 1. Распределение относительных тангенциальных напряжений на контуре отверстия (развертка) при п — 0.8. Тонкая линия соответствует решению в рамках линейной теории, толстая линия соответствует квадратичному решению
I 1 2 3 4 4 Ь
Рис. 2. Распределение относительных тангенциальных напряжений на контуре отверстия (развертка) при П = 0−2. Тонкая линия соответствует решению в рамках линейной теории, толстая линия соответствует квадратичному решению
Как видно из графиков, в квадратичном приближении при различных значениях параметра П максимум величины коэффициента концентрации напряжений k достигается при различных значениях j, при этом его величина, по сравнению с классическим решением линейной теории, уменьшается. Заметим, что при учете внешней нагрузки р в разложении коэффициента концентрации напряжений наблюдаем эффект раздвоения одного максимума в вершине угловой точки на два симметричных максимума в окрестности данной вершины. При этом
в самой вершине достигается минимум.
?
Исследовав функцию -222 на экстремум,
Р
получаем, что значениям
П = Р & lt-0. 364
соответствует один экстремум: максимум достигается в вершинах квадратного кон-
Р
тура. При & gt- 0−364 каждому значению Р 1
П = - соответствует три точки экстрему-|
ма: в вершинах квадрата достигается ми-
нимум, а двум другим корням производной
d_ d ф
С S. ^
22
соответствуют максимумы.
Р J
Максимальные значения коэффициента концентрации напряжений? тах, вычисленные с точностью 10−6, и соответствующие им значения полярного угла Фтах в зависимости от величины малого параметра h записаны в таблице.
Экстремальные значения коэффициента концентрации? тах и соответствующие им
значения полярного угла Фтах
n II p 1 p k max Фтах
0.1 8. 4 929 885 0
0.2 8. 174 237 0
0.3 7. 5 418 589 0
0. 364 7. 2 374 980 0. 31 250
0.4 7. 911 554 0. 236 328
0.5 6. 8 714 057 0. 437 500
0.6 6. 8 041 820 0. 500 000
0.7 6. 8 603 106 0. 633 789
0.8 6. 9 618 454 0. 696 289
0.9 7. 1 029 659 0. 750 000
Выводы
Построенная приближенная математическая модель позволяет находить аналитическое решение плоских задач нелинейной теории упругости о концентрации напряжений около отверстий на базе математического пакета Maple.
Алгоритм применен для решения задачи о концентрации напряжений около квадратного отверстия при равномерном растяжении на бесконечности. Показано, что учет нелинейности в области концентраторов напряжений не только снижает значение тангенциальных напряжений, но и позволяет говорить об эффекте раздвоения одного
максимума в вершине угловой точки на два симметричных максимума в окрестности данной вершины.
Список литературы
1. Жуков, Б. А. Эффекты третьего порядка в исследовании концентрации напряжений около отверстий / Б. А. Жуков, Н. А. Щукина // Известия ВолгГТУ — 2010. — Т.1. — № 3. -С. 113−118.
2. Жуков, Б. А. Модель эффектов третьего порядка в статических задачах расчетов резинотехнических изделий / Б. А. Жуков, Н. А. Щукина // Изв. вузов. Сев. -Кавк. регион. Серия Естественные науки. — 2010. — № 3. — С. 24−27.
3. Жуков Б. А. Один вариант метода Синьорини при плоской деформации несжимаемого материала / Б. А. Жуков // Изв. РАН. МТТ. — 2001. — № 4. — С. 59−67.
4. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. 5-е изд. — М.: Наука, 1966. -707 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой