О капитализации доходов при оценке недвижимости

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Экономические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

О капитализации доходов при оценке недвижимости*
С.А. Смоляк
главный научный сотрудник Центрального экономико-математического института Российской академии наук, профессор Московского физико-технического института, профессор Государственного университета управления, доктор экономических наук (г. Москва)
Смоляк Сергей Абрамович, smolyak1@yandex. ru
1. Традиционное использование доходного подхода к оценке зданий
Оценка рыночной стоимости здания нередко производится методом прямой капитализации, то есть путем умножения годового дохода от использования здания (например от сдачи его в аренду) на рентный мультипликатор (ЯМ). При определении мультипликаторов оценщики используют разные показатели дохода (например валовой или чистый), отражая это в полном названии мультипликатора. Мы же будем иметь дело только с мультипликатором операционного дохода и не будем добавлять соответствующее прилагательное к термину.
Разумеется, при использовании сравнительного подхода к оценке здания значение мультипликатора можно принять по данным о сделках со зданиями-аналогами — обычно за некоторый предшествующий дате оценки отрезок времени. Однако при этом необходимо учесть влияющие на значение ЯМ различия между оцениваемым зданием и его аналогами. Для этого важно знать, какие факторы и как влияют на значение ЯМ. Соответствующий анализ обычно базируется на использовании доходного подхода к оценке имущества. Результаты такого анализа отражены во многих работах, из которых укажем лишь книгу [1] и статьи [2, 3], в которых есть ссылки и на более ранние публикации. К сожалению, такой анализ проводится на основе формально-математических «игр» с известной формулой дисконтирования денежных потоков, когда произвольно задается расчетный период, принимается, что в течение этого периода доходы от использования здания изменяются в арифметической или геометрической прогрессии и задается стоимость здания в конце периода (реверсионная). Приведем типичную модель такого рода.
Задается годовой доход В от использования здания (в первом году расчетного периода), темп его роста /, длительность расчетного периода Т и (реверсионная) стоимость здания в конце периода Р. Принимается, что доходы от использования здания поступают в конце каждого года. Тогда, используя годовую номинальную ставку дисконта Я, стоимость здания на дату оценки С можно найти по формуле (при Т^-ж она превращается в известную формулу Гордона):
с=?50+0- =_в_
(1 + Я) (1 + Я) * - & lt-
Отсюда выводится и значение рентного мультипликатора. Так, если задаться некоторым его значением (ЯМТ) в конце расчетного периода, то есть принять, что Р=ЯМТВ (1 + /)Т, из формулы (1) получим:
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда (проект № 07−02−160).
(1 + / & gt- т
1 —
V1 + я
+
(1+*)т
(1)
Г1+/ & gt- т& quot- + ЯМт Г1 + / ^
1 —
V1 + Я V1 + Я)
ЯМ = С = -
В я —
Иногда, например в статье [2], принимается, что реверсионная стоимость составляет определенную долю ^) от «первоначальной», то есть Р = YC. В таком случае формула для рентного мультипликатора изменяется:
ЯМ = С = В
1
Я — /
Г1+/ & gt- т& quot-
1 —
V1 + Я)
1
У
(1+я)т
Поскольку подобные формулы в разных модификациях широко используются, важно отметить ряд их существенных особенностей.
Начнем с того, что при небольшой (5−10 лет) длительности расчетного периода входящая в формулу (1) реверсионная стоимость здания составляет значительную (до 90%) долю в окончательной оценке стоимости, поэтому она должна оцениваться с точностью не меньшей, чем искомая рыночная стоимость. В результате возникает парадокс: чтобы точнее оценить рыночную стоимость здания сегодня, надо примерно с той же точностью уметь оценивать рыночную стоимость того же здания через 5−10 лет. Положение не меняется, если задаваться не самой реверсионной стоимостью здания, а ее отношением к «сегодняшней» стоимости или к доходу на дату реверсии — здесь требуется уметь достаточно точно оценивать соответствующее отношение1. Представляется, что рассчитывать на достаточно точную оценку можно лишь при выборе достаточно длительного расчетного периода (хотя при этом проблема оценки реверсионной стоимости полностью не снимается, здесь ее можно оценивать менее точно).
Более серьезная проблема связана с темпами роста доходов / (в других моделях — с величинами абсолютных приростов доходов). При выводе формулы эти темпы (или приросты) считаются постоянными на протяжении всего расчетного периода. Широкое использование изложенных методов подразумевает, что с таким допущением многие оценщики согласны. Другое дело — как оценить эти темпы? Если иметь в виду доходы от сдачи помещений в здании в аренду, то нужный темп (или прирост) выводят из анализа ретроспективной динамики средней арендной платы за квадратный метр площади в подобных зданиях (одна из методических ошибок, которая при этом может допускаться, рассмотрена в разделе 4 настоящей статьи). Однако в отдельные периоды времени на рынке может наблюдаться ситуация, когда темп роста арендной платы достаточно высок, превышает темп инфляции и даже ставку дисконтирования. Если принять, что такой темп будет сохраняться на протяжении относительно продолжительного расчетного периода, это приведет к грубой ошибке в оценке стоимости здания. Вот почему в подобных ситуациях такой способ оценки темпов роста арендной платы не применяют или закладывают в расчет не фактически сложившиеся, а скорректированные в сторону уменьшения перспективные темпы роста.
Внимательное рассмотрение изложенного и подобных методов оценки недвижимости показывает, что они ориентированы на стационарную экономику со стабильными темпами инфляции. В переходной экономике ситуация усложняется — здесь переменные по годам темпы инфляции обычно прогнозируются на перспективу. Соответственно, в расчет надо было бы вводить переменные по годам ставки дисконта и темпы роста доходов. Оценка
1 Выбирая небольшую длительность расчетного периода, оценщики аргументируют это возможностью существенных изменений рыночной конъюнктуры к концу этого периода. Но такие изменения, если они произойдут, скажутся прежде всего на реверсионной стоимости здания.
реверсионной стоимости при этом становится еще более сложной. К тому же, оценивая доходы от использования здания и его реверсионную стоимость при сравнительно длительном расчетном периоде, нельзя не учитывать физический и функциональный износы оцениваемого здания. Как это сделать в рамках рассматриваемых моделей, не очень ясно (кстати, тот же упрек можно адресовать и формуле Гордона и многочисленным ее модификациям).
2. Доходы от использования зданий
Оставаясь в рамках того же доходного подхода к оценке имущества, в настоящей статье мы предлагаем иной метод оценки, не требующий какого-либо прогнозирования и учитывающий инфляцию. К сожалению, нужный результат удается получить, только рассматривая поток доходов от использования здания в непрерывном времени. Соответственно, упоминаемые далее темпы изменения экономических показателей и ставки дисконтирования будут не годовыми, а непрерывными. Например, если мы говорим, что такой-то показатель растет с темпом z, это будет означать, что за малое время dt он вырастает на 100zdt% или в (1 + zdt) раз, за год — в ez раз, а за T лет — в ezT раз. Связь между непрерывным (z) и годовым (Z) темпами роста (в долях единицы) выражается соотношениями:
Z — ez -1 или z — /n (1 + Z).
Точно так же мы будем использовать непрерывную ставку дисконтирования r, связанную с годовой ставкой известными соотношениями:
R — er -1 или r — /n (1 + R).
При этом доходы или расходы, осуществляемые в момент t, будут дисконтироваться к моменту 0 с помощью коэффициента дисконтирования e-rt. Если момент t достаточно близок к моменту 0, то соответствующий коэффициент дисконтирования можно принять равным 1 — rt.
В наших рассуждениях мы будем учитывать не только доходы, но и расходы собственника оцениваемого здания. И, действительно, даже в случае, когда помещения в здании сдаются в аренду, арендодатель вынужден осуществлять некоторые расходы, не входящие в арендную плату. Обычно такие расходы невелики, и ими пренебрегают, однако представляется, что учитывать их следует, поскольку их величина зависит от возраста зданий в большей мере, чем ставки арендной платы. В то же время, даже если собственник приобрел недвижимость с использованием заемных средств, мы не будем включать платежи по таким займам в его расходы (подразумевая, что они относятся на всю деятельность собственника, а не на его деятельность по использованию здания). В связи с этим будем использовать следующие разные показатели дохода:
1) валовой доход — выручка собственника здания (например от сдачи помещений в аренду) —
2) операционный доход (ОД) — валовой доход за вычетом осуществляемых собственником операционных расходов, в которые мы не включаем ни амортизационные отчисления, ни земельный налог, ни налог на имущество-
3) чистый операционный доход (ЧОД) — операционный доход за вычетом земельного налога и налога на имущество-
4) чистый доход — чистый операционный доход за вычетом налога на прибыль.
При этом термин «доходы» будет относиться к любым указанным и иным видам доходов. Показатели операционного и чистого операционного доходов близки по величине и содержанию к EBITDA — прибыли до начисления амортизации и уплаты процентов и налогов.
Учитывая, что разные собственники могут уплачивать налоги по разным ставкам, а также в целях обеспечения сопоставимости оценок разных объектов оценщики обычно используют показатели валового или операционного дохода. Мы будем ориентироваться на последний показатель. Поскольку процесс получения доходов от использования здания рассматривается в непрерывном времени, основной его характеристикой мы будем считать интенсивность получения ОД — размер ОД, получаемого от использования здания в малую единицу времени. Если такая интенсивность на некоторую дату (например на дату оценки) составляет В, то за малое время 6 операционный доход собственника здания составит ВМ. Именно интенсивность получения ОД на дату оценки мы будем считать той базой, по отношению к которой исчисляется рентный мультипликатор.
С течением времени интенсивность получения ОД меняется. На ее изменение влияют три фактора:
1) инфляция. В условиях, когда цены на товары, работы и услуги в стране растут, будут расти и ставки арендной платы, отражающие стоимость услуг по использованию здания в единицу времени (или стоимость права использования здания в течение единицы времени). Важно отметить, что темпы роста цен на отдельные виды товаров, работ и услуг могут существенно отличаться как друг от друга, так и от темпа общей инфляции, отражающего средний рост цен в стране-
2) физический износ. С течением времени здание стареет, собственнику приходится осуществлять все большие затраты на его содержание и ремонт, вследствие чего расходы собственника растут, а чистые выгоды сокращаются-
3) функциональный износ. В период использования оцениваемого здания другие инвесторы вводят в эксплуатацию новые здания, в которых пользователям предоставлен более широкий круг услуг (удобств). Эти здания станут привлекательными для некоторых пользователей оцениваемого здания и его близких аналогов. В такой ситуации обеспечить прежнюю загрузку помещений оцениваемого здания собственник может, только несколько снизив арендную плату, а значит, и свои доходы.
Характер влияния этих факторов на выгоды собственника существенно различен. Изменения рыночных цен сказываются на доходах и расходах собственников зданий практически сразу же. Влияние физического износа проявляется лишь в постепенном, не очень быстром возрастании расходов, и в краткосрочном периоде это влияние незаметно. Функциональный же износ у введенных в эксплуатацию зданий обычно отсутствует, он проявляется лишь по мере того, как на рынке появляются новые типы зданий и новые виды услуг, предлагаемых пользователям этих зданий. В результате оказывается, что в среднем за срок службы темпы изменения приносимых зданием ОД оказываются меньшими по сравнению с темпами общей инфляции и темпами роста ставок арендной платы, а иногда даже отрицательными.
В этой статье мы приводим две модели рентного мультипликатора. В этих моделях мы учитываем, что на его величину влияет стоимость земельного участка, на котором размещается оцениваемое здание. Причины такого влияния раскрываются в разделе 3.
В разделе 4 изложена первая, более простая модель, в которой налоги практически не учитываются, то есть выгоды собственника отождествляются с ОД. Строго говоря, такая оценка эквивалентна нереальному предположению об отсутствии налогов, однако, как предусмотрено стандартами оценки, это компенсируется использованием доналоговой ставки дисконтирования.
Во второй модели (раздел 5) стоимость здания определяется как сумма дисконтированных (по посленалоговой ставке) чистых операционных (посленалоговых) доходов, но и в этом случае рентный мультипликатор определяется как отношение стоимости здания к ОД.
Определения «доналоговые» и «посленалоговые» здесь следует рассматривать как условные. На самом деле в оценочной литературе «доналоговыми» именуют денежные по-
токи и показатели до уплаты только налога на прибыль, а потоки и показатели до «более ранней» уплаты других налогов обычно вообще не рассматривают. Кроме того, «донало-говым» мы считаем показатель операционных доходов, хотя при их исчислении в составе затрат отражаются некоторые налоги (например ЕСН или транспортный налог).
Хотя обе модели детерминированные, они позволяют учесть некоторые факторы риска. Так, если использование здания предполагает сдачу помещений в аренду, то у арендодателя возникают риск незанятости (когда помещение окажется свободным на период между выездом одного арендатора и приходом следующего) и риск потерь при сборе арендной платы (когда арендатор выезжает, не рассчитавшись с арендодателем). Эти риски можно учесть, уменьшив ОД соответствующими коэффициентами2.
3. Стоимость земельного участка как фактор, определяющий границу эффективного использования здания
Начнем с того, что оцениваемое здание является составной частью объекта недвижимости, включающего само здание и земельный участок, на котором оно расположено (разумеется, со всем необходимым окружением, например с зелеными насаждениями и подведенными к зданию коммуникациями). Будем считать стоимость этого земельного участка на дату оценки в известной величиной. Кроме того, будем считать известным темп / прироста стоимости земельного участка на дату оценки (его можно оценить, анализируя динамику изменения стоимости одного квадратного метра площади аналогичных земельных участков). Налоги, уплачиваемые собственником здания, мы не учитываем, а получаемые им выгоды характеризуем интенсивностью ОД.
До даты оценки здание могло использоваться как угодно, однако при его оценке следует исходить из наиболее эффективного способа его использования в будущем. Именно этому способу (а он нередко оказывается и способом существующего использования) должна отвечать интенсивность В приносимых зданием ОД3.
Представим себе рынок, на котором продаются аналогичные здания, дающие разные по величине ОД и размещенные на земельных участках разной стоимости. Среди этих зданий могут оказаться и такие, которые уже «ничего не стоят». Их нецелесообразно (неэффективно) использовать по любому назначению, а покупаются они только ради приобретения соответствующего земельного участка. Выясним, где «проходит граница», отделяющая здания, которые «что-то стоят», от зданий, которые уже «ничего не стоят».
Для этого сначала заметим, что даже однотипные здания, расположенные на одинаковых земельных участках, могут приносить разные по величине доходы. Одна из причин этого — различие в возрасте зданий. Даже при одинаковой «комфортности» помещений (и, следовательно, одинаковых ставках арендной платы) более старые здания требуют, вообще говоря, более высоких затрат, например, на содержание и ремонт. Кроме того, довольно часто более старые здания оказываются менее «комфортабельными», чем построенные по современным проектам более молодые здания, в которых пользователям предоставлен более широкий круг удобств и услуг. В таких случаях и ставки арендных плат, а значит, и размеры доходов владельца (арендодателя) в более старых зданиях оказываются меньше.
Где же тот «критический размер» ОД, при котором стоимость здания становится нулевой? Казалось бы, этот размер должен быть нулевым, то есть пока здание приносит хоть
2 Поправки на незанятость помещений и «недобор» арендной платы надо вводить и тогда, когда в предшествующем году все помещения были заняты круглый год и все арендные платежи уплачивались полностью и своевременно. Так учитывается возможность соответствующих потерь в будущем.
3 Мы предполагаем, что все доходы владельца связаны только со зданием, но не с земельным участком. В связи с этим, если арендаторам обеспечивается, скажем, парковка, такие услуги должны быть отражены в ставке арендной платы.
какие-то доходы, его стоимость будет положительной. Однако такое представление ошибочно. Дело в том, что величина приносимых зданием ОД не в полной мере характеризует эффективность его использования в том или ином отрезке времени, так как не отражает ни прирост капитала владельца, ни упущенную им выгоду. Действительно, рассмотрим отрезок времени небольшой длительности 61, начинающийся с даты оценки (в момент 0). В начале этого отрезка времени земельный участок имеет стоимость в, а к концу его (в момент 61) стоимость участка вырастет и станет равной в (1 + /61), поскольку темп / как раз и отражает относительный прирост стоимости участка в единицу времени. Следовательно, за время 61 собственный капитал владельца вырастет на величину 0/61. Этот прирост полностью аналогичен выгоде владельца ценной бумаги от прироста ее курсовой стоимости. Кроме того, капитал в, вложенный в участок, при наилучшем его альтернативном использовании в течение рассматриваемой единицы времени мог бы принести владельцу доходность в размере ставки дисконтирования г в годовом исчислении, то есть дать доход гвМ. Ставка дисконтирования г при этом больше, чем темп роста стоимости земельных участков /, иначе наиболее эффективными направлениями инвестирования были бы вложения в приобретение участков (без последующих улучшений) с целью их перепродажи через некоторое время. Это значит, что в целом владелец упускает выгоду в размере гй61 -/й61 = (г — /)й61.
Таким образом, при оценке эффективности использования здания за время 61 необходимо сопоставлять доходы (в данной модели — ОД) владельца с величиной упущенной им выгоды (альтернативными или вмененными издержками), равной [В — (г -/)в]61. С этих позиций дальнейшее использование здания надо прекратить в тот момент, когда приносимые зданием ОД сравняются с упущенной выгодой, то есть тогда, когда будет выполняться равенство:
В = (г — /)в. (2)
Введем показатель удельных операционных доходов (УОД) — отношение V = В/в интенсивности приносимых зданием ОД к стоимости земельного участка (или на рубль стоимости участка).
Теперь мы видим, что здания имеют положительную стоимость, только если УОД превышает г -/. Отсюда вытекает, что стоимость здания, а значит, и рентный мультипликатор ЯМ = С/В, каким-то образом зависят от УОД. При этом в процессе рациональной эксплуатации величина УОД имеет тенденцию к падению.
4. Доналоговая модель рентного мультипликатора
Использование метода капитализации доходов для оценки зданий подразумевает, что для всех зданий некоторой категории (однотипных) рентные мультипликаторы близки между собой и мало меняются во времени. Однако, как видно из предыдущих рассуждений, для зданий с разными УОД рентные мультипликаторы оказываются различными. В связи с этим излагаемый в этом разделе метод базируется на более слабом предположении: мы считаем, что рентные мультипликаторы как-то зависят от величины удельных выгод, но сама эта зависимость мало меняется во времени.
Напомним, что мы рассматриваем рынок, на котором продаются аналогичные объекты недвижимости, включающие земельные участки разной стоимости и здания, приносящие разные по величине ОД. Выберем небольшой отрезок времени 61 (например месяц или квартал), начинающийся с даты оценки, и будем предполагать, что в течение этого времени у всех рассматриваемых объектов:
а) стоимость земельных участков возрастает с одним и тем же (известным) темпом /, не превышающим ставку дисконтирования-
б) интенсивность ОД возрастает с одним и тем же (известным) темпом і, также не превышающим ставку дисконтирования-
в) рентный мультипликатор зависит от величины удельных операционных доходов
V = В/в, то есть определяется формулой ЯМ = ф (у) с неизвестной пока функцией ф.
Оказывается, этих предположений4 достаточно для того, чтобы найти неизвестную функцию ф и искомую стоимость оцениваемого здания. Применяемый при этом метод во многом сходен с предложенным нами в книге [4] для определения коэффициентов износа машин и оборудования.
Налоги в рассматриваемой в этом разделе (доналоговой) модели в явном виде не учитываются. В то же время в соответствии со стандартами оценки и принятой практикой предполагается, что они могут быть достаточно точно учтены путем использования соответствующей (доналоговой) ставки дисконтирования г, которую мы предполагаем известной (правомерность такого предположения мы обсудим в разделе 5).
Напомним, что мы рассматриваем рынок, на котором обращаются однотипные здания, размещенные на земельных участках разной стоимости (в), характеризующиеся разной интенсивностью приносимых ими ОД (В), и для всех таких зданий на дату оценки и в течение малого времени бї после этой даты имеет место одна и та же зависимость стоимости здания © от указанных характеристик:
С = Вф (у) = ВфГ. (3)
Рассмотрим одно из таких зданий и выясним, какими станут его характеристики через малое время бї - их новые значения будем отмечать штрихом. «Будущие» стоимости здания и земельного участка С'- и в'- найдем из следующих соображений. Поскольку за время бї интенсивность приносимых зданием ОД вырастет в (1 + ібї) раз, а стоимость земельного участка — в (1 + ібї) раз, то5:
В'- і +
В'- = (1 + ІсП) — - = (1 + ]Я)в- у'-= - = V — V -(і - і)убі. (4)
Отсюда, кстати, видно, что (непрерывный) темп снижения УОД будет равен/ - і. Новому значению УОД будет отвечать и новое значение рентного мультипликатора:
ЯМ'- = ф (/'-) = ф (у -(і -і)уС/) — ф (у)-ф'-(у)(і -і)уС.
Стоимость здания в момент бї при этом составит:
С'- = В'- х ЯМ'- = (1 +)В х [ф (у) — ф'-(у)(} - /)ус (/] ~ Вф (у)+ [/ф (у) — (} - /)уф'-(у)]В^. (5)
С другой стороны, стоимость недвижимости на дату оценки можно оценить, используя доходный подход, суммируя приведенные к дате оценки ОД, получаемые от здания за период 6 (то есть примерно в середине этого периода), и стоимость недвижимости в конце
4 Эти предположения, кстати, позволяют точнее определить круг «аналогичных зданий», обращающихся на рассматриваемом рынке, а именно аналогичными следует считать здания, характеризующиеся одним и тем же способом наиболее рационального использования и идентичные по темпам роста стоимости земельных участков и интенсивности ОД.
5 Здесь и далее знак приближенного равенства (и) используется тогда, когда соответствующие выражения отличаются на величину, малую по сравнению с длительностью промежутка времени 6 (то есть на малую величину более высокого порядка).
периода. С точностью до малых более высокого порядка это можно записать следующим образом:
С + в — (1 — г& amp-/2)ВсН + (1 — гс№)(С + в'-).
Подставляя сюда в = В/ и учитывая формулы (3)-(5), найдем:
Вф (у)+ В/V — (1 — гМ/2)ВМ + (1 — гМ){Вф (у)+[/ф (у)-(} - /)^ф'-(и)]В& amp- + (1 +)В/у}-
— Вф^)+ В/V -{(] -/^ф'-^)+ (г -/)ф (v)-1 + (г — ])/V}В& lt-#.
Легко видеть, что такое равенство возможно только тогда, когда выражение в фигурной скобке будет равно нулю. Это означает, что функция ф (^ должна удовлетворять уравнению:
(} - / & gt-ф'- (/)+ (г — /)ф (v) =1 -(г — ])/v.
Если ввести обозначения:
д = / - /- V* = г — /- Ь = г — /, (6)
его можно записать еще короче:
v *
gvф'-(v)+ Ьф^) = 1 --. (7)
Таким образом, функция ф (^ удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению (7).
В разделе 3 мы выяснили, что эффективно использовать здание целесообразно до тех пор, пока удельные операционные доходы не достигнут предельного значения V* = г — /. При таком значении УОД стоимость здания, а значит, и рентный мультипликатор обратятся в нуль6, так что
Уравнение (7) с граничным условием (8) решается известными методами и оказывается следующим:
Мы получили искомую формулу для рентного мультипликатора. Детальное ее рассмотрение показывает, что первый член формулы является значением мультипликатора, исчисленного по формуле Гордона (в непрерывном времени), а два других — поправки к нему, отражающие влияние стоимости земельного участка.
Зависимости рентного мультипликатора от УОД при г = 0,21- / = 0,16- і = 0,11 и 0,07 представлены на рисунке.
Полученный результат требует важных комментариев.
1. Оказывается, что простой связи между рыночной стоимостью здания и получаемыми от него доходами или простого выражения для мультипликатора рентных доходов не
6 Как видно из формулы (7), при этом обратится в нуль и производная ф'-(у).
ф (^) = 0.
(8)
(9)
----1 = 0,11 ----1 = 0,07
Зависимости рентного мультипликатора от удельных операционных доходов
получается: в расчетные формулы также входят стоимость земельного участка и темп ее роста.
2. Мы уже упоминали ряд работ, посвященных определению рентного мультипликатора. Предложенные в этих работах формулы основаны на допущениях о динамике доходов от использования недвижимости и о ее реверсионной стоимости в конце расчетного периода. В нашей модели тоже предполагается, что чистые доходы растут с постоянным темпом, но это относится к расчетному периоду малой длительности, а предположения о реверси-онной стоимости здания мы заменяем рыночной информацией о стоимости земельного участка и темпе его роста. При этом не возникает необходимость прогнозировать, как в перспективе будут меняться темпы инфляции и номинальные ставки дисконтирования, либо делать предположения, что в течение всего расчетного периода эти темпы и ставки будут оставаться неизменными.
3. Как видно из формулы (9), на полученную оценку стоимости здания влияют не сами параметры г, / и /, а только их разности, определяемые формулой (6). Первая из них (д) отражает, как было показано выше, темп снижения УОД, вторая V* - упущенную выгоду от вложений в приобретение земельного участка с целью его перепродажи (см. раздел 3) по сравнению с наилучшими альтернативными вложениями, а третья является разностью первых двух (Ь = V* - д). Поскольку общая инфляция в стране влияет на г, / и / примерно одинаково, то изменение темпов инфляции не должно сильно влиять на д, Ь и V*.
Приведем несколько примеров применения формулы (9) (цифры условные). В этих примерах годовая ставка дисконтирования Я = 23%, так что непрерывная ставка составит г = /п (1+Я) = /п1,23 = 0,2070.
Пример 1
Стоимость земельного участка — 100, темп ее роста — 14% в год, операционные доходы от использования здания (в годовом исчислении в ценах на дату оценки) — 60, темп их роста — 10% в год. Оценить здание.
Вначале определяем исходные параметры:
• / = /п (1,14) = 0,1310-
• / = /п (1,10) = 0,0953-
• V* = г -/ = 0,0760-
• д = / - / = 0,0357-
• Ь = г — / = 0,1117-
• Ь/д = 3,1274-
• V = В/в = 60/100 = 0,6.
ЯМ = ф (у) = -1------------- +
44 '- 0,1117 0,6
1
1
0,0760 0,1117
х
0,0760 0,6
3,1274
= 7,292-
С = Вк = 60×7,292 = 438.
В результате стоимость недвижимого имущества (здание плюс земельный участок) на дату оценки составит 438 + 100 = 538.
Пример 2
В отличие от примера 1 здесь стоимость земельного участка в два раза больше — 200. В таком случае:
к = В/в = 60/200 = 0,3-
RM = ф (/)=-------------------+
0,1117 0,3
C = Bk = 60×5,676 = 341.
ч0,0760 0,1117
х
0,0760 0,3
3,1274
= 5,676,
Таким образом, стоимость недвижимого имущества (здание плюс земельный участок) составит 341 + 200 = 541.
Обратим внимание, что тот же рентный мультипликатор мы получим при неизменной стоимости земельного участка и вдвое меньших ОД. Однако стоимость здания при этом будет в два раза меньше — 170.
Пример 3
Предположим, что, в отличие от примера 2 темп роста стоимости земельных участков больше — 16% в год (/'- = /п (1,16) = 0,1484). Повторив соответствующие расчеты, получим: ЯМ = 5,880- С = 353. Как видим, разница получилась небольшая.
Пример 4
Вернемся к примеру 2 и выясним, как повлияет на оценку здания возможная ошибка в установлении темпа роста ОД. Пусть, например, указанный темп роста составляет не 10, а 7% в год (/ = /п (1,07) = 0,0677). Расчет по формуле (9) дает: ЯМ = 4,135- С = 248.
Сравнительно большая разница с примером 2 свидетельствует о необходимости повышенной точности при установлении темпов роста ОД. Здесь могут оказаться полезными следующие соображения.
Казалось бы, указанные темпы можно установить, сопоставив средние ставки арендной платы на дату оценки и, скажем, годом ранее. Однако такое сопоставление некорректно даже при представительной выборке зданий. Действительно, пусть у нас есть данные об арендной плате в аналогичных зданиях, только что введенных в эксплуатацию, и в зданиях, имеющих возраст 10, 20, 30 … лет. Тогда мы практически будем выводить среднее из соотношений сегодняшних и прошлогодних ставок арендной платы в зданиях, введенных в эксплуатацию, в зданиях возраста 10 лет, 20 лет и т. д.
Между тем для оценки фактического темпа роста арендной платы надо сравнивать ее текущие и прошлогодние ставки в зданиях одного возраста: текущую ставку в зданиях, введенных в эксплуатацию в текущем году, с прошлогодней ставкой в зданиях, введенных в эксплуатацию в прошлом году, текущую ставку в зданиях возраста 10 лет с прошлогодней ставкой в зданиях, сегодня имеющих возраст 11 лет и т. д. И хотя разница, конечно, невелика, она ведет к снижению фактического и прогнозируемого на ближайшую перс-
пективу темпов роста арендной платы. Аналогичная проблема возникнет, если изучать размеры затрат арендодателя — здесь тоже надо сопоставлять прошлогодние затраты на эксплуатацию зданий разных возрастов с текущими затратами на эксплуатацию зданий, на 1 год более старых.
Для очень грубой оценки правильности установления темпов роста можно применить следующий прием.
Предположим, что темпы роста ОД и стоимости земельных участков, а также ставка дисконтирования останутся стабильными в перспективе. Выясним, через какой срок Т стоимость оцениваемого здания станет нулевой. Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что при сделанных предположениях через Т лет интенсивность ОД от здания составит Ве/Т, а стоимость земельного участка — веТ. Чтобы стоимость здания в этот момент стала нулевой, необходимо, чтобы выполнялось равенство (2). В этом случае оно принимает вид:
ВеТ = (г — })ве]Т.
Отсюда вытекают две эквивалентные формулы для срока эффективного использования здания:
Т = /п-. -или Т = - /п^. (12)
-1 (г — ])в д V * '- '
Если рассчитанный таким способом срок существенно отличается от разумного по техническим и экономическим соображениям срока предстоящего использования здания, это будет свидетельствовать о неправильном выборе темпов / и /. Так, в условиях примера 1 расчет по формуле (12) дает:
т 1, V 1,0,7
Т = - /п- =------/п-= 57,9 года.
д V * 0,0357 0,0760
Аналогично находим, что в примере 2 Т = 38,4 года, в примере 3 — Т = 30,8 года, в примере 4 — Т = 21,7 года. Если в последнем случае техническое состояние здания и анализ способов его дальнейшего использования действительно позволяют считать оставшийся срок его службы столь малым, то с полученной в примере 4 оценкой его стоимости можно согласиться. В противном случае темп роста чистых выгод в этом примере (7% в год) следует признать заниженным.
В изложенной модели условно принято, что получение ОД осуществляется непрерывно. В «традиционных» моделях [1, 2, 3], где процесс использования объекта рассматривается в дискретном времени, принимается, что ОД на каждом шаге поступают в начале, в конце или середине шага. На самом деле все эти допущения условны. Покажем, как можно с достаточной точностью учесть реальное распределение доходов и расходов во времени. Общую идею достаточно проиллюстрировать в следующей ситуации.
Допустим, что арендная плата в некоторой сумме, А должна выплачиваться помесячно и соответствующие средства поступают на счет арендодателя не в начале каждого месяца, а через некоторое время т. В таком случае приведенные к началу месяца доходы арендодателя составят Ле~гт. В то же время в модели поступление арендной платы рассматривается как непрерывное с интенсивностью Ь. Тогда приведенные к началу месяца доходы арендодателя должны были бы составить:
А 1 — е~гА
[ Ье~пМ = Ь --,
где, А = 1/12 — длительность месяца, выраженная в долях года.
Для того чтобы оба расчета давали тождественные результаты, необходимо соблюде-
1 — е — г, А —
ние равенства Ь--- = Ае гт. Отсюда получаем:
ге~г т
Ь = А1ТеГА- 03)
Пусть, например, ставка арендной платы составляет 7 денежных единиц (д. е.) в месяц. Если пренебречь распределением таких платежей во времени (то есть считать его равномерным), то интенсивность получения соответствующих доходов надо было бы принять равной 7×12 = 84 д. е. в год. Предположим теперь, что арендная плата поступает на счет в среднем через 1,5 месяца (1,5/12 = 0,125 года) после начала оплачиваемого периода. Тогда из формулы (13) при г = 0,2151 находим:
, «ге-г% 0,2151е~а2151 Х 0,125
Ь = А 1 — е-г, А = 7 Х 1 — е-0,2151/12 _ 82, 5.
Как видим, расхождение оказывается незначительным, поэтому допущение о равномерном распределении чистых доходов представляется оправданным. Впрочем, при иных условиях аренды и больших сроках задержки платежей результат может оказаться иным -в таких ситуациях целесообразно корректировать интенсивность доходов и расходов указанным выше способом.
5. Определение рентного мультипликатора с учетом налогов
В модели, изложенной в разделе 4, предполагалось, что влияние налоговых платежей может быть учтено в ставке дисконтирования. Между тем такое допущение не обосновано и в ряде случаев может приводить к существенным ошибкам. Основная причина этого в том, что в процессе использования здания соотношение до- и посленалоговых доходов меняется. В результате, как мы увидим, ориентация на доналоговые потоки приводит к искажению ожидаемого (прогнозируемого) срока эффективного использования здания, а значит, и к завышению оценки его стоимости. Теоретически более правильно учитывать в денежных потоках все виды налогов и дисконтировать их по посленалоговой ставке р, которую будем считать известной. Обычно такую посленалоговую ставку получают из доналоговой умножением на 1-п, где п — ставка налога на прибыль. Это примерно отвечает соотношению до- и посленалоговых доходов от финансовых инструментов, вложения в которые, как правило, являются альтернативными для вложений в реальные активы.
В излагаемой в этом разделе модели учитываются земельный налог и налоги на имущество и прибыль, размеры которых зависят от требующей оценки стоимости здания. Условно принимается также, что налоги уплачиваются непрерывно.
По российскому законодательству размер земельного налога в единицу времени (скажем год) составляет определенный процент от кадастровой стоимости земельного участка. Однако методы достаточно обоснованной оценки кадастровой стоимости пока еще не разработаны. В то же время не вызывает сомнения стремление государства сделать кадастровую стоимость возможно ближе к рыночной. На этом основании мы будем считать, что земельный налог в единицу времени определяется некоторой долей (ставкой) д от рыночной стоимости земельного участка.
Налог на имущество в единицу времени мы определяем по ставке т от остаточной (налоговой) стоимости здания, то есть стоимости его приобретения, уменьшенной на сумму начисленной с момента приобретения амортизации.
Налог на прибыль в единицу времени мы исчисляем по ставке п от налогооблагаемой прибыли — чистого операционного дохода за вычетом начисленной за этот период времени амортизации. При продаже земельного участка налогооблагаемая прибыль определяется как разность между ценой продажи и ценой покупки, а при продаже зданий и иного амортизируемого имущества — как разность между ценой продажи и остаточной (налоговой) стоимостью имущества (последнее не в полной мере соответствует требованиям Налогового кодекса Российской Федерации, но принимается для упрощения).
Как и раньше, мы рассматриваем рынок, на котором продаются аналогичные здания, приносящие разные по величине ОД и размещенные на земельных участках разной стоимости. При этом, как и в разделе 4, мы принимаем, что для рассматриваемой категории зданий:
а) стоимость земельных участков возрастает с одним и тем же (известным) темпом /, не превышающим ставки дисконтирования-
б) ОД возрастает с одним и тем же (известным) темпом і, также не превышающим ставки дисконтирования-
в) рентный мультипликатор зависит от величины УОД (к), то есть определяется формулой ЯМ = ф (к) с неизвестной пока функцией ф.
Будем оценивать стоимость одного из зданий на рассматриваемом рынке по посленалоговому денежному потоку. Интенсивность О Д от этого здания на дату оценки (в момент 0) обозначим, как и ранее, через В, а стоимость земельного участка — через в. Тогда будут выполняться следующие равенства:
V = В/в- в = В/у- С = Вф (у). (14)
Заметим теперь, что использование метода дисконтированных денежных потоков предполагает оценку стоимости имущества с позиций типичного участника рынка (потенциального покупателя), приобретающего это имущество на дату оценки (в момент 0). Следовательно, размеры налогов, учитываемых при оценке стоимости здания, должны определяться применительно к этому потенциальному покупателю. Но рыночная стоимость здания не должна зависеть от того, собирается владелец пользоваться им дальше или намеревается его продать.
Это позволяет рассмотреть потенциального покупателя, который приобретает недвижимость (здание с участком) по рыночной стоимости С + в на дату оценки, рационально использует ее в течение небольшого промежутка времени бї и затем продает по (уже иной, изменившейся) рыночной стоимости С'- + в'-.
«Будущие» стоимости земельного участка и здания С'- и в'- при этом по-прежнему определяются формулами (4) и (5):
в'- = (1 + С) в- С'- = Вф (у)-[ф'-(у)(і - і)у — іф (у)]ВСЇ.
Отсюда вытекают следующие выражения для приростов стоимости земельного участка и здания за время бї:
Лв = в'- - в — ївса = Вібї/у- АС = С'- - С = -[ф'- (у)(і - і& gt- - іф (у)]ВС/. (15)
Доходы/расходы покупателя за время бї после покупки недвижимости складываются из доходов/расходов от ее использования и доходов от ее продажи. Рассчитаем их, учитывая при этом соотношения (14) и (15).
1. Заметим вначале, что за время бї ОД составляет Вбї, уплаченный земельный налог -цвбї, а налог на имущество — тСбї (так как здесь остаточная стоимость имущества равна стоимости его покупки). Таким образом, чистый операционный доход будет равен:
ЧОД = (В — дв — тС)& lt- = [1 — д^ - тф (V)] В& lt-.
(16)
2. В указанный период субъект произведет и амортизационные отчисления по зданию, величина которых ЛМ пропорциональна длительности периода (далее мы увидим, что значение Л не влияет на окончательный результат). В результате налогооблагаемая прибыль от операционной деятельности составит ЧОД — ЛОГ.
3. Налогооблагаемая прибыль от продажи недвижимости в соответствии с принятыми допущениями определяется как выручка от продажи С'- + в'-, уменьшенная на стоимость покупки земельного участка и остаточную стоимость здания, то есть в размере в '- + С'- - (в + С — ЛОГ) = Ав + АС +Л61.
Итого общий размер налогооблагаемой прибыли субъекта составит ЧОД — АО + Ав + + АС + АО = ЧОД + Ав + АС, а налог на прибыль за время будет равен НП = п[ЧОД + + Ав + АС]. Как видим, он действительно не зависит от размеров амортизации. Поскольку величина налога мала (имеет порядок ОГ), будем считать, что он уплачивается в конце интервала.
Учитывая формулы (15) и (16), сумму налога можно записать иначе:
4. Из изложенного видно, что денежный поток субъекта после даты оценки формируется так: в течение отрезка времени О субъект получает ЧОД, а в конце периода получает выручку от продажи здания С'- + в'- = С + в + АС + Ав и уплачивает налог на прибыль. При этом в соответствии с доходным подходом к оценке стоимость недвижимости в начале периода будет равна сумме указанных дисконтированных притоков/оттоков денежных средств, то есть будет иметь место (с точностью до малых более высокого порядка) следующее равенство:
С + в * (1 — рОГ /2)ЧОД + (1 — рОГ)(С + в + ДС + Дв — НП) *
* С + в + ЧОД — (С + в) рОГ + ДС +Дв — НП.
Отсюда с учетом соотношений (15)-(17) следует:
0 * ЧОД — (С + в) рОГ + ДС + Дв — НП * [1- ф — тф (к)]ВОГ — [ВФ (к) + В/фОГ- [(/ - !)Уф'-(У) — /ф (у)]ВМ + В'-/йХЫ — п{[1- цЫ — тф (к)]В + В'-/Ы — [(/ - /)^ф'-(к) — /ф (у)]В}ОГ.
Легко видеть, что такое равенство возможно только если:
0 = 1 — д^ - тф (V) — рф (V) — р/V — (] - /Уф'- (V)+ /ф (V)+ y7v —
-п[1 — д/V — тф (V)+ //V — (] - /^ (V)+ /ф (V)] =
=(1 — п)[1+а- ц)/v+а- т) ф ^) — а — & gt-)^'- ^)] - рф ^) — р/v ¦
Разделив правую и левую части этого равенства на 1-п и обозначив
д = / - /- Л = -2---/ + т- V * =-2---/ + д (18)
У 1 1-п 1-п ч' v '
мы получим уравнение для определения неизвестной функции ф (у), полностью совпадающее с уравнением (7):
V *
gv ф'- (V)+ ЛфО/)=1 — V.
НП = п{[1 — д^ - mф (v)]В + В]^ -[ф'-(/)(] - /^ - /ф (v)]В}г.
(17)
Нетрудно убедиться, что V* в этом уравнении также отражает предельное значение интенсивности УОД, при которой стоимость здания обращается в нуль. Чтобы подтвердить это, рассмотрим такой момент времени, в который ф (^ = 0, так что и стоимость здания С = 0. Тогда покупка недвижимости, использование ее в течение времени М и последующая ее продажа уже не будет эффективным использованием средств, а денежный поток от этой операции будет не больше упущенной выгоды от альтернативного использования вложенных в покупку средств. Упущенная выгода в этом случае составляет рвО = рВб^, так как стоимость здания нулевая.
В то же время денежный поток от указанной операции включает только ЧОД и прирост стоимости земельного участка Ав = В/О^ за вычетом налога на прибыль. При этом в соответствии с формулой (16) ЧОД = (1 — с/у)Ва, а налогооблагаемая прибыль равна ЧОД + Ав. Вследствие этого денежный поток с точностью до малых более высокого порядка будет равен:
ЧОД + Ав — п (ЧОД + Ав) = (1 — п)(ЧОД + Ав) = (1 — п)[(1 — с/у)ВсП + В/бЩ.
Таким образом, должно выполняться неравенство:
(1 — п)[(1 — ц/к)Вбї + ВібЩ & lt- рВбї/к.
Отсюда легко выводится, что V & lt- -р- і + д = V*.
1 — п
Итак, рассмотрев неэффективную операцию покупки недвижимости в тот момент, когда стоимость здания становится нулевой, использования ее в течение времени бї и последующей ее продажи, мы получили, что к & lt- к*. Однако, если провести ту же операцию раньше — за время бї до указанного момента, то аналогичные рассуждения покажут, что к & gt- к*. Таким образом, к = к*, что и требовалось доказать.
Итак, мы пришли к тому, что неизвестная функция ф (к) является решением уравнения (7) с граничным условием (8): ф (к*) = 0. Стало быть, значение рентного мультипликатора и в этом случае определяется формулой (9):
Ь
/ ч 1 1 (1 1^(Vо
ЯМ = ф (у) =-----+
' Ь V

Однако здесь в отличие от «доналоговой» модели, представленной в разделе 4, предельное значение удельного операционного дохода V*, определяемое формулой (18), будет иным. Впрочем, нетрудно убедиться, что оно совпадает с «доналоговым» значением V* = г -/, если ставка земельного налога нулевая, а «посленалоговая» ставка дисконтирования получается из «доналоговой» умножением на (1 — п). Это в известной мере оправдывает заимствованный из инвестиционно-финансового анализа и часто применяемый оценщиками способ перехода от «доналоговых» ставок дисконтирования к «посленалоговым» (см. далее).
Обратим особое внимание на то, что рентный мультипликатор мы рассчитываем, как и раньше, по отношению к доналоговому операционному доходу (ОД), а не к посленалоговому (чистому). Это значит, что значения мультипликатора в нашей «посленалоговой» модели сопоставимы с их значениями в «доналоговой» модели (см. раздел 4).
Выясним, насколько учет налогов повлияет на значения мультипликатора. Для этого вернемся к рассмотренным примерам 1, 2 и 4 и приведем их решение при следующих налоговых ставках: по налогу на прибыль — п = 0,24, по земельному налогу — ц = 0,01, по налогу на имущество — т = 0,022. Во всех этих примерах доналоговая непрерывная ставка дисконтирования принималась на уровне г = /п (1 + Я) = /п1,23 = 0,2070, поэтому посленалоговую ставку мы примем соответственно уменьшенной:
р = (1 — n) r = 0,76×0,2070 = 0,1573.
В таком случае р/(1 — n)= r = 0,2070.
В примере 1 рентный мультипликатор оценивался по следующей исходной информации:
• j = /n (1,14) = 0,1310-
• i = /n (1,10) = 0,0953-
• к = B/G = 60/100 = 0,6-
• g = j — i = 0,0357.
В результате было получено, что RM = 7,292. Уточним этот расчет с учетом налогов. Имеем:
v * = р/(1 — n) — j + q = 0,2070 — 0,1310 + 0,01 = 0,0860,
h = p/(1 — n) — i + m = 0,2070 — 0,0953 + 0,022 = 0,1337.
Расчет по формуле (9) дает RM = 5,815. Как видим, значение рентного мультипликатора получилось существенно ниже. В других примерах «посленалоговые» значения рентного мультипликатора также уменьшаются по сравнению с «доналоговыми»: в примере 2 — с 5,676 до 4,185, в примере 3 — с 5,880 до 4,319, в примере 4 — с 4,135 до 3,089.
Анализ показывает, что это снижение возникло в основном из-за учета влияния налога на имущество. В связи с этим возникает естественное желание так скорректировать исходную информацию, чтобы результаты расчетов по «доналоговой» и «посленалоговой» моделям оказались близкими. Сопоставление формул (6) и (18) подсказывает, что это можно обеспечить, если в «посленалоговой» модели устанавливать ставку дисконтирования иначе, а именно по формуле:
р = (1 -n)(r-m). (19)
Для примеров 1−4 это дает:
р = 0,76 х (0,2070 — 0,022)= 0,1406.
Расчеты показывают, что в таком случае «посленалоговая» модель приводит почти к тем же значениям рентного мультипликатора, что и «доналоговая»: в примере 1 — 7,292, в примере 2 — 5,672, в примере 3 — 5,868, в примере 4 — 4,125.
Безусловно, формула (19) подразумевает, что при анализе рынка недвижимости оценщик установил «доналоговую» ставку дисконтирования (г) и должен найти необходимую «посленалоговую» ставку, учитывающую влияние налогов. В то же время возможна и обратная ситуация, когда оценщик знает «посленалоговую» ставку. Тогда для получения достаточно точных результатов по «доналоговой» модели он должен рассчитать соответствующую ставку по «обратной» формуле:
r = р/(1 -n)+m.
Таким образом, традиционное у оценщиков представление о соотношении «доналоговой» и «посленалоговой» ставок дисконтирования следует все-таки скорректировать -при оценке реальных, а не финансовых активов оно может быть иным.
6. Выводы
Проведенное исследование показывает, что на рыночную стоимость здания определенное влияние оказывает стоимость земельного участка, на котором оно расположено. Оказывается, что стоимость земельного участка определяет предельный уровень чистых выгод, при котором здание еще целесообразно эксплуатировать, а не сносить или продавать вместе с участком по стоимости этого участка. Между тем по мере старения здания приносимые им чистые выгоды снижаются по отношению к стоимости земельного участка. Таким образом, влияние стоимости участка оказывается в некотором смысле косвенным — от нее зависит срок эффективного использования здания, то есть срок, в течение которого владелец будет получать чистые выгоды от его использования, и как следствие -стоимость здания, отражающая сумму дисконтированных выгод за этот срок. Указанные взаимосвязи и влияние налогов (земельного, на имущество и на прибыль) удается отразить в несложных экономико-математических моделях рентного мультипликатора, не требующих прогнозирования денежных потоков.
Эти модели могут быть использованы не только для оценки стоимости здания на основе доходов от его использования, но и для решения обратной задачи — оценки рыночной ставки арендной платы в здании, стоимость которого известна.
Построенные модели можно использовать и при применении сравнительного подхода к оценке зданий. Пусть, например, известна рыночная стоимость некоторого здания-аналога, показатели которого будем отмечать индексом а. Тогда должно выполняться равенство Са = Ваф (^), где функция задается формулой (9). Это равенство можно рассматривать как уравнение для определения неизвестной ставки дисконтирования (г). Решив это уравнение, полученную ставку можно использовать при расчете стоимости оцениваемого здания по той же формуле: С = Вф (^.
Предложенный метод может использоваться и в сочетании с «обычными». Так, иногда оценщик имеет возможность достаточно точно спрогнозировать динамику стоимости земельных участков и доходов от использования здания на небольшой прогнозный период (скажем на 5 лет). Тогда он мог бы воспользоваться формулой (1), оценив входящую туда реверсионную стоимость здания изложенным в статье методом.
Построенные модели формально предназначены для оценки рыночной стоимости здания в целом. Между тем на практике нередко возникает задача оценки отдельного помещения в здании. Для этой цели также можно воспользоваться предложенным методом, если применить рассчитанный для здания мультипликатор к ОД от этого помещения.
Наконец, анализ построенных моделей указывает на целесообразность пересмотра традиционного у оценщиков представления о соотношении «доналоговой» и «посленалоговой» ставок дисконтирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Грибовский С. В., Иванова Е. Н., Львов Д. С., Медведева О. Е. Оценка стоимости недвижимости. М.: Интерреклама, 2003.
2. Лейфер Л. А. Метод прямой капитализации. Обобщенная модель Инвуда // Вопросы оценки. 2006. № 4. URL: http: //www. labrate. ru/leifer/lev_leifer_article-model_inwood. htm
3. Строков А. В., Строкова Д. В. Коэффициент капитализации и доходность вложений. Часть 1. URL: http: //www. appraiser. ru/default. aspx? SectionID=35&-Id=2969
Часть 2. URL: http: //www. appraiser. ru/default. aspx? SectionId=35&-Id=2972
4. Смоляк С. А. Проблемы и парадоксы оценки машин и оборудования. М.: Международная академия оценки и консалтинга, 2008.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой