О классах Никольского Бесова на компактных симметрических пространствах ранга 1

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Труды Петрозаводского государственного университета
Серия «Математика» Выпуск 3, 1996
УДК 517
О КЛАССАХ НИКОЛЬСКОГО — БЕСОВА НА КОМПАКТНЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ РАНГА 1
С. С. Платонов
Пусть М — произвольное компактное рпманово симметрическое пространство ранга 1. В работе изучаются функциональные пространства Вр^(М) типа классических пространств Никольского — Бесова. Дается новое определение классов Вр^(М) на М через модуль непрерывности к-го порядка на М, который вводится при помощи разностей вдоль геодезических на многообразии М. Получено эквивалентное описание пространств Вр^(М) через наилучшие приближения функций сферическими полиномами, т. е. линейными комбинациями собственных функций оператора Лапласа — Бельтрами на М.
§ 1. Введение и формулировка основных результатов
В последние годы активно изучаются различные вопросы теории приближений функций и теории функциональных пространств на п-мерной сфере (см. [1−3] и приводимую там литературу). Естественным более широким классом пространств, на которых можно ставить аналогичные задачи, является множество всех компактных симметрических пространств ранга 1 (КРОСПов, по терминологии из книги [4]). Для этих пространств уже получены некоторые результаты (см. [5−11]), но остается еще много задач. В настоящей работе
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 95−01−1 391.
© С. С. Платонов, 1996
на произвольном КРОСПе М вводятся функциональные пространства Вр д (М) типа классических пространств Никольского — Бесова. Естественное определение пространств Никольского — Бесова зависит от модуля непрерывности, а так как на КРОСПах существуют различные определения модулей непрерывности, то возможны и различные определения этих пространств. В настоящей работе применяется модуль непрерывности из работы [9], в котором используется переход от многообразия М к многообразию единичных касательных векторов пространства М. Основными результатами работы является получение эквивалентного описания пространств Вр^(М) через наилучшие приближения функций сферическими полиномами на М и построение различных нормировок в этих пространствах. Из полученного описания, в частности, следует, что введенные классы Вр д (М) совпадают с классами Никольского — Бесова, введенными в
[10] при помощи других модулей непрерывности.
Хорошо известна полная классификация всех КРОСПов. Их всего четыре серии (индекс п всюду означает размерность многообразия): сферы Б71 (п = 1,2,3,…), вещественные, комплексные и ква-тернионные проективные пространства (РП (И) (п = 2, 3,4…), РП© (п = 4,6,8,…), РП (Н) (п = 8,12,16,…)) и одно особое пространство — эллиптическая плоскость Кэли Р16(Сау). КРОСП М всегда является римановым многообразием. Пусть, А — оператор Лапласа — Бельтрами на М. Спектр оператора, А является дискретным, действительным и неположительным. Упорядочим его по убыванию (0 = Ао & gt- А1 & gt- А2 & gt- …) и обозначим через Нк собственное подпространство (всегда конечномерное) оператора А, отвечающее собственному значению А& amp-. Пусть Тт (М) = 7/о +1 + … + 7/ш. Функции из Тт (М) будем называть сферическими полиномами на М степени т (при М = Бп они совпадают с обычными сферическими полиномами).
Для любого множества X с мерой? ц через Ьр (Х, с1/1) будем обозначать, как обычно, банахово пространство (БП), состоящее из измеримых комплекснозначных функций /(ж) на X с конечной нормой
Если X — компактное топологическое пространство, то пусть Ь00(Х) =
С (Х) — пространство непрерывных на М функций с нормой
ll/lloo = ||/||с = тах |/(ж)|.
?? А
В частности, если М — КРОСП, то возникают банаховы пространства LP (M) = Lp (M, dx) и L00(M) = С (М), где dx — элемент рима-новой меры на М.
Наилучшим приближением функции f (x) G Lp (M) сферическими полиномами степени m в метрике Lp называется число
Em (f)p= inf ||/-Ф||р.
Для х G М пусть ТХМ — множество касательных векторов к многообразию М в точке ж, S (х) — множество единичных касательных векторов (единичная сфера) в точке х. Обозначим через U группу всех изометрий КРОСПа М.
Пусть В — многообразие единичных касательных векторов к многообразию М. Точки многообразия В имеют вид (ж,?), где х G М,? G S (х). Группа U естественным образом действует на В, если положить и (х,?) = (их, и*?), где и* - индуцированное отображение касательных векторов. Это действие транзитивно (т. е. М изотропно, см. [12, гл. 1, § 4] и [13, гл. IX, § 5]), поэтому на В существует единственная, с точностью до умножения на число, [/-инвариантная мера dv (x,^) (см., например, [12, гл. 1, теор.1. 9]). Пусть LP (B) = Lp (B, dv), 1 & lt- р & lt- оо, и L00(B) = С {В). Естественным образом LP (M) вкладывается в Lp (B), если для f (x) G Lp (M) положить /(ж,?) = f (x). Нормируем меру dv на В так, чтобы выполнялось условие
i dx = i dv. (1. 1)
J м Jb
При введенной нормировке для любой функции f (x) G С (М)
i f (x)dx= i f (x) dv. (1. 2)
J m Jb
Так как C (M) всюду плотно в LP (M), то отсюда легко получить, что \f\Lp{M) = \f\bAB) V G LP{M). (1. 3)
Следовательно, вложение LP (M) С LP (B) изометрическое. В дальнейшем через \f\p будет обозначаться норма в пространстве LP (M)
или LP (B) в зависимости от того, в каком из этих пространств содержится функция /.
Для (х,?) Е В пусть 7(ж,?-?) — геодезическая на М (? — параметр), удовлетворяющая условиям 7(ж,?-0) = х и |г0 = ?•
Для любой функции F (x,?) Е LP (B) пусть
= F{j{x,& amp-t), ^7(x,?-t)). (1. 4)
Нетрудно показать (см. [9]), что отображение
F I-у F^, t Е R,
задает однопараметрическую группу унитарных операторов в LP (B), т. е.
(_pty = Ft+s Vi, seR- (1. 5)
П = П VFELP{B). (1. 6)
Определим к-ю разность функции F с шагом t формулой
к
A ktF (x, 0 = ^~^)к~^{Р3х, 0,
3=0
где CJk — биномиальные коэффициенты. Модуль непрерывности порядка к функции F Е LP (B) определим формулой
MF, 6) P= sup ||А (-F||p.
0& lt-t<-S
В частности, можно брать и сUk (f, S) при / Е Lp{M).
Будем говорить, что функция F Е LP (B) дифференцируема в LP (B), если для некоторой функции G (x,?) Е LP (B)
\-(Ft — F) — G\p -У 0 при t -& gt- 0.
Функция G называется производной от F и обозначается, как обычно, G = F'-. Функция F дифференцируема r-раз в LP (B), если F Е LP (B) и существуют производные Ff, F& quot-,… F^ Е Lp (B), где F (fc) = (i^-1)). В частности, можно брать r-ю производную /для
функции f (x) Є Ьр (М), отметим ТОЛЬКО, ЧТО /(Г) — это уже функция на В.
Известно (см. [13, гл. IX,§ 5]), что на любом КРОСПе М все геодезические замкнуты и имеют одинаковую длину 2Ь. Риманова метрика на М определена с точностью до умножения на положительное число. Для удобства нормируем риманову метрику так, чтобы Ь = тт.
Определение 1. Пусть г & gt- 0- 1 & lt- р, д & lt- оо- числа киї - целые неотрицательные, удовлетворяющие условию к & gt- г — I & gt- 0. Совокупность функций / Є ЬР (М), для которых конечно выражение
назовем пространством Никольского — Бесова ВрЧ (М) = Врд. В частном случае при д = оо пространство В^ ^ будем таксисе обозначать Нр (М) = Нр.
Легко видеть, что норма
превращает Вр д в банахово пространство.
Главным результатом работы является следующая теорема, дающая описание пространства Вгр через наилучшие приближения.
Теорема 1. Для того чтобы функция / из ЬР (М) принадлежала пространству Вр Я, необходимо и достаточно, чтобы была конечна величина
где, а — произвольное целое число большее 1 (можно считать, например, что, а = 2). При этом выражение
, 1 & lt- д & lt- оо, (1. 7)
(1. 8)
(1. 9)
ОО
(1. 10)
3=0
Ьр, оо (Я = ?зир азг Еаі{ї), д = оо,
3=0,1,2,…
(1. 11)
11/Ир+ *& amp-,(/)
является нормой в Вр, эквивалентной норме (1−9).
Доказательство теоремы 1 будет следовать из результатов § 3−4 о различных эквивалентных нормировках в пространствах Н? и ВрЧ. В § 2 доказываются вспомогательные результаты.
Замечание 1. Из теоремы 1 следует, что определение пространства Вр не зависит от выбора чисел к и /, удовлетворяющих условию к & gt- г — I & gt- 0, и при различных к, I нормы (1. 9) эквивалентны.
Замечание 2. Из теоремы 1 следует, что пространства ВрЧ (М) совпадают с пространствами Никольского — Бесова из работы [10] с точностью до эквивалентности норм.
Замечание 3. Для случая М = Бп приведенное определение пространств Вг и формулировка теоремы 1 (без доказательства) фактически даны П. И. Лизоркиным в [14], так как легко видеть (с учетом формулы (2. 3) настоящей работы), что введенный в [14] модуль непрерывности рс& lt--&-(/, ?)р с точностью до множителя совпадает с модулем непрерывности с& lt--&-(/, ?)Р-
Оценка сверху наилучшего приближения функции через ее модуль непрерывности дается следующей теоремой Джексоновского типа.
ТЕОРЕМА 2. Пусть функция /(ж) Е Ьр (М) и (1-раз дифференцируема в ЬР (В). Тогда
§ 2. Вспомогательные результаты
тп = 1,2,… ,
где с & gt- 0 — некоторая постоянная, не зависящая от / и т.
& lt- См. [9, теор. 2]. & gt-
Лемма 1. (свойства модуля непрерывности)
Для любой функции ^ Е Ьр (В) справедливы неравенства
и к (-Р, 6) р & lt- и к (Я1, а) р при 6 & lt- А,
сик (Р, 1 $)Р & lt- (I + I)*5 Шк (Р, 6) р,
(2. 1)
(2. 2)
где I & gt- 0 — произвольное число.
& lt- См. [9, лемма 2]. & gt-
Для доказательства обратных теорем теории приближений используются неравенства типа Бернштейна, которые и будут получены далее (см. леммы 3, 5, 6).
ЛЕММА 2. Пусть Ф (х) Е Тт• Для любых (х,?) Е В функция tp (t) = Ф (7(ж, ?- ?)) является тригонометрическим полиномом степени т.
& lt- Следует из леммы 3.1 в [11]. & gt-
Как и раньше, пусть S (x) — единичная сфера в касательном пространстве ТХМ. Пусть dcrx (?) — элемент объема сферы S (x), a a — полный объем этой сферы.
Из свойств инвариантных мер на однородных многообразиях (см. [12, гл. 1, § 1, предл. 1. 13]) следует, что для любой функции F (x,?) Е L{B) справедлива формула
где, А & gt- 0 — некоторая постоянная. Если в (2. 3) подставить ^ = 1 и воспользоваться условием нормировки (1. 1), то получим, что, А — о. Для (ж, ?) Е 1?,? Е II и & amp- Е Z+ = {0,1,2,…} положим
Заметим, что функция ^(ж,?) = о& lt-Э|/(ж) совпадает с к-й производной /^(ж, 0 от Функции f (x) в пространстве ЬР (В). Кроме того,
Лемма 3. Пусть Ф (х) Е Vm- Тогда для любых к, I Е выполняется неравенство
& lt- По лемме 2 Ф (7(ж,?-?)) — тригонометрический полином степени ш, поэтому можно воспользоваться классическим неравенством Бернштейна
J (J F{x,?)dax{?))dx = A J F (x,?) dv (x,?), (2. 3)
М S (x)
В
slk
td%f (x) =f (l (x,?-s))
(2. 4)
tdf{x) = f{k) (7(21, ?-i) — ¦
(2. 5)
(2. 6)
С учетом (2. 5) заметим, что
1^ф (7(*, С-*))1& lt-Цф (,)11оо,
откуда и следует (2. 6). & gt-
Для любой функции F (x,?) на В определим «усредненную» функцию Fo (?,?) формулой
ро (х, 0 = (2. 7)
Введем обозначение
1(F) := [ F (x, C) dv (x, C). (2. 8)
J в
Лемма 4. Если F (x,?) — непрерывная функция на В, то
1(F) = I (Fq). (2. 9)
& lt- См. [11, лемма 3. 3]. & gt-
ЛЕММА 5. Пусть Ф (х) G Vm• Тогда для любых t G R, k, l G Z+, 1 & lt- p & lt- oo справедливо неравенство
||^+гФ (Ж)||р & lt-mfe||$"||p. (2. 10)
& lt- При p = оо неравенство сразу следует из леммы 3. Пусть р & lt- оо, тогда
||4+гФ (ж)||? = [ tdi+l$(x)rdv (x, 0-J в
Пусть
^(*, 0 := |4+'-Ф (х)Г = ?))Г-
Очевидно, что
d dk+l F (7(x,$-s),^7(x,?-s)) = -j^$(7(x, C-t + s))P.
Пользуясь 27г-периодичностью функции Ф (7(ж,?-?)) по ?, получим
1 [2ж 2? г Уо
к+1 1 & lt-Ик+1
Ф (7(х,?-Щр М.
Так как & lt-/?(?) = Ф (7(ж,?-?)) — тригонометрический полином степени ш, то из обычного неравенства Бернштейна в метрике Ь* (см. [15, § 2. 5]) следует, что
Ро (х, 0 & lt-
27Г
[ _
/о М1
Применяя лемму 4, получим
ОД = ВД & lt-
777/
2тг
рк (^1
I Iг5, Г'-Л) =
27Г
I фм^'))Г)Л =
ш
/*27г
27Г
[ & quot-||Ф"М11^ =™р*1|Ф (г& gt-11?,
«/О
откуда и следует (2. 10). & gt-
Следствие При Фе? т, к
||Ф"||р& lt-т*||Ф||р. (2. 11)
& lt- Достаточно в неравенстве (2. 10) взять? = О, I = 0. & gt-
Лемма 6. Если Ф (ж) Е то для любых 1 & lt- р & lt- оо,? & gt- 0, к, I Е справедливо неравенство
||Д*Ф (0М11Р & lt- (гШ)к ||Ф"М11р- (2−12)
& lt- Для любой достаточно гладкой функции Г (х,?) на В разность Д^-Р (ж,?) можно представить в виде
'-?Р (х,?) = I ¦¦¦!Ф (7(ж,^-т))
с1и … dtk.
В частности, с учетом (2. 5)
1х, 0 = I*… I* ^{1)Ых,^, т))
йи • • • -
Г -1--
= [ … [ tl+… +thdk+l${x)dt1… dtk.
J о J о
Пользуясь леммой 5, получаем, что
||д?ф (,)(*, 0||р = f • ¦¦ jt1+… +tkdk+l^)\pdh … dh<-
& lt-tkmk\$(l)\p. & gt-
§ 3. Эквивалентные нормировки пространств Н?
Пусть г & gt- 0, 1 & lt- р & lt- оо, к и I — неотрицательные целые числа, удовлетворяющие условию к & gt- г — I & gt- 0. Будем говорить, что функция f (x) принадлежит пространству j = 1,2,3,4,5, если / Е LP (M) и конечна полунорма JAp (/), где
1hrp{f)=K (f):= sup S-^LUk (fil), S) p
0& lt-S<-n
(тг здесь можно заменить любым положительным числом) —
2hrp (f): =sup<-r (p-, W/(, 5) p-
(5& gt-0
3^р (Л := sup mr Em (f)p-
m? Z_)_
4hp (f) '-¦= sup asr Eas (f)p {a & gt- 0, целое) — seZ+
5^p (/) := inf (sup aelQa. ||p),
sgZ_|_
где нижняя грань берется по всем представлениям / в виде суммы сходящегося в LP (M) ряда по сферическим полиномам
оо
f (x)=^2Qa& gt-(x), Qa'{x)& amp-Va'-
s=О
Пространства JHp являются банаховыми пространствами относительно норм
11/11" —: =11/11Р + ^(/) — (3−1)
Теорема 3. Пространства JHj = 1,… 5, совпадают и их нормы
(3. 1) эквивалентны (т. е. банаховы пространства эквивалентны).
Теорема 3 будет доказана ниже. Из эквивалентности БП гНр и АНр следует теорема 1 для случая q = оо, так как Н? = В^. Общая схема доказательства теоремы 3 соответствует схеме доказательств аналогичных теорем в [15] для евклидова пространства.
Будем далее для краткости писать Щ = Ej^(f) = Ejsr (f)p,
II/H = ||/||р и т. д. Через с, С1С2,… будем обозначать положительные постоянные в оценках, вообще говоря, разные в разных местах, зависящие от несущественных параметров, таких как р, q, г, I, к,… Выражение Ei & lt-->-• Е2 будет обозначать, что БП Е вложено в БП -E/2-
Доказательство теоремы 3.
1°. Эквивалентность пространств 3Н и 4Н устанавливается совсем просто. С одной стороны, 4h (f) & lt- 3h (f). С другой стороны, для m G Z+ подберем число s G Z+ так, чтобы as & lt- m & lt- as+1. Тогда
mrEm (f) & lt- arasrEas (/) & lt- ar4/i (/).
Следовательно, 3h (f) & lt- c4h (f), где с = ar.
2°. Вложение 2H & lt-^1H очевидно. Докажем, что XH & lt-->- 4Н.
Пусть / Е 1Н', тогда при 0 & lt- O & lt- 7Г
ик (1{1б)& lt-МЛ$г-1- (3. 2)
Из теоремы 2 следует, что
EmU) & lt- cm~lWk{f (l -)¦ (3. 3)
m
Тогда из (3. 2) и (3. 3)
Ea'{f) & lt- Т~) & lt- -^iMf) _r) =Cl
asL as asL as& quot- r)
Следовательно,
4h (f) & lt- cMf),
откуда следует вложение 1H & lt-->-• 4Н.
3°. Докажем, что 4Н & lt-->- ЪН. Пусть / G 4Н. Обозначим через ga-сферический полином степени as такой, что
II/- 0а-II & lt-2 Eas (/),
и положим
& lt-2а° = 9а°, Яа° = 9а* ~ 9а'~'- при в & gt- 1.
Тогда в метрике Ьр (М)
ОО
/ = ?& lt-?»",
5 = 0
так как Еаз (/) -& gt-• 0 при 5 -& gt-• оо.
Заметим, что
||дво||& lt- ||/|| + 2Еао (Л& lt- зц/11,
1КМ1 & lt- №"¦ -/11 + 11/-5"-1 II & lt-4Яв. -1(/), я& gt-1.
Считая, что Еав (/) = 0 при $ = -1, получим, что при любом 5 Е Z+
ЗЦ/11 +4а'гВв. -1(/). (3. 4)
Из (3. 4) следует неравенство
5М/)& lt-с (||/|| + 4МЛ),
а из него следует вложение 4Н & lt-->- ЪН.
4°. Докажем теперь вложение ЪН & lt-->- 2Н. Пусть / Е 5Н,? & gt- О,
тогда / можно представить в виде суммы сходящегося в Ьр ряда
оо
/ = ?& lt-?"•,
где & lt-Эа* е Та' И
овг||0"*И& lt-бМ/)+е- (3−5)
Из неравенства (2. 11) следует, что
||д"|| & lt- (а')1 а-" (5Щ) +е)= (5Л (/) + е). (3. 6)
Так как г — I & gt- 0, то из (3. 6) видно, что ряд ^ (?$ сходится в ЬР (В),
следовательно,
оо
/(0 = ?& lt-$ ехР (В).
5 = 0
Далее
оо
д*/(,) = ЁА*д19.
5 = 0
При? & gt- 1, пользуясь (3. 6) и очевидным неравенством
||А?*11& lt-2'||*г (3. 7)
получаем
. НГ11 ^ 2к (5нл+е) ?а80 ^ с1 (5/г (я+е) • (3−8)
5 = 0
Пусть 0 & lt-? & lt- 1. Подберем N Е Z+ так, чтобы
а-(ЛГ+1) & lt- 4 & lt- а-^_
Тогда
АГ оо
||Д^(,)||& lt-?||Д?Л +? ||А1'-)|| = /1+72. (3. 9)
5 = 0 в = АГ+1
Оценим отдельно слагаемые 1 и 1^ в (3. 9). При оценке 1 воспользуемся леммой 6:
АГ АГ
/1 & lt- & lt- ^аЛа-'(г-'-) (5М/) +е) =
5=0 в=0
л, «(ЛЧ-1)(1+*-г)
= (5М/) + е) Ё & lt- ** (6Л (Я + е) _ & lt-
5 = 0
& lt- С21к (5Л (/) + е) г (,+к& quot-г) = с2Г-'- (5Л (/) + е). (3. 10)
Для оценки /2 воспользуемся (3. 7)
оо оо
ь& lt-2к ]Г ||& lt-з1'-2|| & lt-2/г (5/1(/)+е) ?
в=АГ+1 в=АГ+1
& lt- Сз (5Л. (/) + е) а-^+1Н,-г) & lt- с3 е~1 (5/г (/) + е). (3. 11)
Из оценок (3. 8), (3. 10), (3. 11) получаем, что
0||д^/(0ц & lt- С4 (5Д (/) +е). (3. 12)
Так как? иг произвольные, то из (3. 12) следует, что
2М/) & lt- с45МЯ,
откуда следует вложение ЪН & lt-->- 2 Н.
Окончательно получена цепочка вложений
2Н 4Я 2 Я,
что и завершает доказательство теоремы 3.
§ 4. Эквивалентные нормировки пространств
Пусть г& gt-0, 1& lt-р<-оо, 1 & lt- д & lt- оо, к, 1 е Z+, к & gt- г — I & gt- 0. Будем говорить, что функция /(ж) принадлежит пространству ^ = 1,2, 3,4, если / Е ЬР (М) и конечна полунорма где
4,"& lt-я: ="-«(/) = (?, У & lt-«)
(7Г здесь можно заменить любым положительным числом) —
(оо
х-«вг,^"(/)р
5 = 0
(ОО
?"*г, 1К?"*Н2
5 = 0
где нижняя грань берется по всем представлениям / в виде сходящегося в Ьр (М) ряда из сферических полиномов
оо
/(ж) =? Фа* (ж), & lt-2а* е Ра* •
5 = 0
I (а & gt- 1, целое) —
Пространства 3Вр являются банаховыми пространствами относительно норм
Теорема 4. Пространства ^В^, ] = 1, 2, 3,4, совпадают и их нормы
(4. 1) эквивалентны (т. е. БПВр д эквивалентны).
Отметим, что из эквивалентности пространств 1В7р д и 3Вр (1 следует теорема 1 для случая д & lt- оо. Как и в § 3, будем использовать краткие обозначения В = ^В^я, ||/|| = ||/||р и т. д.
Доказательство теоремы 4.
1°. Вложение 2 В & lt-->- ХВ очевидно. Докажем, что 1 В & lt-->- 3 В. Пусть / Е ХВ. Тогда
Пользуясь монотонностью модуля непрерывности (см. лемму 1) и теоремой 2 получим
Пользуясь свойствами модуля непрерывности из леммы 1, заметим, что
(4. 1)
7г/а-
& gt-С1 аг"в?& amp-(/),
где с & gt-0 — не зависящая от / и 5 постоянная. Из (4. 2) и (4. 3) следует, что
(4. 3)
ОО
(4. 4)
(4. 5)
7г/2
а из (4. 5) и (4. 6) получим оценку
Е9ао (Л& lt-с5 (МЛ)4- (4. 7)
Окончательно, складывая неравенства (4. 4) и (4. 7), получаем оценку
(3Ь (ЛУ& lt-С6 {МЛ)9,
из которой следует вложение 1 В & lt-->- 3 В.
2°. Докажем, что 3 В & lt-->- 4Б. Пусть / Е 3 В. Используя обозначения и неравенства из пункта з° доказательства теоремы 3, получим
||& lt-?ао (/)||9<- (ЗЦ/11)»,
а8ГЧЯ*Шч& lt-*9аЯГ9К--Ш «& gt-!•
Тогда
/ оо 1/я
1Ъ (Л & lt- (3» Е9а0 (/) + Е 4» Е1_г (/) & lt-
& lt-«1 (11/11+ (Еа8Г9^(/))1/9) ^н/н^в,
5 = 0
откуда и следует вложение 3 В & lt-->- 4 В.
3°. Докажем вложение 4 В & lt-->-• 2 В. Пусть / Е 45, е & gt- 0, тогда / можно представить в виде суммы (^ во всех суммах пробегает Z+)
/ = Е
причем
(?а*вг1К?""Н9)1/д & lt-4НЛ + е. (4. 8)
Проверим, что ряд ^ (^1 сходится в Ьр (В). Для этого заметим, что
||ф1,.)||<-0 В,||Фа-||=0-в (Г-'-)0вР||д"-||
(использовано (2. 11)). Воспользовавшись неравенством Гельдера, получим
)(9н & lt-Г п-8(г~1)пзг
?||& lt-Эа'11 & lt- ?а8(г_0а8Г НФИ! -
& lt- с1 (Е °в, г ||ф"* II9)¼С1 (4& amp-(я+?) •
Следовательно, ряд2 (?а* СХОДИТСЯ В Ьр{В) и
/(,) = ЕФ"*ем^) —
Отметим также, что из (4. 10) и (4. 9) следует, что
11/(011& lt-с1 (4ь (/) + е).
Используя (4. 11) и очевидное неравенство
0*(/(,), й) & lt-2*||/('->-||,
получим, что
& lt-
?1+(r-l)q
& lt- С2 {4b (f) + е).
Для любого натурального N
N оо
А?/(,) = Еа?& lt-$+ J2 a
s=0 5 = ЛГ+1
АГ оо
l|Atfe/Wll & lt-ifeEaS (fe+0ll^ll + 2fe Е °8'-1№"'-
s=0 s=AT+l
Тогда
Mf{la-N)= sup ||Atfc/Wll& lt-
0 & lt-t<-a~N N oo
& lt-a-NkJ2as{k+,)\Q*'W+2k E °8'-Ill'-ll-
s=0 s=AT+l
Имеем, делая замену & lt-5 = a~u,
4 dS =
(4. 9)
(4. 10)
(4. 11)
(4. 12)
= In a J a"(r"Ouf (i)} a-«j du =
oo JV+1
? J a"(r-,)uw* (/('-), a& quot-u) d"& lt-
= In a
N=0
N
oo
& lt-lna?>-» (/(г), а-^) a& lt-W & lt-
a
N=0
& lt-03X1+04X2, (4−13)
где
її = E?=o"i (r-'"fc)JV (Е?=0"'('+,)ІКМі)в,
І2 = Е^=0"ї(Г-') (EZN+lWQa'\)9 ¦
Для выражений Xi и X2 в книге [15] (см. пункт 5. 6, формулы (17) — (19)) получены оценки
11 & lt-C5E^o"r<-, sll^||9, (4−14)
12 & lt-C6E^o"r<-, sll^||9- (4−15)
Окончательно, из (4. 12), (4. 14) и (4. 15) следует, что
Г°° / 00
/ (f (ls) d8& lt-c7y^asrq\Qas\
Jo 4 '- s=0
а отсюда
2b (f)& lt-cs4b (f),
что доказывает вложение 2 В & lt-->- 4 В.
В результате получена цепочка вложений
2 В ^ хв ^ Зв ^ 4 Б2 В,
что и завершает доказательство теоремы 4.
Rezume
Let М be a compact symmetric space of rank 1. We have defined the Nikolskii — Besov type function classes Brp 0(M) and we have obtained a conctructive description of this classes in in terms of the best approximation by the spherical polynomials on M.
Литература
[1] Никольский С. М., Лизоркин П. И. Приближение сферическими полиномами// Тр. МИАН. 1984. Т. 166. С. 186−200.
[2] Никольский С. М., Лизоркин П. И. Аппроксимация функций на сфере/ / Известия А Н СССР. Сер. матем. 1987. Т. 51. N3. С. 635−651.
[3] Рустамов X. П. О приближении функций на сфере // Известия РАН. Сер. матем. 1993. Т. 57. N5. С. 127−148.
[4] Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. М. :Мир, 1981.
[5] Тихомиров В. М. Теория приближений. // Соврем, пробл. матем. Фунд. направления. 1987. Т. 14.
[6] Камзолов А. И. Об интерполяционной формуле Рисса и неравенстве Бернштейна для функций на однородных пространствах// Мат. заметки. Т. 15. N6. С. 967−978.
[7] Ragozin D. L. Polinomial approximation on compact manifolds and homogeneous spaces// Trans. Amer. Math. Soc. 1971. V. 150. P. 41−53.
[8] Платонов С. С. О приближении на компактных симметрических пространствах ранга 1 //Доклады РАН. 1995. Т. 342. N4. С. 455−457.
[9] Платонов С. С. О теоремах Джексоновского типа на компактных симметрических пространствах ранга 1 // Доклады РАН. 1996 (в печати).
[10] Платонов С. С. Об одном подходе к теории пространств типа Никольского — Бесова на однородных многообразиях //Фундаментальная и прикладная математика (в печати).
[11] Платонов С. С. Приближение функций на компактных симметрических пространствах ранга 1 // Матем. сборник (в печати).
[12] Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. М.: Мир, 1987.
[13] Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.
[14] Лизоркин П. И. О приближении функций на сфере, а // Доклады РАН. 1993. Т. 331. N5. С. 555−558.
[15] Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М. :Наука, 1977.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой