О когомологиях алгебры Ли векторных полей на s1/z2

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 514. 7
О КОГОМОЛОГИЯХ АЛГЕБРЫ ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА Si/Z2
Е. Ю. Волокитина
Саратовский государственный университет,
кафедра геометрии
E-mail: evgenia. yu@gmail. com
Вычислены диагональные когомологии алгебры Ли векторных полей на орбифолде Si jZ2 с коэффициентами в пространстве гладких функций и 1-форм, одномерные и двумерные когомологии с коэффициентами в R.
Ключевые слова: орбифолд, алгебра Ли, когомологии. ВВЕДЕНИЕ
Cohomology of Lie Algebra of Vector Fields on S1 /Z2
E. Yu. Volokitina
Saratov State University,
Chair of Geometry E-mail: evgenia. yu@gmail. com
In the present paper we calculate the diagonal cohomology of Lie algebra of vector fields on Si /Z2 with coefficients in the space of smooth functions and 1 -forms, one-dimensional and two-dimensional cohomology with coefficients in R.
Keywords: orbifold, Lie algebra, cohomology.
В работах И. М. Гельфанда и Д. Б. Фукса [1,2] было доказано, что кольцо И*(и (?1)) изоморфно тензорному произведению кольца полиномов с одной двумерной образующей и внешней алгебры с одной трехмерной образующей. В работе В. Н. Решетникова [3] рассматривалась задача о нахождении когомологий алгебры Ли векторных полей на окружности обращающихся в нуль в данной точке и были вычислены одномерные и двумерные когомологии.
Пусть ?1 — единичная окружность в плоскости комплексного переменного г. В данной работе рассматриваются когомологии алгебры Ли векторных полей орбифолда ?1/^2, получающегося из окружности действием группы З2, порожденной отражением относительно оси х. Эта алгебра Ли является подалгеброй алгебры Ли векторных полей на окружности. Заметим, что ограничения коциклов, представляющих образующие Гельфанда — Фукса для И * (и (?1)), на нашу подалгебру тривиальны.
1. ДИАГОНАЛЬНЫЕ КОГОМОЛОГИИ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ФУНКЦИЯХ И 1-ФОРМАХ
Пусть Ь — угловой параметр на окружности, тогда гладкими функциями на орбифолде ?1/^2 являются четные периодические гладкие функции на К. Векторными полями на ?1 /З2 являются дифференцирования алгебры гладких функций на ?1/^2. Любое векторное поле на окружности представляется в виде X (Ь) -, где X (Ь) — гладкая периодическая функция. Аналогичным образом векторное
dt
d
поле на орбифолде ?і/^2 можно представить в виде X (?) -, где X (?) — нечетная периодическая гладкая функция. Алгебра Ли и (?1 /^) векторных полей на орбифолде ?1/^2 — топологическая алгебра Ли с С-топологией. В далнейшем будем вместо X (?) — писать просто X (?).
Пусть X ^ XV — непрерывное представление алгебры Ли и (?1 /^2), где V Є V, V — топологическое пространство. Коцепью Ь Є С9(Ы (?1/^2), V) называется д-линейный, кососимметрический непрерывный функционал, определенный на и (?1 /^) и принимающий значения в V. Дифференциал №: С9 ^ С9+1 определяется следующим образом:
dqL (Xl,…, Xq+l) =5] (-1)i+j-1L ([Xi, Xj], Xl,…, Xi,
l& lt-i<-j<-q+l
Xj
, Xq+l) +
Xs
., Xq + 1),
(1)
+ 5] (-1ГХ^(ХЬ
1& lt-з<-д+1
где Ь е Сд (и (?1 /З), V) и [X (Ь), У (Ь)] = X (Ь)У'-(Ь) — X'-(Ь)У (Ь).
Если V — алгебра над К, то стандартным образом определяется внешнее произведение коцепей: пусть Ь1 е С д (и (?1 /Зг), V), Ь2 е Сг (и (?1/^2), V), тогда
Ь1 Л Ь2 (X! ,.. ,) =
© Волокитина Е. Ю., 2G12
1 & lt- і 1 & lt-… <-г9 & lt-д+г
і і • Я (Я + 1)
(-1Г1+… +г* -~ Ь^. ^Я)Ь2 (XI,…, ,… 5X9+,.).
¦+?
Можно показать, что
й (Ьі Л Ь2) — ^Ьі Л Ь2 + (-1)9Ьі Л ЙЬ2-
Для произвольного комплекса С*(и (?1 /^), V), где V — пространство гладких тензорных полей данного типа на ?1/^2, определяется так называемый диагональный комплекс СД (и (?1/^2), V), состоящий из таких коцепей, что Ь^і,… 5X3) — 0 в точке і, если хотя бы одно из векторных полей XI,… 5X3 равно нулю в окрестности і.
Рассмотрим сначала комплекс С0 — {С 9(и (?1 /^2), О0(?1 /^2)), й9}, где О0(?1/^2) — алгебра гладких функций на орбифолде ?1 /^.
Каждую коцепь ш из С3 можно представить в виде
Пі
П1 ,…, П,
^ (/шп1 Л … Л шпЯ) — ш0 Л шп1 Л … Л шпЯ + /(п1 + … + - д) ш1 Л шп1 Л … Л шпЯ +
где /П1 •••п& lt-г — функция на окружности, четная, если п1 +… + пд — д — четно, и нечетная в противном
ла/ С, лг, чч (Ь)
случае- если X (Ь) — - векторное поле на окружности, то (X (Ь)) = - --------. При этом сумма
С Ь
состоит из конечного числа ненулевых слагаемых. Для этого комплекса дифференциал (1) задается формулами:
^Ь?
+/Сд (шП1 Л … Л), если П1 ,…, Пд = 0, йд+1(/^0 ЛП1 Л … Л) =
= _/(п1 + … + Пд — 9) и0 Л и1 Лп1 Л … Л ипч — /и0 Л ^ (^п1 Л … Л ипч),
_ д К/2]
(^п1 Л … Л ипч) = У^(- 1)1 1 (СП * - С? ^ + 1)^^'- Л -.7 + 1 Л ШП1 Л … Л Л … Л.
г = 1 ^=2
Справедлива
Теорема 1. Имеют место следующие изоморфизмы:
И0 (С0*) = И1 (С0*) = К и Ик (С0*)=0 при к = 0,1.
Образующей одномерных когомологий является класс коцикла и1.
Доказательство. Произвольную коцепь и нашего комплекса можно представить в следующем виде:
и / П1 '•••'ПзП1 Л … Л01 ' 'Ч 1 и0 Л ик1 Л … Л икя-1 +
п1,…, пя =0,1 к!,^,^ - ! =0,1
+ ^11', Ч 1 и1 Лг1 Л … Л и1ч-1 +т1, • • •, тч-20 Л1 ЛТо1 Л … Л итч-2.
«1 ,•••,"4−1 =0,1 т1,-, тч -2=0,1
д д-1 д-1 д-2
Положим П = ^ Пг, к = ^ кг, I = ^ I, Ш = ^ Ш,.
г=1 г=1 г=1 г=1
Предположим д & gt- 1 и рассмотрим следующий операторд: Сд ^ С?& quot-1:
11 ' 'ч 1 Л, т1 '•••& gt-Шч-2
= 2_^ 1 + 1 _ д и"1 Л … Л и"ч -1 ^2^ _ Ш — 2 и0 Л ШШ1 Л … Л шШч-2 ,
«1 ,-, 1ч- 1 =0,1 Ш1. ••, Шч — 2 =0,1
если д _ ш _ 2 = 0. д _ ш _ 2 может равняться нулю только в случае д = 2, ш = 0, тогда положим
?
1 Г
2 (/п1,п2^П1 Л ип2 + и0 Л ик + #1 и1 Л +и0 Л I1 1 _ ^(т)Сти1.
п1, п2=0,1 к=0,1 1=0,1 1=0,1 0
t
Так как h — нечетная функция, то ее интеграл по окружности равен 0 и функция J h®dr —
0
периодическая.
Прямыми вычислениями можно показать, что справедливо равенство Fq+1 о dq + dq-1 о Fq = id^, т. е. F — оператор гомотопии. Следовательно, Hk (Cq) = 0, при k & gt- 1.
Рассмотрим случай q =1. Тогда форма нашего комплекса будет иметь вид u = f (t)un. Из формулы для дифференциала видно, что коцепь f (t)un не является коциклом при n & gt- 1.
Пусть u = f (t)u0. Коцепь такого вида является коциклом. Коцепи нулевого порядка — гладкие четные функции на окружности и df (X (t)) = -f'-(t)X = -f'-(t)u0. Рассмотрим функцию t
g (t) = - f f (t)dr, тогда dg = u, т. е. коцикл f (t)u0 является границей.
0
Остается случай u = fu1. Дифференциал от такой формы равен нулю только в случае f = const. Из формулы для дифференциала нуль-коцепи мы получаем, что форма u1 не является дифференциалом, а следовательно, ее класс когомологий является образующей одномерных когомологий данного комплекса и других образующих при q & gt- 0 нет. При q = 0 циклами являются постоянные функции. Таким образом получаем, что Hk (C0) = R, если k = 0,1. ?
Рассмотрим теперь комплекс диагональных коцепей с коэффициентами в пространстве 1-форм на S1 /Z2 = {Cq (U (S1 /Z2), O1 (S1/Z2), dq}. Любая коцепь Cq представляется в виде
u =2 fni •••nq Um Л … Л Unq dt,
где /nl•••nч — функция на окружности, нечетная, если п1 +… + п? _ д — четно, и четная в противном случае и
/П1 •••П^
•/П1 Л … Л ипч.. ,)
Дифференциал вычисляется по формуле
fni uni Л … Л unq dt (X1,…, Xq) = f ni-nq uni Л … Л un, (X1,…, Xq) dt.
dq (funi Л … Л un, dt) = (dq (funi Л … Л un,) — fu Л um Л … Л u^)dt.
Тогда
С/
(/ип1 Л … Л ипч СЬ) = _ СЬи0 Л ип1 Л … Л ипч СЬ + /(п1 + … + Пд _ д _ 1) и1 Л ип1 Л … Л ипч СЬ +
+/с??(иП1 Л … ЛиПч))СЬ, если П1, …, Пд = 0,
Сд+1 (/^0 Л и"1 Л … Л иПч СЬ) =
= /(д + 1 _ П1 _ … _ Пд)^0 Л1 Л шП1 Л … Л Ш"ч СЬ _ /и Л С1^^ Л … Л и"ч)СЬ.
Справедлива
Теорема 2. Имеют место следующие изоморфизмы:
И1 (С*)= И2 (С*) = К и Ик (С*) = 0, при к = 1,2.
Образующей одномерных когомологий является класс коцикла и2СЬ, а двумерных — класс коцикла
и1 Л и2СЬ.
Доказательство. Всякую коцепь нашего комплекса можно представить в виде
u = f ni '•••'nq uni Л … Л un, dt + g0i' '9 i u0 Л uki Л … Л uk, -1 dt+
ki ,•••, 0, — i
(
n1,•••, nч =0,1 ki ^^k,-1=0,1
11, — - i
+ g1i' ', iu1 Л uz1 Л … Л u-,-1dt + ^ h^i'•• •'^, 2u0 л u1 Л umi Л … Л um,-2dt.
11 ,•••,/, — i =0,1 mi v», m, — 2 =0,1
n, k, l, m определяются также как и ранее. Предположим q& gt- 1, q — l = 0 и рассмотрим опрератор Fq: Cq ^ Cq-1:
™ -, Z,-1 hmi--m,-2
Fq u = & gt- -uii Л … Л u- 1 dt + & gt- -------------u0 Л umi Л … Л um,-2 dt,
f-'- q — p, q — m — 1 ,
Z i ,•••,-, -1=0,1 mi^^m, — 2=0,1
ni ,•••,'-/?
-
если т — q + 1 = 0. Пусть теперь т — д + 1 = 0. Это возможно только при д = 3, т = 2, тогда положим
f3 ^ /П1, П2, Пз^П1 лП2 л ^П3gob°2и0 Л Л ио2dt+
ni, n2, n3 =0,1 k1, k2 =0,1
gl1,12 *
J'-1, 12 ,
//-I / ///7 / ///7 III -I- tlllln / ///-I / itlrll. l I _ & gt- ------------и] / v
l — 2
/1 ,/2=0,1 /1 ,/2=0,1 0
+ g1 ,/2и Л и^ Л и/2dt + Л, и0 Л и Л и2dtj = g1−2и^ Л и/2 dt — h®dr1 Л и2,
t
где J h®dr — периодическая функция, так как h — нечетная функция.
0
При p — k = 0 (это возможно только при q = k = 2) положим F2
Е /n1, n2 иП1 Л иП2 dt + ^ ^ g0и Л и2 dt + ^ ^ g1 и Л и/ dt + Ли0 Л ^dt^ -
n1, n2=0,1 /=0,1
t
= - J д0(т)dr^2dt + hw0dt.
0
t
где J g0(т)dT — периодическая функция, так как g0 — нечетная функция.
0
Прямыми вычислениями можно показать, что справедливо равенство Fq+1 о dq + dq-1 о Fq = id^q, и, следовательно, F — оператор гомотопии.
Пусть теперь q = l. Это возможно только в том случае, когда q = 2, l = 2. В этом случае коцепь представляется в виде
и = й + g1 и Л w2dt.
где
й = /n1,n2иП1 Л иП2 dt + g°и0 Л и0dt + Л, и0 Л и dt.
n1, n2=0,1 0=0,1
Рассмотрим d2(g1w1 Ли2dt) = - dg1(t)и0 ли Ли2dt. Слагаемое dg1 (t)и0 Ли Ли2dt в d2^ ни с чем
dt dt не может сократиться, и будет коциклом, только при g1(t) = const = с. В этом случае
d2 и = d2 й.
Для й определен оператор F, поэтому если и является коциклом, то й — граница. Из формулы для дифференциала 1-коцепи
d/
d1 (/undt) = ^^и0 Л undt + /(2 — n) u1 Л un + /c?(un)), если n = 0.
Видно, что цикл и1 Ли2dt не может являтся границей, т. е. его класс когомологий является образующей двумерных когомологий. Получаем, что H0© = 0 при k & gt- 2 и H2(C1) = R.
Пусть теперь q = 1. Тогда любая коцепь может быть записана в виде
и = /undt + g1 и1 dt + g0u0dt.
Рассмотрим
d/ dg
d1u = - - и0 Л undt + /(n — 2) и1 Л un + /d 1 (un)dt -- и0 Л u1dt + g0и0 Л u1dt. dt dt
1 dg1 d/
Откуда видно, что для выполнения равенства d1 и = 0 необходимо, чтобы g0 = --, — = 0, и либо
dt dt
n = 2, либо / = 0 (/d 1(ип)dt в этом случае равняется нулю автоматически). Тогда если du = 0, то коцепь записывается в виде
и = си2 dt + g1dt + dg1 и0.
dt
Так как дифференциал нуль-мерной коцепи записывается в виде
(°(/(?) = - ((^и°С- - / (?)^1 (?,
то и = си2(: — й (д1 (?). Коцикл и2(: не является границей нуль-мерной коцепи, и поэтому его класс когомологий является образующей одномерных когомологий. Из формулы для дифференциала нульмерных коцепей видно, что только нулевая коцепь является коциклом.
Таким образом, получаем, что Н1 (С*) = К и Н°(С*) = 0. ?
Обозначим через (9: С9 ^ С9 внешний диференциал форм на 5/^. В нашем случае он действует по формуле
(/

М
+ /ип1 +1 Л … Л (Х1 ,.. , Хд)(? + /ищ Л … Л ип? +1(Х1 ,.. , Хд)(^.
Прямым вычислением можно показать, что (9(9 = -с^'-?+1. Тогда возникает двойной комплекс
С * = 0 6д (и (?/^2)), (?/^2)) с полным дифференциалом (+ (. Так как окружность одномер-
9, р
на, то в нашем случае р = 0,1.
Справедлива
Теорема 3. Имеют место следующие изоморфизмы:
Н °(С *)= Н3(С *)= К и Нк (С *) = 0 при к = 0,3.
С9(/^П1 Л … Л)(Хі,…, Хд) = - Л … Л ^п9(X,…, Хд)(?+
Образующей трехмерных когомологий является класс коцикла1 Л и2 (?.
Доказательство. Рассмотрим первую фильтрацию двойного комплекса и соответствующую спектральную последовательность Е9Р. Для нее Е, 1 = Н9(Н 1(С*)) = Н9((С1 /С70)*), где Н и Н когомологии относительно дифференциалов С и С соответственно и Е|р = 0 при р = 1, д & gt- 0.
Найдем сначала Н9((С0). Определим для подкомплекса (С0 оператор і79: (С, — (70−1. Пусть с = С9и, тогда
і?9 с = -с!9−1 (і9 и),
где і - оператор гомотопии для 70. Тогда в силу антикоммутирования дифференциалов и условия того, что і - оператор гомотопии, следует
С9−1 (і?9 с) + і?9+1((9 с) = с,
т. е. і - оператор гомотопии для ((70. Образующая и1 одномерных когомологий с коэффициентами в функциях при действии С перейдет в образующую & lt-^2(? для Н1 ((70). В итоге получаем Н1 ((70) = Н1 (70) = К, Н9((70) = 0, если д & gt- 1, и Н0(& lt-?<-70) = 0, так как в комплексе 7* нет ненулевых нуль-мерных коциклов. Тогда из точной последовательности когомологий для 7*, (70 и 7*/(70 получаем, что Н3(7*) = К, Н0(7*) = Н0(70) = К, Нк (7*) = 0 при к = 0,3, а образующей
трехмерных когомологий является класс коцепи и1 Л и2(?. ?
2. КОГОМОЛОГИИ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ В К
Рассмотрим теперь комплекс коцепей 7* (и (51/^)) с коэффициентами в тривиальном модуле К. Дифференциал в этом случае задается правилом: если Ь є 79(и (51 /^2)), то
сад,…, Х9+1) = V (-1)^-1 ь ([Хі, х ], Х1,…, X,…, X,…, *9+1).
Е
1& lt-ї<-7<-9+1
Рассмотрим отображения ^°: С0 ^ С9(и (51 /^2)),1: С0 ^ С9(и (51 /^2)), ф: С9+1 С9(и (51 /^2)), которые определяются следующим образом: пусть и е СО, с е С9+1, тогда
^°(и)(Х1,…, X) = и (Х1,…, X)(0), ^(и)(Хь…, X) = и (Х1,…, Х9)(п),
п
ф (с)(Х1,…, Х9) = ^ с (Х1,…, Х9).
°
Можно показать, что эти отображения являются гомоморфизмами комплексов.
--
Для комплекса C* (U (S1/Z2)) определяется диагональный подкомплекс. Коцепь с е Cq (U (S1 /Z2))
принадлежит диагональному подкомплексу, если с (Х15…) = 0, когда носители векторных полей
dd
Х-^ -, …, Xq — имеют пустое пересечение. В одномерном случае полный комплекс и диагональный dt dt
подкомплекс совпадают. В случае гладкого многообразия когомологии диагонального подкомплекса с коэффициентами в тривиальном модуле R получаются из двойного комплекса с помощью гомоморфизма, аналогичного 0. В нашем случае это не так. А именно справедлива Теорема 4. Имеют место следующие изоморфизмы:
H 1(Cq (U (S1 /Z2))) = H2(Cq (U (S1/Z2))) = R 0 R.
Образующими одномерых когомологий являются классы коциклов0 (и1) и ^1(и1), а двумерных
— классы коциклов 0(и1 Л и2dt) и ^0(и1) Л ^1(и1).
Доказательство. Известно, что подпространство векторных полей, порожденных векторными полями вида sin kt-, k е N, всюду плотно в U (S1/Z2).
Поставим в соответствие коцепи L е Cq (U (S1/Z2)) набор чисел {ai1,…, iq}i1 ,…, iqeZ, где ai1,…, iq = L (sini11,…, siniqt). L однозначно определяется этим набором. При этом, так как а0 = 0, а а- = - а* и в силу кососимметричности коцепи, можно считать, что i1,…, iq е N и i1 & gt- i2 & gt- … & gt- iq. Условие dL = 0 можно написать в терминах ai1,…, iq следующим образом:
2 (-1)/ + 0−1 ((i/ + i0) aii-ifc, i1 ,… ,? ,…, ik ,…, iq+1 — (i/ - i0) aii+ifc, i1 ,…- ,…, ik ,…, iq + 1) =0. (2)
1& lt-/<-0<-q+1
Рассмотрим случай q = 1. Тогда формула (2) будет иметь вид
(i1 + «2)ai1 -- (i1 — i2) ai1+i2 = 0. (3)
Если i1 + i2 — четное (нечетное) число, то и i1 — i2 — четное (нечетное) число. Поэтому уравнения (3) разбиваются на две независимые группы: когда i1 +i2 — четно и соответственно нечетно. Пусть i1 = 1, тогда (3) примет вид (2k + 1) а1 — а20+1 = 0, k = 1, 2… Откуда получаем а20+1 = (2k + 1) а1. Аналогично, полагая i1 = 2, получаем a2o = ka2, где k = 2,3… Таким образом, размерность множества решений системы уравнений (3) не превосходит 2.
Обозначим с1 = ^0(и1) и с2 = ^1(и1). Так как0 и1 — гомоморфизмы комплексов, то с1 и с2 являются коциклами. Обозначим а1 = c1 (sint), а2 = c1 (sin2t), b1 = c2(sint), 62 = c2(sin2t) Из
того что
а1 а2 61 62
следует, что с1 и с2 — линейно независимы. Таким образом, получаем H1 (C*(U (S1/Z2))) = R2. Рассмотрим теперь случай q = 2. Тогда формула (2) будет иметь вид
(i1 + «2)ai1 -i2, i3 — (i1 — «2)ai1+i2, i3 — (i1 + «3)ai1 — i3, i2 +
+ (i1 — i3) ai1 +i3, i2 + (i2 + «3)ai2 — i3, i1 — (i2 — «3)ai2 +i3, i1 = 0. (4)
Как и в одномерном случае уравнения (4) разбиваются на две независимые группы: 1) когда
«1 + «2 + «3 — четное число и 2) когда «1 + «2 + «3 — нечетное число.
Пусть сначала «1 + «2 + «3 — четное число. В этом случае суммы индексов всех ао, / - четные числа. Условие того, что коцикл ai1, i2 является границей, записывается в виде
ai1, i2 = 2((«1 + «2)ai1 — ifc — («1 — «2)ai1 +i2). (5)
Записывая формулу (5) в случае, когда «1 = «2 + 2, получим ai1, i1 — 2 = («1 — 1) а2 — a2(i1 -1). Откуда
2a2(i1 -1) = 2(«1 — 1) а2 — ai1, i1−2. (6)
= 0,
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1 Пусть теперь ii + i2 = 2m, ii — i2 = 2n. Тогда формула (5) примет вид
aii, i2 — ma2n na2m • (7)
Полагая сначала i1 — m +1, а потом i1 — n +1, из формулы (6) найдем 2a2m и 2a2n и подставим в
(7). Тогда получим, что в случае четной суммы индексов условие того, что коцикл является границей,
можно записать в виде
а = i1 — i2 а i1 + i2 a (8)
aii, i2 2 a fi+i2 +1, fi+i2 — 1 2 ai-i2 +1,i- i2 -1. (8)
Обозначим
i1 — i2 i1 + i2
ii, i2 = aii, i2 о a fi+i2 +1 ii+i2 -1 0 a ii-i2 +1 «i-i2 -1 •
2 2 +1' 2 1 2 2 +1' 2 1
Так как любая граница является коциклом, то каждое уравнение системы (4) может быть записано как линейная комбинация уравнений системы (8), т. е. в терминах Xii, i2. При этом Xii, i2, у которых
i1 — i2 = 2 в уравнения входить не будут, Xii, ii = 0, так как aii, ii = 0, остальные Xii, i2 входят в уравнение с теми же коэффициентами, а нулевое решение соответствует границам.
Из формулы (4) видно, что в каждое уравнение входят ak, l с суммой индексов k +l = i1 + i2 + i3 и меньше. Из этого следует, что в уравнения, для которых i1 + i2 + i3 & lt- 2k, входит лишь конечное число неизвестных с суммами индексов, не превосходящими 2k. Индукцией по i1 + i2 + i3 покажем, что других решений кроме границ система (4) не имеет.
Пусть сначала i1 + i2 + i3 =6 — наименьшая возможная сумма при i1 & gt- i2 & gt- i3 & gt- 0. Такой сумме соответствует единственный случай, когда i1 = 3, i2 = 2, i3 = 1. Формула (4) будет иметь вид
5a1,1 — a5,1 — 4a2,2 + 2a4,2 + 3a1,3 — аз, 3 = - a5,1 + 2a4,2 + 3a1,3 =0, или в терминах Xkbk2:
— X5, 1 =0.
Предположим, что все Xki-k2, входящие в уравнения, при k1 + k2 & lt- 2m равны нулю. И пусть теперь
i1 + i2 + i3 = 2m. Записывая формулу (4) для случаев i1 = m +l — 1, i2 = m — l, i3 = 1, где l = 1, m — 2, и используя предположение индукции, получим, что
Xm+2, m -2 Xm+3, m -3 • • • Xm+(m — 2), m — (m — 2) Xm+(m — 2), m — (m-2) 0,
т. е. Xk, i, входящие в уравнения с суммой индексов равной 2m, равны нулю — индукция завершена.
Получаем, что в случае четной суммы индексов других решений уравнений (4) кроме границ нет. Рассмотрим теперь случай, когда i1 + i2 + i3 — нечетное число.
Запишем условие того, что коцепь aii& gt-i2 является границей (формула (5)) для случая i2 = i1 — 1: aii, ii-1 = 1((2i1 — 1) a1 — a2ii-1). Откуда
a2ii -1 — (2i1 1) a1 2aii, ii — 1 • (9)
Запишем формулу (5) для случая нечетной суммы индексов или i1 = 2k + 1, i2 = 2l:
a2k + 1, 21 = 2((2(k + l) + 1) a2(k-1) + 1 — (2(k — l) + 1) a2(k+l) + 1^ (10)
Полагая сначала i1 = k — l + 1, а затем i1 = k +1 + 1, найдем a2(k-1)+1 и a2(k+l)+1 из формулы (9)
и подставим в (10). Полученное условие того, что коцикл является границей, запишем в виде
a2k+1,2i = (2(k — l) + 1) ak+i+1, k+i — (2(k + l) + 1) ak-1+1, k-i• (11)
Обозначим X2k + 1, 21 = a2k + 1, 21 — (2(k — l) + 1) ak+l + 1, k+l — (2(k + l) + 1) ak-1 + 1, k -I •
Аналогично четному случаю условие коцикла (формула (4)) может быть записано в терминах Х2к+1,2 г. При этом Хг1& gt-г1−1 в уравнения входить не будут. А границам соответствует нулевое решение.
Индукцией по сумме «1 + «2 + «3 покажем, что все Х2к+1) 2 г можно выразить через Х5,2 и Х1- 4.
Рассмотрим формулу (4) для случая «1 = 4,"2 = 2,"1 = 1. Она будет иметь вид
62, 1 — 2аб, 1 — 5аз, 2 + 3а5,2 + 3а14 — аз, 4 = 0,
или в терминах Xk, i:
-2Хб, 1 + 3X5,2 + 3X1,4 — 0-
Откуда получаем
Хб, 1 — 2(3X5,2 + 3X1, 4) •
Предположим, что все Xki, k2, у которых k1 + k2 & lt- 2m + 1, m & gt- 3, выражаются через Х5,2 и Х1- 4. Пусть i1 + i2 + i3 — 2m + 1. Записывая формулу (4) для i1 — m + l, i2 — m — l, i3 — 1, где 1 & lt- l & lt- m — 2, получим, что все Xki, k2 с суммой индексов k1 + k2 — 2m + 1 можно выразить через Xm+2,m-1, Х5,2 и Х1, 4.
Записывая формулу (4) для i1 — m, i2 — m — 1, i3 — 2, получим, что и Xm+2,m-1 выражается через Х5,2 и Х1- 4, т. е. мы получили, что все Xkb k2 с суммой индексов, равной 2m + 1, выражаются через Х5,2 и Х1- 4, индукция завершена.
В итоге мы получаем, что размерность множества решений системы в терминах Xkbk2 не превосходит двух, т. е. не может быть больше двух независимых коциклов, не являющихся границами.
Рассмотрим коцепи, а и в, определяющиеся следующим образом: a — c1 Л c2, в = ф (^1. Л w2dt), а является коциклом как внешнее произведение коциклов, в также является коциклом, так как ф — гомоморфизм комплексов.
Пусть aii, i2 — a (sini11, sini2t). Если i1 + i2 — четно, то aii& gt-i2 — 0, и a2k+1,2l — 2(2k + 1)2l, a2k, 21+1 — -2(2l + 1)2k. Тогда X5,2 — a5,2 — 3a4,3 + 7a2,1 — 0, X4,1 — a4,1 — 3a3,2 + 5a2,1 — 0. Откуда следует, что коцикл, а не является границей.
Пусть bii, i2 — в (sin i11, sin i21). Если i1 — 0, i2 — 0 или i1 + i2
bi
— 0. В остальных случаях bii, i2 — 2
i1i2 + i1i2 -2 -2 i2 — i2
четное число, то
• Тогда Y5,2 — b5,2 — 3b4,3 + 7b2,1 — 0,
У4,1 = Ь4,1 — 363,2 + 5Ь2,1 = 0, откуда следует, что коцикл в не является границей. А из того, что
Х5, 2 Х4, 1
*5 2 П, 1
— 0,
следует, что, а с в определяют разные классы когомологий. Таким образом, мы получили, что Н2(С* (и (51 /?2))) = К2 с образующими классами коциклов, а и в- П
Можно предположить, что найденные классы когомологий являются образующими алгебры когомологий с коэффициентами в К.
В заключение автор выражает благодарность М. В. Лосику за поставленную задачу и помощь в работе.
Библиографический список
1. Гельфанд И. М., Фукс Д. Б. Когомологии алгебры зия // Функц. анализ и его прил. 1969. Т. 3, вып. 3. Ли векторных полей на окружности // Функц. анализ С. 32−52.
и его прил. 1968. Т. 2, вып. 4. С. 92−93.
3. Решетников В. Н. О когомологиях двух алгебр Ли
2. Гельфанд И. М., Фукс Д. Б. Когомологии алгебры векторных полей на окружности // УМН. 1971. Т. 26, Ли касательных векторных полей гладкого многообра- вып. 1(157). С. 231−232.

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой