О конформно-плоских расслоениях над многообразием Ходжа

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е|Я Серия: Математика. Физика. 2013. № 19(162). Вып. 32 33 MSC 53CQ7
Аннотация. Получены условия, при которых на пространстве расслоения Бутби-Вана индуцируется конформно евклидова метрика.
Ключевые слова: многообразие, кривизна, расслоение, присоединённая С-структура.
В римановой геометрии особое место занимают пространства, допускающие конформное отображение на локально евклидово пространство. Такие пространства называют конформно-плоскими. Естественно интересным представляется вопрос о том, когда на пространстве главного Трасслоения над почти эрмитовым многообразием индуцируется метрика, конформная евклидовой. Примером такого расслоения может служить тривиальное расслоение над многообразием Б6, снабженным приближенно ке-леровой структурой. В этом случае на пространстве Б6 х Б1 индуцируется точнейше косимплектическая структура с метрикой, которая будет конформно-плоской [1]. Другим примером является классическое расслоение Хопфа гиперсферы Б2га+1 единичного радиуса в Сга+1 (с метрикой, индуцированной объемлющим пространством) над комплексным проективным пространством СРп. В нашей работе этот вопрос рассматривается для расслоений Бутби-Вана над многообразием Ходжа М, размерности большей двух.
Пусть М — многообразие Ходжа размерности 2п (п & gt- 2), то есть М — келерово многообразие с целочисленной фундаментальной 2-формой 0- п: Р -& gt- М — главное Т1 — расслоение, представленное характерестическим классом [0], со связностью п такое, что п*0 = dп, где-оператор внешнего дифференцирования. Такое расслоение будем называть каноническим расслоением Бутби-Вана. Известно [2], что на пространстве такого расслоения индуцируется сасакиева структура с метрикой д = п*д + п 0 П и структурным эндоморфизмом Ф = %н? 3? п*, здесь д — метрика базы расслоения, 3- оператор комплексной структуры, Н — горизонтальное распределение связности, %н — горизонтальный лифт. Как известно [5], необходимым и достаточным условием того, что многообразие Р будет конформно-плоским, является тождественное равенство нулю его тензора Вейля
О КОНФОРМНО-ПЛОСКИХ РАССЛОЕНИЯХ НАД МНОГООБРАЗИЕМ ХОДЖА
И.П. Борисовский
Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, 308 007, г. Белгород, e-mail: Borisovskiy@bsu. edu. ru
здесь Кцы — тензор Римана-Кристоффеля, дц — метрический тензор, — тензор Риччи, к — скалярная кривизна. Удобно вычислить компоненты тензора Вейля на пространстве присоединенной О — структуры. Дело в том, что структурные уравнения
34 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Ш Я Серия: Математика. Физика. 2013. № 19(162). Вып. 32
келеровой и сасакиевой структур на пространстве присоединенной О — структуры выглядят достаточно просто. Например, полная группа структурных уравнений келерова многообразия выглядит так:
где {А^} - система функций, симметричных по верхней и нижней парам индексов [4]. Здесь и далее считаем, что индексы г,і, к,ї,… пробегают значения от 0 до 2п, индексы а, Ь, с, й,… от 1 до п, кроме того положим, а = а + п. В результате вычислений получаем полный спектр тензора Вейля пространства расслоения в терминах присоединенной С — структуры:
здесь 8% - символ Кронекера, 8^ = - ®. Остальные компоненты тензора С либо
равны нулю, либо получаются из уже имеющихся с учетом свойств симметрии этого тензора и его вещественности.
В дальнейшем нам понадобятся ряд вспомогательных утверждений.
Лемма 1. [3] В терминах присоединенной О-структуры келерово мпогообразие М имеет постоянную голоморфную секционную (короче, ИБ-) кривизну, а тогда и только
Лемма 2. [2] Сасакиево многообразие Р имеет постоянную Ф-голоморфную секционную кривизну, а тогда п только тогда, когда А^ = -^-^8^.
образием Ходжа М (& lt-ИтМ & gt- 4). Тотальное пространство расслоения Р является пространством постоянной кривизны тогда и только тогда, когда многообразие М имеет постоянную ИБ-кривизну с = 4. В этом случае Р локально изометрично единичной сфере.
Теорема. Тотальное пространство Р канонического расслоения Бутби-Вана над многобразием Ходжа М (& lt-1тМ & gt- 4) конформно-плоско тогда и только тогда, когда расслоение локально эквивалентно расслоению Хопфа.
? Достаточность утверждения очевидна. Докажем необходимость. Из условия С^ьсй = 0 следует
= шХ Л шь, йша = шьа Л шь ,
АшЬ = шСа Л Шь + Л Ша ,
+п)^а,
тогда, когда где Щ
Лемма 3. Пусть п: Р -& gt- М — каноническое расслоение Бутби-Вана над много-
а ¦
а
(1)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е|Я Серия: Математика. Физика. 2013. № 19(162). Вып. 32 35 Свернув (1) по индексам с и Ь, получим после преобразований
Заметим, что выполнение условий (4) влечет обращение в нуль и компонент Са00ь, С-йЬса тензора Вейля. Согласно лемме 1 соотношение (4) равносильно тому, что многообразие М является комплексной пространственной формой кривизны с = 4. Значит, во-первых, многообразие М локально эквивалентно комплексному проективному пространству СРп [3] и, во-вторых, по лемме 3 многообразие Р локально изометрично единичной сфере Б2п+1. Таким образом, мы имеем расслоение сферы над проективным пространством, причем характеристический класс этого расслоения порожден фундаментальной формой стандартной келеровой структуры на СРп. С другой стороны, характеристический класс расслоения Хопфа п: Б2п+1 ^ СРп порожден фундаментальной формой стандартной келеровой метрики на СРп (метрики Фубини-Штуди). Следовательно, расслоение Хопфа над комплексным проективным пространством и построенное нами главное Т^расслоение над этим пространством имеют один характеристический класс, то есть принадлежат одному классу эквивалентности на множестве всех главных Т^расслоений над СРп. I
Требование для многообразия М постоянства НБ-кривизны именно с = 4 не существенно. В самом деле, пусть М — комплексная пространственная форма кривизны с & gt- 0. Тогда на многообразии Р индуцируется сасакиева структура постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с — 3 [2]. И значит, многообразие Р с точностью до преобразования В-гомотетии локально эквивалентно сфере Б2п+1, снабженной канонической сасакиевой структурой. Таким образом, расслоение Бутби-Вана над произвольным комплексным проективным пространством с точностью до преобразования Д-гомотетии метрики на пространстве расслоения локально эквивалентно расслоению Хопфа. В свою очередь Д-гомотетия может быть достигнута (с точностью до обычной гомотетии) перенормировкой метрики типового слоя. Действительно, если д ^ д* = ад + а (а — 1) п ® п — соответствующее преобразование метрики, где, а — подходящее вещественное положительное число, то, очевидно, метрика д = д + (а — 1) п 0 П гомотетична метрике д* с коэффициентом гомотетии, а и получается из исходной метрики д преобразованием гомотетии метрики типового слоя (с коэффициентом а).
АО^ = -2(п +1)3а.
(2)
Свернем последнее соотношение по индексам, а и й. Имеем
А’Х = -2(п + 1) п.
(3)
Подставив (2) и (3) в (1), получим, наконец.
(4)
Литература
1. Бессе А. Эйнштейновы многообразия. — М.: Мир, 1990.
36 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. № 19(162). Вып. 32
2. Борисовский И. П. О свойствах кривизны пространства главного Т1 -расслоения над многообразием Ходжа. Математические заметки, т. 64, выпуск 6,1998, с. 824−829
3. Кириченко В. Ф. К-пространства постоянной голоморфной секционной кривизны. Математические заметки. т. 19, № 5, 1976, с. 805−814.
4. Кириченко В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий. Итоги науки и техн. Проблемы геометрии ВИНИТИ АН СССР, т. 18, 1986. с. 25−71.
5. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ.- М., 1964.
ON CONFORMALLY FLAT BUNDLES OVER A HODGE MANIFOLD
Borisovskiy I.P.
Belgorod State University,
Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308 007, Russia, e-mail: Borisovskiy@bsu. edu. ru
Abstract. Conditions under which the conformal Euclidean metric may be induced on the Boothby-Wang bundle space are found.
Key words: manifold, curvature, bundle, adjoint G-structure.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой