О конгруэнции прямых

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 514. 75
М. А. Чешкова О конгруэнции
В евклидовом пространстве Еп рассмотрим (п — 1)-параметрическое семейство прямых: конгруэнцию прямых [1, с. 413].
Конгруэнцию прямых можно задать радиусом-вектором г = гЦ, …, ип-1) произвольной гиперповерхности М, называемой опорной гиперповерхностью конгруэнции, и единичным направляющим вектором, а = аЦ,…, ип-1) луча конгруэнции.
Среди линейчатых поверхностей конгруэнции имеются торсы.
Теорема 1. Если г г = дгг, г = 1,…, п — 1 —
М
ствующие торсам конгруэнции прямых, то
прямых
Ті = -і
& lt- Ті, а & gt- а.
(1)
& lt- аі, п& gt-
& lt- а, п & gt-
(2)
Дифференциальная форма ш (шг) называется замкнутой [2, с. 255], если внешний дифференциал вш = 0.
Имеем
(3)
Доказательство. Выберем параметризацию таким образом, чтобы торсам конгруэн-
Ті
опорной гиперповерхности М. Тогда на луче определятся точки ^^ = т + і(^ а (фокусы конгруэнции), для которых д^(^ ||а.
Имеем
Ті діі(^і)а ^і)аіІІа.
Откуда
Ті ^і) аі - і) а. а
& lt- а, а & gt-= 1, & lt- а, аі & gt-= 0,
получим ^ =& lt- ті-а & gt-. Откуда следует (1).
а
ся касательным к к опорной гиперповерхности М, т. е. & lt- а, п & gt-ф 0, где п — орт нормали к М. Рассмотрим линейную форму
где Уіш^ - г-коварнантная производная ш^. В этом случае [2, с. 255] локально существует функция /такая, что ші = ді/.
Теорема 2. Если фокусы конгруэнции прямых различные и торсам конгруэнции соответствует сопряженная сеть линий на опор-
Ш Ші
тая.
Доказательство. Выберем параметризацию таким образом, чтобы торсам конгруэн-
Ті
М
конгруэнции различные, то на опорной гиперповерхности определится координатная сеть линий. Она будет сопряженной [3, с. 129], если
Ьіу — & lt- Ті: пу & gt-- 0, г 7″.
Умножим (1) скалярно на п^. Имеем
-і(і) & lt- аі, пі & gt- +
& lt- Ті, а & gt-<- а, п & gt-= 0, гф ]. (4)
п
^і) & lt- аі, п & gt- ~~
& lt- ті, а & gt-<- а, п & gt-= 0. Из (4), (5) следует
& lt- аі, пз & gt- _ & lt- аі, п & gt-
(5)
& lt- а, пз & gt- & lt- а, п & gt-
= Ші, гФІ. (6)
вш{ті
= VіШз — V з Шз =
Дифференцируя равенство п& gt- = и используя (6), получим
«& lt- аго, п& gt-., .
д0 = ------ --------, г Ф 1.
0 г & lt- а, п & gt- г 0
Итак, дошг = дгВ силу (3) в, ш (гг, го) = 0, форма ш (шг) замкнутая.
а
Ш
О конгруэнции прямых
Библиографический список
1. Шуликовский, В. И. Классическая диффе- и расслоения / Р. Зуланке, П. Винтген. — М. ,
ренциальная геометрия в тензорном изложении 1975.
/ В. И. Шуликовский. — М., 1963. 3. Погорелов А. В. Дифференциальная гео-
2. Зуланке, Р. Дифференциальная геометрия метрия / А. В. Погорелов. — М., 1969.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой