О корректности и обратимости линейных дифференциальных операторов в пространствах Соболева–Слободецкого

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Юридические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 983. 36
О КОРРЕКТНОСТИ И ОБРАТИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА-СЛОБОДЕЦКОГО
© В. М. Тюрин, А.М. Шмырин
Ключевые слова: функциональные пространства- корректность- эллиптичность- оценки решений.
Показано, что дифференциальный оператор корректен в пространствах Соболева-Слободецкого, если он обратим лишь в пространствах Соболева.
В работе приняты следующие обозначения: X -банахово пространство- Ьр = Ьр {яп, X) — Лебеговы пространства сильно измеримых по Бохнеру функций и: Я& quot- ^ X с конечной нормой || -|| {р & gt- 1, п е N) —
Нт = Нт {я& quot-, X) — пространство Соболева [1, с. 60- 2, с. 21], норма в котором определяется формулой:
11^ = ^ |оаи & lt-от {т е N).
II 11 т || || о 4 у
Пространство Соболева-Слободецкого
Ит+& quot-≠ Ит+у (к& quot-, X) [3, с. 228] состоит из функций и є Ьр с конечной нормой:
1|и||, = \и\ +(и) + (и)
т N / ут /.
ІІІт
1 т 5
(и) = 7 8ир
/ут / л 1 і і
|фт х, уєК& quot- Х — у
и у= и у0 (° & lt-У<- 1) —
Б аи (х) — Баи (у)
Нт = 7 8иР"
|а|& lt-т х’уєК
і
|Ьаи (х) — Б0
К& quot- хК& quot-
— у
п+ ру
-dxdy
Через Ь р = Ь р (к & quot-, х) обозначим пространства, в
, у ^у,
которых норма задается формулой:
и = и +и) +(и) & lt-да.
II ||°у II 11° /у /1°
Дифференциальное выражение в частных производных:
Рх =7 4о (х)Ба (т є М),
|а|& lt-т
в котором коэффициенты Ла е С {я& quot-, EndX), определяет линейные дифференциальные операторы Рх: Нт ^ Ьр и Рх: Нт+1у ^ Ьр, действующие по формуле:
Рхи = 7а (х)Б0и (х).
Лемма. Пусть оператор р: Ит ^ Ьр непрерыв-
но обратим и |рх 1| = |рх Ц (Ьр ^ Ит)& lt- Ь & lt- да. Если рхи = /, / є Ьр, & lt-да, то (и)10 & lt-да и
справедливо неравенство:
?) 1° & lt- Ь1
11°у 5
(1)
Ь1 не зависит от и.
Доказательство. Наряду с оператором Рх: Ит ^ Ьр рассмотрим оператор Ру: Ит ^ Ьр, задаваемый формулой:
Руи (у)= 7 Аа (у)Баи (у)
|а|& lt-т
Так как
р-1/(х) — Ру-1/(у) & lt- |рх1(/(х) — /(у)) +
+ Р — Ру-)/(у)|,
а & lt-т
а & lt-т
у
р
то
P-If (x)-PyXf (yf
Rn xRn
— У
n+py
-dxdy
* m io+
IP-1 — p-11p ,
x У
If (y)|-
RnxRn
x — У
in+ py
-dxdy
s HA
10
I
IP-1 — p,-1!!p
RnxRn |x — У
n+ py
2f) y+ 4f lo ^fdxdy
Yp
& lt- ?ill
llQy 5
при этом в (1) величина bi = max |b, 2(Px ^ ,
a (PX^iqK a = a (n, P, ї)& gt- Q ¦
Лемма доказана.
Оператор p: Hm+1y ^ Lp называется сущест-
D П
венно эллиптическим на R, если существует оператор Aq1 є C (Rn, EndX), числа xQ є R и Хє C такие, что найдется постоянная C (x)& gt- Q, для которой выполняется неравенство:
Uym +U 1m S C (X^^0 1pmu — Xu)_
10
при Яе X & lt- Х0, Рт — главная часть оператора Р.
Рх: Нт+1у^ Ьр назовем корректным [4, с. 166], если существует такая постоянная к1 & gt- 0, что выполняется неравенство: ||и||1т & lt- к||Р^у.
Положим а0 =|ЛдЦ, а1 =^Лд1^ & lt-да, а =
= ^1Ла||с, аз = X (Ло 1 Ла) 10
'-а|& lt-т 0& lt-|а|<- т
°& lt-1
/10
& lt- & lt-Х.
Теорема 1. Пусть для оператора Рх: Ит ^ Ьр выполнены условия леммы, и оператор Рх: Ит+1у^ Ьр существенно эллиптичен на К& quot-.
Тогда при выполнении неравенств а°а2С1 (х) & lt- & lt- - ,
2а3С (х) & lt- 1 оператор р: Ит+1у ^ Ьр корректен. Доказательство. Возьмем произвольную функцию
Ят+1у
и оценим сумму:
? (A-'-A^u^ s? |КЧ
D"u (x)-Dau (y)|
Л Уг
dxdy +
У

«Г Ik 1(x)A2(x) — A0 '(уШуҐ f ,. II
+? I 1-----------Lf2(D4+HID"HI0J dxdy
°& lt-|a|<-m^Fn xRn |x y V У
S «0"H1(m-1) + «3 (2(^ym + HIHIm).
Так как оператор Px: Hm+1y ^ Lp существенно эллиптичен и P = p + Q + A, то
Uym + U 1m S A0-)10 +
+ c Ц A0−1e^o + (1+|X|)C1 (xX u) 1C
(2)
здесь Pu = / ¦
С учетом леммы и
(aq'-A & lt- oq (/& gt- IQ + a-fo /) t
+ a||/| lQ), согласно (2),
неравенства
t IQ
получаем:
Uym + (U 1m S *A (XXf) 10 +
+ 2"1C1(XX f) y+ aa1C1(k)f |0 +
+ a0a2Cx (u) 1m + 2a3C1(xX^ y +
(1 —
+ 11 +
/ ym
+ aa, bC,|
Il0y '- --, 3UC1\J ІІ0-Из этого неравенства по условию теоремы следует
Uym +(U 1m S MfIL& gt- (3)
k2 = max 4 (a0Cj (x) + 2ajCi (x) + a0ajCi (x) + aa3bCj (x)),
(l + |x| Ci (x)bi) ¦
Поскольку ||u|| & lt- b||/|o, то, согласно (3), окончательно получаем оценку ||u||lm & lt- кЦ/||, к1 = b + к2 ¦
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть выполнены предположения теоремы 1 и n & gt- p. Тогда оператор Px: Hm+1y ^ Lp обратим.
Доказательство. Проведем с сокращением. Возьмем произвольный элемент / є Lp, и пусть /j є Lp локально сходится к /, при этом функции /j — финитны. Тогда можно построить последовательность u j ,
которая локально фундаментальна в Hm+ly и удовлетворяет уравнению PxUj = /j. Оператор Px: Hm+1y ^ Lp локально непрерывен, поэтому Pxu = /. Поскольку / -
Il0y 5
произвольный элемент
lp ,
то оператор
Р: Нт+1у ^ Lp обратим (непрерывно). Теорема
доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.
2. Тейлор М. Псевдо-дифференциальные операторы. М.: Мир, 1985.
3. Трибель Х. Теория интерполяции, дифференциальные пространства, диффернциальные операторы. М.: Мир, 1980.
V
У
+
+
V
У
+
У
C
0& lt-1а
0& lt-1а
4. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978.
Поступила в редакцию 11 марта 2013 г.
Tyurin V.M., Shmyrin A.M. ON WELL-POSEDNESS AND INVERTIBILITY OF LINEAR DIFFERENTIAL OPERATORS IN SOBOLEV-SLOBODETSKII SPACES
It is shown that differential operator is well-posed in the Sobo-lev-Slobodetskii spaces, if it is invertible in the Sobolev spaces only.
Key words: functional spaces- well-posedness- ellipticity- estimates forsolutions.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой