О кратной полноте корневых функций одного класса пучков дифференциальных операторов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 927. 25
О КРАТНОЙ ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО КЛАССА ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В.С. Рыхлов
Саратовский государственный университет,
кафедра дифференциальных уравнений и прикладной
математики
E-mail: RykhlovVS@info. sgu. ru
В пространстве L2 [0,1] рассматривается полиномиальный пучок обыкновенных дифференциальных операторов n-го порядка, порожденный однородным дифференциальным выражением с постоянными коэффициентами и двухточечными краевыми условиями специальной структуры с l условиями только в нуле (1 & lt- l & lt- n — 1). Предполагается, что корни характеристического уравнения лежат на одном луче, исходящем из начала координат. Найдено достаточное условие m-кратной полноты системы корневых функций при m & lt- n — l в пространстве L2 [0,1]. Показана точность полученного результата.
Ключевые слова: пучок обыкновенных дифференциальных операторов, двухточечные краевые условия, однородное дифференциальное выражение с постоянными коэффициентами, кратная полнота системы корневых функций, кратная полнота системы собственных и присоединенных функций.
On Multiple Completeness of the Root Functions for a Class of the Pencils of Differential Operators
V.S. Rykhlov
Saratov State University,
Chair of Differential Equations and Applied Mathematics E-mail: RykhlovVS@info. sgu. ru
A polinomial pencil of ordinary differential operators of n-th order generated by a homogeneous differential expression with constant coefficients and by two-point boundary conditions of a special structure with l conditions in zero only (1 & lt- l & lt- n-1) is considered in the space L2 [0,1]. The case is studied, when the roots of the characteristic equation lie on a ray coming from the origin. A sufficient condition of m-fold completeness of the system of root functions for m & lt- n -1 in the space L2 [0,1] is found. An accuracy of obtained result is shown.
Key words: pencil of ordinary differential operators, two-point boundary conditions, homogeneous differential expression with constant coefficients, multiple completeness of system of root functions, multiple completeness of system of eigen- and associated functions.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА И ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТА
В пространстве Ь2[0,1] рассмотрим пучок обыкновенных дифференциальных операторов Ь (А), порожденный на конечном интервале [0,1] дифференциальным выражением
1(у, А) := ро (х, А) у (п) + Р1 (х, А) у (п-1) + ¦ ¦ ¦ + рп (х, А) у = ^ рзк (х)А*у (к) (1)
0& lt-в+к<-и
и линейно независимыми двухточечными краевыми условиями
п -1
и (у, А) :=? а3к (А)у (к) (0) + Ъзк (А)у (к) (1) = 0, 3 = Т& quot-П, (2)
к=0
где, А е С — спектральный параметр, рп-к (х, А) = 0кр5к (ж)А5, р5к (х) е ?1 [0,1], а а^к (А), Ъ^к (А) — произвольные полиномы по А.
Наряду с краевыми условиями (2) будут рассматриваться следующие краевые условия:
п-1
? а^ку (к) (0) + Ъ^ку (к) (1) =0, 3 = Щ (3)
к=0
не содержащие параметра А.
При изучении спектральных свойств несамосопряженного пучка ?(А) одной из основных задач является задача исследования свойств его корневых (собственных и присоединенных) функций. Весьма важными являются вопросы о возможности разложения функций в биортогональные ряды Фурье по корневым функциям, в частности, вопросы полноты корневых функций в ?2[0,1]. Напомним некоторые определения из [1−2].
Определение 1. Число Ао называется собственным значением (с.з.) пучка Ь (Л), если существует функция у0(х) ф 0 в области определения ?(А) такая, что ?(А0)у0 = 0. Функция у0(х) называется собственной функцией (с.ф.) пучка ?(А), соответствующей с.з. А. ?
Определение 2. Пусть А0 есть с.з. пучка ?(А), а у00(х) — соответствующая с.ф. Система функций у01 (х), у02(х),…, у01 (х) называется системой функций, присоединенных к с.ф. у00(х), если эти функции являются решениями следующих задач:
Т, Л, 1 б"?(А0) 1 д*Ь (А0)
Ь (А0)У09 + уу дА У0д-1 + … + --ЕГГТ- У00 = 0, q = 0, 1,.. , 1.
q! дА?
Здесь д длЛ°) д|л=л°^ обозначает пучок, порожденный дифференциальным выражением
дк 1(у, Л°) дк и, (у, Л°) л.-, ^- ,-,
-дЛк и краевыми условиями -длк- =0, ^ = 1, п, к = 1, п. ?
Пусть Л := {Ак} есть множество всех с.з. пучка ?(А). Предполагаем, что множество Л счетно. Определение 3. Пусть А0 е Л и у00, у01,…, у01 есть система собственных и присоединенных функций (с.п.ф.), соответствующая с.з. А0. Обозначим
Vsq =
дs dts
•До t
t
tq
V0q + Ц V0q — 1 ±----+ qj V00
s = 0, n — 1, q = 0, l.
t=0
Для 0 & lt- т & lt- п система вектор-функций уд = (у0д, у1д,…, ут-1д)Т, д = 0,1, называется производной (по Келдышу) т-цепочкой, соответствующей системе с.п.ф. у00, у01,…, у01. ?
Пусть У := {ук} есть множество всех с.п.ф. или, по-другому, корневых функций пучка ?(А), соответствующих множеству Л.
Определение 4. Система У корневых функций пучка ?(А) называется т-кратно полной в пространстве Ь2[0,1] (0 & lt- т & lt- п), если из условия ортогональности вектор-функции Н е? т[0,1] := [0,1] ф ¦ ¦ ¦ ф Ь2 [0,1] всем производным т-цепочкам, соответствующим системе У,
4-V-'-
т раз
следует равенство Н = 0. ?
Определение 5. Дефектом данной системы векторов в гильбертовом пространстве называется размерность ортогонального дополнения к линейной оболочке этой системы. ?
Решается задача нахождения условий на коэффициенты пучка ?(А), при которых имеет место или отсутствует п-кратная полнота. В последнем случае естественно возникает вопрос об условиях т-кратной полноты при 0 & lt- т & lt- п.
Эта задача актуальна только для нерегулярных [2, с. 66−67- 3] пучков операторов ?(А) (или вырожденных, как их иногда называют) с «плохим» поведением функции Грина при |А| ^ го (например, экспоненциальный рост в секторах раствора не меньше п). При «хорошем» поведении функции Грина (например, степенная ограниченность при |А| ^ го на некоторых лучах) эта задача уже решена в [3−4].
Основополагающей по этой проблеме является работа [5], в которой была сформулирована (без доказательства) теорема об п-кратной полноте корневых функций пучка ?(А), порожденного дифференциальным выражением (1) со специальной главной частью
у (п) + Ап у + {возмущение},
и распадающимися краевыми условиями (3) (когда часть краевых условий берется только в нулевом конце отрезка [0,1], а остальные — в единице). Эта теорема была доказана в [6] в случае аналитических коэффициентов дифференциального выражения и в [7] в случае суммируемых коэффициентов. Обобщение этой теоремы на случай конечномерного возмущения вольтеррова оператора было сделано в [8]. Случай произвольной главной части дифференциального выражения (1) был рассмотрен в [910]. В работах [3−4], относящихся к общему виду (1)-(2) пучка ?(А), получены достаточные условия п-кратной полноты в Ь2[0,1] системы корневых функций в терминах степенной ограниченности по параметру, А функции Грина пучка ?(А) на некоторых лучах. Наиболее полное исследование вопроса об п- и т-кратной полноте и неполноте корневых функций пучка ?(А) вида (1), (3), дифференциальное выражение которого имеет постоянные коэффициенты, а краевые условия — полураспадающиеся (не менее половины краевых условий берутся только в одном конце), проведено в [11−12].
Для некоторых классов пучков ?(А), даже с постоянными коэффициентами, вопрос о кратной полноте корневых функций еще не исследовался. В данной статье рассматривается именно такой пучок ?0(А), действующий в пространстве ?2[0,1] и порожденный однородным дифференциальным выражением п-го порядка
1о (у, А) := р3кАзу (к), р3к е С, роп = 0, (4)
з+к=п
и линейно независимыми двухточечными нормированными краевыми условиями специальной структуры
и°(у, А) :=? А*агзку (к)(0) = 0, г = 1,1,
з+к=к 0
иг°(у, А) := Е А5"г*ку (к)(0)+ Е А5вгзку (к)(1)=0, г = I + 1, п,
(5)
а ргзк у4'- чх)=0, г = I + 1, п,
з+к& lt-к0 з+к& lt-к1
где А, аг3к, вгзк е С, Кго, кп е {0,1,…, п — 1}, 1 & lt- I & lt- п — 1.
Пусть всюду далее выполняется основное предположение относительно дифференциального выражения 10(у, А), а именно, что корни …, о& gt-п его характеристического уравнения
^ рзк= 0
з+к=п
различны, отличны от нуля и лежат на одном луче, исходящем из начала координат. Не нарушая общности, можно считать
0 & lt- & lt- & lt- ¦ ¦ ¦ & lt- (6)
Для рассматриваемого пучка (4)-(5) с условием (6) не выполняются основные предположения [11, с. 60], а именно, что существует прямая й, проходящая через начало координат, не содержащая-корней и делящая комплексную плоскость на две полуплоскости, внутри каждой из которых число этих корней не меньше п — I, а также, что краевые условия являются полураспадающимися.
Однократная полнота корневых функций для частного случая пучка (4)-(5) при I = п — 1 в предположении (6) исследована в [13].
Для формулировки основного результата введем обозначения:
аг., = ^ агзк, г = 1, п, 3 = 1, п,
Но
з+к=к0
Ъг. = ^ вгзк^^, г = I + 1, п, 3 = I + 1, п,
з+к=к1
г т 1- Г т п, если п & gt- 0,
кг =шт{кг0, к^}, г = I + 1, п, [п] + = & lt-
0, если п & lt- 0.
Теорема 1. Если выполняется условие (6) и
ёе^аго)г, о=1 = 0, ёе^аг.)По=1 = 0, ёефг.)По=г+1 = 0, то система корневых функций пучка (4)-(5) т-кратно полна в ?2[0,1] при т & lt- п — I с возможным
п
конечным дефектом, не превышающим числа Е [т — 1 — кг]+.
г=г+1
Теорема точна в следующем смысле. В работе [11, с. 72−77] (см. также [12, с. 58−62]) сформулирована теорема об (п — I + 1)-кратной неполноте системы корневых функций для частного случая пучков вида (4)-(5), краевые условия которых являются полураспадающимися и не зависят от параметра А. Но доказательство этой теоремы, по нашему мнению, не достаточно убедительно. В [14−15] при I = п — 1 и т = п — I + 1(= 2) получены достаточные условия на корни {^ }П, при которых системы корневых функций пучков вида (4)-(5) с условием (6) т-кратно не полны в ?2[0,1] и имеют бесконечный дефект.
Оставшаяся часть статьи посвящена доказательству теоремы 1. Схема доказательства соответствует схеме доказательства теорем 2. 1, 2.2 и 2.3 из [11] или [12]. Центральную роль в доказательстве играет лемма, которая формулируется и доказывается в следующем разделе.
2. ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ И ОСНОВНАЯ ЛЕММА
Функции у^-(х, А) = ехр (А^-х), ] = 1, п, образуют фундаментальную систему решений уравнения (ф.с.р.) 10(у, А) = 0 при, А = 0.
Ненулевые собственные значения (с.з.) Ак =0, к = 1, 2,…, пучка (4)-(5) являются нулями целой функции Д (А) := ёеЦЦ0(у^ (х, А), А))Несмотря на то, что Д (0) = 0, число А0 = 0 может быть с.з., а может и не быть.
Обозначим через Ф^(х, А) функцию, полученную из Д (А) заменой г-й строки в случае 1 + 1 & lt- г & lt- п строкой у1(х, А),…, уп (х, А). Непосредственно можно убедиться в том, что столбцы
дкФг (х, А) дк (Ат-1 Фг (х, А)) Т
дА1 дА1 / ,
'-л=л^
где г = 1 + 1, п, к = 0, 5, т е {1,…, п}, V = 1, 2,…, являются производными, по Келдышу, т-це-почками для корневых функций, соответствующих с.з. А^, которое является нулем Д (А) кратности
5 + 1.
Введем в рассмотрение функции:
г1 m дj — 1Ф Л) _
ег (Л)= / У^-фт^^hj (x) dx, i = l + 1, n, (7)
Л Д (Л)
'-о j=i
где h (x) = (hi (x),…, hm (x))T e Lm[0, l].
Перепишем (7) в виде
(Л) = Д§, i = l + 1, n, (8)
где Aj (Л) получается из Д (Л) заменой i-й строки строкой
un+11 (Л), un+12(Л), • • •, (Л),
где
г 1 m
Л j — 11
un+1k (Л) = V]hj (x^j V (x, Л) dx.
Л j=1
Следующие два утверждения потребуются нам в дальнейшем. Их доказательство можно найти, например, в [12, с. 48−49].
Утверждение 1. Функции Ф1+1 (x, Л),…, Фп (x, Л) являются линейно-независимыми решениями уравнения l0(у, Л) = 0, удовлетворяющими первым l условиям (5) в точке 0.
Утверждение 2. Функции ©?(Л) не зависят от выбора ф.с.р. уравнения 10(у, Л) = 0. Введем в рассмотрение следующие множества:
П+ = {Л e C | arg Л e [0,| - е] U [у + е, 2п)}, П- = {Л e C | arg Л e [| + е, у — е] },
где е & gt- 0 и достаточно мало. Лемма 1. Если
det (aij)jj=1 = 0, det (bjj)^=г+1 = 0, (9)
то при Л e П+ и |Л| «1 справедливы оценки
|(c)г (Л)| & lt- C|Л|т- 2 —, i = l + 1, n,
а если
det (ajj)nj=1 =0, (10)
то при Л e П- и |Л| «1 справедливы оценки
|(c)г (Л)| & lt- C|Л|т- 2 — Ki0, i = l + 1, П.
Доказательство. Пусть, А е П+. Исходя из вида функций у. (х, А), 3 = 1, п, в этом случае будем иметь
иг0 (у., А)= Аз агзк -к Ак = АК- ^ «гзк -к = АК& lt-0 аг., г =
з+к=к^(
з+к=к^(
иг0 (у., А)= Азагзк-к Ак + 5] Азвгзк-к АкеЛш& quot- =
з+к& lt-к0 з+к& lt-к1
, Кг0 — 1 I Кг1 Лш
АКг0 агзк -к + 0(АКг0−1) + АК& quot- еЛш& quot- ^ вгзк-к + О (АК& quot--^)
з+к=к0 з+к=к1
^-е-^ = АК& quot-еЛш"- [Ъг. ], г = I + 1, п,
= АК& quot- еЛш& quot- (^ вгзк -к + 0(а) + О (А'-™ '- '-& quot-е
з+к=к1
где использовано обозначение [с] = с + О (Л) при |А| ^ го.
Подставим эти выражения в Д (А) и разложим этот определитель на основании теоремы Лапласа по первым I строкам. С учетом соответствующих свойств определителей, неравенств (6) и предположений (9) получим
Д (А) =
АК10 ап
АК10 а1Т
АК10 ап ••• АК10 агп
Акг+11 еЛш1 [Ъг+П ] … АК1+11 еЛШп [Ъг+ш]

еЛш1 [Ъп1 ] … а^п1 еЛшп [Ъпп]
а11 … а1г [Ъг+1г+1] … [Ъг+1п]
аи … аи [Ъп1 + 1].. [Ъпп]
= ±А^к=1 кк0+Е п=г+1 Кк1 х
+ о (еЛ (Еп=1+1 +шг-Шг+1)^
= ±А^ к = 1 Кк0+Е? = г + 1 Кк1 еЛЕ & quot-=г + 1
а11.. ац
ац.. ац
Ъг+1г+1 … Ъг+1г
Ъп/ + 1 … Ъ
пп
Ъп1 + 1 1
+ А
/
= ±А^к=1 Кк0+?к=г+1 Кк1 е^& quot-=1+1ш ёе^аг. ёефг. 1]. (11)
Дальнейшие рассуждения проведем только для случая 1 & lt- I & lt- п — 2, чтобы не увеличивать слишком объем статьи. Рассуждения в случае I = п — 1 являются более простыми и мы их опускаем. При всех ненулевых, А е С справедливы соотношения:
«1 т
(А)= / 5& gt-к (С)Ак-1 у. (С, А) ?С
к=1
= Ат-1 / МС) еЛ5 ?С + Ат-2 /т-1 (С)еЛш& quot-5 ?С + ••• + / ^ (С)еЛш& quot-5 ?С =
«1 т «1 = Ат-11 V Ак-т^к (С)еЛш& quot-5 ?С = Ат-11 МС, А) еЛш& quot-5 ?С, 3 = Л к=1
где Л, т (С, А) := Ет=1 Ак-т^к©. Используя эти соотношения, найдем
Д1+1(А) =
АК10 ап
АК10 а1Т
АК10 ац ••• АК10 а^п
Ат-1 /от (С, А) еЛ-15 ?С ••• Ат-1 /от (С, А) еЛш& quot-5 ?С
АК1+21 еЛш1 [Ъг+21] ••• АК1+21 еЛШп [Ъг+2п ]
АКта1 еЛш1 [Ъп1 ]
АКп1 еЛШп [Ъпп]
(12)
х
и
1
1
1
о
о
о
= Ат-1+Ек=1 Кк°+Е к=г+1 (-1)г+1+. дг+1^. (А) / Нт (С, А) ел^»?С,
5 = 1
(13)
0
разложив определитель по элементам (1 + 1)-й строки, где Дг+1. (А) есть минор к элементу (1 + 1, ]) в определителе, получающемся из Дг+1 (А) после вынесения, А в соответствующей степени из строк, т. е.
Д1 + 1. (А) =
ел^-1 [6^-1 ] ел& quot-,+1 [6^+1] … ел& quot-п [6ПП ]
Раскладывая этот определитель на основании теоремы Лапласа по первым 1 строкам и используя соответствующие свойства определителей, получим при ] = 1,1
Дг+1. (А) = ±елЕ п=1+2Шк
[61+21+2].. [6г+2п]
«11.. «1. -1 «1. + 1.. «11 + 1 «?1 … «. -1 «. +1 … «гг+1
+ О
/
= ±ел (? п=1+1 --1+1) [А. Д+11+1].
[6п1+2] … [6 ПП I
Здесь и далее используются следующие обозначения:
А: =
«11.. «1. 7−1 «1. + 1
«11 + 1
=
61 + 11+2
«?1 … «. -1 «?. + 1.. «?? + 1 6г+1. -1 6г+1. +1 … 6г+1п
^ = 1,1 + 1-
г = 1 + 1, п, ^ = 1 + 1, п.
При ^ = 1 + 1, п будем иметь
Дг+17 (А) = ±ел (Е п=1+1)
[6г+2г+1] … [6г+2. -1] [6г+2. +1]
[6п1 + 1 ] … [6п. -1] [6п. + 1]
[6г+2п]
[6пп]
X
«11 … «11
+ О'- А
«?1 … «гг Таким образом, из (13)-(15) получим

/
= ±ел (? п=г+1) [Вг+1. Аг+1 ].
(14)
(15)
Дг+1 (А) = Ат-1+Ек=1 Кк°+?п=г+1Кк1 -К1+11 К^ (±ел (Еп=1+1Шк-шг+1)[А. Вг+1г+1 ])
. =1
0 Нт (С, А) ел-,» ?С + Е (±ел (ЕП=1+1 ^)[Аг+1 Вг+у])? Нт (С, А) ел-,"=
7=1+1
п
1
х
х
X
X
X
= Ат-^Е к=1 Кк0+Е п=г+1 Кк1-К1+11 еЛЕ п=г+1Шк ^ В1+11+1 ])
. =1
х / Лт (С, А) еЛ (ш& quot-5-Ш1+1) ?С +? (±[АЛ+1В1+У]) / Лт (С)еЛш& quot-(5−1) ?С
(16)
. =1+1
Положим, А = г ехр (г^) и пусть для определенности ^ е [0, П& gt- - е] .В случае ^ е [Зт + е, 2п)
проводим аналогичные рассуждения. Используя неравенство Коши — Буняковского, получим при 3 = 1, п
Лт (С, А) еЛш& quot-(5−1) ?С
& lt- 0 |Лт (С, А)|ег2−1 (5−1) ?С & lt- (? |Лт (С, А)|2 х
т 1 1 е2г П-1 (5−1) ?С) =Е 17^-к ИЛ» Ю, 1 Г 1
к=
1 | А|
2 г 2−1
1 — е
— 2гПвшЛ2 & lt-
Л/1А'-
Следовательно, при 3 = 1,1 справедливы оценки
Лт (С, А) еЛ (ш& quot-5-ш1+1) ?С
Из (16)-(18) окончательно найдем
= - Ш1 + 1)
Лт (С, А) еЛш& quot-(5−1) ?С
& lt-
С
Л/1А'-
|Д1+1 (А)| & lt- С |А|т- 2 +? к=1 Кк0 +Е к=г+1 Кк1 -Кг+11 еЛЕ к=г+1
Рассуждая аналогично (13)-(16), будем иметь при г = I + 2, п
Дг (А) = Ат-к=1 Кк0+Е п=1+1 Кк1-е^ п=1+1шк (±[А Вгг+х])
. =1
х / Лт (С, А) еЛ (ш& quot-5-Ш1+1) ?С + Е (±[Аг+1Вг. ]) /& quot-'- Лт (С, А) еЛш& quot-(5−1) ?С
. =1+1
откуда, используя оценки (17)-(18), аналогично (19) получим при 3 = I + 2, п |Дг (А)| & lt- С |А|т- 2 к=1 Кк0 +Е п=г+1 Кк1 — Кг1 еЛЕ п=г+1 шк.
Из формул (8), (11), (19)-(20) и предположений (9) в случае, А е П+ будем иметь
|@г (А)| =
Дг (А)
Д (А)
& lt- С |А|
т- 3 -кг1
г = I + 1, п,
т. е. утверждение леммы в этом случае доказано. Пусть теперь, А е П-. В этом случае при 3 = 1, п
иг0 (у., А)= ^ Аз агзк -к Ак = АКг0 ^ «гзк -к = АКг0, г = 1,1-
з+к=кг
з+к=кг
иг0 (у., А)= Аз агзк -к Ак + 5] Аз вгзк -к Ак еЛш& quot- =
з+к& lt-кг
з+к& lt-кг1
АКг0 Е агзк-к + О (АКг0−1) + О (АКг1 еЛш1) = АКг0 (Е «гзк-к + о (А) + О (АКг1
з+к=кг0 з+к=кг0
= А& quot-0(Е агзк -к + °(А))
з+к=кг0 /
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
Кг1-Кг0, ЛШ1 Л 1 _
= АКг0 [а. ], г = I + 1, п.
(22)
х
п
1
о
1
X
о
1
1
о
о
Подставив эти асимптотические формулы в Д (А), найдем с учетом предположения (10) АК1° он ••• АК10 ахп
Д (А) =
АК1° оц ¦ ¦ АК1° огп / о11.. 01п
= п = 1 Кк°
АК1+10 [01+11 ] ¦ ¦ АК1+10 [ог+1п] V
оп1.. 0п1
АКп0 [ощ]
+оА

А п° [опп]
= А^ П=1 Кк0 ёе^ау)п ^-=1[1].
(23)
Далее, подставляя формулы (21), (22), (12) в Дг (А) при г = I + 1, п, вынося из каждой строки, А в соответствующей степени и раскладывая оставшийся определитель по элементам г-й строки, получим
Дг (А) =
АК1° о11
АК1° оц АКг+1° [ог+п]
Ак^-10[аг-11 ]
Ат-1/о (С, А) еЛ^ ?С
Ак*+10 [аг+и ]
АКп0 [от ]
АК1° о1п
АК1° агп АКг+1° [аг+1п]
Ак^-10[аг-1П] Ат-1/о МС, А) еЛ^»?С Ак& lt-+1° [аг+1п]
= аго-1+? п = 1 Кю -к-,
п «1 Е (-1)г+у /
(С, А) вЛш^» ?С
А п° [опп] 011.. а1у-1 01у + 1
оц.. огу-1 огу+1.. огп
[ог+ц ].. [ог+1у-1] [ог+1у+1].. [ог+1п]
[ог -11 ].. [ог -1у -1] [ог — 1у + 1].. [ог-1п]
[ог + 11 ].. [ог+1у -1] [ог + 1у + 1].. [ог+1п]
[оп1].. [опу -1] [опу + 1].. [опп]
о1п
Отсюда, учитывая, что в рассматриваемом случае ИеА^п & lt- ••• & lt- ИеА1 & lt- 0 и имеют место оценки
* С
^ (С, А) еЛ^-«?С
& lt-
у/Щ
, 3 = 1, п,
аналогичные оценкам (17), легко получим при г = I + 1, п
Д (А)| & lt- С|А|т-3+ЕП=1Кк0-. Из формул (8), (23), (24) и предположения (10) в случае, А е П- будем иметь
Дг (А)
(24)
(А)1 =
Д (А)
& lt- С|А|
т — 3 —
г = I + 1, п,
т. е. утверждение леммы и в этом случае доказано. Тем самым лемма полностью доказана.
Следствие 1. Если выполняются условия (9)-(10) и, А е П±± то при |А| «1 справедливы оценки
|(c)г (А)| & lt- С|А|т- 2 -к
г = I + 1, п.
(25)
х
х
о
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КРАТНОЙ ПОЛНОТЫ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть Н := (^1,… Нт) Т е 1] ортогональна всем производным т-цепочкам. Тогда на основа-
нии утверждения 2 и того факта, что столбцы
/дкФг (ж, А) дк (Ат-1 Фг (ж, А))
дАк
дАк
л=л^
где г = I + 1, п, к = 0,5, т е {1,…, п}, V = 1,2,…, являются производными т-цепочками для корневых функций, соответствующих с.з. А^, которые являются нулями Д (А) кратности 5 + 1, из (7)-(8) следует, что все особенности ©?(А) устранимы. Согласно оценкам (25) и теореме Лиувилля (c)г (А) есть полиномы степени т — 2 — при т — 2 — & gt- 0, которые можно записать в виде
(c)г (А) = Ат-2-к (Н, Ссг) + Ат-3-К& lt- (Н, С1г) + ¦ ¦ ¦ + (Н, Ст-2-кгг), а при т — 2 — & lt- 0
(c)г (А) = 0.
В дефектном подпространстве производных т-цепочек выберем подпространство Н, ортогональное вектор-функциям Ск!(ж), к = 0, т — 2 — кг, г = I + 1, п. Пусть теперь Н е Н. Тогда (c)г (А) = 0 и, значит,
-1 т
Дг (А) = ЕА^-1Фг (ж, А) Н^-(ж) ?ж = 0, г = I + 1, п.
(26)
'-0 5. =1
Так как в силу утверждения 1 система функций Фг+1,…, Фп является системой линейно-независимых решений уравнения 10(у, А) = 0, удовлетворяющих первым I краевым условиям (5), то из (26) следует тождество


у (ж, А) ^^ А-7 (ж) ?ж = 0
(27)
7=1
для любого решения у (ж, А) уравнения 10 (у, А) = 0, удовлетворяющего первым I краевым условиям (5). Но эти решения находятся в виде
у (ж, А) = 71вЛш1Х + 72вЛш2Х + ¦ ¦ ¦ + 7пе
, Лш» х
(28)
если удовлетворить первые I условий (5). Следовательно, приходим к следующей линейной однородной системе I уравнений для нахождения 77
У^ 77 =0, г = 1,1. 7=1
(29)
Систему (29) можно записать в виде
7=1 7=1+1
г = 1,1.
(30)
Если в правой части взять любые 7г+1,…, 7п, то из (30) в силу того что по условию теоремы)?, 7=1 = 0, можно однозначно определить 71 ,…, 7^. Следовательно, для любого т & lt- п — I существует такая ф.с.р. (7!, 72,…, 7П) т, г = 1, п — I, системы (29), что
= 0.
Г =
т
Тп- т+1 Тп — т+2.
^ т /п — т+1 ^ т /п — т+2. ^ т / п
(31)
На основании (27)-(28) для такой ф.с.р. (7!, 72, …, 7П) т, г = 1, п — I, системы (29) справедливы тождества
п «1 т
Е / 77х Е Ак-1 Нк (ж) ?ж = 0, 7=1 0 к=1
г = 1, п — I.
(32)
0
п
п
Покажем, что из этих п — I тождеств следует, что = 0 при к = 1, т. Будем следовать схеме рассуждений [11, с. 77−80] (см. также [12, с. 63−64]). Разложим еЛ?^'-х в ряд
e^jx = 1 + A-7 x +
(A-7 x)2 (A-7 x) N
2!
+ ••• +
N!
+ … ,
подставим в (32), представим левые части (32) в виде ряда по степеням, А и приравняем к нулю коэффициенты. Тогда при N & gt- N0, где N0 — достаточно большое число, получим
^ Yi -N Г1 V^ 7 -7 I u /™™N
N!
7=1
h1(x)x dx + ¦ ¦ ¦ + /
^ Yj -f-m+1
1 (N — m + 1)!. /0
hm (x)x
N-m+1 _
dx = 0, i = 1, n — l. (33)
Это линейная алгебраическая система относительно m неизвестных
/ h1(x)xN dx, / h2 (x)xN 1 dx, /0. /0
hm (x)x dx.
Возьмем первые т уравнений в (33) и рассмотрим соответствующую систему с квадратной матрицей:
Dm = dn =
Vn Y1 j Vn Y1-W3_
?47 = 1 7 N! ?47 = 1 7 (N-1)!
En
7 = 1 Y
7 = 1 7 (N-m+1)!
Vn Ymj Vn Ym Z7=1 /7 N! Z7=1 7
7 = 1 7 N! ?47 = 1 7 (N-1)!
1 W — и W —
V1 Y1 J2
7i N! '-72 (N-1)!
?
1& lt-71 & lt-72 & lt- ••• & lt-7т & lt-П
En
7=1 /
N-m + 1
m
7 = 1 7 (N-m+1)!
N-m + 1 1 W. + Y1 jm_
7m (N-m+1)!
N N-1 N-
W• w • w& quot-
'-m 31 _ m 32 -, m 3m
/71 N! 72 (N-1)! ••• /7
-N -u-1
71 N! 72 (N-1)!
N-m+1

^ N! (N — 1)! & quot-'- (N — m + 1)!
1& lt-71 & lt-72<--<-7m & lt-n v У V У
7m (N-m+1)!
Y71 Y72..
Y m Y m Y m
'-71 '-72 • • '- 7
71 132'-& quot-'- 7то
Отсюда и из (6), (31) можно заключить, что слагаемое, соответствующее 31 = п — т + 1, 32 = п — т + 2, …, 3 т = п, при N достаточно большом мажорирует сумму всех других слагаемых, т. е. имеет место равенство

N
т-jm _ & quot-^n-m+1 -n-m+2
DN =
N-1
-.
N-m+1
N! (N — 1)!& quot-'-(N — m + 1)!
Г41 + o (1)),
где о (1) ^ 0 при N ^ го. Следовательно, при N & gt- N0 получимт = 0. Тогда из системы (33) будем иметь при N & gt- N (3
1 1 1 «N & gt- _ / l. ^^N-1
h1(x)xN dx = h2 (x)xN-1 dx = … = hm (x)xN-m+1 dx = 0.
Отсюда следует, что =0 при к = 1, m. Таким образом, теорема доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Р Ф для государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-4383. 2010. 1) и гранта РФФИ (проект 10−100 270).
Библиографический список
1. Келдыш, М.В. О полноте собственных функций 2. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные опе-некоторых классов несамосопряженных линейных опе- раторы / М. А. Наймарк. — М.: Наука, 1969. раторов / М. В. Келдыш // УМН. — 1971. — Т. 26, № 4. 3. Шкаликов, А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в гра-
— С. 15−41.
1
0
1
0
N-m+1
W.
1
w& quot--1
1
Y
7
0
0
0
ничных условиях / А. А. Шкаликов // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. — 1983. — № 9. — С. 190−229.
4. Gasymov, M. G. О кратной полноте системы собственных и присоединенных функций одного класса дифференциальных операторов / M. G. Gasymov, A. M. Magerramov // Докл. А Н Азерб. ССР. — 1974. — Т. 30, № 12. — С. 9−12.
5. Келдыш, М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений / М. В. Келдыш // Докл. АН СССР. — 1951.
— Т. 77, № 1. — С. 11−14.
6. Хромов, А. П. Конечномерные возмущения вольтер-ровых операторов: дис. … д-ра физ. -мат. наук / Хромов А. П. — Новосибирск, 1973. — 242 с.
7. Шкаликов, А. А. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными краевыми условиями / А. А. Шкаликов // Функц. анализ. — 1976. — Т. 10, № 4. — С. 69−80.
8. Хромов А. П. О порождающих функциях вольтерро-вых операторов / А. П. Хромов // Мат. сборник. — 1977.
— Т. 102(144), № 3. — С. 457−472.
9. Freiling, G. Zur Vollstandigkeit des Systems der Eigenfunktionen und Hauptfunktionen irregularer Operator-bUschel / G. Freiling// Math. Z. — 1984. -V. 188, № 1. — P. 55−68.
10. Тихомиров, С. А. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов в пространстве вектор-функций: дис.. канд. физ. -мат. наук / Тихомиров С. А. — Саратов, 1987. — 126 с.
11. Вагабов, А. И. Разложения в ряды Фурье по главным функциям дифференциальных операторов и их применения: дис.. д-ра физ. -мат. наук / Вагабов А. И.
— М., 1988. — 201 с.
12. Вагабов, А. И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов / А. И. Вагабов. — Ростов н/Д: Изд-во Рост. ун-та, 1994. — 160 с.
13. Рыхлов, В. С. О полноте собственных функций одного класса пучков дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами / В. С. Рыхлов // Изв. вузов. Математика. — 2009. — № 6. — С. 42−53.
14. Рыхлов, В. С. О кратной неполноте собственных функций пучков обыкновенных диференциальных операторов / В. С. Рыхлов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. — Вып. 3.
— С. 114−117.
15. Рыхлов, В. С. О кратной неполноте собственных функций пучков дифференциальных операторов, корни характеристического уравнения которых лежат на одном луче / В. С. Рыхлов // Докл. РАЕН. — Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2004. — № 4. -С. 72−79.
УДК 517. 956
О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ
П. В. Садчиков, А.Д. Баев
Воронежский государственный университет, кафедра уравнений в частных производных и теорий вероятностей
E-mail: sadch@freemail. ru, alexsandrbaev@mail. ru
Рассматриваются краевые задачи в полупространстве для одного класса псевдодифференциальных уравнений. Установлены коэрцитивные априорные оценки и теоремы о существовании решений таких краевых задач.
Ключевые слова: вырождающееся эллиптическое уравнение, априорная оценка, псевдодифференциальный оператор, краевая задача.
Аbout Some Boundary Problems in the Semispace for a Class of Pseudo-Differential Equations with Degeneracy
P.V. Sadchikov, A.D. Baev
Voronezh State University
Chair of the Equations in Partial Derivatives and Probability Theory E-mail: sadch@freemail. ru, alexsandrbaev@mail. ru
Boundary problems in the halfspace for one class of the pseudodifferential equations are considered. The coercetive a priori estimations and theorems of the existence of solutions for these problems are established.
Key words: degenerating elliptic equation, a priori estimation, pseudo-differential operator, boundary problem.
Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений относятся к неклассическим задачам математической физики. Одна из главных трудностей, возникающих в теории вырождающихся эллиптических уравнений, связана с влиянием младших (в смысле теории регулярных эллиптических уравнений) членов на постановку краевых задач и их разрешимость.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой