Применение теоремы об эквивалентности решения операторного уравнения и поиска минимального элемента квадратичного функционала

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 988. 8
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ И ПОИСКА МИНИМАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА
Алданов Е. С., Тлеубергенова М. А.
Актюбинский региональный государственный университет им. К. Жубанова,
Актобе, e-mail: aldanersat@mail. ru, madina_70@mail. ru
Закон переноса физических субстанций описывается с использованием дифференциальных уравнений, где искомые функции подчинены заданным краевым условиям. Эти условия зависят от положения, в которой находится исследуемый объект. Такие уравнения можно рассматривать как операторные уравнения, действующие в конкретных функциональных пространствах. Сведения, полученные из такой постановки, могут быть применены для построения эффективных численных методов решения задач с большой практической значимостью. В данной работе рассматривается связь операторного уравнения, рассматриваемая в банаховом пространстве с квадратичным функционалом, и ее применение для построения одной модификации вариационного метода. Рассматриваемая в работе физическая задача: поперечный изгиб балки с постоянной жесткостью, которая лежит на упругом основании. Математическая модель этого процесса описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка с заданными краевыми условиями, рассматриваемая как операторное уравнение с положительным оператором в левой части. Решение такого уравнение исследуется с помощью квадратичного функционала специального вида. Доказывается, что задача нахождения решений данного уравнения с заданными краевыми условиями эквивалентна задаче поиска минимума функционала. Далее, строится вариационный метод по минимизации квадратичного функционала, численный расчет которого дает решения исходной физической задачи. Практической значимостью работы является то, что численный расчет поиска минимума функционала легко осуществляется быстро сходящимся численным алгоритмом основанный минимизацию квадратичного функционала.
Ключевые слова: положительный оператор, операторное уравнение, квадратичный функционал, минимизация функционала
APPLICATION OF THE EQUIVALENCE THEOREM FOR SOLVING OPERATOR EQUATIONS AND FINDING THE MINIMUM OF A QUADRATIC FUNCTIONAL ELEMENT
Aldanov E.S., Tleubergenova M.A.
K. Jhubanov Aktobe Regional State University, Aktobe, e-mail: aldanersat@mail. ru, madina_70@mail. ru
Law of transfer physical substances described using differential equations, where the unknown functions are subject to the given boundary conditions. These conditions depend on the position in which the object under study.
Such equations can be regarded as the operator equations acting in specific functional areas. Information obtained from this formulation can be used to build an efficient numerical methods for solving problems with great practical importance. In this paper the relationship between the operator equations are considered in a Banach space with a quadratic functional and its application for a modification postreniyavariational method. Considered in the work of the physical problem: transverse bending beams with constant stiffness, which lies on an elastic foundation.
A mathematical model of this process is described by a differential equation of the fourth order with the given boundary conditions, regarded as as an operator equation with a positive operator on the left side. A solution of this equation is studied by using a special form of a quadratic functional. It is proved that the problem of finding solutions of this equation with the given boundary conditions, equivalent to the problem of finding the minimum of the functional. Further, the variational method is based on minimization of a quadratic functional, numerical calculation which gives solutions of the original physical problem. The practical significance of the work is that the numerical calculation of finding the minimum of the functional is easily accomplished rapidly convergent numerical algorithm based minimization of a quadratic functional
Keywords: positive operator, the operator equation, quadratic functional, minimization of the functional
Пусть A дифференциальный оператор d
A =
d2^
dx2
dx2
+ q (x),
(1)
определенный на множестве функций D (A) е L2 [0, 1] и непрерывные на [0, 1] вместе со своими производными до четвертого порядка включительно и удовлетворяют некоторым граничным условиям, например
ю (0) = со (1)= со'-(0) = ci/(l)=0, (o (x)eD (A).
(2)
И пусть q (x) & gt- 0 на интервале (0, 1).
Такое множество D (A) является линейным многообразием, всюду плотным в гильбертовом пространстве L2[0, 1].
Определение. Линейный симметричный оператор A называется положитель-
ным, если для любого u е D (A) выполняется неравенство (Ли, м) & gt- 0, причем (Аи, и) = 0 & lt-=>- и = 0 [1, 2].
Из определения следует, что A -положительно определенный оператор.
Рассмотрим операторное уравнение в гильбертовом пространстве L2 [0, 1] с оператором (1)
Аналогично Au2 = f или йАщ (х)
Au=f.
(3)
dx
+ q (x)u2(x) = f (x).
Вычи:
Теорема. Уравнение (3) с положительным оператором A имеет не более одного решения в D (A).
Доказательство. Допустим, что операторное уравнение (2) имеет два решения и и и Тогда Au1 = f или
й +ц (х)щ (х) = /(х).
dx
или
(ul (x)-u2(x)'-)+q (x)(ul (x)-u2(x)) = О
А (и1-и1) = 0.
Из последнего равенства следует, что
1
(а (щ -u2),(ui-u2^)-jA (u1-u2)-(ul-u2)dx-0.
о
н (0) = м (1)= 0- и{ 0) = осы'-(О) — и (1) = $и".
Из этих уравнений при, а = в = 0 вытекают условия жесткого защемления, а при, а ^ да и в ^ да — шарнирного опирания, и условия принимают вид (2).
Рассмотрим функционал вида
Ju = (Au, u)-2{f, u). (4)
Справедлива следующая теорема о квадратичном функционале.
Теорема. Для того, чтобы элемент и0 е D (A) был решением операторного уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы квадратичный функционал (4) на и принимал свое минимальное значение в D (A), т. е.
УиеО (А) — и Фu0Ju-Ju0& gt-0.
Доказательство: Необходимость.
Пусть на элементе и0 функционал (4) принимает минимальное значение в D (A), т. е.
/[м0 +5м]& gt- 7[м0]- и е В (Л) — 8еЯ.
Используя свойства скалярного произведения и симметричности положительного оператора, получаем:
. /[н0 + 8и]=(Л (м0 +5и), и0 + 8н)-2(/, и0 +Ьи) = = {Аи0+ЬАи, и0 + 8м) -2(/, м0) — 28(/, и) -= (Аи0,и0) + 2 8(Ли0, и)+ Ь2 (Аи, и) — 28(/, и) — 2(/, и0).
При и Ф 0- правая часть полученного выражения ява _ иу ляется квадратным трехчленом
Ь = 2((Ли0 — и)) —
с = (Ащ, щ) -2(/, м0& gt- Ju0+8u]- ад2 + 2ЪЬ+с.
Из приведенного выше определения положительности получаем, что и это равносильно тому что
(^4(м1-м2),(м1-м2)) = 0ф=& gt-м1-м2 =0.
Таким образом, и1 = и2.
Уравнением (1) описывается, например, поперечный прогиб и (х) балки [3] под действием распределенной поперечной нагрузки Дх), Дх) е L2(0, 1), где балка имеет постоянную жесткость на изгиб и лежит на упругом основании, реакцию которого определяет слагаемое q (x)u (x), q (x) & gt- 0 на интервале (0, 1).
При таком физическом смысле постановки задачи граничные условия отражают то, как закреплены ее концы. Так, для консольной балки с жестко защемленным левым и свободным правым концами граничные условия имеют вид
м (0) = м'-(0) -и 1) = м*(1)= 0.
Если балка имеет на концах опоры, допускающие (в отличие от жесткого защемления) поворот ее поперечного сечения, пропорциональный в этом сечении изгибающему моменту, то в этом случае граничные условия принимают следующий вид:
Данный трехчлен свое минимальное значение принимает при 5 = 0
J [мд + 8u] g_g J К ] =& gt- Jg К + 8н]| g_Q — 2(Аий, и) -2(f, и) 0^^
=& gt- (Аи0, и) — & lt-/, и) = 0 =& gt- (Аи0 — /, и) = 0.
Последнее равенство означает, что эле- Достаточность. Функционал (4)
мент Au0 -f е L2[0, 1] является нулевым определен при всех u е D (A). Пусть
элементом этого пространства, так как оно u0 удовлетворяет (1): Au0 = f Под-
верно Vu е D (A) с L2[0, 1], т. е. Au0 -f = 0, ставляя это значение вместо f в (4),
а значит u0 е D (A) является решением (1). получаем:
Ju = (Au, u) — 2{Auq, u) = (Ли, и) — (Аи0,и) — (и, Аи0) = - (Ли, и)-(Аи0, и)-(Ли, и0) + (Аи0, и0) — (Аи0,и0) = = (А (и — и0), и — и0) — (Ли0, и0).
Отсюда
J К ]-, и0), и в силу положительности оператора A имеем
J [и]- J [м0 ] = (А (и -и0), и -и0) -(Аи0,и0) + (Аи0,и0) = = (А (и — и0), и — и0) & gt- 0.
Так как
(A (u — Uq), u — u0) = 0 & lt-=>- и-и0 = 0 =& gt- и = и0.
Теорема доказана.
При таком раскладе решения операторного уравнения (3) можно построить итерационный процесс [1] со скоростью геоме-
или в операторной форме d4
трической прогрессии, с помощью которого где Л^- - можно найти минимальный элемент специ- (Лх1
оператор однозначно раз-
ального ввда функциoнaлa, поиск которого решим в пространстве L2(0, 1) с заданными является эквивалентным поиску минималь- краевыми условиями. 2
ного элемента функционала (4).
Введем оператор А0 следующим образом: обозначим
u (4) = v,
«U=°- „l*=i=°-
и& quot-І n- 0- u л — 0
x=0 ' x=l
Тогда уравнение (3) примет вид
Му = у+д (х)А~1 у= /(*). (5)
Если V найдено, то и вычисляется по формуле
1 1 -і 1 х ґ аЗ
и — v = - х J (1 -1)3 v (t)dt ±х3 J (t -1)3 v (t)dt + J -------------v (t)dt.
Обозначим l
•/(to) = JIco+^jcX^o^Xjc)-/^)! dx. (6)
При Ю = V, где V — решение (5), имеем /(ю) = 0 и наоборот.
Будем предполагать, что уравнение (5) для любой правой части Дх) е L2(0, 1) имеет единственное решение. Следовательно. из теоремы Банаха вытекает, что
¦ (7)
(8)
и норма А) — вычисляется явно в пространстве L2(0, 1).
& quot- г-1. 11 — 1
М~1'- & lt--
где
причем
(l+lA'-IllkWl)'-
W\=Wt
Построим итерационный процесс. Положим
Пусть юп п-е приближенное решение ю = ю _ ?Ю
п+1 п 5
уравнения /(юп) = °. где е _ положительное число.
Тогда
1 2 J (ю"+1) = /(со" — ею) = | (соя — ?(о+ д (х)Ас1 (ю“ — ею) — / (*)) & lt-Ь =
О
о Z 1
= |(®л +#(*)АЧ-/(*))& lt-&-- 2|(юл +9(х)^0"1ю» -Дх))(?ш-9(хН~1 (ею))й?х +
о
+|е2 (со+ д (д:)^-1 (ю))2 ^ = У (юл)-2е (Мюл-/, Мсо) + е2||Мсо||2 =
о
= У (юи) — 2 е (М * (Мй" - /), а& gt-) + е2 |М (й||2.
Мы воспользовались линейностью интегрального оператора А0.
Выберем
ш = М*(Мюл -/) = (Мсол -/ + А, 1д (х)А (М^п -/)).
Тогда
У (юп+1) = У (сол)-2е|ю|2 +е2 ЦМюЦ2 & lt- У (юл)-^2е-|М|2е2^|
toll
(9)
В силу условия (1. 11) имеем
Р ((ап) = \М (ЯП-/\ = \м*-1 М*(Мюл-У)| = ||лГ1а)||& lt- с||ю||.
Поэтому из (1. 13) следует
Лсо"|)& lt-А<-о,)-[2е-|^||2е2]да),)/с≠Л<-1>-,)[1-[2е-|М2Е!]/с!].
Выберем Тогда получим
z = d~2& lt- М.
/(C0"+i)& lt-J (C0j
(10)
Для разности юп+1 _ юп имеем
I®в+1 II = е|ю| = еIМ *(Мю" -/)|| & lt- е||м *||р ((й") & lt- ср (юп).
Это неравенство и (10) дают следующий результат:
Теорема 1.2.1. Пусть для любого
Д (х) е L2(0, 1) задача (3) имеет единственное решение иеИ4(0,1), причем оператор М,
определенный по (5), удовлетворяет условиям ||м1||& lt-с, ||м|| & lt- а, причем справедливо неравенство ей & gt- 1. Тогда для любого ю0 е L2(0, 1) последовательность, определяемая по формулам
(r)"+1 = ~^2М'-(М (йп -/),
сходится к решению ю, уравнения (1. 9'), причем выполнены оценки
У (юл)& lt-ей/((О0) — 1|Юи+1-®о11^ свп/2р ((О0),
где 0 = 1------. При этом функция и = Ачю.
й?2С2
будет решением задачи (5).
Доказательство. Из (10) и последующих неравенств следует, что
/(юл)& lt-а/(сол+1)<-… <-0"-/(о)о), 0& lt- 1-
|к+і-юл|| & lt-c2/((O")<-… <-c20Vo
Докажем сходимость приближенного решения к решению исходной задачи:
1к+"lk+m -°WilMI°Wi -®л+й1−2ІІ±+Ік+і -юл|| ^ с7л0(п+т& quot-1)/2+
+Cy[T0Q{n+m-2y2 +… + cJT0Qn'-2 =cJT0Qnl2 (е (-1)/2+е («-2)/2 +… +1)=^=ел/2,
1 --у/0
{юп} _ фундаментальная последовательность, Х2(0, 1) _ полное гильбертово пространство, тогда существует такой элемент ю, что юп ^ ю, в 12(0, 1) и из непрерывности оператора М получим /(юп) ^ /(ю,). Тог -да из первого неравенства теоремы следует, что /(ю,) = 0, то есть Мю, = Д и и = Лчю,.
Теорема доказана.
Список литературы
1. Алданов Е. С. Построение приближенных решений задач теории упругости и теплопроводности на основе вариационного метода: автореф. дис. … канд. физ. -матем. наук. _ Алматы, 2004.
2. Власов Е. А., Зарубин В. С., Кувыркин Г Н. Приближенные методы математической физики. _ М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. _ 700 с.
3. Колмогоров А. И., Фомин С. В. Элементы теорий функций и функционального анализа. _ М.: Наука, 1968. _ 543 с.
4. Леонтьев Н. Н. Приложение вариационного метода Власова В. З. к расчету фундаментов гидротехнических сооружений: дис. … канд, физ. -мат. наук. _ М., 1952. _ 110 с.
5. Мухамбетжанов А. Т., Отелбаев М. О., Смагулов Ш. С. Об одном новом приближенном методе решения нелинейных краевых задач: Препринт И А РК. _ Алматы, 1997. _ № 21. _ 34 с.
References
1. Aldanov E.S. Postroenie priblizhennyx reshenij zadach teorii uprugosti i teploprovodnosti na osnove variacionnogo metoda. Avtoreferat na soiskanie uchenoj stepeni kandidata fiziko-matematicheskix nauk. Almaty, 2004.
2. Vlasov E.A., Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Priblizhennye metody matematicheskoj fiziki. — M.: Izd-vo MGTU im. N. E'. Baumana, 2001. 700 p.
3. Kolmogorov A.I., Fomin S.V. E’lementy teorij funkcij i funkcional’nogo analiza. M.: Nauka, 1968. 543 p.
4. Leont’ev N.N. Prilozhenie variacionnogo metoda Vlasova V.Z. k raschetu fundamentov gidrotexnicheskix sooruzhenij: Dis. kand, fiz. -mat. nauk. M., 1952. 110 p.
5. Muxambetzhanov A.T., Otelbaev M.O., Smagulov Sh.S. Ob odnom novom priblizhennom metode resheniya nelinejnyx kraevyx zadach: Preprint IA RK. Almaty, 1997. no. 21. 34 p.
Рецензенты:
Оразбаев Б. Б., д.т.н., профессор, Атыра-уский институт нефти и газа, академик ИА РК, г. Атырау-
Хасанов А., д.ф. -м.н., профессор, Ак-тюбинский университет им. С. Баишева, г. Актобе.
Работа поступила в редакцию 21. 05. 2014.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой