Движение ультрадисперсных частиц в закрученной секции кольцевого канала

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010 Математика и механика № 2(10)
УДК 531. 351
М. А. Бубенчиков ДВИЖЕНИЕ УЛЬТРАДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ В ЗАКРУЧЕННОЙ СЕКЦИИ КОЛЬЦЕВОГО КАНАЛА1
В работе исследуется процесс центрифугирования ультрадисперсных частиц в кольцевом канале с вращающейся секцией. При математическом моделировании их движения в модели стоксовского сопротивления учтена поправка Каннингема на конечность числа Кнудсена. Построена явно-неявная схема, позволяющая вести расчеты в широком диапазоне изменения шагов по времени. Для проверки точности вычислений дано также аналитическое решение задачи об определении поперечного смещения частицы. Получено хорошее согласование численного и аналитического решений.
Ключевые слова: ультрадисперсные частицы, кольцевой канал, центрифугирование, поправка Каннингема, число Кнудсена, явно-неявная схема.
Центробежные аппараты широко и успешно используются для разделения компонент полифракционных газовых смесей, а также для выделения из газовой фазы взвешенных в ней фракций редкоземельных элементов, в частности, газовое центрифугирование является основным способом выделения радиоактивных изотопов. Если речь идет о частицах, размер которых порядка микрона и выше, то для описания их движения в газе применимы методы механики сплошной среды, и в частности методы классической аэромеханики. В этом направлении активно работали и работают представители томской школы аэромехаников В. А. Шваб, А. В. Шваб, М. И. Шиляев, И. М. Васенин, А. А. Глазунов, А. Д. Рычков, В. А. Архипов, А. В. Старченко, О. В. Матвиенко и другие. Однако при описании движения мелкодисперсных частиц из-за нарушения гипотезы сплошности среды и наличия броуновского движения возникают проблемы при определении силы аэродинамического сопротивления частицы. При выполнении расчетов в настоящей работе принята технология вычисления сопротивления, широко используемая при газовом центрифугировании радиоактивных изотопов.
Физическая постановка задачи
Будем рассматривать стационарное осесимметричное изотермическое закрученное течение газа, содержащего незначительное по массе количество примеси в виде ультрадисперсных либо даже наночастиц. Движение газа осуществляется в кольцевом канале постоянного сечения, имеющем вращающуюся секцию.
Пусть, а и Ь — внутренний и внешний радиусы кольцевого канала, а Ь = Ц+ Ь2 + Ь3 — его длина, причем Ь «Ь — а. Изначально прямоточное движение газа, поступающего на вход в кольцевой канал еще на участке Ь1 трансформируется в автомодельное распределение (см. ниже). В секции Ь2, где осуществляется вращение стенок канала, на это движение накладывается окружное пере-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 08−01−484-а).
мещение среды, в результате траекториями движения частиц на этом участке оказываются линии, схожие с винтовыми. В секции ?3 окружное движение под действием сил вязкости постепенно затухает. Безусловно, в начале секции Ь2 существует участок перестройки движения. Его длина будет определяться отношением интенсивностей конвективного и диффузионного механизмов в переносе окружной скорости. Как только распределение компоненты Ж будет соответствовать закону вращения твердого тела, этот участок закончится. Имея в виду относительно небольшой поперечный размер области течения и модельный характер настоящих расчетов, ниже мы не будем рассматривать участок перестройки движения.
Рис. 1. Физическая область движения газа и частиц:
Ь1 — предвключенный участок, Ь2 — вращающаяся секция, Ь3 — участок последействия
Автомодельные распределения в газовой фазе
Стационарные уравнения осесимметричного изотермического дозвукового течения воздуха в центробежном аппарате можно записать как осесимметричные уравнения Навье — Стокса для несжимаемой жидкости [1]:
1 др
и ди+V ди
дг дг
и V+V V.
дг дг
Ж 2 г
р дг
1 др
-+V і у2у — у р дг V г
ттдж ^ дж уж (2ш ж
и-----+ V-----±----= V і У2Ж --
дг
дг г
ди + 1 д (Уг) дг
— + -
дг г
= 0.
(1)
(2)
(3)
(4)
Здесь г, г — цилиндрические координаты- и, V, Ж — компоненты вектора скорости в выбранной системе координат- р, р — плотность и давление газа (жидкости) —
2 д'-
У2 = -
2
д
2
1 д
дг2 дг2 г дг
Для случая прямоточного течения несжимаемой жидкости в [1] приведено автомодельное распределение для продольной компоненты скорости в кольцевом канале:
2
— плоский оператор Лапласа.
& lt-(г) =
Др
2 2 а — г +
«2 2 Ь — а
1п (г/а)
(5)
4^ |_ 1п (Ь/а)
где а, Ь — внутренний и внешний радиусы кольцевого канала- Ар — перепад давления на длине Ь, ц — коэффициент динамической вязкости среды.
Существует простейшее автомодельное (все распределения которого зависят только от одной координаты) решение задачи о закрученном течении в кольцевом канале:
и (г) = и (г), V (г) = 0, Ж (г) = юг,
2
Р (, г) = Ра ()+рТ (г 2 — а 2). (6)
Здесь ю — постоянная по величине угловая скорость, ра (г) — линейная функция г,
др
так что — уже не зависит от г.
дг
Непосредственной проверкой убеждаемся, что эти распределения удовлетворяют уравнениям (1) — (3).
Уравнение поперечного перемещения отдельной частицы
Примем, что сила сопротивления? а движению частицы пропорциональна первой степени скорости поперечного смещения:
^ = 2Мрг, (7)
где М — масса частицы, в — пока еще неопределенный коэффициент сопротивле-
ёг
ния, г = -, г (г) — поперечная координата отдельной частицы.
Ж
Далее в настоящей работе мы пренебрегаем скольжением частиц при их перемещении в продольном направлении, считая, что в этом направлении они двигаются со скоростью, равной скорости основного потока. Запишем основное уравнение динамики частицы, спроецированное на радиальное направление, в котором будут учтены лишь центробежная сила инерции и сила сопротивления среды:
Ж2
М ¦ г = М------2Мрг. (8)
г
Заменяя Ж с использованием (6) и сокращая на М, найдем:
г = ю2г — 2рг. (9)
Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое будем интегрировать численно. Однако в дальнейшем для проверки точности вычислений построим и аналитическое решение этого уравнения.
Расчет силы сопротивления
В дальнейшем будем использовать обозначения V = г, V = гег, где ег — орт оси 0 г.
Сила сопротивления через коэффициент сопротивления может быть определена следующим образом:
Р0 =-. (10)
8
Здесь ё — диаметр частицы- V — ее относительная скорость- р — плотность окружающей среды.
Для Са будем использовать простейшую формулу Стокса
24
с» = ЙГ & lt-«>-
с коррекцией Каннингема [2, 3] на конечность числа Кнудсена для частицы наноразмера. Поэтому здесь
Йе = Р ,. (12)
ц'- =С, С = 1 + Кп (Д + А2ехр (-А3/Кп)), Кп =, Ц'- - величина скорректированного по Каннингему коэффициента динамической вязкости среды, I — длина свободного пробега молекул окружающей частицу среды, Кп — число Кнудсена, А- (= 1,3) — коэффициенты модели.
Подставляя (11), (12) в (10), получим
^ = 3ndV ц'-. (13)
С другой стороны, принимая для Ев зависимость
^ = 2М PV, из сопоставления этих формул найдем
п 3пё ,
Р =-----Ц'-. (14)
2 М
Численное решение задачи
Уравнение второго порядка (9) запишем в виде системы двух уравнений первого порядка:
^ = V (г) — (15)
— = ю2г — 2р V. (16)
Добавляя к уравнениям (15), (16) кинематическое условие, определяющее продольную скорость частицы, получим замкнутую систему, полностью определяющую движение частицы в потоке:
^ = и (г). (17)
Численное интегрирование полученной системы будем проводить с использованием для уравнений (15), (17) схемы Рунге-Кутта четвертого порядка точности и неявной схемы для уравнения (16). Согласно подходу Рунге-Кутта, использующему идею пересчета для того, чтобы вычислить значение искомой величины на новом слое по времени (в момент /п+'-), необходимо предварительно вычислить правые части указанных уравнений в четырех точках интервала t е _/п, ^+1:
Г = Гп, V = V& quot-, и = и (г) —
(18)
(19)
(20)
Г4 = Гп + к^, V. =
(21)
Тогда значения искомых величин на новом слое по времени найдутся по формулам
Соотношения (22), (23) представляют собой формулы явного определения цилиндрических координат частицы по технологии Рунге-Кутта, а (24) — формула неявного вычисления скорости частицы на новом слое по времени.
Проводя последовательно расчеты по формулам (18) — (24), находим численное решение задачи о движении частицы в закрученном потоке, полученное с использованием явно-неявной схемы.
()
(V& quot- + кю2 гп+1)
(24)
(1 + 2рк)
Аналитическое решение
Исходное уравнение динамики одиночной частицы
г = ю2г — 2рг
(25)
есть однородное линейное уравнение второго порядка. Решение ищем в виде
(26)
Подставляя в (25), находим
а2еа + 2раеа -ю2еа = 0.
Сокращая на еш, получаем характеристическое уравнение
а2 + 2ра -ю2 = 0.
Его корнями будут действительные числа
4,2
Поэтому общим решением будет распределение
а,?. Г'-
а12 =-р + -у/р2+ю2. (28)
г (?) = С1еа1' + С2 е"2?, (а)
где Сь С2 — константы интегрирования, которые найдутся из начальных условий:
/ = 0, г = г0, г = 0,
из которых при наличии аа) следует
С1а1 + С2а2 = 0, С1 + С2 = г0.
Отсюда с учетом а28) получим
с = Г0 Р+УР2 +ю2
2 Ур2 +032 а29)
С =-г0 Р-УР2 +°2
, 2 2'- ^р2+ю2.
Принимая во внимание введенное ранее обозначение г = V, для поперечной скорости частицы найдем
V = а1С1е"1? +а2С2е"2?. (30)
Результаты расчетов
Ниже представлены результаты расчетов движения газа и частиц в кольцевом канале с поперечными размерами: а = 0,3 м, Ь = 0,35 м, длиной вращающейся секции Ь2 = 1,4 м и угловой скоростью вращения барабанов ю = 300 с-1. На рис. 2 показан профиль продольной скорости газа. Цифровка на всех графиках соответствует значениям в системе СИ. Как видим, уровень скоростей, представленный на этом рисунке, отвечает ламинарному режиму течения газа.
В качестве частиц были выбраны углеродные шарики диаметром ё = 10−7 м, М = 1,2−10−20 кг, а в качестве окружающей среды — атмосферный воздух, для которого I = 2−10−7 м. Поэтому число Кнудсена было равно Кп = 2. Поправка вязкости в этом случае определялась следующими значениями коэффициентов [2]: Л = 0,99, Л2 = А3 = 0 (см. соотношение (12)). При этом коэффициент в, входящий в (16), получился равным в = 2,44−106 с-1, а корни характеристического уравнения, входящие в решение (а), имели следующие значения: а1 = 2,2−10−2 с-1,
а2 = -4,09−106 с-1. Как видим из рис. 3, скорость центрифугирования V оказалась в этом случае практически постоянной величиной и приближенно равной 8 мм/с.
Кривые 1 — 5 на рис. 3 — 5 отвечают различным начальным положениям частиц в поперечном сечении канала. Эти положения отмечены цифрами на вертикальной оси рис. 3. В представленной математической модели процесса мы не рассматривали эффект отражения частиц от стенки канала. Попадая на нее, они останавливаются, что и следует из рис. 4, 5. Зона пребывания частиц в аппарате ограничена справа поверхностью вращения с образующей в виде траектории частицы, сошедшей с малого барабана (см. кривая 1 на рис. 5).
Рис. 2. Автомодельный профиль Рис. 3. Изменение радиальной координаты
продольной скорости (5) частиц со временем. Кружки на прямой 3 —
аналитическое решение (а)
Рис. 4. Изменение продольной координаты Рис. 5. Траектории движения частиц
частиц со временем в плоскости (г, г)
ЛИТЕРАТУРА
1. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 848 с.
2. Хаппель Дж., Бренер Л. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976. 464 с.
3. Смирнов Н. Н. и др. Моделирование поведения наночастиц в газе // Кшпапо1еЛ'09. Томск, 2009. С. 169 — 172.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:
БУБЕНЧИКОВ Михаил Алексеевич — ассистент кафедры теоретической механики Томского государственного университета. Е-шаП: Michael121@mail. ru
Статья принята в печать 30. 04. 2010 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой