Движениевязкой несжимаемой жидкости во вращающейся областис деформируемым дноми свободной поверхностью

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 532. 5:532. 135
Б. А. Ершов, М. О. Попова
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 2 (№ 9)
ДВИЖЕНИЕ
ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ОБЛАСТИ С ДЕФОРМИРУЕМЫМ ДНОМ И СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
В работе исследуется кинематика математической модели элемента волновой центрифуги, которая представлена областью вращающейся с постоянной угловой скоростью ш и заполненной вязкой идеальной жидкостью. Границы области боковые стенки соответствуют значениям у = ±(6/2). Форма деформации дна области определена выражением
ю (у, ±)= А (ип (и* + у) + X) зш ^ (у + ^
(1)
С другой стороны область ограничена свободной поверхностью ](у, Ь).
Рассматривается абсолютное движение вязкой жидкости [1], отнесенное к подвижной системе координат ОХУ, связанной с областью 5. Уравнение Навье-Стокса [2] в подвижной системе координат в векторной форме имеет вид
^ - (Я • V) •е + 2 (шхУа)=Р-~ gтъAp + ?/ДК, (2)
где штрих у производной по Ь означает, что дифференцирование совершается в подвижной системе координат. В уравнении (2) Уа — вектор абсолютной скорости вязкой жидкости, Уе — вектор переносной скорости, Р — вектор массовой силы, р — плотность жидкости, р — давление и V — коэффициент кинематической вязкости. В уравнении (2) не учитывается конвективная составляющая абсолютной скорости ввиду предположения о ее малости. Уравнение (2) в проекциях на оси подвижной системы координат запишется следующим образом:
дУх 2 1 др
-- + ш х — 2шУу = - - дЬ р дх
дУу 9 1 др
-^ + са2у + 2шУх = - дЬ р ду
+ со2у + 2шУх = --?? + уАУу, (3)
дУх | дУу
дх ду
у
где Ух (х, у, Ь) и Уу (х, у, Ь) — составляющие абсолютной скорости вязкой жидкости в подвижной системе координат, р (х, у, Ь) -давление.
Исключая давление из системы (3), приходим к уравнениям, содержащим только
Ух и Уу:
д (дУх дУЛ. (дУх дУь
V


дЬ ду дх) у ду дх у
+ =0, дх ду
© Б. А. Ершов, М. О. Попова, 2003
0
с граничными условиями:
3Ух = -шу + W (y, t), Ух = -шу + ?(у, г),
Ух = ±ш~, х 2
Вводятся безразмерные переменные
Ух
Уу = шК Уу = ш (К — Н)
Уу = шх
Ух =
Кш
у Уу у т
при х = К- при х = К — Н-
при у = ±~.
1 =
Кш
К2 и

% к ь Ъ
Символ Л в дальнейшем опускается. В безразмерных переменных уравнения (4) не изменяются. Граничные условия (5) приобретают следующий вид:
Ух = -у + т (у, г), Уу = 1 при х = 1-
Ух = -у + ?(у, г), Уу = 1 — Н при х = 1 — Н-
ь
ь
(6)
Ух = ±7Т, Уу=х приу = ±-.
2
2
Решение задачи (4), (6) для составляющих скорости Ух, Уу и свободной поверхности I (х, у) ищется в виде:
М N
Ух (х, у, г) = ]Т ]Т фтп (х, у) ттп (г)+
т п М N
т п т М N
тп М N
вп у +
ттп (г),
Уу (хх, у, г) = ]Т ]Т Фтп (х, у) ттт (г)+ х,
(7)
М N
I (у, г) = т (у, г) [1 — (-1)т] ей
тп
В выражениях (7) координатная функция имеет вид
ь
У+2
ттп тх
(г).
(8)
ффтп (х, у) = Бт [Хт (х — 1)] Бт
вп у +
где Лт = /3″ = ^ и •фтп{х, у) удовлетворяет однородным граничным условиям:

V
х
п
ь
2
Для определения обобщенных координат Т^& quot-^) и Ту™& quot-^) в выражениях (7) и (8) используется метод Бубнова-Галеркина (МБГ). Дальнейшее изложение проводится для случая М = N = 2. Уравнение неразрывности в системе (4) после проведения процедуры МБГ дает следующие соотношения, в которых обобщенные координаты Ту™& quot-(?) выражаются через
Рассматривается случай, когда расстояние от оси вращения до дна Д = 25 см, угловая скорость вращения ш = 100 рад/с, глубина канавки Н = 5 см, ширина Ь = 20 см, амплитуда деформации дна, А = 2, 5 см. Кинематический коэффициент вязкости V = 33,40 см2/с. Тогда Д =1, ш = 1, Н = 0, 2, Ь = 0, 8, А = 0,1 и V = 0,0005. С учетом этих значений первое уравнение системы (4) после проведения процедуры МБГ сводится к системе дифференциальных уравнений:
(9)
35I-12(I) + 76T22(t) = -!6T-12(I) — 37T22(t) —
— 0, 25 sin
3n
t H--
2
+ 0, 008 cos
3n
t H--
2
35Х" + 76T21(t) = -16TI1(t) — 39T21(t) —
— 0, 25 sin
3n
t H--
2
+ 0, 0019 cos
3n
t H--
2
(10)
33^X2(t) + 38T?2(t) = 5T22(t) — 5T?2(t), 33T21(t) — 3811(i) = -6T21(t) — 6Ti1(t),
где 0 & lt- t & lt- 2n.
В момент времени t = 0 имеем Vx (x, y, 0) = -y, Vy (x, y, 0) = x, w (y, 0) = 0 и f (y, 0) = 0. Отсюда следуют начальные условия для обобщенных координат:
Тж11(0) = Тж12(0) = T21(0) = T221(0) = 0.
Решение уравнений (10) дает значения обобщенных координат Tx (t) для первой, начальной, фазы движения жидкости, когда 0 ^ t ^ 2п:
Tl1(t) = 7, 7 • 10−4 cos t +17 • 10−4 sin t- 0, 2 • 10−4e-°'-17i — 7, 5 • 10−4e-°'-5i, Tl2(t) =7, 2 • 10−4 cos t +17 • 10−4 sin t-
-0, 2 • 10−4e-°'-14^ 7 • 10−4e-°'-48i,
T21(t) =9, 3 • 10−4 cos t +19 • 10−4 sin t+
+ 0,1 • 10−4e-°'-17i — 9, 4 • 10−4e-°'-5i, T22(t) =8, 64 • 10−4 cos t + 19 • 10−4 sin t+
+ 0,04 • 10−4e-°'-14i — 8, 68 • 10−4e-°'-48i.
(11)
Из формул (9) следует, что
Tl1(t) = -0, 65 • 10−4 cos t + 4,07 • 10−4 sint-
— 1, 1 • 10−4e-°'-14i + 1, 75 • 10−4e-°'-48i, Ti2 (t) = 0, 93 • 10−4 cos t — 4,07 • 10−4 sin t+
+ 1, 34 • 10−4e-°'-17i — 2, 27 • 10−4e-°'-5i, T21(t) = 110,19 • 10−4 cos t + 246, 98 • 10−4 sin t- 0, 42 • 10−4e-°'-14i — 109, 77 • 10−4e-° T22(t) = -118, 41 • 10−4 cost — 246, 98 • 10−4 sint-
— 0,14 • 10−4e-°'-17i + 118, 55 • 10−4e-°'-5i.
Из теоремы сложения скоростей следует, что аналитические выражения для составляющих относительной скорости жидкости, согласно соотношениям (7), (11) и (12), имеют вид:
Vrx (х, у, t) = (V2 sin [l5, 7(x — 1) + J — l) x
x (sin [3, 93(y + 0, 4)] Tx11 + sin [7, 85(y + 0, 4)] Тж12) + + (V2sin 31,4(x-l) + ^ ~i)x x (sin [3, 93(y + 0, 4)] Tx21 + sin [7, 85(y + 0, 4)] TK22) + + 0,1 cos (t + (sin [3, 93(y + 0, 4)] + (13)
+ sin [7, 85(y + 0, 4)]), Vry (x, y, t) = (sin [3, 93(y + 0, 4)] T11+
+ sin [7, 85(y + 0, 4)] Ту12) sin [15, 7(x — 1)] + + (sin [3, 93(y + 0, 4)] T21 + sin [7, 85(y + 0, 4)] T22) x x sin [31,4(x — 1)].
Отсюда следует, что на первой начальной фазе движения, когда 0 & lt- t & lt- 2п, относительная скорость вязкой жидкости принимает малые значения, т. е. перемешивание жидкости в области S незначительное.
Согласно выражению (8) форма свободной поверхности записывается в виде
f (y, t) =0,1(1 — cost) (sin [3, 93(y + 0,4)] + sin [7, 85(y + 0,4)]) —
— 2 • 10−4 sin [3, 93(y + 0, 4)] (7, 7sint — 17cost + 1,18e-°'-m + 15e-°'-5i + 0, 82) —
— 2 • 10−4 sin [7, 85(y + 0, 4)] (7, 2 sint — 17 cost + 1, 43e-°'-14i + 14, 56e-°'-48i + 1,01).
(14)
Деформация дна w (y, t), заданная в виде (1) имеет период 2n/w. Движение жидкости в области S разбивается на фазы c тем же периодом. Для каждой фазы справедливы уравнения (4) с граничными уравнениями (5). Начальные условия n-й фазы равны знчениям Vx и Vy в конце (n — 1)-й фазы. Последовательное, поэтапное вычисление Vx (x, y, t) и Vy (x, y, t) определяет поле направлений для относительной скорости и форму свободной поверхности.
Summary
Ershov B.A., Popova M.O. Viscous incompressible fluid flow in rotating field with deformed bottom and free surface.
The perturbed motion of viscous incompressible fluid in field S with given bottom deformation is investigated in the paper. Free surface is other side of this field. Also this field has rigid lateral faces. The field S is rotating with constant angular velocity. Analytical solutions for viscous fluid component velocities are obtained. The form of free surface is presented. Fluid flow is examined under given conditions. Solution procedure algorithm of similar problems is developed.
Литература
1. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Часть I. М., 1963. С. 45−57.
2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., 1987. С. 359−372.
3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1976.
Статья поступила в редакцию 13 июня 2002 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой