О кусочно-линейных почти-решениях эллиптических уравнений

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

© Клячин А. А., 2013
УДК 517. 951, 519. 632 ББК 22. 161, 22. 19
О КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ ПОЧТИ-РЕШЕНИЯХ
Доктор физико-математических наук,
заведующий кафедрой математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета klyachin-aa@yandex. ru
Проспект Университетский, 100, 400 062 г. Волгоград, Российская Федерация
Аннотация. В настоящей работе определяется уклонение кусочнолинейного почти-решения уравнения минимальной поверхности и выводится общая формула его вычисления. На основе данного понятия получена аппроксимация уравнения и доказывается, что уклонение сходится к интегралу от модуля средней кривизны для графика С*2-гладкой функции.
Ключевые слова: кусочно-линейная функция, почти-решение, уравнение минимальной поверхности, аппроксимация уравнения, уклонение кусочнолинейного почти-решения.
В работе [2] вводится понятие почти-решения для эллиптических уравнений, которое для уравнения минимальных поверхностей
будет выглядеть следующим образом. Функция f € Ш 1, Р (П) называется почти-решением уравнения минимальной поверхности в области П С И™, если найдется е & gt- 0 такое, что для любой функции Н € С1(П), |Н (ж)| & lt- 1 в П выполнено
Наименьшая из величин є & gt- 0, которую будем обозначать? д (/), удовлетворяющая этому определению, называется уклонением почти-решения f (х). Другими словами,
где точная верхняя грань берется по всем функциям Н Є С^П), таким, что |Н (ж)| & lt- 1 в П. Отметим, что если функция f Є С2(П) и Єд (/) = 0, то функция f является решением уравнения (1) в области П.
Введение
(1)
Для получения уравнения, аппроксимирующего уравнение минимальной поверхности, нам потребуется несколько видоизменить приведенное определение для класса кусочно-линейных функций. В связи с этим мы вводим понятие уклонения кусочнолинейного почти-решения, вычисляем его и доказываем, что введенная величина приближает интеграл от модуля средней кривизны графика С*2-гладкой функции.
1. Основные результаты
Пусть область П представляет собой многогранник, разбитый на тетраэдры Тк, к = 1,…, N. Обозначим через Р1, Р2,…, Рм вершины этих тетраэдров. Символом Р'- будем обозначать множество тех вершин, которые расположены внутри многогранника П, а через Р& quot- - множество граничных вершин. Зададим в каждой вершине Рі произвольное значение fi. На основе этих значений построим кусочно-линейную функцию fN (ж) такую, что fN (Рі) = fi, i = 1,…, М. Тогда в каждом тетраэдре Тк функция fN (ж) линейная, поэтому V fN (ж) = const в Тк.
Через & lt-fii (x), і = 1,…, N, обозначим такую кусочно-линейную функцию, которая удовлетворяет следующим условиям:
& lt-Pi (xj) = 0 при j = І, & lt-Pi (Xj) = 1 при j = і.
Тогда очевидно, что
м
fN (x) = S fiPi (x),
i=1
при этом max |/N (x)| = max | /?|.
J 1& lt-i<-M
Уклонением почти-решения fN будем называть величину
Є Q (f) = sup
f & lt-V fN-Vh) dx
J V1 + IV fN|2
где точная верхняя грань берется по всем кусочно-линейным функциям вида
м
h (x) =2 hi& lt-Pi (x),
=1
таким, что |h| & lt- 1 для всех і = 1,…, М и h = 0 для Рі є Р& quot- (то есть для граничных вершин). Таким образом мы сужаем множество функций h (x), по которым ищется точная верхняя грань. Вычислим уклонение для fN по этому определению.
Зафиксируем произвольно г = 1-М. Пусть Т1, Т?, … -Т^ - те тетраэдры, у которых вершиной будет точка Рі. Выходящие из этой вершины грани тетраэдра Тг, j = 1, 2,…, к (і), обозначим Г*1, Г*2, …, Г*п, и пусть Г*п+1 оставшаяся грань тетраэдра Xі, противоположная вершине Рі. Обозначим через иг1, иг2, …, игп, Vjn+1 — внешние по отношению к тетраэдру Тг нормали этих граней. Так как в тетраэдре функция fN линейна, то V fN = Q = const. Ниже IE| означает (п — 1)-мерную меру множества Е. Тогда
Г & lt-V fN, Vh) _ f & lt-V fN, Vpi)
dx = h I -,. _ == dx =
внутр. Pi
1 + iv/nI2. «утр. p. 7 v/1 + iv/nI2
Е ы Е/ & lt-У/М' У'-А& gt-
внутр. Р- 3=1^
к (г) п+1
Е ыЕЕ
11 /ГТГУ7
х = Е ы Е / & lt-®'- у& quot->-
к (0 п+1 I ?% %
& lt-К j•1 & gt-
внутр. Р- ?=11
к (г)
. 11 +1е I2
йх =
внутр. Р- j=1 1=1
Л +1 3 I
/Елз = -? ы
«/ - пилгФП О л*_1 71
., 7 1 г
з1
внутр. Р*. 7=1 /=1
Последнее слагаемое в сумме по I равно нулю, так как функция ^ = 0 на грани Г*-п+1. Преобразуем данное выражение следующим образом
Е
=1
п+'- (Н
=|Г^ | = Е Г=- |Г'» I-
& lt-д .4. +1>-
V1 +13I2 ' & gt-=111 +1−8I2 1 Д +1 $I2
|г-«+1|
п+1
Е
т/
^ ^ • & quot-п'-'-: Г^'- I
1 Г I? I2
Ir5n. lI
1 +1 I2
так как интеграл равен нулю по формуле Гаусса — Остроградского. Поэтому приходим к равенству
& lt-у Г • уы& gt-
л/1 + IV Iм I2
1
к ()
Лх = - - Е ыЕ
& lt-е5 • 4& gt-+1>-
— внутр. Р,: }=1 х/1 + |Су Г2
Irjn. lI
Тогда
внутр. Р-
к ()
V
А/1 + I $ 12
|Г}п+'-|
Очевидно, что неравенство превращается в равенство для такой функции Ы, которая в граничных вершинах равна нулю, а во внутренних вершинах равна
к ()
& lt-д. '-4"+1>-
-=и/1 + I, а I2
|Г*п+'-|
Таким образом, справедливо утверждение.
Теорема 1. Уклонение почти-решения /м уравнения минимальной поверхности вычисляется по формуле
м Iм) = - Е
внутр. Рг
к () •
Е -%%^Гп+1|
^=М/ 1 + |О|2
(2)
2
Замечание. Аналогичным образом можно вычислить уклонение почти-решения для других дифференциальных уравнений. Например, уклонение кусочно-линейного почти-решения ?м (х) уравнения Лапласа Аf = 0 вычисляется по формуле
вд (Г) =1 Е
внутр. Рг
Е & lt-д, ^+. }1г-«+. 1
3 = 1
Выясним, как себя ведет величина е^(?и) при N ^ то на следующем частном примере. Рассмотрим квадрат П = [0- 1] х [0- 1]. Зафиксируем N и разобъем квадрат П на квадраты прямыми
х = хг =, У = Уз = N, 1, Э = 0, 1 2,^, Ж
Каждый из полученных квадратов разобъем на два треугольника диагональю, проведенной с нижнего левого угла в верхний правый угол. Пусть в квадрате [0- 1] х [0- 1] задана дважды непрерывно дифференцируемая функция и (х, у). Далее обозначим через им (х, у) кусочно-линейную функцию, которая определяется значениями в вершинах сетки следующим образом
игз и (х1,& gt- Уз).
Вычислим уклонение почти-решения им (х) по формуле (2). Фиксируем г, 1 & lt- г & lt-
& lt- N — 1, и7, 1 & lt- j & lt- N — 1. К вершине (хг, уз) примыкают 6 треугольников:
Т1: (х^ Уз), (хг+1, Уз+l), (х^ Уз+1) Т2: (хi, у,), (хi, yj+l), (хг-ь Уз)
Т3: (х^ Уз), (хг-1, Уз), (хг-Ъ У-) Т4: (хг, Уз), (хг-Ъ Уj-1), (х^ Уз-1)
Т5: (хг, Уз), (хг, Уз-1), (хг+1, Уз) Т6: (хг, Уз), (хг+1, Уз), (хг+1, Уз'-+1).
Используя равенство (2), получаем
1 N-1 6 /?ч ЬЛ
^) = 2 е е -6, '- } и?|,
2"=ы=1 / 1 + | |2
где
|Г?'-| = 1/N, I = 1, 3, 4, 6, |ггз| = ^/N1 1 = 2, 5, и градиенты соответствующих линейных функций
-), е? = (-
г з _ / иг+1з+1 игз+1 игз+1 игз ?%з ____ I игз иг-1 з игз+1 игз
41 = Т, Т, Ч 2
к к)'- ^ к } к с г з I игз иг-1з иг-1 з-1 иг-1 з / игз-1 иг-1 з-1 игз игз-1
) гз I игз-1 иг-1 з-1 игз игз-1
, ?4 = V к, к)
?% з I иг+1з игз и%з игз-1 (иг+1з игз иг+1з+1 иг+1 з-1 ^
4 5 = V к, к), 4 6 = V к, к),
где к = 1/N. Нормальные векторы имеют вид
и? = (0,1), = (-1/А1/л/2), = (-1, 0),
(0,-1, V* = (1//2,-1Д/2), ,/» = (1,0))
Таким образом,
1,3=1
иij+1 и^ и^ и1−1 + иг?+1 и^ и^ и1−1
1 +1СТ л/1 + 1812 л/1 + 1812 л/1 + І й7 I2
и^ - и1^'--1 и1+1? — и1з и1з — и1^'--1 и1+1? — и1з
— ±-----------------, =----------------------, = +
1 +1 € 4& quot- І2 л/1 + І?5 І2 л/1 + Ій7 І2 л/1 + І?6 І2
Рассмотрим разность
иг7+1 иг- иг- и^-1
1 + І $ І2 л/1 + ІС412
и1з+1 — иі] - (иіі - Міі -1)
1 + І ?Г І2
иіІ - и1з — 1)
1 + І^ І21 + І $ І2
иіІ+1 2иц + иу — 1
1 + І??'- І2
+
(иіі - игз- 1)(і$ і2 — іег І2)
/1+Р1? + А +1 й1 |2) V1 + ^ |У1 + |^ |2
Так как функция и (х, у) дважды непрерывно дифференцируемая, то
игз+1 2игз + игз-1 (иуу (хi, Уз) + 0(к))к ,
игз — игз-1 = (и'-у (хг, Уз) + о (к)) к,
игз — 1 иг- 1з — 1 (иx (хi, Уз) + 0(к))к,
иг+1з+1 — игз+1 (их (хг, Уз) + 0(к))к,
игз+1 — игз = (и'-у (хг, Уз) + 0(к))к, игз-1 — иг-1з-1 = ^(х, % -1)к — ^и& quot-^, Уз —Ь2 + 0(к)к2,
иг+1з+1 игз+1 их (хг1 Уз+1)к + 2ижж (хг, Уз+1)к + 0(к)к
при к ^ 0. Тогда
|?гз 12 |Агз |2 _ (игз — 1 — иг-1з -1 / игз — игз -1 (иг+1з+1 — игз+1
| ^ к) Ч к ^ ^ к -) & quot-
и13+1 и'-
і
к
)2=(
и11 и1j — 1 + и1j+1 иіі
к
к
и1j и1j — 1
и
•1]
к
+
+ I и1з-1 — и1−1з-1 + и1+1з+1 — и1з+Л /& quot- и1з-1 — и1−1з-1 — и1+1з+1 + и1з+1 ^
+ 1 к + к У V к)
= к (2и'-у (Х1, Уз) + 0(к))(-иуу (Х1, Уз) + 0(к)) +
4
1
1
+ к (2& lt-(хг, Уз) + 0(к))(-2и1у^г-. Уз) — Уз) + 0(к)) =
— к (2и'- (хг, Уз) иуу (хг, Уз) + 2& lt-(хг, Уз)(2и10^ Уз) +иL (хг, Уз)) + 0(к)).
Поэтому
игз+1 — игз игз — игз-1
к2
и
уу
У1 + (их)2 + (иу)2
(и-)2и& quot-у + 2и'-хиуиху + и'-хи'-у ихх
(1 + (и,)2 + и)2)3/2
) + °(к) 1 • (3)
Аналогично,
иг+1з — игз игз — иг- 1з
/жет1 +1? |2
к2
и
и
/)2
и'-у)2
(& lt-)2<-т + 2& lt-ИУ и& quot-у + «и:
-Х^у^уу
(1 + (О2 + К)2)3/2
(*1,У)) + 0(к) I ¦ (4)
Рассмотрим разность
игз+1 — игз игз — игз — 1
л/1 + | Йз |2 Л + ^ |2
игз+1 — игз — (игз — игз — 1)
1 +1 егз |2
игз — игз — 1)
1 +1? |21 +1 «|2
игз+1 2игз + игз-1
гз 2
+
(игз — игз — Ж! С5 |2 — |^ |2)
1 + | ?2з |
1 + ^ |2 + А+к!т) Л +1 $ |У 1 +1 $ |2
Так как
| е5з |2 — | # |2
иг+1 з игз игз иг-1з (иг+1з 2игз + иг-1з
иг+
к + к, А к +
+
игз игз-1 игз+1 игз (2игз игз-1 игз+1
+
к к к то, рассуждая так же как и выше, приходим к равенству
игз+1 игз игз игз — 1
О ¦
1 +1 & amp-з |2 л/1 + | ?5з |2
к2
Аналогично,
и
УУ
л/1 + (и'-х)2 + К)
ихиу ихх ихиуиуу
I ^ ^ у уу
(*'») + (1 + (и-.)2 + (& lt-)2)3/2
(^ЭД) + 0(к)
иг+1 з — игз игз — иг-1з
1 +1 ?5з |2 л/1 + | ?2з |2
(5)
1
1
2
Ь2
и'-
1 + {и'-х)2 + {и'-)2
(хі, Уі) +
и'-хиу и'-уу — и'-хи'-у ихх
{1 + К)2 + {и-)2)3/2
(хі, Уі) + 0{Ь)
(6)
Из равенств (3)-(6) получаем
N-1
єя{пм) = Ь2 ^ і,і=1
{1 + К)2 Жх — 2и'-хиуиху + {1 + {& lt-)2)и"-
то
{1 + ю2 + {и-)2)3/2
+ 0{Ь).
(^,"3)
Переходя к пределу при N ^ то в этом равенстве, приходим к следующему утверждению.
Теорема 2. Пусть и е С*2(П), П = [0,1] х [0,1]. Тогда
Ііт є я{и)
N-^оо '-
{1 + К)2)и& quot-^ - 2ихиуиху + {1 + К)2)& lt-,
{1 + К)2 + К)2)3/2
?Х (1у
= .1.1 |Q[и (x, у)]| ^
п
Таким образом, приравняв к нулю уклонение (им), получим систему нелинейных
уравнений относительно искомых и^
гjигj (^г], 5 +г. 7,6)иг+1.7 + (И^, 2 + ^1], 3) иг-1] + (^47,1 + ^^, 2) и^+1 + (^?7,4 +ij, 5'-)иij — 1,
где
^і], к
1
+ 2№"іІ, 2 + ^і], 3 +гj, 4 + '2f^ij, 5 +гj, 6) 1& gt- •••& gt- ^ 1
Данная система уравнений, как следует из теоремы 2, аппроксимирует уравнение (1). Отметим, что в работе [1] получена аналогичная система уравнений по девятиточечному шаблону, с помощью которой авторы приближенно находят поверхности минимальной площади.
ПРИМЕЧАНИЕ
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 13−01−97 034-р_по-волжье_а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абдюшев, А. А. Проектирование непологих оболочек минимальной поверхности / А. А. Абдюшев, И. Х. Мифтахутдинов, П. П. Осипов // Изв. КазГАСУ, Строительные конструкции, здания и сооружения. — 2009. — № 2 (12). — С. 86−92.
2. Миклюков, В. М. Геометрический анализ. Дифференциальные формы, почти-решения, почти квазиконформные отображения / В. М. Миклюков. — Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2007. — 530 с.
REFERENCES
1. Abdyushev A.A., Miftakhutdinov I. Kh., Osipov P.P. Proektirovanie nepologikh obolochek minimal’noy poverkhnosti [Design of steep shells with minimal surface]. Izv. KazGASU, Stroitеl’nyе konstruktsii, zdaniya i sooruzhеniya [News of KSUAE], 2009, no. 2 (12), pp. 86−92.
2. Miklyukov V.M. Gеomеtrichеskiy analiz. Diffеrеntsial’nyе formy, pochti-rеshеniya, pochti kvazikonformnyе otobrazhеniya [Geometric analysis. Differential forms, almost-solutions, almost quasi-conformal mapping]. Volgograd, Izd-vo VolGU Publ., 2007. 530 p.
ON PIECEWISE-LINEAR ALMOST-SOLUTIONS OF ELLIPTIC EQUATIONS
Doctor of Physical and Mathematical Sciences,
Head of Department of Mathematical Analysis and Function Theory
Volgograd State University
klyachin-aa@yandex. ru
Prospect Universitetsky, 100, 400 062 Volgograd, Russian Federation
Abstract. In this paper we define deviation? q (fN) of piecewise-linear almost-solution fN of the minimal surface equation Q[f (x)] = 0 and we get a general formula to calculate it. Let T{, T2, …, Tl^ be tetrahedrons which have vertex Pi. We denote r*1, rj2, …, rjn sides leaving from vertex Pi of the tetrahedron Tj, j = 1, 2,…, k (i), and let be rjn+1 the side of tetrahedron Tj opposite to vertex Pi. We set by vj1, vj2, …, vjn, Vjn+1 the external normal vectors of the sides F^, rj2, …, rjn relatively of Tj. As fN is linear function in Tj then VfN = = const. Then the following equality holds
where rjn+1 is exterior side relatively Pi. On the basis of this concept it obtained approximation equation eq (fN) = 0 or = (^, 5 +, 6)^+1, + (^, 2 +
+ij, 3) ui-1j + (^ij, 1 +ij, 2) uij+1 + (^ij, 4 +ij, 5) uij-1, where
Thus, the obtained system of nonlinear equations aproximate the minimal surface equation.
Key words: piecewise-linear functions, almost-solution, minimal surface equation, approximation equation, deviation of piecewise-linear almost-solution.
Klyachin Alеksеy Ateksandrovich
1
ij =ij, 1 + 2Hij, 2 +ij, 3 +ij, 4 + 2^ij, 5 +ij, 6, ij = 1,…, N — 1
and proved that the deviation? q (un) converges to the integral of the modulus of the mean curvature of the graph of C2-smooth function u, that is

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой