Двумерная механика электромагнитного поля на плоских слоениях пространства R14.
Часть I

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

3. Новиков, Е. А. Алгоритм интегрирования жестких систем на основе (т, к)-метода второго порядка точности с численным вычислением матрицы Якоби: Препринт № 20 / Е. А. Новиков, Ю. А Шитов. — Красноярск: ВЦ СО РАН, 1988. — 23 с.
4. Новиков, Е.А. О повышении эффективности алгоритма интегрирования на основе формулы типа Ро-зенброка второго порядка точности за счет замораживания матрицы Якоби: Препринт № 592 / Е. А. Новиков, В. А. Новиков, Л. А. Юматова. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. — 26с.
5. Кнауб, Л. В. Алгоритм интегрирования переменного порядка и шага на основе явного двухстадийного метода Рунге-Кутты / Л. В. Кнауб, Ю. М. Лаевский, Е. А. Новиков // СибЖВМ. — 2007. — Т. 10. — № 2. -С. 177−185.
6. Новиков, Е. А. Явные методы для жестких систем / Е. А. Новиков. — Новосибирск: Наука, 1997. — 197с.
7. http: //www. netlib. org/odepack/index. html.
8. Mazzia, F. Test Set for Initial Value Problem Solvers / F. Mazzia, F. lavernaro // Department of Mathematics, University of Bari, August. — 2003.
9. http: //pitagora. dm. uniba. it/ testset/src/problems/medakzo.f.
--------- ^-----------
УДК 514.7 А.Г. Рогачевский
ДВУМЕРНАЯ МЕХАНИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПЛОСКИХ СЛОЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВА R4. ЧАСТЬ I
Рассматривается голономное векторное поле специального типа, являющееся полем базисного вектора ортогональной системы координат (векторное ОК-поле). В дальнейшем (часть II) это поле интерпретируется как векторный потенциал электромагнитного поля. В данной части развивается необходимый для приложения к электродинамике математический аппарат. В частности, изучается векторное ОК-поле на плоских двумерных слоениях псевдоевклидова пространства R.
Векторные ортогонально-коодинатные (ОК) поля
Имея в виду физические приложения, мы рассматриваем векторные поля в пространстве R, то есть в псевдоевклидовом пространстве с сигнатурой метрики (1, -1, -1, -1). Голономные поля общего вида рассмотрены в монографии [6]. В работах [1−3] изучались свойства голономного векторного поля специального типа — ортогонально-координатного векторного поля (векторного ОК-поля). В данной части работы исследуются свойства векторного ОК-поля, которые будут использованы далее при рассмотрении векторного потенциала электромагнитного поля.
Векторное ОК-поле — это голономное поле А (г), которое может служить базисным вектором некоторой
г& gt-4
ортогональной криволинейной системы координат в R. Такие координаты up назовем А-координатами
(р = 0, 1, 2, 3). Соответствующие базисные векторы обозначим L (p) = L (p), причем пусть, А = L (0), u0 = а. Индексы координат тензоров в А-пространстве будут писаться в скобках, если нужно отличие от тензорных
индексов в координатах R4. Таким образом, L{p) = dxk /dup, xk — координаты в R4.
Далее будут использоваться те же обозначения, что и в [1−5]. Приведем некоторые из этих обозначений и определений. Интегральная линия LА ОК-поля А (г) дается уравнением r = г (а). При заданном А (г) координата, а — инвариантный параметр, так как А (г (а)) = г'-а. Единичная касательная к LА n = г'-ы, где ы -натуральный параметр на LА, одновременно является единичной нормалью к координатным гиперповерхностям f® = а, соответствующим А (г) как голономному полю [6]. Так как А (г) будет интерпретироваться как векторный потенциал, считаем, что (А, А) & gt- 0- а также используем обозначение (А, А) = а2. Как следствие, имеем (п'-а, п'-а) & lt- 0.
Ортогональные координаты up вводятся в R, поэтому метрический тензор в этих координатах имеет
вид
Gpq = (L (p), L (q)) = а (р)2 gpq, (1)
где gpq — метрика Минковского, а (0) = а, а (а)2 = - (L (a), L (a)), а = 1, 2, 3.
Все базисные векторы L (p) являются ОК-полями. Им соответствуют семейства координатных поверхностей f (p)® = up. Учитывая, что вектор L (p) параллелен V f (p), нетрудно получить формулу
L (p) = Gpp V f (p) (2)
(к сожалению, в [2] множитель Gpp был потерян). Для краткости в (2) не уточнено, что L (p) в этой формуле ковектор R4. Обозначая f (0) = f имеем
А = а2 V f. (3)
Имеет место важное тождество А'-а = (dsA — dA) • А, где dsA — тензор деформации в координатах R4
[5]- d — дифференцирование 1-формы, точка в правой части означает действие оператора на вектор (то есть
свертку по внешнему индексу оператора, стоящего в скобках). Если, А — векторный потенциал, то dA -тензор электромагнитного поля F:
Fik = Э A — dkA. (4)
Из приведенного тождества следует, что (½) dA — генератор бесконечно малого поворота вектора А, при сдвиге по А-линии [3]:
т'-а = - (½) dA • n. (5)
Подставляя в (4) А = a n, получаем из (5)
Va = а'-ш n — n'-a. (6)
Согласно (3), (4), тензор dA = F является простым бивектором:
F = Va2 л V f.
Отсюда, используя (6), получаем
F = 2 n л n'-a. (7)
Свойства простого бивектора dA = F
Введем «единичный» вектор m = n'-a / b, b2 = - (n'-a, n'-a). Тогда F можно записать через бивектор
M = n л m. (8)
Пусть Z — двумерная плоскость любых двух ортов n и m, определенная этими векторами с точностью до положения в пространстве. Имеют место тождества:
M • n = - m, M • m = - n. (9)
Поэтому для любого вектора В є Z имеем М • В є Z, а для любого вектора В1 Z имеем М • В = 0. Таким
образом, бивектор (8) определяет плоскость Z с точностью до положения в пространстве (n и m при этом
могут быть неизвестны). Если вернуться к полям n и m, то M® задает касательное пространство L2® = Z®.
Наконец, в силу (9) для любого вектора В є Z имеем
M • M • В = В. (10)
Сохранение объемов вдоль трубок коодинатных линий (L (p)^uhuu)
В дальнейшем для полей L (p) будут приняты условия Лоренца:
div L (p) = 0. (11)
Считая Ц (р) скоростями деформации Лх4, имеем 1Уи = 0, где и — любая из координат ир, М = (дг/ди) -якобиан перехода к А-координатам [5]. Отметим очевидное равенство ^ = П а (Р)1 то есть М — объем
Р
элементарного параллелепипеда Мц, построенного на векторах Ц (р). Считая, что «на бесконечности» Ц (р)
7~& gt- 4
переходят в орты системы координат в, примем следующее условие
W = П a (р) = 1. (12)
Нормали V f (р) к координатным поверхностям как ориентированные площади
В случае (12) нормали к координатным поверхностям V f (р) имеют следующую полезную интерпретацию. Введем ковектор
S (p) = *Цд) д Ц (э) д Щ, (13)
где * - оператор Ходжа [5]- ц, э, и + р. Согласно (12) Ц (р) • Э (р) = М = 1, следовательно, Э (р) = Gpp Цр). Сравнивая с (2), получаем, что нормали к координатным поверхностям V f (р) равны элементарным ориентированным площадям (13):
V №) = ЭР). (14)
При этом Э (р) = п (р) Э (р), где п (р) = Ц (р) / а (р) — Э (р) = а (ц) а (э) а (и), с условием ц, э, и + р. Отметим, что площадь «поперечного» сечения трубки Цр)-линий дается выражением
и
s (р) = Пa (q)duq.
Я* p
Векторные О К поля, имеющие плоские интегральные линии
Необходимое и достаточное условие того, что А-линия плоская имеет вид [5]
m'-a = b n. (15)
Плоскость, в которой лежит в этом случае La, обозначим Z, a. Очевидно, что M'-a = 0, то есть бивектор М определяет плоскость Za.
В [3] доказана следующая теорема. Пусть A® — векторное ОК-поле. Для того чтобы все линии La были плоскими, необходимо и достаточно, чтобы вектор n'-a был одним из векторов L (a), где a = 1,2,3. При этом n'-a будет собственным вектором оператора Вейнгартена w [2]:
W • n'-a = (ln Ь)'-ш n'-a. (16)
Для определенности далее будем считать, что n'-a = L (1) е L, и положим U1 Е и.
Далее в этом разделе будем рассматривать поле А (Г), у которого все интегральные линии La плоские.
В принятых обозначениях формула (6) дает
а'-и = b2. (17)
Теорема 1
Пусть векторное ОК-поле имеет плоские интегральные линии (плоские А-линии). Тогда пространство R4 имеет слоение, слои которого являются 2-плоскостями, состоящими из А-линий. Последнее означает, что, если А-линия проходит через точку слоя, то она принадлежит этому слою.
Замечание: очевидно, что 2-плоскости, состоящие из А-линий, являются плоскостями Za. Доказательство проведем, доказывая следующие три утверждения.
1. Через каждую точку R* проходит А-линия и, следовательно, плоскость Za.
2. А-линия, проходящая через произвольную точку rm плоскости Za, принадлежит этой плоскости. Это утверждение справедливо, если векторы A (rm) и L (rm) = n'-a (rm) принадлежат Za.
P
Достаточно доказать, что, А и L остаются в плоскости Za при бесконечно малом сдвиге по этой плоскости в направлении вектора L. Так как базисные векторы А, L имеют свойство А'-и = L'-a, то А'-и е Za. Далее, для производной L'-u = (па)'-и имеем
Псш = Пиа = (W ¦ na) a. (18)
Используя (16), получаем, что L'-u е Za,. Итак, основное утверждение этого пункта доказано.
3. Через каждую точку R* проходит только одна плоскость Za. Действительно, в противном случае через каждую общую точку двух плоскостей 1а, согласно предыдущему пункту, проходило бы две А-линии.
Итак, согласно доказанным первому и третьему утверждением плоскости Za являются слоями. Согласно второму доказанному утверждению, если А-линия проходит через точку слоя Za, то эта линия принадлежит слою. Доказательство закончено.
Теорема 2
Пусть векторное ОК-поле имеет плоские интегральные линии. Тогда простой бивектор М = n д m постоянен во всем пространстве.
Доказательство
1. В этом пункте докажем, что М постоянен на слое Za. Действительно, в силу (15) М'-а = 0. Далее
равенство М'-и = 0 следует из справедливости следующих двух утверждений. Во-первых, согласно (16) вектор т'-и = w • n'-a параллелен m. Далее докажем, что т'-и параллелен n. Так как т'-и 1 m, достаточно
доказать, что m'-u е Za. Для этого следует продифференцировать m = n'-a / b по и, используя (18) и (16).
2. Таким образом, каждому слою соответствует единственный постоянный бивектор (8). Так как слои
— параллельные 2-плоскости, то им будет соответствовать один и тот же бивектор (согласно подразделу
«Свойства простого бивектора dA = F», М определяет плоскость с точностью до положения в пространстве).
Доказательство закончено.
Литература
1. Рогачевский, А.Г. О динамической трактовке деформаций пространства R4 / А. Г. Рогачевский // Изв.
вузов. Физика. — 2003. — № 10. — С. 53−55.
2. Рогачевский, А. Г. Анализ теоремы Дюпена для тензора деформации плоского метрического
пространства / А. Г. Рогачевский // Вестн. КрасГАУ. — Красноярск, 2007. — Вып. 3. — С. 42−43.
3. Рогачевский, А.Г. О плоских интегральных линиях голономного векторного поля / А. Г. Рогачевский // Вестн. КрасГАУ. — Красноярск, 2007. — Вып. 4. — С. 26−28.
4. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учеб. пособие. Т. 11. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -
М.: Наука, 1988. — 512 с.
5. Дубровин, Б. А. Современная геометрия / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. — М.: Наука, 1986. -760 с.
6. Аминов, Ю. А. Геометрия векторного поля / Ю. А. Аминов. — М.: Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит., 1998. -208 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой