О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. Ii

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МАТЕМАТИКА
УДК 517. 925
О ЛИНЕЙНЫХ ЧАСТНЫХ ИНТЕГРАЛАХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ С ВЫРОЖДЕННОЙ БЕСКОНЕЧНОСТЬЮ. II
© 2011 г. М. В. Долов, С.А. Чистякова
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
svchistyakova@mail. ru
Поступила в редакцию 16. 09. 2010
Доказывается, что полиномиальное векторное поле четвертой степени с вырожденной бесконечностью имеет не более 9 линейных частных интегралов, в том числе и с комплексными коэффициентами.
Ключевые слова: полиномиальные векторные поля, алгебраические дифференциальные уравнения, частные интегралы, инвариантные множества, вырожденная бесконечность.
Введение
Работа является непосредственным продолжением статьи [1]. Нумерация пунктов и формул сквозная.
Как и в [1], рассматривается система дифференциальных уравнений
^ = Р (х, у), ^ = 0(х, у), (1. 1)
ш ш
где Р и Q — взаимно простые полиномы, тах^е§ Р, deg Q) = п.
По определению, система (1. 1) вырождена на бесконечности, если
х0п (х, у) — уРп (х, у) = 0,
где Рп и Qn — однородные полиномы степени п, содержащиеся в Р и Q соответственно- Ап -совокупность систем (1. 1) с вырожденной бесконечностью.
В настоящей работе (часть II) рассматриваются системы из А4 такие, что наибольшее число инвариантных множеств
Фу (х, у) = аух + Ъуу + Су = 0, (2. 1)
где а, Ь, С е С, и для любых двух множеств Фх = 0 и Фу = 0 выполнено условие
Щ (Ф5, Фу)/ Щ х, у) = 0, (2. 3)
равно 3 и 2.
В этих случаях доказывается утверждение теоремы 1.1 [1].
4. Системы из А4 с инвариантным множеством, содержащим три инвариантных множества
(2. 1) с условием (2. 3)
В настоящем пункте рассматриваются системы (1. 1) из А4, у которых нет четырех инвариантных множеств (2. 1), удовлетворяющих условию (2. 3).
Лемма 4.1. Если система (1. 1) из А4 имеет инвариантное множество Ь, являющееся объединением трех инвариантных множеств (2. 1) с условием (2. 3), то всякое другое инвариантное множество ?2, пересечение которого с Ь не содержит инвариантных множеств (2. 1), является объединением не более двух инвариантных множеств (2. 1) с условием (2. 3).
Доказательство. Допустим противное. Тогда без ограничения общности считаем Ь = {у = = а: }и{у = а2}^{у = аз}, ?2 = {х = Р: }^{х =
= р2}^{х = р3}. Система (1. 1) линейной невырожденной заменой приводится к виду
Шх
— = (х-Р1Х х-р2)(х-Рэ)(ах + Ъу + с),
ш
= (у — а1) (у — а2) (у — аз) (Ах + Ву + С),
ш
где | а | + | Ъ | + | А | + | В |& gt- 0. Так как эта система
из А4, то, в силу условия (1. 2),
3 3
ху (Ах + Ву) = ух (ах + Ъу).
Отсюда следует, А = В = а = Ь = 0. Полученное противоречие доказывает лемму. Лемма доказана.
Лемма 4.2. Пусть система (1. 1) из А4 имеет два инвариантных множества ?1 и ?2, при этом Ь содержит три, а ?2 — два инвариантных множества (2. 1) с условиями (2. 3) и пересечение ?1 и ?2 не содержит инвариантных множеств (2. 1). Тогда линейной невырожденной заменой переменных с точностью до обозначений система (1. 1) приводится к виду
^ = (х-Рі)(х — Р2)(У2 + ах + ЬУ + с) = Р,
Ш
= x (y-aj)(y-а2)(y -03) = Q,
dt
(4. 1)
где а-- попарно различны- р1 ф р2, р1р2 ф 0- а, Ь, с є С- Р и Q взаимно просты.
Доказательство. Без ограничения общности считаем, что ?1 = {у = а1}^(у = а2}^{у = а3}, ?2 = {х = р1}^{х = р2}. Так как множества ?1 и ?2 инвариантны для системы (1. 1) при п = 4, то система (1. 1) запишется в виде Шх
— = (x-Pi)(x-Р2) х dt
2 2 х (a20 x + a11xy + a02 y + a10 x +
+ aoi y + aoo),
= (y-ai)(y-02) х
dt
(х-р1)(х-Р2) х
х (х2 + (2к! + Ък + а) к ~2 х + (I2 + Ъ1 + с) к ~2)=
= (х + (I-а1)/к)(х + (I-а2)/к)х
х (х + (I-а3)/к)х.
Так как Р2 ф 0, то, в силу (4. 6), х является делителем квадратного трехчлена в левой части
(4. 6). Поэтому I2 + Ы + с = 0. В случае I = а-, / = 1, 2, 3, квадратный трехчлен в левой части
(4. 6) тождествен х2. Следовательно, имеет место второе равенство (4. 5). Лемма доказана.
Лемма 4.4. Система (4. 1) не имеет частных интегралов 1) у = кх + а5, у = к2х + а5, кк2 ф 0, к ф к2, 5 е {1, 2, 3}- 2) у = кх + а5, у = кх + а7, к ф 0, а/ ф а5.
Доказательство. Допустим противное. В первом случае без ограничения общности полагаем 5 = 1. В силу леммы 4. 3, имеем
'-у
а, + Ъа, + с = 0 ,
(4. 2)
х (y -аз)(/& gt-10х + b01 y + b00),
при этом, в силу (1. 2), выполнено тождество
2 2 2 y (bi0х + ?01 y) = х («20х + «11 ХУ + «02y). (4. 3)
Из соотношения (4. 3) вытекает, что
a20 = a11 = b01 = 0, ?10 = a02 Ф 0. Разделим обе части (4. 2) на a02 = b10 Ф 0 и положим
x + b00 /b10 = x1. Вводя новые обозначения для коэффициентов, в том числе для р1 и р2, получим систему вида (4. 1). Лемма доказана.
Лемма 4.3. Система (4. 1) имеет частный интеграл y = kx + l, к Ф 0, тогда и только тогда, когда для всех x
(х -р1)(х -р2)(х + (2kl + bk + a) k ~2) =
= (х + (l -а1)/ k)(х + (l -а2)/ k) х (4. 4)
х (х + (l — а3)/k),
при этом
l2 + bl + c = 0 и 2ка}- + bk + a = 0 при l = а--. (4. 5) Доказательство. Система (4. 1) допускает частный интеграл y = kx + l, к Ф 0, в том и только том случае, если для любых x
(Ъ + 2а1) к1 + а = (Ъ + 2а1) к2 + а = 0. Поэтому при к ф к2 получим Ъ + 2а1 = а = 0 и с = а2. Отсюда следует, что правые части
(4. 1) имеют общий делитель у — аь Во втором случае, согласно (4. 5), будем иметь а/ = а5. Таким образом, получили противоречие. Лемма доказана.
Лемма 4.5. Если корни уравнения ?2 + Ы + + с = 0 принадлежат множеству {аьа2,а3}, то число линейных частных интегралов системы
(4. 1) с взаимно простыми правыми частями и попарно различными а7, Р1 ф р2, Р2 ф 0, не более 7.
Доказательство. Заметим, что если уравнение I2 + Ь1 + с = 0 имеет кратный корень
I = -Ъ /2 = ау, то, согласно (4. 5), а = 0, с = а2у ,
и правые части (4. 1) содержат общий делитель у — а/. Поэтому решения ?, 12 уравнения /2 + Ь1 + + с = 0 различны. Отсюда и из лемм 4.3 и 4.4 следует, что система (4. 1), кроме у = а], у = а2, у = а3, х = Р1, х = Р2, может иметь не более двух частных интегралов у = к/х + а5, к/ ф 0. Лемма доказана.
Лемма 4.6. Система (4. 1) не имеет инвариантных множеств у = кх + ?1, у = кх + ?2, к ф 0, ?1 ф ?2, ?1, ?2 € {аьа2,аз}.
Доказательство. Допустим противное. Тогда, согласно (4. 6), при? = ?1, Р2 ф 0, без ограничения общности можно считать
Pi = (ai -/1)/k, Р2 = (a2 -/1)/k,
k (a3 — /1 + b) + a = 0. Полагая в (4. 6) l = l2, будем иметь
(4. 7)
(х-Р1)(х-Р2) (х + (2к12 + Ък + а)/к2) =
= (х + (12 -а1)/к)(х + (12 -а2)/к)х (4. 8) х (х + (12 -а3)/к).
Так как а/ попарно различны и Р1 ф Р2, то, согласно (4. 7) и (4. 8),
Р1 ф (а1 — 12)/k, Р2 ф (а2 — 12)/к. (49) Поэтому, в силу (4. 7) и (4. 8), имеются две возможности: а) Р1 = (а2 — /2)/к- б) Р1 = (аз — /2)/к. Пусть реализуется случай а). Тогда в тождестве
(4. 8) Р2 ф (а1 — ?2)/к, ибо в противном случае а1 — ?1 = а2 — ?2 и а2 — ?1 = а1 — ?2. Следовательно, ?1 = ?2. Последнее противоречит условию ?1 ф ?2. Таким образом,
Р2 = (а3 -?2)/к, к (а1 + ?2 + Ъ) + а = 0. (4. 10) При Р1 = (а2 — ?2)/к из равенств (4. 7) и (4. 10) получаем
а1 — а2 = а2 — аз = а1 — аз = ?1 — ?2. Последнее невозможно, так как а-- попарно различны. Следовательно, случай а) не реализуется.
Пусть имеет место случай б) Р^ = (аз — ?2)/ к, тогда, в силу (4. 7) и (4. 8),
Р2 = (а1 — ?2)/ к, к (а2 + ?2 + Ъ) + а = 0. (4. 11) Из равенств (4. 7) и (4. 11) вытекает, что а1 — аз = а2 — а1 = а2 — аз = ?1 — ?2.
Снова получили противоречие с тем, что а/ попарно различны. Лемма доказана.
Лемма 4.7. Пусть система (4. 1) имеет различные частные интегралы у = кхх + ?,
у = к2х + ?, у = к3х + ?, где к/ ф 0,? € (аьа2, аз}. Тогда с точностью до обозначений выполнена одна из серий равенств
Р1 =
к1 к2
^ а2 — l аз — l а1 — l
Р2 = _ _
к1 к2
кз
где
а + (аз + Ъ +1) к1 = а + (а1 + Ъ +1) к2 = = а + (а2 + Ъ +1) кз = 0, или соответственно
Р1 =
а1 — l аз — l а2 — l
а + (аз + Ъ +1) к1 =
= а + (а2 + Ъ + ?) к2 = (4. 15)
= а + (а1 + Ъ +1) кз = 0,
при этом, а ф 0.
Доказательство. В силу леммы 4.3 выполнены тождества
(х -Р9) (х
(х -Р1)(х -Р2) (х + (2к^ + Ък1 + а) к-) =
= (х + ^-а1)к1−1)(х + (l-а2)к1−1)х (4. 16)
х (х + ^ -аз)к1−1),
(х-Р1)(х-Р2) (х + (2^ + Ък2 + а) к-2) =
= (х + (l-а1)к1)(х + (l-а2)к1)х (4. 17)
х (х + (l — аз) к1),
(х-Р1)(х-Р2) (х + (2к^ + Ъкз + а) к. -2) =
= (х + (l-а1)кз-1)(х + (l-а2)кз-1)х (4. 18)
х (х + (l -аз)кз-1).
Без ограничения общности считаем, что в (4. 16)
Р1 = («1 -1)/к1, Р2 = («2 -1)/к1,
(4. 19)
а + (аз +1 + Ъ) к1 = 0.
Так как а-- и к/ попарно различны и к/ ф 0 при
Р1 ф Р2, Р1Р2 Ф 0, то
Р1 Ф (а1 -1)/к2, Р1 Ф (а1 -1)/кз, Р2 Ф (а2 — l)/ k2, Р2 Ф (а2 — l)/кз.
(4. 20)
(4. 12)
Рассматривая тождество (4. 17) с учетом
(4. 19), видим, что могут быть две возможности: а) Р1 = (а2 — ?) / к2, б) Р1 = (аз — ?) / к2. Пусть реализуется случай а) Р1 = (а1 — ?) / к1 = = (а2 — ?)/ к2. Тогда Р2 = (а2 — ?)/ к1 =
= (аз — ?) / к2 и, а + (а1 +? + Ъ) к2 = 0. В самом деле, пусть при Р1 = (а1 — ?) / к1 = (а2 — ?) / к2 значение Р2 = (а2 — ?)/ к1 = (а1 — ?)/ к2. Тогда, в силу (4. 17), имеем, а + (аз +? + Ъ) к2 = 0. Отсюда и из последнего равенства (4. 19) с учетом неравенства к ф к2 следует, что, а = а3 + Ъ +? = = 0. Полагая в (4. 16) и (4. 18) а = 0, а3 + Ъ +? = 0,
получим
(4. 13)
(х-Р1)(х — Р2) =
= (х + (l — а1) к1−1)(х + (l — а2) к1−1)
(4. 14)
где
(х-Р1)(х — Р2) =
= (х + (l — ^1)кз)(х + (l — ^2)кз). Отсюда с учетом ограничений на к/ имеем ^-а1)к1−1 = ^-а2)кз& quot-1, (?-а2)к]"1 = ^-а1)кз& quot-1. Так как в случае а) (а1 — ?)/(а2 — ?) = ^/к2 =
к
з
к
к
к
2
з
2
з
= к2 / к1, то к1 = -к2. Отсюда и из предыдущих равенств находим к3 = -к = к2. Последнее противоречит условию леммы. Следовательно, Р2 = («з -1)/к2 и, в силу (4. 17), а + (а1 +? + +Ъ)к2 = 0.
Для Р1 = (а1 -?)/к1 = (а2 -?)/к2,Р2 = (а2 -?)/к1 = = (аз — ?)/к2, в силу неравенств (4. 20) и условий на к/, из тождества (4. 18) находим Р1 = (аз — ?) / кз, Р2 = (а^ - l) / кз, а + (а2 +? + +Ъ)кз = 0. Таким образом, в случае а) имеют место соотношения (4. 12) и (4. 13).
В случае б) аналогично доказывается, что справедливы равенства (4. 14) и (4. 15).
Согласно (4. 13) и (4. 15), при, а = 0 среди а/ есть равные. Так как это противоречит условию леммы, то, а Ф 0. Лемма доказана.
Лемма 4.8. Система (4. 1) не может иметь четырех частных интегралов у = к/х + ?,
у = 1,4, где к/ Ф 0 и попарно различны,
? € {аьа2,а3}.
Доказательство. Допустим противное. Тогда наряду с (4. 16)-(4. 18) для всех х, в силу леммы 4. 3, имеет место тождество
(х -Р1)(х -Р2) (х + (2к^ + Ък4 + а) к-2) =
х + -
I — а,
кЛ
х+
I — ап
к л
х+
I — а~& gt-
к
Отсюда следует, что р1 совпадает с одной из величин (І - аі)/к4, (І - а2)/к4, (І - аз)/к4. С другой стороны, в силу леммы 4. 7, выполнена одна из серий равенств (4. 12) или (4. 14). Следовательно, среди к/ есть равные. Из противоречия вытекает утверждение леммы. Лемма доказана.
Лемма 4.9. Если при Ы ф 4с один корень уравнения 1 + Ы +с = 0 принадлежит множеству {а1,а2,а3}, а другой не является элементом этого множества, то число линейных частных интегралов системы (4. 1) не более 9.
Доказательство. Система (4. 1), кроме х = р1, х = р2, у = а1, у = а2, у = а3, согласно лемме 4. 3, может иметь инвариантное множество у = кх + I, к ф 0, где I — корень уравнения 1 + Ы +с = 0. Пусть 11 и 12 — корни этого уравнения и 11 = ах, 12 ф а/. Тогда по лемме 4.4. система (4. 1) может иметь только один частный интеграл у = кх + /1, к ф 0, и, в силу леммы 4. 8, не более трех частных интегралов у = к1х + /2, у = к2х + /2, у = = к3х + /2, к1к2к3 ф 0. Лемма доказана.
Лемма 4. 10. Пусть Ы = 4с. Тогда число линейных частных интегралов системы (4. 1) при -Ь/2 ф а/,/ = 1, 2, 3, не более 8.
Доказательство. При Ъ2 = 4с уравнение ?2 + Ъ? +с = 0 имеет кратный корень? = -Ъ/2. Для -Ъ/2 =? Ф а/,/'- = 1, 2, 3, в силу леммы 4. 8, кроме у = аь у = а2, у = а3, х = Рь х = Р2, система (4. 1) может иметь не более трех частных интегралов у = к/х -Ъ/2, к/ Ф 0. Отсюда и из леммы 4.3 вытекает утверждение леммы. Лемма доказана.
Замечание 4.1. Если Ъ2 = 4с,? = -Ъ /2 е
е {а1,а2,аз}, то, а = 0, С = а2 и правые части
системы (4. 1) имеют общий делитель у — а/.
Лемма 4. 11. Пусть система (4. 1) имеет инвариантные множества
1 = и {у = к ух + ?} ?1 = и {у = к]х + ?1} у=1 у =1
где кук1 Ф 0, l Ф ?1 и ?, ?1 отличны от
{аьа2,аз}. Тогда т + V & lt- 4 и т & lt- 2, V & lt- 2.
Доказательство. Допустим противное. Тогда с точностью до обозначений ?, в силу леммы 4. 8, содержит три различных линейных частных интеграла у = кх + ?, у = к2х + ?, у = к3х + ?. Согласно лемме 4. 7, выполнены равенства (4. 12), (4. 13) либо (4. 14), (4. 15). Из этих равенств следует, что
аР1 = (а1 -1)(^ -аз) = (а2 -1)(^ -а1) =
= (аз -1)(l1 — а2^ аР2 = (а2 -1) (?1 — аз) = («з -1) (?1 — а^ =
= (а1 -1)(l1 -а2).
Отсюда имеем
а (Р1 — Р2) = («1 ^2) (?1 -аз) =
= (а2 -«зХА -а1) = (аз ^1)(?1 -а2),
Р1 / Р2 = (а1 -1V (а2 -1) =
= (а2 -1V (аз -1) = (аз -1V (а1 -1).
Из равенств (4. 22) следует, что а1 — а2 а1 — аз
(4. 21)
(4. 22)
а2 — аз а2 — аі
а2 — аз аі - I
аз — аі а2 — I
ао — I ао — I
(4. 23)
аз — І аі - I
Согласно (4. 21) и (4. 23), имеем Іі - аі аз — І
Іі - аз аі - І
Іі - а2 аі - І
а — а
а — а
а — а^
а — аі
Іі - аі а2 — І
(4. 24)
(4. 25)
Из равенств (4. 24), (4. 25) получаем
(аз — аі) (аз + аі - І - Іі) — 0,
(аі - а2) (аі + а2 — І - Іі) — 0.
Отсюда вытекает, что среди аі, а2, а3 есть равные. Полученное противоречие доказывает лемму. Лемма доказана.
Контрпример к работе [5], содержащийся во введении [1], является примером к лемме 4. 11.
Теорема 4.1. Максимальное число линейных частных интегралов системы (4. 1) равно 9.
Доказательство. Во введении [1] содержится пример системы (4. 1) с 9 различными линейными частными интегралами. Если система
(4. 1), кроме х = р1, х = р2, у = а1, у = а2, у = а3, имеет инвариантные множества у = кх + I, к ф 0, то в силу леммы 4. 3, I является решением уравнения 1 + Ы +с = 0. Число таких множеств, согласно леммам 4. 4−4. 6, 4. 9−4. 11, не более 4. Теорема доказана.
5. Системы из А4 с инвариантным множеством, являющимся объединением трех инвариантных множеств (2. 1) с условием (2. 3) и не допускающих других инвариантных множеств с условием (2. 3)
В этом пункте рассматриваются системы
(1. 1) из А4, у которых с точностью до обозначений, кроме Ф1 = 0, Ф2 = 0, Ф3 = 0, где
а1 = а2 = а3, Ь1 = Ь2 = Ь3, с/, у — і, з, попарно различны, нет других инвариантных множеств
(2. 1) с условием (2. 3).
Лемма 5.1. Пусть система (1. 1) из А4 имеет не менее четырех инвариантных множеств
(2. 1), при этом только три из них удовлетворяют условию (2. 3), и кроме этих трех инвариантных множеств, нет других инвариантны множеств (2. 1) с условием (2. 3).
Тогда линейной невырожденной заменой с точностью до обозначений система (1. 1) с вырожденной бесконечностью при п = 4 приводится к виду
Шх (. ,. 2 2
— х (ах + Ьу) У + Р20 х + рпху +
dt
+ Р02 y 2 + Pl0 x + Рої y + Poo)= P,
множеств y = kx + l, y = kx + l1, k Ф 0, l Ф l1, P и Q — взаимно просты.
Лемма 5.2. Система (5. 1) имеет частный интеграл y = kx + l, k Ф 0 тогда и только тогда, когда для всех х
kx i (kx +l)2((a + bk) x + bl + p02) +
+(kx +l)(piix + рої) + P20×2 + P10x + Poo) = (5. 2) = (kx +1 -a1)(kx +1 — a2)(kx +1 — a3) x x ((a + bk) x + bl + c), при этом l e{a^ а2аз} ^ {-c / b} и для
l = a j = - c / b выполнено равенство
2 2 (P02 — c) c — bcp01 + b p00 = 0 при b Ф 0. (5. 3)
Доказательство. Подставляя y = kx + l в дифференциальное уравнение, эквивалентное системе (5. 1), получим тождество (5. 2).
Так как левая часть (5. 2) равна нулю при x = 0, то l совпадает с одним из чисел ai, a2a3,-c / b. При l = a j = - c / b правая часть (5. 2) имеет x = 0 корнем кратности два. Поэтому l (bl + p02) + lp01 + p00 = 0. Отсюда для l = - c/b получаем (5. 3). Лемма доказана.
Лемма 5.3. 1. Система (5. 1) имеет частный интеграл y = kx + a1, k Ф 0 в том и только том случае, когда
A1k + + p20 — 0,
(5. 4)
(2a^_A1 + C1) k + B1a1 + p10 — aa2a3 = 0, (5. 5)
(5. 6)
aj A1 + a^ + p00 — ca2a3 — 0,
где
(5. 7)
А1 = Р02 + (а2 +аз)Ъ — с,
В1 = Р11 + а (а2 +аз),
С1 = р01 — а2азЪ + (а2 + аз) с. (5. 8)
2. Система (5. 1) допускает частный интеграл у = кх + а2, к Ф 0 тогда и только тогда, когда
A2k + B2k + p20 =
(5. 9)
(2a2A2 + C2) k + B2a2 + pw — aa^ = 0, (5. 10) 2
a2 A2 +a2C2 + p00 — ca1a3 = 0, (511)
где
(5. 1)
A2 = p02 + (a1 +a3)b — c,
B2 = p11 + a (a1 +a3),
C2 = p01 — a1a3b + (a1 + a3) c.
(5. 12)
= (у — а0(у — а2) (у — аз) х
ш
х (ах + Ъу + с) = 0,
где |а| + |Ъ| & gt- 0, с Ф 0 при Ъ = 0, а/ - попарно различны и у системы (5. 1) нет инвариантных
3. Система (5. 1) имеет частный интеграл у = кх + а3, к Ф 0 в том и только том случае, если
A^k + B^k + p20 — 0,
(5. 13)
(2a3A3 + C3) k + B3a3 + p10 — aa1a2 = 0, (5. 14)
а3 A3 + ?3C3 + Роо — - 0, (5. 15)
где
A3 — Роз + (а1 +"з)6 — с,
В3 — pu + а (аі +аз),
C3 — Р01 — а1а2Ь + (а1 + а2) с.
(5. 16)
Доказательство. Соотношения (5. 4)-(5. 6),
(5. 9)-(5. 11) и (5. 13)-(5. 15) поучаются из тождеств (5. 2) при I = а1, I = а2, I = а3 соответственно, если приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях. Лемма доказана.
Лемма 5.4. 1. Если система (5. 1) имеет инвариантные множества у = к1х + а1, у = к2х + + а1, к1 ф к2, к1к2 ф 0, то
А,(к, + к2) + В, — 0, 2а, А, + С, — 0,
і 2 (5. 17)
а іВі - аа2аз — рі0, а 1 Аі - р00 — са2аз,
где А1, В1, С1 имеют вид (5. 7), (5. 8).
2. Если система (5. 1) имеет инвариантные множества у = к3х + а2, у = к^х + а2, к3 ф к4, к3к4 ф 0, то
A3 (к3 + к4) + Вз — 0, 3азA3 + C3 — 0, а3В2 — аа 1 а3 — p10, а3A3 — p00 — са 1 а3,
(5. 18)
где А2, В2, С2 имеют вид (5. 12).
3. Если система (5. 1) имеет инвариантные множества у = к5х + а3, у = к& amp-х + а3, к5 ф к6, к5к6 ф 0, то
Аз (к5 + к6) + Вз — 0, 2азАз + Сз — 0,
2 (5. 19) азВз — ааіа2 — Р10, а3Аз — Р00 — ^і^
где А3, В3, С3 имеют вид (5. 16).
Доказательство. Равенства (5. 17)-(5. 19) получаются соответственно из соотношений (5. 4) —
(5. 6) при к = к1, к = к2- (5. 9)-(5. 11) при к = к3, к = к4 и (5. 13)-(5. 15) при к = к5, к = к6 и условий к1 ф к2, к3 ф к4, к5 ф к6. Лемма доказана.
Лемма 5.5. Система (5. 1) не может иметь инвариантных множеств у = к1х + а/, у = = к2х + а/, у = к3х + а/, где к1, к2, к3 отличны от нуля и попарно различны, / є {1, 2, 3}.
Доказательство. Допустим противное, считая / = 1. Тогда, в силу леммы 5. 3, А1 = В1 =20 = С1 = 0. Отсюда с учетом (5. 6)-(5. 8) имеем Р02 — с — Ь (а2 +а3), Ріі - -а (а2 +а3), Р0і -
— а2азЬ — (а2 + аз) с, рш — аа2аз, р00 — са2аз. Для таких значений коэффициентов в (5. 1) Р = х (ах + Ьу + с) (у — а2) (у — аз). Следовательно, Р и Q имеют общий делитель, тождественно не равный постоянной. Получили противоречие. Лемма доказана.
Лемма 5.6. Если система (5. 1) имеет инвариантные множества y = kx + ai, y = k2x + ai, y = k3x + a2, y = k4x + a2, kj Ф 0, k1 Ф k2, k3 Ф k4, то 2p02 + 3ba3 — 3c = 0, pn + 2aa3 = 0,
c^ +a2 — 2a3) = (5. 20)
= ?(a^ +a2a3 -2a1a2). Доказательство. В силу леммы 5.4 имеем 2aiAi + Ci = 2a2 A2 + C2.
Подставляя в это равенство вместо A1, C1, А2, C2 их выражения из (5. 7), (5. 8) и (5. 12), получим первое равенство (5. 20). Согласно (5. 17) и (5. 18), имеем
a1B1 — a2B2 = aa3 (a2 — a1).
Заменяя в левой части этого равенства B1, B2 из формул (5. 7) и (5. 12), получим рц +
+ 2aa3 = 0. Из леммы 5.4 следует, что aj2A1 —
— a2A2 = ca3(a1 — a2). Подставляя в левую часть этого соотношения вместо A1 и А2 их значения из (5. 7) и (5. 12), получим
P02(a1 + a2) + b (a1a2 + a1a3 + a2a3) =
= c (a1 +a2 +a3).
Если здесь p02 заменить из первого равенства
(5. 20), то будем иметь последнее равенство
(5. 20). Лемма доказана.
Лемма 5.7. Система (5. 1) не имеет линейных частных интегралов вида y = k1x + a1, y = k2x + a1, y = k3x + a2, y = k4x + a2, y = k5x + a3, y = k6x + a3, где kj Ф 0 и попарно различны.
Доказательство. Допустим противное. В силу леммы 5.4 имеем
2a1A1 + C1 = 2a3 A3 + C3, где A3, C3 определяются из (5. 16). Отсюда после замены А1, C1 из (5. 7), (5. 8), А3, С3 из (5. 16) получим 2P02 + 3ea2 — 3c = 0. Из этого равенства и первого соотношения (5. 20) вытекает, что Ъ = 0, ибо a2 Ф a3.
В силу леммы 5.4 B1 = aa2a3 — рш, B3a3 = aa1a2 — Рю. Отсюда, как и при доказательстве леммы 5. 6, следует, что рц + 2aa2 = 0. Из этого равенства и второго соотношения
(5. 20) вытекает, что a = 0. Получили противоречие с тем, что в (5. 1) |a| + |Ъ| & gt- 0. Лемма доказана.
Лемма 5.8. Если состояние покоя (0,-c/b) при -c/b Ф a-, j =1, 2, 3, не принадлежит инвариантным множествам y = kx + l, k Ф 0, то число линейных частных интегралов системы (5. 1) не более 9.
Доказательство. Так как состояние покоя (0,-c/b) не принадлежит инвариантным множе-
ствам вида у = кх + I, к ф 0, то для всякого частного интеграла у = кх + I, к ф 0, параметр I, в силу леммы 5. 2, принадлежит {аі, а2, а3}. По лемме 5.5 состояние покоя (0,а-) может принадлежать не более чем двум инвариантным множествам
у = кх + а/, к ф 0. С другой стороны, в силу леммы 5. 7, невозможна ситуация, когда точки (0,аі), (0,а2), (0,а3) одновременно принадлежат инвариантным множествам у = к15х + а5, у = = к2ьх + а5, кі5 Ф к25, кі5к25 Ф 0, 5 = 1, 2, 3. Отсюда следует утверждение леммы. Лемма доказана.
Изучим случаи, когда система (5. 1) имеет частные интегралы у = кх — с/Ь, с + а-Ь Ф 0,
/ = 1, 2, 3.
Лемма 5.9. Система (5. 1) имеет линейный частный интеграл у = кх — с/Ь, кЬ Ф 0 тогда и только тогда, когда
к А4 + кВ4 + Р20 — 0,
к (- 2ІА4 + Ь (аіа2 +аіаз +а2аз) — р0і) +
+ (2І - 2І (аі +а2 +аз) +
+ аіа2 + аіаз + а2аз) а — Іріі - рі0 — 0, (5. 21)
к ((р02 — с)І 2 + р0іІ + р00 —
где
— b (l — а^ (l — аз) (l — а3)) —
— а (І - а1) (І - аз) (І - а3) — 0,
A4 — Р02 + Ь (а1 +аз +а3), В4 — p11 + а (а1 +а2 +а3 — l), Ы1 + c = 0.
(5. 22)
Доказательство. Соотношения (5. 20) и
(5. 21) получаются из тождества (5. 2) при Ъ? + с = 0 путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях в правой и левой частях. Лемма доказана.
Лемма 5. 10. Если -с/Ъ ф а/, / =1, 2, 3, Ъ ф 0, то система (5. 1) не имеет частных интегралов у = кх — с/Ъ, у = к2х — с/Ъ, кк2 ф 0, к! ф к2.
Доказательство. Допустим противное. Полагая в (5. 21) к = к], к = к2 и используя условия? = -с/Ъ Ф а/, к] Ф к2, согласно последнему равенству (5. 21), найдем, что, а = 0. При, а = 0 система
(5. 1) наряду с у = аь у = а2, у = а3 имеет частный интеграл Ъу + с = 0. Таким образом, у системы (5. 1) есть инвариантное множество, содержащее 4 инвариантных множества (2. 1) с условием (2. 3). Полученное противоречие доказывает лемму. Лемма доказана.
Лемма 5. 11. Пусть система (5. 1) допускает частный интеграл у = кх — с/Ъ и при этом к Ф 0,
? = -с/Ъ Ф а-, /'- = 1, 2, 3. Тогда число линейных частных интегралов системы (5. 1) не более 9.
Доказательство. Допустим противное. Тогда, в силу лемм 5. 2, 5. 5, 5.7 и 5. 10, с точностью до обозначений система (5. 1) имеет частные интегралы у = к1х + а!, у = к2х + а!, к1к2 Ф 0, к ф к2, у = к3х + а2, у = к4х + а2, к3к4 ф 0, к3 ф к4, у = к5х + а3, к5 Ф 0. Отсюда и из леммы 5.6 следует, что выполнены соотношения (5. 20), где Ы = - с. По лемме 5.4 2а1 А1 + С1 = 0, где А1 и С определяются формулами (5. 7), (5. 8). Заменяя А1 и С1 их выражениями из (5. 7), (5. 8), с учетом последнего равенства (5. 20) при Ъ? = -с получим Р01 = зЪ1"з. Согласно (5. 7) и (5. 20), В1 = а (а2 -аз). Отсюда и из (5. 17) следует Р10 = а (а1аз +"2"з — а1а2). В силу леммы 5. 4, с учетом (5. 17), (5. 20) при Ъ = -с имеем
2, 1 2 1 2
Р00 — b а1 а2 — 1а2а3 --а1 а3 --а1
Так как система (5. 1) допускает частный интеграл y = kx — c/b, l = -c/b, k Ф 0, Ъ Ф 0, то по лемме 5.9 выполнены равенства (5. 21). Заменяя в левой части второго уравнения (5. 21) p02, p01, pii, pi0 найденными выражениями и используя последнее соотношение (5. 20) при bl = -c, получим
(3bk + 2a)(/2 — /(a! +a2) + a2)= 0.
Поскольку l = -c/b Ф a-, j = 1, 2, 3, то 3bk + + 2a = 0. Таким образом, система (5. 1) имеет
2a c
частный интеграл y =-------------x----. Так как
3b b
y = k5x + a3, k5 Ф 0, является инвариантным множеством для (5. 1), то, в силу леммы 5. 3, выполнены равенства (5. 13)-(5. 16), где k = k5. Подставляя найденные выше значения p02, p01, p11 в (5. 16), будем иметь
A3 = (2a1 + 2a2 — / - 3a3) b/2,
B3 = a (a1 +a2 -2a3), (5. 23)
C3 = ((3a3 — a1 — a2)/ - a1a2) b.
Полагая в (5. 14) k = k5 и заменяя A3, B3, C3 из (5. 23) и используя найденное выражение для p10, с учетом последнего равенства (5. 20) при bl = -c получим
(3bk5 + 2a) x
i (5. 24)
x (a1a2 -a3 -/(a1 +a2 — 2a3))= 0.
Пусть /(a1 + a2 — 2a3) = a1a2 — a^, тогда, в силу последнего равенства (5. 20) при bl = -c,
имеем (a3 — a2)(a1 — a3) = 0. Так как это невозможно, то 3bk5 + 2a = 0. Таким образом, система (5. 1) допускает частный интеграл 2а
y =------x + a3. Следовательно, система (5. 1),
3b
кроме y = a1, y = a2, y = a3, имеет по крайней мере еще два частных интеграла с условием (2. 3). Полученное противоречие доказывает лемму. Лемма доказана.
Из доказанных выше лемм вытекает
Теорема 5.1. Пусть система (1. 1) с взаимно простыми правыми частями вырождена на бесконечности, имеет только три инвариантных множества (2. 1) с условием (2. 3) и не имеет других инвариантных множеств (2. 1) с условием (2. 3). Тогда число линейных частных интегралов не более 9.
6. Системы, вырожденные на бесконечности, с двумя инвариантными множествами, являющимися объединениями только двух инвариантных множеств (2. 1) с условием (2. 3)
В отличие от п. 3−5, будем рассматривать системы (1. 1), вырожденные на бесконечности, такие, что наибольшее число инвариантных множеств (2. 1), содержащихся в объединении инвариантных множеств (2. 1) с условием (2. 3), равно двум.
Лемма 6.1. Если система (1. 1) из А4 имеет два инвариантных множества L и L2, каждое из которых является объединением инвариантных множеств (2. 1) с условием (2. 3), при этом пересечение L1 и L2 не содержит инвариантных множеств (2. 1) и максимальное число множеств (2. 1), содержащихся в объединении и удовлетворяющих условию (2. 3), равно двум, то линейной невырожденной заменой с точностью до обозначений система (1. 1) приводится к виду
dx
dt
x ((ax + by) y + p10x + p01 y + p00) = P (x УX «
, ()
— = y (y — a) x dt
x ((ax + by) x + qw x + y + & lt-?00) = Q (x, y),
где |a| + |b| & gt- 0, aP Ф 0, P и Q — взаимно просты.
Доказательство. Поскольку каждое из инвариантных множеств L и L2 содержит два инвариантных множества (2. 1) с условием (2. 3), то без ограничения общности считаем Ц = {y = 0} и
x (x — P) x
u{y = a}, L2 = {x = 0} ^ {x = P}, aP ф 0. Так как y = 0, y = a, x = 0, x = P — инвариантные множества для (1. 1), то Q делится на y (y — a) и P делится на x (x — P). По условию леммы система (1. 1) при n = 4 вырождена на бесконечности. Поэтому в силу (1. 2) однородные полиномы p4(x, y) и q4(x, y), содержащиеся в P и Q, такие, что
Р4 (X, У) = Хфэ (x, y) = x2 V2 (x, y),
& lt-?4 (x, У) = УФз (x, y) = У 2®2 (x, У), где Фу, Vj, ®j — однородные полиномы степени j. Так как
Фз (x, У) = xV2 (x, У) = y®2 (x, y),
то у2 делится на y, а ш 2 делится на x. Лемма доказана.
Лемма 6.2. Система (6. 1) имеет частный интеграл y = kx + l, k ф 0, тогда и только тогда, когда для всех х
kx (x — P) (((a + bk) x + bl) (kx +1) +
+ (Pio + Poik) x + Poil + Poo) =
/ (6. 2) = (kx +1) (kx +1 — a) ((bl + (a + bk) x) x +
+(qio + qoik) x + qoil + qoo), при этом l e {o, a,-qoo / %i}, причем при l = 0 и q00 = 0 значение p00 = 0, а при l = a ф 0 и qoia + qoo = o
bl2 + poil + poo = °- (6. 3)
Доказательство. Подставляя в дифференциальное уравнение, эквивалентное системе (6. 1), y = kx + l, получим тождество (6. 2). Так как левая часть (6. 2) равна нулю для x = 0, то
l e {o, a,-qoo / qoi}. Лемма доказана.
Лемма 6.3. Система (6. 1) имеет частный интеграл y = kx, k ф 0, тогда и только тогда, когда
2
(bP + qoi) k + k (aP + qio — Poi -ab) —
— рю — aa = o, k (aqoi — pPoi — qoo) + Poo — (6. 4)
— pPio +aqio =0, aqoo- pPoo = o-
Доказательство. Полагая в (6. 2) l = 0 и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях (6. 2), получаем равенства (6. 4). Лемма доказана.
Лемма 6.4. Система (6. 1) не имеет инвариантных множеств y = kx, y = k2x, y = k3x, kj ф 0 и попарно различны.
Доказательство. Допустим противное. Тогда, в силу леммы 6. 3, выполнены равенства
Pb + qoi = o, aP + qio — Poi — ab = o,
Pio + aa = o,
aqoi- PPoi- qoo = 0 Poo- PPio + aqio =0,
aqoo -^Poo =0 Из соотношений (6. 5) имеем
Pio = -aa, Poi = qio- aP — a^
(6. 5)
Poo =-aqio- aap,
q0i = -bp, q00 = -Pqi0 — aP^
(6. 8)
(6. 6)
Подставляя p10, p01, p00 из (6. 6) в (6. 1), будем иметь
— = x (x — P) (ax + by + qio + aP)(y — a) = P.
dt
Отсюда и из (6. 1) следует, что P и Q имеют общий делитель y — a. Получили противоречие. Лемма доказана.
Полагая в тождестве (6. 2) l = a и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях, можно показать, что справедлива
Лемма 6.5. Система (6. 1) имеет линейный частный интеграл y = kx + a, ka ф 0 тогда и только тогда, когда
(bP + qoi) k2 + k (aP + qio -Poi) -Pio = 0 k (2aPb + 2qoia + Ppoi + qoo) —
2 (6. 7)
— 2a b — P0ia — p00 + aPa + Pp10 — aqi0 = 0,
2
a bP + P (poia + poo) + a (aqoi + qoo) = 0.
Лемма 6.6. Система (6. 1) не имеет частных интегралов y = k1x + a, y = k2x + a, y = k3x + a, kj ф 0 и попарно различны.
Доказательство. Допустим противное. Тогда, в силу леммы 6. 5, имеем
qoi = -pb, Pio = 0 Poi — qio = aP 2aqoi + PPoi + qoo =-2apb, ap0i + P00 — Ppi0 + aqi0 = aPa — 2a b,
aPPoi +PPoo +a2qoi +aqoo = -a2Pb.
Отсюда получим PPoi + qoo = 0 aPPoi + PP0o + aqoo = 0, ap0i + P00 + aqi0 = aPa — 2a2b.
Из первого и второго только что полученных равенств следует, что p00 = 0. При p00 = p10 = 0 полиномы P и Q в (6. 1) имеют общий делитель y. Из полученного противоречия вытекает утверждение леммы.
Лемма 6.7. Система (6. 1) имеет частный интеграл y = kx + l, где k ф 0, lqoi + qoo = 0, тогда и только тогда, когда
k (Pb + q0i) + k (qi0 + aP + bl — p0i -ab) +
+ al — pi0 — aa = 0,
k (2Pbl + Ppoi + qoi (2l-a)) +
+ k (Ppio + qio (2l — a) —
— Poil — Poo — 2abl + aPl + 2bl2) +
+ al (l — a) = 0,
k (P (bl2 + poil + poo) +l (l -a)qoi) +
+ (bl + qio) (l — a) l = 0.
Доказательство. Равенства (6. 8) получаются из тождества (6. 2), если сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях. Лемма доказана.
Лемма 6.8. Система (6. 1) не имеет частных интегралов y = k1x + l, y = k2x + l, y = k3x + l, где l ф 0, l ф a, a ф 0, kj ф 0.
Доказательство. Допустим противное. Тогда, в силу (6. 8) и леммы 6. 7, выполнены равенства
qoi =-P^ Poi — qio = aP + bl -ab, pi0 = al — aa, PPoi + qoi (2l -a) = -2lPb, lPoi + Poo — PPio — qio (2l — a) =
= lPa + 2bl — 2bal, al (l — a) = 0, (bl2 + p0il + p00) P +
(6. 9)
+ l (l — a) qoi = 0, l (l -a)(bl + qi0) = 0.
Так как l (l — a) Ф 0, то a = 0. Поэтому pw = 0,
qio = -Ь1, Poi = -ab Poo = 0. При Pio = Poo = 0 полиномы P и Q в (6. 1) имеют общий делитель y. Полученное противоречие доказывает лемму.
Лемма 6.9. Если состояние покоя (0,-q00 /q01) не принадлежит инвариантным множествам y = kx + l, k Ф 0, то число линейных частных интегралов системы (6. 1) не более 8.
Доказательство. Так как l ф -q00 /q01, то, в силу леммы 6. 2, l e {0,a}. Кроме x = 0, x = P, y = 0, y = a, система (6. 1), согласно леммам 6. 4, 6. 6, может иметь еще не более 4 частных интегралов y = k1x, y = k2x, k1k2 Ф 0, k1 Ф k2, y = = k3x + a, y = k4x + a, k3k4 Ф 0, k3 Ф k4. Лемма доказана
Лемма 6. 10. Система (6. 1) при aP Ф 0 не может иметь шести линейных частных интегралов вида y = k1x, y = k2x, k1k2 Ф 0, k1 Ф k2, y = k3x + a, y = k4x + a, k3k4 Ф 0, k3 Ф k4, y = k5x + l, y = k6x + l, где l = -q00 /q01, l Ф 0,
l Ф a.
Доказательство. Допустим противное. Тогда, в силу леммы 6. 3, выполняются равенства
00 «РАИ — qoo = О,
p00 =а b/3, p10 = а (а-3/)/3, аР = аЬ, pb (l2 -а/ + а2) = 0.
= 0,? ф 0,? ф а, к5 к6 ф 0, к5 ф к6, то к5 и к6 удовлетворяют первым двум уравнениям (6. 8). Поэтому
(6. 10)
Poo -PPio +aqio = 0 aqoo -^Poo = °.
Согласно леммам 6.5 и 6. 7, аналогично получим, что
2aqoi + PPoi + qoo = -2bap,
aqi0 + ap0i + p00 — Ppi0 = aPa — 2a b,
22 a qoi + PPoo +aqoo + aPpoi =-a Pb, (6. 11)
l (l -a)qoi +Plpoi +Ppoo = -Pbl2, l (l — a)(bl + qi0) = 0.
Так как l (l -a)Ф 0, то из последнего уравнения (6. 11) находим q10 = -bl. Отсюда и из
(6. 10), (6. 11) следует, что
aqoi -PPoi — qoo = 0
2aqoi +^Poi + qoo =-2ba^ aqoi +PPoi + 2qoo =-aP^
-PPio + (a / P) qoo = abl,
l (l -a)qoi + PlPoi +aqoo = -Pbl2, p0i = Pa — 2ab.
Из первых трех уравнений (6. 12) находим q0i = -2bP/3, p0i = -ab, q00 = abP/3. Отсюда и трех последних равенств (6. 12) следует, что
P10 + a (a- /) bp + ?01 a/(/ -a)
(6. 14)
2pb/ + Pp01 + q01(2/ -a)
Заменяя в (6. 14) p10, q01 и p01 найденными выше значениями, находим
9/2 — 11а/ + 4а2 = 0,
(6. 15)
(6. 12)
(6. 13)
Поскольку система (6. 1) допускает частные интегралы y = k5x + l, y = k6x + l, где lqw + q00 =
т.к. |а| + |Ь| & gt- 0, ар Ф 0. Из (6. 15) и последнего равенства (6. 13) вытекает, что, а = I = 0. Полученное противоречие доказывает лемму.
Теорема 6.1. Система (6. 1) при ар ф 0 может иметь не более 9 различных линейных частных интегралов.
Доказательство. Класс систем (6. 1) такой, что всякий частный линейный интеграл, отличный от х = 0, х = р, у = 0, у = а, имеет вид у = кх + I, где к ф 0, к ф да. По лемме 6. 2
І є {0,а,-^00 /^0і). В силу лемм 6. 4, 6. 6, 6. 8,
6. 10, инвариантных множеств у = кх + I для к Ф 0 не более 5. Теорема доказана.
Работа поддержана грантом НК-13П-13.
Список литературы
1. Долов М. В., Чистякова С. А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. I // Вестник ННГУ. 2010. № 6. С. 131−136.
ON LINEAR PARTICULAR INTEGRALS OF POLYNOMIAL VECTOR FIELDS OF FOURTH DEGREE WITH DEGENERATE INFINITY. II
M.V. Dolov, S.A. Chistyakova
A polynomial vector field of fourth degree with degenerate infinity is proved to have no more than nine linear particular integrals including those with complex coefficients.
Keywords: polynomial vector fields, algebraic differential equations, particular integrals, invariant sets, degenerate infinity.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой