О математической модели хирургического метода углубления передней камеры глаза

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 617. 7, 51−7
О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ХИРУРГИЧЕСКОГО МЕТОДА УГЛУБЛЕНИЯ
ПЕРЕДНЕЙ КАМЕРЫ ГЛАЗА
© С. И. Николашин, Е. С. Жуковский, В.В. Попова
Ключевые слова: хирургический метод углубления передней камеры глаза- математическое моделирование.
При хирургическом лечении факогенной глаукомы с мелкой передней камерой необходимо осуществить декомпрессию глазного яблока с задней виктрэктомией. В Тамбовском филиале «МНТК „Микрохирургия глаза“ им. акад. С.Н. Федорова» Х. К. Тахчиди, В. А. Мачехиным, С. И. Николашиным был разработан метод углубления передней камеры с сохранением баланса внутриглазного давления на всех этапах операции. Предложено одновременно с виктрэктомией в заднем отделе глаза постоянно подавать в переднюю камеру сбалансированный соляной раствор. В данной работе построена математическая модель такого метода углубления передней камеры. Полученные соотношения позволяют рассчитать оптимальные величины скорости витрэктомии, высоту сосуда с ирригационной жидкостью, определить положение витреотома, проанализировать влияние физических параметров на изменение ВГД.
Хирургическое лечение патологий хрусталика в настоящее время находится на высоком уровне. Однако у некоторых пациентов имеется ряд сопутствующих заболеваний, осложняющих проведение стандартных операций. В случае мелкой передней камеры глаза увеличивается риск хирургического вмешательства при лечении факогенной глаукомы. В Тамбовском филиале «МНТК „Микрохирургия глаза“ им. акад. С.Н. Федорова» Х. К. Тахчиди, В. А. Мачехиным, С. И. Николашиным был разработан оригинальный метод [1] углубления передней камеры с сохранением баланса внутриглазного давления (ВГД) на всех этапах операции. Ими предложена следующая техника проведения операции.
В разрез склеры в 4 мм от лимба вводится витрео-том. В переднюю камеру через парацентез вводится ирригационный наконечник, к которому подключена ирригационная система. Выполняется задняя виктрэк-томия с одновременной подачей солевого раствора из сосуда, расположенного на высоте 100 см, через ирригационную систему в переднюю камеру. Это позволяет плавно с сохранением баланса ВГД смещать иридохру-сталиковую диафрагму вниз.
Описанная технология углубления передней камеры позволяет создавать оптимальные условия для проведения факоэмульсификации на глазах с факогенной глаукомой в случае мелкой передней камеры.
В данной работе построена математическая модель метода [1] углубления передней камеры. Полученные соотношения позволяют рассчитать оптимальные величины скорости витрэктомии, высоту сосуда с ирригационной жидкостью, определить положение витрео-тома, проанализировать влияние физических параметров на изменение ВГД.
1. Значения основных параметров математической модели. В математической модели используются следующие параметры (рис. 1).
Высота передней камеры до операции к0 & lt-1 мм, после операции к ~ 3 мм. Радиус хрусталика составляет г = 4,5−5 мм, толщина I = 3,5−5 мм. Глубина задней камеры Н ~ 18 мм. Длина глаза Ь = 24−27 мм (средняя длина Ь = 25,5 мм).
Внутриглазное давление Рвг = 16 мм рт. ст. считается нормальным, повышенное давление может достигать значения 40 мм рт. ст.
2. Расчет объема удаляемого стекловидного тела ДУ в зависимости от геометрических параметров передней камеры. Для вычисления объема ДV удаляемого во время операции стекловидного тела заметим, что этот объем совпадает с объемом, на который должна увеличиться передняя камера. Будем предполагать, что поверхность глаза сферическая. Тогда величина ДУ является объемом сегмента (рис. 2) и определяется равенством:
Д7 = - (Л — Ао)(3г2 + (/I — /10)2) *
3 14
* • 2,5 • (75 + 6,25) * 105,30 мм³.
6
Отметим, что, если время витрэктомии равно 10 с, то средняя скорость удаления стекловидного тела равна
и = 10,53 — = 10,53 • 10−3 — = 0,63 • -.
с с мин.
3. Доля удаляемого объема к объему всего стекловидного тела. При вычислении объема глаза примем, что задняя камера есть шаровой сегмент радиуса Я (рис. 3). Для нахождения этого радиуса достаточно решить следующую систему уравнений:
г, а + Д = Я-
I а2 + г2 = Я2.
Из первого уравнения, а = Н — й. Подставим это значение во второе уравнение и получим:
(Я-й)2+г2 =й2.
После несложных преобразований имеем
Я2 — 2ЙЯ — г2 = 0.
Решая полученное квадратное уравнение, находим радиус задней камеры:
= ^ 18^-? ^
2Я 36
Теперь определяем ее объем:
К3=^Я (Зг2 + Я2)"
«. 18. (75 + 182) * 3759,59 мм³.
6
Аналогично находится объем передней камеры, если также считать ее шаровым сегментом:
^ =Л (3г2 + /I2) «^ • 3 • (75 + 9) * 131,88 мм³.
Итак, объем глаза равен
V = 73 + Пп «3891,47 мм³.
Теперь вычисляем отношение объема удаляемого в ходе операции стекловидного тела к объему всего глаза:
Д7
Т
(Л-Ло)(Зг2 + (Л-/10)2)
Я (3г2 + Я2) + Л (3г2 + Я2) (/1-/10)(Зг2 + (/1-/10)2) Д7с
(Я + Л)(3г2 + Н2) '- К '-
= 2,711
4. Расчет давления жидкости на переднюю камеру- скорости удаления стекловидного тела- расстояния Нв от хрусталика до витреотома. При расчетах используются следующие предположения:
1) каждая линия тока жидкости (стекловидного тела) — сплайн, образованный парой соприкасающихся окружностей одинакового радиуса. Объединяя одинаковые линии тока, получаем слой жидкости, представляющий поверхность вращения (рис. 4) —
2) течение жидкости ламинарное, стационарное-
3) сила внутреннего трения между «слоями» жидкости задана равенством:
(1)
где у0 е [0,г]- 5(у0) — площадь поверхности между слоями жидкости- т| - вязкость жидкости (стекловидного тела) — 17ср (у) — скорость течения слоя жидкости, начинающегося в у0, в средней точке х = Яв/2. Учитывая, что скорость уменьшается с увеличением у, перепишем (1) в виде:
тр = -п-^(Уо) —
(1'-)
4) распределение скорости течения жидкости по переменной х в каждом слое жидкости определяется законом неразрывности струи:
и (х)ст (х) = СОПБ^х),
где а (х) — площадь сечения в точке х В [0, ЯВ] слоя жидкости (рис. 5).
Найдем уравнение линии тока жидкости (рис. 6).
Пусть г — радиус хрусталика, Д — радиус отверстия (внутренний радиус) витреотома, среднее значение внутреннего радиуса Дер» 0,21 мм.
Обозначим Е = - «» 0,04- X = 1 — ?- у (0) =
7 г 4,5
= у0- У (НВ) = Ув = ?Уо.
Пусть окружности, образующие линии тока, имеют радиус р. Для нахождения этого радиуса воспользуемся подобием треугольников, А ЫКМ ~Д АВЫ.
Имеем следующее соотношение между подобными сторонами:
Ш_ _ ЫА N4 ~ ЛГВ'-
(2)
Так как
ЫА=у0- Ъуо = (1 — ОУо =Уо- АВ = Яв-
ЫВ = ЛТК = = ^Я2+А2у2,
то из соотношения (2) получаем 1
-ЯВ-ЫВ = ЫМ-ЫА.
4
Таким образом,
^ (Яд + А2Уо) = р ¦ Яу0.
Итак, линия тока жидкости образована парой окружностей радиуса:
_ Я|+Я2у02 4Лу0 '-
(3)
Внешняя граничная линия тока жидкости (в каждой точке которой скорость считаем равной нулю) имеет радиус:
Ро =¦
Щ + А 2г2 ~4Лг '-
Неразрывность линий тока равносильна выполнению неравенства:
z^VMC & lt- 90° «Яв& gt- Лг.
Определим площадь 5(у0) поверхности тока 5(у0) = /0 2тт: у<-2г. Уравнение линии, вращением которой образовали поверхность, при х € [о,^] (рис. 7):
у (х) = т1р2-х2 -(р- Уо).
Найдем дифференциал длины дуги этой линии: с? т = т/1 + (у'-(х)Уйх.
Так как у'-(х) =, *, то
& lt-ІТ = І1+ * ІЇХ=-г==СІХ'-
р*-х*
Vр2-*2
Итак, площадь поверхности на отрезке х Є [0, -]: = р 2и (-у/р2 — ж2 — р + Уо) ^2Р_ =
Р-Уо
— 2ттр = 2ттр
х — (р — у0) агс5іп-Р
Н Н1
--(р-у0)агс5іп-].
Теперь определим площадь 52 поверхности при *е (|. я]. В этом случае уравнением линии (рис. 8)
является у (х) = р + $Уо ~ VР2 — (Я — х)2. Соответственно, получаем
, Н-х
(11
= л]1 + (у'-М)2 =
1 +
(Н-х)2 р2 — (Я — х)2
где, 0 — высота столба жидкости- р — плотность жидкости- д — ускорение свободного падения- Рвг — внутриглазное давление. Подставив в это уравнение выражения (1'-), (2), позволяющие определить силу трения ?^р, получим
рдОъуо — РвМ2Уо =
& lt-*1>-ср (я! + А2у02)(1 + 0. 2ЯвАу0

-апзт
Я| + А2Уо
Так как у0 =, то
-у/р2 — (Н-х)2
4у2
-(рдО-%2Рж) —
(1 + 02
(Я|(1 + о2 + 4А2у2)
= -щто-:
. 4ЯвАу (1 + 0 х агсвт
Я|(1 + ?)2 + 4А2у2
В полученном дифференциальном уравнении разделим переменные
______________________8Ху2(рдР — ?2РВГ)__________________
Ф (1 + 9п («І(1 + 9 2 + 4Л2у2) агс5іп
-Лу.
Н^(1 + 52 + 4Л2у2
При интегрировании учтем, что поверхностный
«» ' 1+5
слои, соответствующий у = --г, имеет нулевую скорость. Поэтому
Итак,
$ 2 = 1» 2и (р + & amp-о — 7р2 — (Я — ж)2)
Г Р + ?Уо
2
= 2ттр
л/р2 — (Н — х)2
Н-х V
Г Н Н'-
= 2пр [(р + ?Уо)агсзіп-- -
л/р2 — сН-хУ йх =
н
= 6. x =
Теперь вычисляем полную поверхность:
л
5(у0) = 5! + Б2 = 2иру0(1 + Оагаип-.

Подставляя в это равенство выражение (3) для р, получаем
, ч Я| + А2Уо, ч 4ху0Я
5СУо) = 2-----------у0(1 + раги1п 2 , —
4Ау0
= ч^(1+0агс5іп^'-
2(Я| + А2Уо)
(4)
Составим уравнение для нахождения распределения скоростей по сечению потока в средней точке х = Яв/2. При установившемся (стационарном) течении сумма сил, действующих на поток жидкости, равна нулю:
рдЬъу$ - Рвг А2 У о ~ Ртр = О,
8Аг2(рЯ0 — ?РИ). _ 4ЯвА2(1 + 9
-агсят А-----т-аг.
(1 + 0гі(Н|(1 + 5)2 + 4А222)
Н|(1 + 52 + 4А2г2
Полученный интеграл может быть найден численно
1+Ї
для различных значений у Є Таким образом,
определяется таблица значений функции иср (у). Эту функцию используем для нахождения потока @ стекловидного тела, т. е. его объема, проходящего через сечение витреотома в единицу времени.
Разобьем сечение потока в средней точке на кольца ширины & lt-2у. За единицу времени через кольцо радиуса у ширины йу пройдет объем стекловидного тела, равный площади кольца 2и: у<-2у, умноженный на скорость потока V (у):
& lt-1(2 = у (у)2-куЛу'-
Проинтегрировав это выражение по у, получим по-
& lt-3 =
Шг !±5»
ЭХг2(рдО — ?Р»)
4ЯвЯг (1 + О
— г1у. (1у.
(1 + 0г№в (1 + О2 + 4А2г2) агс51пн|(1 + д2 + 4Х2г2
Полученный поток должен равняться потоку удаляемого через витреотом стекловидного тела. Используя это равенство, можно определить оптимальные значения входящих в него параметров. Так, например, достаточно очевидно, что значения ВГД мало влияют на поток (вследствие малости коэффициента Ц2 и
«0,0016). При изменении ВГД на величину ДРВГ необходимо изменить высоту ирригационного сосуда на величину:
ЛИТЕРАТУРА
1. Тахчиди К, Мачехин В. А., Николашин С. И. Хирургическое лечение факогенной глаукомы с мелкой передней камерой // Офтальмохирургия. 2008. № 2. С. 5−9.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Программы развития студенческих научных объединений Тамбовского государственного университета им. Г. Р. Державина и Федеральной целевой программы «Развитие научных и научно-педагогических кадров инновационной России».
Поступила в редакцию 26 октября 2012 г.
Nikolashin S.I., Zhukovskiy E.S., Popova V.V. ON MATHEMATICAL MODEL OF SURGICAL METHOD OF RECESS OF ANTERIOR EYE
In the surgical treatment of glaucoma with small anterior eye it is necessary to decompress of the eyeball with back vitretcomy. In Tambov branch FSI IRTC Eye Microsurgery named after academician S.N. Fedorov H.K. Tahchidi, V.A. Machekhin, S.I. Ni-kolashina developed a method of deepening the anterior eye chamber while maintaining the balance of the intraocular pressure in all phases of the operation. Simultaneously with vitretcomy in the back of the eye it was offered to constantly fed into the anterior eye chamber a balanced salt solution. In this paper a mathematical model of such method of recess of anterior eye is built. The obtained correlations allow us to calculate the optimal value of the vitretcomy speed, height of the vaso with the irrigation fluid, to determine the position of vitreotom, the influence of physical parameters on the change in IOP.
Key words: surgical method of recess of anterior eye- mathematical modeling.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой