ЕДИНСТВЕННОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПОЛИНОМА НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ $L (a, b) $

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 45−48
= Математика =
УДК 517. 5
Единственность интерполяционного полинома наилучшего приближения в пространстве Ь (а, Ь)
Ал.А. Привалов
Аннотация. Приводится достаточное условие единственности полинома, наименее уклоняющегося от функции х € С [а, Ь] в пространстве Ь (а, Ь) среди всех полиномов, интерполирующих х в заданных точках отрезка [а, Ь].
Ключевые слова: пространство С[а, Ь], пространство Ь (а, Ь), интерполяционный полином, полином наилучшего приближения, единственность полинома наилучшего приближения.
В пространстве Ь (а, Ь) полином наилучшего приближения, вообще говоря, неединственен. Однако имеет место следующая теорема Д. Джексона.
Теорема Д. Джексона [1, с. 96]. Пусть Фп — система Хаара на [а, Ь] и х € С[а, Ь]. Тогда полином р € Фп, наименее уклоняющийся от функции х в пространстве Ь (а, Ь), единственный.
Напомним, что систему функций Фп С С[а, Ь] называют системой Хаара на [а, Ь], или Н-системой, если любой не равный тождественно нулю полином р по системе Фп имеет не более п — 1 нулей на [а, Ь].
Рассмотрим задачу о единственности полинома наименее уклоняющийся от функции х в пространстве Ь (а, Ь) среди всех полиномов р € Рп — п-мерного подпространства С[а, Ь], интерполирующих х в заданных точках ?1,…, ^ отрезка [а, Ь], т. е. р (?^) =), Э = 1,…, к, к ^ п. При наличии таких дополнительных условий утверждение, подобное теореме Джексона, перестает быть справедливым. Например, для многочленов первой степени (подпространства Р2) и функции х (Ь) = многочлен, наименее уклоняющийся от х в Ь (-1,1) и удовлетворяющий условию р (0) = х (0), неединственен.
Следуя С. Карлину [2, с. 18] назовем систему функций Фп С С[а, Ь] системой Хаара порядка г, г ^ 1, или ЕТ-системой г-го порядка на [а, Ь], если
Фп = {(€ Сг-1[а, Ь], э = 1,…, п}
и определитель
А
Ыь)
& lt-Ри (Ь)
(ЛЬ'-п)
рп (Ьп)
отличен от нуля для всех наборов, а ^ ^ … ^ Ьп ^ Ь, где равенство может встречаться в группах не более чем из г последовательных значений Ьг, причем для каждого набора равных Ьг соответствующие им равные столбцы определителя, А заменяются столбцами последовательных производных. Например, если, а ^ Ь1 = Ь2 = … = Ьд & lt- Ьд+1 & lt- … & lt- Ьп-1 = Ьп ^ Ь, то
А
рКЬ) … (* %)
(п (Ь{)п (Ь1) … (П-1ь 1) Рп (Ьд+г)
рг (Ьп-1) ([(Ьп) рп (Ь п- 1) Р'-п (Ьп)
Целью настоящей заметки является доказательство следующего утверждения.
Теорема 1. Пусть Е [а, Ь] и функция х Е С[а, Ь] дифференци-
руема в этих точках. Рп (к ^ п) — п-мерное подпространство С[а, Ь], базис которого образует систему Хаара порядка 2. Тогда полином р Е Рп, доставляющий функции х наилучшее в метрике Ь (а, Ь) приближение и интерполирующий ее в точках Ь1,…, единственен.
Для доказательства теоремы нам потребуются три известные утверждения.
Лемма 1 [2, с. 35−36]. Пусть Фп — ЕТ-система г-го порядка на [а, Ь]. Тогда число нулей любого нетривиального полинома по этой системе с учетом их кратностей не превосходит п — 1, при этом нули кратности г и выше считаются как г-кратные.
Лемма 2 [3, с. 24]. Пусть Фп — Н-система на [а, Ь] и I + 2 т ^ п — 1. Тогда для любых непересекающихся наборов точек (Ь1,…, Ь) и (т1,…, тт) отрезка [а, Ь] существует полином р Е Фп, обращающийся в нуль только в этих точках, причем в точках Ьг, г = 1,…, 1, он меняет знак, а в точках
тз, 3 = 1
, т, не меняет знака.
Теорема Райса [4]. Пусть Р — подпространство Ь (а, Ь). Тогда для того, чтобы функция р0 Е Р доставляла наилучшее в метрике Ь (а, Ь) приближение функции х Е Ь (а, Ь) необходимо и достаточно, чтобы для любого р Е Р выполнялось неравенство
и (х (г) — ро (г)))р (г)м
& lt-

р (ь)м.
Доказательство теоремы 1. Для доказательства теоремы достаточно рассмотреть случай х (Ь^) = 0, 3 = 1,…, к. Пусть существуют два полинома ро и р1 наилучшего приближения удовлетворяющих условиям: ро (Ь]) = р1(Ь]) = 0, 3 = 1,…, к. Тогда для любого а, 0 ^ а ^ 1, имеем
ь
Единственность интерполяционного полинома наилучшего приближения в Ь (а, Ь) 47
/ х (Ь) — арг (Ь) — (1 — а) р0(Ь)М ^
¦) а
гЬ гЬ
^ а х (Ь) — рг (Ь)сМ + (1 — а) х (Ь) — ро (Ь)(М. (1)
аа
Отсюда любой полином ра = арг + (1 — а) ро, а е [0,1], является полиномом наилучшего приближения х, и он удовлетворяет условиям ра (Ьу) = 0, ] = = 1,…, к. Неравенство (1) превращается в равенство, из которого следует, что для всех, а е [0,1] всюду на [а, Ь] выполняется неравенство:
(х (г) — рг (г)) ¦ (х (г) — ра (г)) & gt- о. (2)
Пусть Г (а) = {Ь е [а, Ь]: х (Ь) = ра (Ь)}. Поскольку два различных полинома не могут совпадать на множестве положительной меры, то для, а = а2 имеем Г (а1) П Г (а2) = 0. Поэтому для любого е & gt- 0 множество значений а, при которых Г (а) & gt- 0 не более чем счетно. В частности, среди полиномов ра, а е [0,1] найдутся два различных полинома дг и д2 такие, что разности х — дг, г = 1, 2, обращаются в нуль на множестве нулевой меры. Пользуясь теоремой Райса, получим
[ 8%п (х (Ь) — ф))р (1)й1 = 0 (3)
а
для всех р е Рп, р (Ьу) = 0, ] = 1,…, к, г = 1, 2.
В силу (2) и того, что {Ь: х (Ь) = дг (Ь)} =0, г = 1, 2, разности х — дг и х — д2 меняют знаки в одних и тех же точках. Пусть разности х — дг, г = = 1, 2, меняют знаки в точках тг,…, тт е {?г,…, ?д}, а в точках хг,…, х е е {?г,…, ?д} не меняют знаки. Далее, пусть точки уг,…, уг е {?1,… ,?г} такие, что в них вышеуказанные разности меняют знаки. Отсюда, и того, что функция х дифференцируема в точках … имеем х'-(ху) = д[(ху), ] = = 1,…, 1, г = 1, 2 и, значит, полином дг — д2 имеет 21 нулей в точках хг,…, х1. Таким образом, у полинома дг — д2 на отрезке [а, Ь] по крайней мере 21 + т + + г нулей. По предположению этот полином нетривиален. Следовательно, в силу леммы 1 справедливо неравенство: 21 + т + г & lt- п — 1. Но поскольку всякая ЕТ-система является одновременно Н-системой, то применяя лемму 2 построим полином р, меняющий знаки в точках тг,…, тт, уг,…, уг и не меняющий знаки в точках хг,…, Х1, обращаясь в них в нуль.
Подставим теперь этот полином р в равенство (3), оно, очевидно, нарушится. Получили противоречие. Значит, дг = д2. Теорема доказана.
Замечание. Утверждение теоремы остается справедливым для любых обобщенных систем Чебышева порядка 2 и выше [2, с. 45]. В частности, утверждение теоремы имеет место для алгебраических многочленов и тригонометрических полиномов.
Ь
Список литературы
1. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.
2. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их приложения в анализе и статистике. М.: Наука, 1977.
3. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.
4. Rice J.R. The approximation of functions. Vol.1. Linear theory. Reading. Mass-London: Addison-Wesley, 1964.
Привалов Александр Андреевич (a_privalov@bk. ru), к.ф. -м.н., доцент, кафедра теоретической информатики и дискретной математики, Московский педагогический государственный университет.
The uniqueness of the interpolation polynomial of best approximation in the space L (a, b)
Al.A. Privalov
Abstract. A sufficient condition for the uniqueness of the polynomial of the best approximation of function x? С [a, b] in the space L (a, b) by all polynomials interpolating х at given points on the segment [a, b] is given.
Keywords: the space C[a, b], the space L (a, b), polynomial of the best approximation, interpolation polynomial, the uniqueness of the best approximation polynomial.
Privalov Aleksander (a_privalov@bk. ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of theoretical computer science and discrete mathematics, Moscow Pedagogical State University.
Поступила 23. 09. 2015

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой