О методе усреднения в теории устойчивости импульсных систем

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МАТЕМАТИКА
УДК 517. 929
О МЕТОДЕ УСРЕДНЕНИЯ
В ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ*
А. Х. Гелиг
С. -Петербургский государственный университет, д-р физ. -мат. наук, профессор, a@ag1050. spb. edu
1. Введение
Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение
da..
л+& quot- = -«'- (1)
где
(А» при nT & lt- t & lt- nT + тп,
) [0 при nT + тп ^ t & lt- (n + 1) T. ()
Здесь n = 0,1, 2,…, T — положительный параметр, Ап = 0, если a (nT) =0, Ап = signa (nT) при a (nT) = 0,
тп = T^(|a (nT)|), (3)
ф (А) -непрерывная на [0, +то) функция, ^(0) = 0, ^(А) = 1 при, А ^ a*, 0 & lt- ^(А) ^ 1 при 0 & lt- А & lt- a*,
0 & lt- ^ ^ ^ /г при Л & gt- 0. (4)
А
Система (1)-(4) описывает простейшую импульсную систему с двухполярной широтноимпульсной модуляцией первого рода (ШИМ-1) [1, 2], состоящую из устойчивого апериодического звена, охваченного отрицательной обратной связью через импульсный модулятор с порогом насыщения a*, частотой импульсации 1 /T и крутизной статической характеристики модулятора, не превосходящей k.
Если для исследования устойчивости в целом (глобальная асимптотическая устойчивость) этой системы воспользоваться методом усреднения, развитым в [2, 3] для
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09−01−245) и Совета по грантам Президента Р Ф для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-2387. 2008. 1).
© А. Х. Гелиг, 2009
импульсных систем с широким классом видов модуляции, то легко убедиться, что «эквивалентная нелинейность» имеет вид у& gt-(<-г) = |^|)^1§ пст, а эквивалентная нелинейная
непрерывная система принимает форму
j+'- = -fW'- (5)
Можно показать, что импульсная система (1)-(4) имеет 2T-периодическое решение, если выполнено условие
T exp T — 1
1 + ехрТ & lt- а* & lt- 1 + ехрТ'- ^ ^
Более того, в [4] было показано, что эта импульсная система имеет счетное множество периодических решений, и получено полное описание этого множества.
Из (6) видно, что сколько бы высока ни была частота импульсации 1/T, существует такое а*, что импульсная система (1)-(4) имеет периодическое решение и, следовательно, не является устойчивой в целом. В то же время эквивалентная непрерывная система (5) устойчива в целом при любых а*, в чем легко убедиться с помощью анализа функции Ляпунова V = а2.
Это противоречие можно устранить, если с помощью усреднения путем замены импульса его средним значением свести описание системы не к непрерывному, а к дискретному уравнению. Впервые такое сведение на эвристическом уровне было предложено в [5, 6] без математического обоснования. В этой статье с помощью метода усреднения математическое описание системы произвольного порядка с ШИМ-1 сведено к дискретной системе и получено достаточное частное условие устойчивости в целом в виде ограничений, накладываемых на дискретную передаточную функцию и частоту им-пульсации.
2. Формулировка результата
Рассмотрим систему с ШИМ-1, описываемую уравнением
— = Ах + Ь?, а = с*х, (7)
где A — постоянная гурвицева m х m-матрица, b и с — постоянные m-мерные столбцы,
«*» -знак эрмитового сопряжения. Поскольку в (7) все величины вещественные, здесь
знак «„*“ означает транспонирование. Функции, а и ?, описывающие сигналы на входе и выходе импульсного модулятора, заданы формулами (2)-(4).
Наряду с (7) рассмотрим усредненную систему, которая при nT & lt- t & lt- (n +1)T имеет вид
dx, ,.
— = Ax + b& lt-p (an), (8)
где an = a (nT), y& gt-(an) = Ап^(|ап|).
Сведем системы (7) и (8) к дискретному виду. Проинтегрировав уравнение (7) от t = nT до t = (n + 1) T и представив решение в форме Коши, получим в силу (2) для хп = x (nT) соотношение
,¦ пТ+тп
е-А (п+1)т Хп+1 = е-АпТ Хп + е-Ат d^^
пТ
Отсюда в силу (З) вытекает уравнение
хп+1 — Рхп + (-А) р [е п — I ]ЬА», (9)
где — ^(пТ), I — единичная т х т-матрица, Р — еАТ.
Аналогичным образом для усредненного уравнения (8) получаем соотношение
ж"+1 — Рж" + (-А)-1Р[е-АТ — I]6^(а"). (10)
Очевидно, что правые части уравнений (9) и (10) отличаются лишь элементами порядка Т2.
Для дискретной системы (10) с нелинейностью ^& gt-(<-т"), удовлетворяющей сектори-альному ограничению
о 95(0)= 0, (И)
А
известен [7] частный критерий устойчивости в целом
-+ КеИ/(г-)& gt-0 при всех Ы = 1, (12)
к
где дискретная передаточная функция Ш (г) имеет вид
Ш (г) — е*(Р — г1)-1(-А)-1Р (еАТ)6.
Найдем частотный критерий устойчивости в целом системы (9) и сравним его с (12). С этой целью представим уравнение (9) в виде
ж"+1 — Рж" + г^" + 9″, (13)
где г — (- А)-1Р (е-АТ — I)6,
?п — (-А) 1р Мп — (е — I) А" - (е АТ — I)^". (14)
Представив экспоненты в виде рядов, получим для Мп выражение
і A2T2 A3T3, 2 N f A2T2 A3T3 ,
— (-----2!~ ^ 3!~ ~ ¦ J Pn — I-----1 зі • • •)
Отсюда ввиду свойства |^n| =n & lt- 1 убеждаемся, что евклидова норма матрицы Mn удовлетворяет соотношению
II мп ||& lt- 2фп + М|И! +. ^ = 2фп ^\А\т_ м || т _ ^
которое можно представить в виде
У Mn У& lt- T2 У A У2 7(У A У T) Vn (15)
где 7(A) = 2--------. Очевидно, 7(A) -& gt- 1 при, А -& gt- 0. Из соотношений (14), (15)
Л2
вытекает оценка
II qn У& lt- T2к|^п|, (1б)
где к =У A-1 УУ P УУ A У2 7(У A У T) У b У.
Рассмотрим функцию Ляпунова Р П — жП-Нж", где Н — пока произвольная положительно определенная матрица.
Приращение Д К, — РП+1 — РП в силу системы (13) можно представить в виде
?К. — х (^п, ж")+ Мп, (17)
где
х (^п, х") — (Рж" + 2^")*Н (Рж" + 2^") — жПНж",
Мп — 2дП Н (Рхп + 2^")+ ^ Нп (18)
Воспользовавшись-процедурой, представим выражение (17) в следующей эквива-
лентной форме:
ДК, — х (^п, х") — Т (^", !") + п (а", ^", х"), (19)
хп) = ?& gt-" - с*х") — Т^У" - Т'-32 || х" ||2, (20)
тг (0п, ?п, Хп) = ?п — С*Хп) — ТА^п — II ХП II2 +Мп, (21)
в1 и в — положительные числа.
Будем искать такую положительно определенную матрицу Н, при которой неравенство
х (^п, х") — Т (& lt-?>-«, ж») & lt- 0 (22)
выполнено для всех !" € Кт, & lt-^>-п € К1, || Хп || +|у& gt-1| - 0.
Желая воспользоваться дискретной частотной теоремой [2, 8], распространим квадратичную форму Т (& lt-^>-п, жп) до эрмитовой:
Г ($п, хп) = |^"|2 ~ТР2 II *" ||2 -В& amp-р*пс*хп. (23)
Здесь хп € Ст, € С, -комплексное число, сопряженное с & lt-у5″. Согласно дискрет-
ной частотной теореме такая положительно определенная матрица Н существует, если при всех Срп — 0 и |г| - 1, г € С выполнено неравенство
Т (9?п, (^ - Р)-1г& lt-^п) & gt- 0, которое ввиду (23) после сокращения на |^5п|2 примет вид
У+ЯеШ (г)-Т131- \ с*(Р — гП-1 \2 Т132 & gt- 0 У г € С: Ы = 1. (24)
к
Таким образом, если выполнено частотное условие (24), то ввиду свойства (11) функции у& gt-(<-гп) справедливо неравенство
ДК & lt- Мп — Твп — Тв2 || Хп ||2. (25)
Оценим теперь величину мп, обозначив через А* максимальное собственное число матрицы Н.
Очевидны следующие соотношения:
& lt-Нп & lt- А*||9п||2,
2д*пНРхп & lt- 2А*||Р||||жп||||дп|| = 2\хп\^. ¦ Щ\Р\ & lt-|| Р || (а\хп\2 + Ы!& quot-)
у/а, а)
где, а — произвольный положительный параметр, выбором которого распорядимся в дальнейшем. Из этих неравенств и (18) вытекает оценка
1 +
а2
І9"||2 + ||Р ||а2||х"||2 + 2||г|||Ы|Ы
Отсюда ввиду соотношения (17) следует неравенство
|Р II
1 +
к2Т4 + 2х||г||Т2
+ 11Р 1Н1хп
Если потребовать выполнения неравенств
Л* (: + ^г)н2тА + 2Л*х11г11т2 & lt- тА'
Л*||Р||а & lt- Тв2,
(26)
(27)
то в силу (25) ДК, будет мажорироваться сверху определенно отрицательной формой относительно у& gt-п, хп и, следовательно, система (9) будет устойчива в целом. Представим неравенства (26), (27) в эквивалентной форме
Г2 Г^-2 -Кк2т2 -2А"*||г||
а ^ ЦРЦх2 '
Т2 А,||Р||
а Т^-2 '-
Очевидно, что а, удовлетворяющее этим неравенствам, найдется, если выполнено соотношение
А*||Р|| _ ГА~2 — Кя2Т2 — 2Кн\г\
ТР 2−2 & lt-
ІРІІ К2
которое эквивалентно неравенству
КТ) & lt- о,
(28)
где
КТ) = Л*х2Т3 + Л*||Р|2к2Т3-в2 + 2Л*х||г||Т — Тв

Если положить в1 — в — 1, то ^(Т) является кубическим полиномом относительно Т, причем ^(Т) & gt- 0. Обозначив через, а единственный корень уравнения ^(Т) — 0, убеждаемся, что неравенство (28) выполняется при
Т & lt- а.
2
а
Таким образом, получен следующий результат.
Теорема. Система (7) с широтно-импульсной модуляцией (2)-(4) устойчива в целом, если существуют такие положительные числа и в2, что выполнено частотное условие (24) и оценка (28). Если условие (24) выполняется при в1 = в2 = 1, то T должно удовлетворять неравенству (29).
3. Приложение
Рассмотрим систему, описываемую уравнениями (1)-(4). В этом случае m =1, A =
— 1, b = -1, с =1, P = exp (-T), r = exp (-T) — 1. Передаточная функция усредненной системы (10) имеет вид
2
w (z) = ±^L,
z — q
где q = exp (-T). При z = cos ш + i sin ш
«TTw n / 2 cos ш — q
ReW (z) = (q — q)------------------.
W КЧ 4, l-2qcosuj + q2
Так как q & lt- 1,
min W (z) = (q2 — q) max Ф (и),
|z| = 1 |"|& lt-1
u_q
где Ф (м) = ------^-----. Поскольку Ф'-(и) & gt- 0,
v '- 1 + q2 — 2qu j & gt-
max Ф (и) = Ф (1) =
М& lt-1 1 — Ч
Поэтому частотный критерий (12) принимает форму
1
к& gt-4
и, следовательно, в отличие от усредненной непрерывной системы (5) определенная частотным критерием область устойчивости усредненной дискретной системы зависит от к.
Литература
1. Кунцевич В. М., Чеховой Ю. Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтноимпульсной модуляцией. Киев: Техника, 1970.
2. Гелиг А. Х., Зубер И. Е., Чурилов А. Н. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. СПб.: Изд-во С. -Петерб. ун-та, 2006.
3. Gelig A. Kh., Churilov A. N. Stability and Oscillations ofпИпеаг Pulse-Modulated Systems. Boston, Basel, Berlin: Birkhauser, 1998.
4. Кипнис М. М. Символическая и хаотическая динамика широтно-импульсной системы управления // Доклады РАН. 1992. Т. 324. № 2. С. 273−276.
5. Andeen R. E. The principle of equivalent areas // Trans. AIEE (Applications and Industry). 1960. N 79. P. 332−336.
6. Andeen R. E. Analysis of pulse duration sampled-data systems with linear elements // IRE Trans. Autom. Control. 1960. Vol. 5. N 4. P. 306−313.
7. Цыпкин Я. З., Попков Ю. С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973.
8. Якубович В. А. Частотная теорема в теории управления // Сибирский математический журнал. 1973. Т. 14. № 2. С. 384−420.
Статья поступила в редакцию 14 октября 2008 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой