Принцип плотности для импульсного функциональнодифференциального включения с запаздыванием и невыпуклой по переключению правой частью

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

f3(t) = max f (b® — a®^ dr.
pjT V)
Эти формулы были использованы в работе [6] при рассмотрении игры
Z = -a (t)u + b (t)v, ||u|| ^ 1, ||v|| ^ 1,
z (p) e Z
с интегральной платой
ГР
/ g (r, ||u®||) dr ^ min,
Jto
где g (t, ф) при каждом t ^ p выпукла по ф e [0,1].
ЛИТЕРАТУРА
1. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
2. Понтрягин Л. С. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб. Новая серия. 1980. Т. 112. № 3. С. 307−330.
3. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 195−252.
4. Ухоботов В. И. Однотипные дифференциальные игры с выпуклой целью // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16. № 5. С. 196−204.
5. Ухоботов В. И. Однотипные дифференциальные игры // Вестник ТГУ. Серия Естественные и тех-ничекие науки. 2007. Т. 12. Вып. 4. С. 540−541.
6. Ухоботов В. И., Гущин Д. В. Однотипная задача управления с выпуклой целью при наличии помехи // Вестник ЮУрГУ. Математика. Механика. Физика. 2012. Вып. 6. № 11 (270). С. 24−28.
Ukhobotov V.I. ALTERNATING INTEGRAL FOR A DIFFERENTIAL GAMES The differential game with simple movement where each player vektogram determined by homothetic stretching of the image of the given convex-valued functions is considered. The problem of constructing a Pontryagin alternating integral in the case of a convex terminal set is researched.
Key words: differential game- control.
УДК 517. 911, 517. 968
ПРИНЦИП ПЛОТНОСТИ ДЛЯ ИМПУЛЬСНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И НЕВЫПУКЛОЙ ПО ПЕРЕКЛЮЧЕНИЮ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
© О.В. Филиппова
Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение- обобщенное решение- обобщенное квазирешение- априорная ограниченность.
В работе вводятся понятия обобщенного решения и обобщенного квазирешения задачи Коши для импульсного функционально-дифференциального включения с невыпуклой по переключению правой частью, с импульсными воздействиями и запаздыванием. Сформулировано свойство, когда множество обобщенных решений задачи Коши плотно во множестве решений «овыпукленного» включения, которое называют принципом плотности.
2721
Обозначим через М" п -мерное пространство вектор-столбцов, с евклидовой нормой | • |- сошр[М"] - множество всех непустых ограниченных замкнутых подмножеств пространства М" — Ьга[а, Ь] - пространство суммируемых по Лебегу функций х: [а, Ь] М" с нормой
Нж1к& quot-[а, ь] = / |х (з)|^з- Ц^[а, Ь] - пространство измеримых по Лебегу ограниченных в суще-
ственном функций х: [а, Ь] М" с нормой ||х||^ [а, ь] = vraisup{|x (t)|: Ь € [а, Ь]}- Q (L"[a, Ь])
— множество всех непустых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями подмножеств пространства Ъ"[а, Ь]- Sw (L"[а, Ь]) — множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства L"[a, Ь]- Q (Sw (L"[a, Ь]))
— множество всех выпуклых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства L" [а, Ь].
Пусть отображения Fi: [а, Ь] х М" сошр[М"], г = 1, 2,…, г, удовлетворяют условиям:
1) при всех х € М" отображения Fi (^, х) измеримы-
2) существуют суммируемые функции и: [а, Ь] ^ [0, то) такие, что для любых х, у € М" и при почти всех Ь € [а, Ь] выполняются неравенства
суммируемы.
И пусть N: L^э[a, Ь] ^ Sw (L"[a, Ь]) — многозначные операторы Немыцкого, порожденные отображениями Fi: [а, Ь] х М" сошр[М" ], г = 1, 2,…, г, и заданные равенствами
Рассмотрим задачу Коши для импульсного функционально-дифференциального включения с запаздыванием и правой частью, не обладающей свойством выпуклости по переключению значений
где измеримые по Лебегу функции: [а, Ь] ^ М, г = 1, 2,…, г, при всех Ь € [а, Ь] удовлетворяют неравенству ш^Ь) ^ Ь, ограниченные функции: (-<-Х), а) ^ М" измеримы по Борелю- для любого к = 1, 2,…, т импульсные воздействия Iк: М" ^ М", определены равенствами
а
Н[Еі(і, х) — Fi (t, y)} ^ їг (і)Іх — уі, і = 1, 2 … г-
(5)
3) функции |^(^ 0)||: [а, Ь] ^ [0, то), определеные равенствами
№(Ъ 0)|| = йир ІуІ, і = 1, 2,…, г,
у€Рі(і, 0)
Міх = {г Є Ьга[а, Ь]: г (і) Є Fi (t, x (t)) при почти всех t Є [а, Ь}}.
(6)
X Є М (Рх) и Щ (Р2х) и … и N (Ргх), A (x (tfc)) = їк (x (tfc)), к = 1,2,…, т, х (а) = х0,
(7)
(8)
(9)
здесь операторы Рі: ЄП[а, Ь] ^ Ь^[а, Ь], і = 1, 2,…, г, имеют вид
х (ші^)), если ші(і) Є [а, Ь]- Фі(ші(і)), если ші(і) & lt-а,
(10)
їк х = Лк х + дк,
здесь Лк Є Мгахга (Мга), дк Є Мга.
Определим отображение Ф: С [а, Ь] ^ ^(Ьга[а, Ь]) равенством
Ф (х) = М (Рх) и Щ (Р2х) и … и N (Ргх).
(11)
2722
Тогда включение (7) можно переписать в эквивалентном виде
х € Ф (ж). (12)
«Овыпукленное по переключению» отображение Ф :0 [а, Ь] ^ Sw (Ln[a, Ь]) задано равенством
ф (ж) = {г € Ln[a, Ь]: г (Ь) € ^1(^, (Ргх)(Ь)) и Г2(Ь, (Р2ж)(Ь)) и … и Г (Ь, (Ргж)(Ь)) (13)
при почти всех Ь € [а, Ь]}.
Определение 1. Под обобщенным решением задачи (7) -(9) понимается функция ж € ф [а, Ь], для которой существует такая суммируемая д: [а, Ь] ^ Мп, удовлетворяющая включению д € ф (ж), что при всех Ь € [а, Ь] имеет место равенство
Р т
ж (Ь) = жо + I q (s)ds +4 (ж (Ьк))Х{1к, ъ (Ь). (14)
к=1
Применительно к задаче (7) -(9) определение квазирешения можно сформулировать следующим образом.
Определение 2. Будем говорить, что функция у € ф [а, Ь], имеющая представление
Р т
У (Ь) = ж0 + ф (s)ds + ^ Тк (У (Ьк))X (tk, Ъ](t), (15)
а к=1
является обобщенным квазирешением задачи (7)-(9), если найдется такая последовательность жг € ф [а, Ь], г = 1, 2,…, что для каждой функции жг, г = 1, 2,… найдется функция дг € ф (у), для которой при любом Ь € [а, Ь] имеет место равенство
I (Ь) = жо + дг (s)ds + ^4(жг (Ьк))Х (Рк, Ъ] (Ь), (16)
а к=1
где жг ^ у в пространстве фП[а, Ь].
Отметим, что понятие квазирешения впервые было введено Важевским (Т. ^^е& quot-№ 8к1)(см. [1]) для обыкновенного дифференциального включения и играет фундаментальную роль в изучении свойств решений функционально-дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. Отметим также, что если множество Ф (ж) в определении обобщенного квазирешения выпукло по переключению, то обобщенное квазирешение совпадает с квазирешением, введенным в работах [2], [3]. Пусть Н (жо) — множество всех обобщенных квазирешений задачи (7)-(9).
Определим отображение фсо: Сп[а, Ь] ^ Q (Sw (Ln[a, Ь])) равенством
фсо (ж) = од (шФ (ж)). (17)
Оператор фсо: Сп[а, Ь] ^ Q (Sw (Ln[a, Ь])) будем называть обобщенно овыпукленным оператором.
Рассмотрим задачу
ж € ф со (ж), А (ж (Ьк)) = 1к (ж (Ьк)), ж (а) = жо. (18)
Пусть Нсо (ж0,Ь) — множество всех решений задачи (18) на отрезке [а, Ь].
ж
2723
Теорема 1. Справедливо равенство H (x0) = Hco (x0,b).
Теорема 1 является аналогом теоремы Важевского для обыкновенных дифференциальных включений.
Определение 3. Будем говорить, что множество обобщенных решений задачи (7)-(9) априорно ограничено на [a, b], если найдется такое число r& gt- 0, что не существует обобщенного решения у € Cn[a, b], для которого выполняется неравенство ||y||gп^щ & gt-r-
Теорема 2. Пусть множество всех локальных обобщенных решений задачи (18) априорно ограничено. Тогда H (x0,b) = 0 и справедливо равенство
H (xo, b) = Hco (xo, b), (19)
где H (x0,b) — замыкание множества H (x0,b) в пространстве С [a, b].
Свойство, когда множество обобщенных решений включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости значений и импульсными воздействиями, плотно во множестве решений «овыпукленного», включения, назовем, по аналогии с обыкновенными дифференциальными включениями, принципом плотности. Таким образом, теорема 2 дает достаточные условия выполнения принципа плотности (см. [3], [4]) для задачи (7)-(9).
Принцип плотности является фундаментальным свойством в теории включений, так как он широко используется в теории оптимального управления, например, для доказательства существования скользящих режимов (см. [5]). Впервые принцип плотности был установлен А. Ф. Филипповым для обыкновенных дифференциальных включений (см. [2]). Впоследствии, обобщению этого результата были посвящены работы многих авторов (см., например, [4], [6], [7]).
ЛИТЕРАТУРА
1. Wazewski A. Sur une generalisation de la notion des solutions d’une equation au contingent // Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., astr., phys., 1962, V. 10, № 1. P. 11−15.
2. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.
3. Булгаков А. И., Беляева О. П., Манима А. Н. Функционально-дифференциальные включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестнк Удмуртского университета. Математика, механика. 2005. № 1. С. 3−20.
4. Булгаков А. И., Григоренко А. А., Жуковский Е. С. Принцип плотности — фундаментальное свойство возмущенных включений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2003. Т. 8. № 3. С. 351−352.
5. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР, 1985. Т. 169. С. 194−252.
6. Борисович Б. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Ведение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. КомКнига, 2005. С. 216.
7. Булгаков А. И., Васильев В. В., Ефремов А. А О принципе плотности для функционально-дифференциального включения нейтрального типа // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2001. Т. 6. Вып. 3. С. 308−315.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11−01−626).
Filippova O.V. THE PRINCIPLE OF DENSITY FOR FUNCTIONAL DIFFERENTIAL INCLUSION WITH IMPULSES, WITH DELAY AND WITH THE RIGHT PART NOT NECESSARILY CONVEX-VALUED WITH RESPECT TO SWITCHING
Concepts of a generalized solution and a generalized quasi solution of a Cauchy problem for functional-differential inclusion with impulses, with delay and with the right part not necessarily convex-valued with respect to switching are presented. Property, when a set of the generalized solutions of the Cauchy problem is dense in a set of solutions of the & quot-convex"- inclusion which is called & quot-the principle& quot- of density, is formulated.
Key words: functional-differential inclusion- generalized solution- generalized quasi solution- a-priori boundedness.
2724

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой