О моделировании сейсмоустойчивости строений

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. № 3 (1). 2010. С. 79−81
УДК 519. 6
О"." «_» «_» моделировании сеисмоустоичивости строении
С. П. Карнилович*, К. П. Ловецкий^, Л. А. Севастьянов^, Е. Л. Щесняк*
* Кафедра экспериментальной физики ^ Кафедра систем телекоммуникаций * Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117 198
В работе обсуждается влияние вынуждающих периодических колебаний опоры строения при землетрясениях на характер колебаний самого строения в случае простейших математических моделей и с учётом последующей реализации расчётов на компьютере.
Ключевые слова: свободные колебания, вынужденные колебания, метод Галёрки-
на.
Большинство научных исследований в области сейсмоустойчивости конструкций часто не доведено до конца в основном по двум причинам: теоретические результаты слишком сложны для практического использования- теоретические результаты касаются чрезмерно упрощённых моделей. Данная работа также представляет собой лишь первый шаг на пути к практическому применению. В ней рассмотрена простейшая модель здания в виде однородного стержня с закреплённым нижним концом. Такая модель обычно служит для введения в предмет при рассмотрении колебаний здания под действием сейсмических волн землетрясения: поперечных и продольных. Изучаются обычно частоты собственных колебаний здания с тем, чтобы они не совпадали с частотами вынуждающих колебаний. В данной работе рассматривается другая постановка задачи о поведении здания под воздействием вынуждающих колебаний точки закрепления в горизонтальном и вертикальном направлении в случае, когда частоты собственных и вынуждающих колебаний сближаются, т. е. рассматриваются явления резонанса при колебаниях стержня под действием вынужденных колебаний точки закрепления.
В решении многих практически важных задач к настоящему времени достигнуты значительные успехи. В тех случаях, когда получение точного решения затруднительно, развиваются приближенные методы. В некоторых случаях решения были получены с помощью экспериментальных методов. Мы предполагаем пойти по пути феноменологических моделей с привлечением экспериментально подобранных подгоночных констант. В работе Михлина С. Г. [1] рассмотрен пример закреплённого в нижнем конце стержня переменного сечения.
Уравнение свободных колебаний стержня переменного сечения имеет вид
Е
дх2
I (х) —
(х) дх2
д2х
+рад ^ = °.
(1)
Здесь ось х направлена по оси стержня, г (х, Ь) — поперечные смещения его точек, I (х) и 5(х) — момент инерции и площадь поперечного сечения с абсциссой х, Е и р — модуль Юнга и отнесённая к единице длины плотность материала стержня. Допустим для определённости, что один конец стержня закреплён, а другой — свободен. Обозначим через Ь длину стержня и поместим начало координат в его закреплённом конце. Тогда краевые условия нашей задачи запишутся в виде:
= ° -
О^ дх2
х=Ь
дх
°,
х=0
= 0, ^ дх3
°.
(2) (3)
х=Ь
80
Карнилович С. П. и др.
Как обычно, решение ищем в виде
z (x, t) = и (х) sin (VXt + а = const (4)
Тогда уравнение (1) и краевые условия (2) и (3) переходят в следующие:
Е
JL.
dx2
, d2u 1 (x)d^
— pXS (x)u = 0,
(5)
(6) (7)
Решая задачу по методу Бубнова-Галёркина, возьмём в качестве координатных
, 4
собственные функции оператора при краевых условиях (6) и (7). Эти функции образуют полную ортонормированную систему. Как известно [2], указанные функции имеют вид
Ц0) = 0, и'-(0) = 0, u'-'-(L) = 0, u'-'-'-(L) = 0.
= sin ак? + ch ак? 2т-1 (U = sin + ch ,
к = 2 т — 1,
Ф2т (0
где ак — корни уравнения [3]
cos ак? + sh ак? Z cos + sh ^ ,
(8)
к = 2 т,
а, а tg ^ = ch -, к = 2 т — 1,
а а
tg^ = - ch2, к = 2т-
в формулах (8) за основной принят отрезок -1 ?2 ^ С ^ ^/2, причём условия (6) относятся к концу? = -½, а условия (7) — к концу? = +½. Чтобы использовать функции (8) в нашей задаче, нужно, очевидно, положить? = 2х-ь
2L '-2x-L 4
Полагая приближённо и (х) ~ X] акфк (х), Фк (х) = Фк (^?ьЬ), получим сле-
к=1
дующее уравнение для определения Л:
An — ХВц А12 — ХВ12 A21 — XB21 A22 — XB22
Апл — B"1] Ап2 — ХВ
)гп, 2
А1П — ХВ1П А2п — ХВ2п
-хв п п
0
ь ь
где А{к = Е I (х)ф& quot-(х)ф'-к (х)<-1х, А^ = / рв (х)фг (х)фк (х)& amp-х. 0 0 В книге [4] рассмотрена альтернативная простая модель — модель колебаний вдоль вертикальной оси. Причём рассмотрены не только свободные, но и вынужденные колебания. Показано, что действие на сосредоточенную колеблющуюся массу вынуждающей гармонической силы (данная задача хорошо изучена) эквивалентно гармоническому колебанию опоры (в вертикальном направлении). В этом случае получается уравнение с ненулевой правой частью — задача о вынужденных колебаниях линейного осциллятора.
Сейсмические волны от землетрясений являются волнами продольными и поперечными. И если вертикальные колебания хорошо описываются в модели вертикально колеблющегося строения, то горизонтальные колебания грунта удобнее описывать в модели поперечных колебаний строения, представленной в книге [1].
О моделировании сейсмоустойчивости строений
81
В этом случае вынуждающие колебания опоры естественным образом вносятся в неоднородные граничные условия в точке закрепления нижнего конца стержня. Таким образом, мы заменяем модель из книги [1] модифицированной моделью:
Е
дх2
'-U лд2*
1(х) дХё
д2
+ pS (х-) = 0
д
= ai sm (wiV, дхХ
х=0
d^i д х2
x=L
0, ^
дх3
0,
x=L
коэффициенты которой aj, Wj, подбираем с помощью экспериментальных методов статистической обработки данных о соответствующих сейсмических волнах землетрясений.
Решение ищем в виде z (x, t) = и (х) sin (^Xt + ^ + Vj (t) (1 — x). Тогда уравнение (1) переходит в уравнение (5), а краевые условия (2) переходят в следующие краевые условия: и (0) = 0, и'-(0) = 0, Vj (t) = aj sin (tWjt), v'- (t) = 0.
В некоторых случаях удобнее иметь дело с ускорениями опоры, так как для получения информации о движении опоры используется акселерометр. Перемещения грунта при землетрясении, как правило, измеряются и записываются в виде трёх взаимно-ортогональных составляющих по осям север-юг, восток-запад и вертикальной составляющей ускорений грунта. Поэтому задачу о движении основания можно и нужно формулировать как задачу о периодических ускорениях.
Безусловно, применение метода Галёркина, т. е. замена бесконечномерной задачи на её конечномерное приближение вносит дополнительную погрешность в модель [5], однако исходная погрешность линейной модели превышает её.
0
Литература
1. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1979.
2. Замятина В. Н. О фундаментальных функциях оператора X1У // Труды инж. -пром. стр-ва. — 1934. — № 6. — С. 75−95.
3. Фаддеева В. Н. О фундаментальных функциях оператора X1У // Сборник работ по приближенному анализу Ленинградского отделения института, Тр. МИ-АН СССР. — 28. М. -Л.: Изд-во АН ССС, 1949. — № 28. — С. 157−159.
4. Тимошенко С. П., Х. Янг Д., Уивер У. Колебания в инженерном деле. — М.: Машиностроение, 1985.
5. Алейников И. А., Власова Е. В. О приближенном решении краевой задачи для неоднородного бигармонического уравнения // Математическое моделирование. — 2004. — Т. 16, № 8. — С. 94−98.
UDC 519. 6
On Constructions'- Earthquake Resistance Modeling
S. P. Karnilovich*, K. P. Lovetskiy^, L. A. Sevastianov^, E. L. Shchesnyak*
* Experimental Physics Department t Telecommunication Systems Department * Peoples'- Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117 198, Russia
In the paper we discuss the influence of forcing oscillations of a construction'-s support during earthquake on oscillations of a construction itself in case of the simplest mathematical models with respect to subsequent computer realization.
Key words and phrases: free oscillations, forced oscillations, Galerkin'-s method.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой