О накрывающих свойствах сужений отображений метрических пространств

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Культура и искусство


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517
О НАКРЫВАЮЩИХ СВОЙСТВАХ СУЖЕНИЙ ОТОБРАЖЕНИЙ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
© С. Е. Жуковский
Ключевые слова: накрывающее отображение- полиэдр.
Исследуется вопрос о накрывающих свойствах сужений накрывающих отображений метрических пространств. Доказывается, что сужение линейного оператора конечномерных пространств на полиэдр является накрывающим отображением.
Эта заметка посвящена изучению свойств накрывающих отображений метрических пространств.
Пусть (X, рх), (У, ру) ~ метрические пространства. Всюду далее замкнутый шар в пространстве X с центром в точке х Є X радиуса г & gt- 0 будем обозначать через Вх (х, г). Напомним понятие накрывающего отображения.
Определение 1. Отображение Ф: X -& gt-? называется накрывающим, если существует, а & gt- 0, для которого справедливо включение
Ву (Ф (ж), аг) С ї& amp-(Вх (х, г)) /хєХ, г& gt- 0. (1)
При выполнении (1) отображение Ф будем также называть а-накрывающим. Точную верхнюю границу множества чисел а, для которых выполняется (1), обозначим через соу (Ф).
Понятие, а -накрывающего отображения было использовано в [1] для получения достаточных условий существования точек совпадения отображений. В этой же работе были исследованы многозначные, а -накрывающие отображения и получены условия существования точек совпадения многозначных отображений. В работе [2] аналогичные результаты были получены для локально накрывающих отображений. В [3] были исследованы некоторые свойства накрывающих отображений и доказана устойчивость точек совпадения. С помощью общей теории накрывающих отображений в [4, 5] исследованы вопросы разрешимости и корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, и уравнений Вольтерра, не разрешенных относительно неизвестной функции. При применении перечисленных результатов к математическим моделям экономики возникла задача о сохранении свойства накрывания при сужении области определения отображений. Ниже предлагается исследование этой проблемы.
1. Постановка задачи
Пусть заданы непустое множество и С X и отображение Ф: X -& gt- У. Обозначим V = Ф (^)-Зададимся следующим вопросом: если отображение Ф является а-накрывающим, то будет ли накрывающим его сужение Ф^, как отображение, действующее из II в V? Здесь и далее полагаем, что метрики в и и V индуцированы метриками рх и ру соответственно.
Вообще говоря, сужение накрывающего отображения не обязательно является накрывающим, даже если отображение Ф линейно, а множество II является замкнутым шаром. Проиллюстрируем этот факт следующим примером.
Пример 1. Пусть X = М2, У = М, 1] ~ 5 мг (0,1), V = [-1,1], отображение Ф: Е2 -" М проектирования плоскости на прямую определено формулой
Ф (ж) — Х Ух — (Х1,Х2) € К2.
Очевидно, отображение Ф является 1-накрывающим. Оценим соу (ф|(/). Для произвольного & lt-ре (о, 7г/4) положим Ху = (со8(& lt-/?), 8 т (<-/>-)). При г € (0,2зт (& lt-р/2)) имеем
Ву ('-& amp-и (х1р), аг) = [сов (^) — аг, сое (& lt-р) + аг}
Ф|и (Ви (х1р, г)) = соз ((р) — г, сов (& lt-/?) + ^зт (& lt-р)г/4 — г2 — г2 сов (у& gt-)^.
Следовательно, если Вг ('-Ьи (х1р), аг) С '-^и (Вц (х{р, г)), то
зт (о?)/4 — г2 — г сов (& lt-л) /. /& lt-р\ /" 7Г
«& lt----------------2------------ € (' (2)/' ^ е (' 4) '-
Поэтому
СОу (ф|[/) & lt- мп (^) У (Р € (о, ,
и, следовательно, соу (ф|с/) = 0. Таким образом, отображение Ф|^ не является накрывающим.
Итак, мы видим, что для того чтобы сужение ф|^ было накрывающим отображением, на-крываемости исходного отображения Ф недостаточно. Далее приводятся достаточные условия накрываемости сужений линейных и нелинейных накрывающих отображений.
2. Основные результаты
Приведем сначала вполне очевидное условие накрываемости сужения накрывающего отображения.
Теорема 1. Если, а -накрывающее отображение Ф: X -& gt- У инъективно, то для любого непустого множества и С X сужение Ф|^г и является а-накрывающим.
Предположим теперь, что X и У являются линейными нормированными пространствами. Приведенный выше пример 1 показал, что даже если накрывающее отображение Ф линейно, то ф)^ не обязательно является накрывающим. Тем не менее, в случае, когда X = У = М^, а множество II является полиэдром, можно гарантировать накрываемость отображения Ф^-Напомним, что множество II называется полиэдром, если оно представимо в виде
и — {х еШп: Ах & lt- 6}, (2)
где, А — матрица размера т х п, Ъ 6 Кт, т — целое неотрицательное число, неравенство Ах & lt- Ь означает, что j -я компонента вектора Ах не превосходит ] -ой компоненты вектора Ь для любого j = 1, га.
Теорема 2. Пусть отображение Ф: Мп -& gt- линейно, множество и является полиэдром. Тогда соу (Ф|?7) & gt- 0, т. е. существует 7 & gt- 0 такое, что отображение является
7 -накрывающим.
Из приведенного утверждения непосредственно следует, что если Ф: Мп -& gt- - афинное
отображение, а множество и является полиэдром, то соу (Ф|^) & gt- 0. Напомним, что отображение Ф: Мп -» называется афинным, если оно представимо в виде Ф (х) = Ьх + а, где Ь — матрица размера к х п, а 6
В следующем параграфе приводятся доказательства теорем 1, 2. Некоторые комментарии к этим теоремам и примеры можно найти в последнем параграфе.
3. Доказательства основных результатов
Доказательство теоремы 1. Для произвольных х? [/, г & gt- 0 имеем
Ву (ф|^(ж), ат) = V П Ву ('-& amp-и (х), аг) = Ф (Е/) П Ву (Ф (ж), аг) С
С Ф (С/) П ф (Вх (х, г)) — Ф (С/ П Вх (х, г)).
Последнее равенство следует из инъективности отображения Ф. Поскольку
и П Вх (х, г) = Ви{х, г),
имеем 5у (ф|^), аг) С Ф|г7(5^(а, г)), что завершает доказательство.
Прежде чем перейти к доказательству теоремы 2 заметим, что отображение Ф: X -"? является а-накрывающим тогда и только тогда, когда для любых Хо? X, у? ? существует х € X, удовлетворяющий соотношениям
Ф (х) = у- рх (хо, Ф-1(у)) & lt-ру (Ф (х0), у).
Этот факт непосредственно следует из определения 1 и будет использован в следующем доказательстве.
Доказательство теоремы 2. Поскольку все нормы в конечномерных пространствах эквивалентны, не теряя общности будем считать, что в Еп норма порождается заданным скалярным произведением (•,•), а в определена формулой
М = тах |^| /у = (У1,У2,-, Ы еК*.
Пусть II представимо в виде (2). Положим V = Ф?/ и рассмотрим отображение
Ф|^: и V. Для произвольного у? V множество (Ф)^) 1(у) {х? II: ф|^(ж) = у} непусто, удовлетворяет равенству
(Ф|[-)_1(у) = {х е Мп: Ах & lt- Ь, Фх = у},
и, следовательно, является полиэдром.
Для каждого хо Е II оценим
(Ий (х0, (Ф|1/)-1(2/)) := {||®о — ®||: * е (Ф1г/)_1(У)} '-
Согласно лемме Хоффмана (см., например, теорему 10.2 из [6]), существует с & gt- 0 такое, что для любых хо € Кп, у е V выполнено
с^(жо,(Ф|г/)_1(у)) & lt- с • тах 11тах ((а1,хо) — Ъ^+, хо) — у311 (3)
где и /фj — у -е строки матриц линейных операторов, А и Ф, соответственно- и yj — j-е координаты векторов Ь и у, соответственно- т+ = тах{0, г} для любого действительного т. Для произвольного Хо Е II имеем
Ах о & lt-Ь=>- тах ((а^жо) — М+ ~
1& lt--у<-гп
Поэтому из (3) вытекает оценка
(хо, (Ф^Г^у)) & lt- тах (^, Х0) ~У] = с|Фж0 — у Ух0 € и, у € V.
Из непрерывности Ф и компактности замкнутых ограниченных подмножеств Ж" следует Ух0еи V уеУ Зх € (ф)^)-1(г/): |ж0 — х & lt- с|Фж0 — у.
Следовательно, отображение Ф|^ является с-1 накрывающим. Теорема доказана.
4. Замечания и примеры
Прокомментируем теорему 2. Заметим, что в теореме не предполагается накрываемость Ф, поскольку, в силу линейности, отображение Ф является накрывающим, как отображение, действующее из Мп в свой образ ФМП.
Отметим также, что в теореме 2 не приводится связь между соу (Ф) и соу (Ф|^). Вообще говоря, значение соу (Ф|^) может быть сколь угодно мало, т. е. для любого е & gt- 0 полиэдр 11 С Шп можно выбрать так, что соу (ф|^) & lt- е. Проиллюстрируем этот факт примером.
Пример 2. Пусть X = К2, У — М, линейное отображение Ф: М2 -& gt- М проектирования плоскости на прямую определено формулой
Ф (ж) = х /х — (х, Х2)? М2.
Для произвольного 6 € (0,7г/4) положим
ие — { *(вт (е), сов (е)) € К2:? € К. }•
Очевидно, множество II является полиэдром, и соу (Ф|^) — зт (е) -& gt- 0 при е 0.
В теореме 2 предполагается, что II является полиэдром. В примере 1 была показана существенность этого предположения. Покажем теперь существенность предположения линейности Ф.
Пример 3. Пусть X — М3, У = К2, полиэдр С/ С X и отображение Ф: X -& gt- У заданы формулами:
и = - (хьХ2,хз) Е М3: Х & gt- 0, х2 & gt- 0, 0 & lt- х% & lt- ^
Тогда
Положим
*(*) = («& lt-*>-!) (х'-)"& lt- = (хьх2,хз) €
4 '- V вт (^з) С08(ж3)) х2)
V := Ф (С7) = |у = (уьу2) € К2: У2 & gt-
Хо,? = (о, 0, е), Уе = (-?,?) Уе & gt- 0. Уравнение Ф (я) = у€ имеет единственное решение
х? =0, & gt-/2е, ^ /е & gt- 0.
Следовательно,
с°у (Ф|») & lt- ^ ~ Ф (^}| =, & quot- ^& gt-0.
Таким образом, соу (Ф|{/) = 0, и, значит, Ф не является накрывающим.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арутюнов А. В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки //
Докл. РАН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151−155.
2. Arutyunov A., Avakov Е., GeVman В., Dmitruk АObukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces
and coincidence points // J. Fixed Points Theory Appl. 2009. V. 5. № 1. P. 105−127.
3. Арутюнов А. В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений // Мат. за-
метки. 2009. Т. 86. № 2. С. 163−169.
4. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear
Volterra equations // Nonlinear Anal. 2012. V. 75. Iss. 3. P. 1026−1044.
5. Арутюнов А. В., Жуковский E.C., Жуковский C.E. О корректности дифференциальных уравнений,
не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523−1537.
6. Васильев Ф. П., Иваницкий А. Ю. Линейное программирование. М.: Факториал, 1998. 356 с.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 12−01−427) и ФЦП & quot-Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009−2013 гг. "- (контракт № 16. 740. 11. 0426 от 26 ноября 2010 г.).
Поступила в редакцию 26 апреля 2012 г.
Zhukovskiy S.E. On the covering property of restrictions of mappings in metric spaces.
The covering property of restrictions of mappings in metric spaces is studied. It is proved that a restriction of a linear mapping of finite-dimensional linear spaces on a polyhedron has covering property.
Key words: covering mapping- polyhedron.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой