О напряженно-деформированном состоянии внешней оболочки глаза

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Е. В. Краковская
О НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ ВНЕШНЕЙ ОБОЛОЧКИ ГЛАЗА*
1. Введение
Исследованию напряженно-деформированного состояния оболочки глаза, находящейся под действием внутриглазного давления (ВГД), посвящено много работ. Внешняя оболочка глаза — корнеосклеральная оболочка — состоит из роговицы и склеры. Обе эти оболочки в первом приближении можно считать сферическими. Склера занимает 93% оболочки, и поэтому в первых работах оболочка глаза рассматривалась как сферическая и в расчет принимались только свойства склеральной оболочки. Однако в некоторых случаях, когда важно понять, например, как изменяется напряженно-деформированное состояние внешней оболочки глаза после рефракционных операций, меняющих толщину или кривизну роговицы, необходимо учитывать, что в передней части фиброзная капсула переходит в роговицу, оболочку существенно отличающуюся по механическим свойствам от склеры.
Одной из первых работ, в которой внешняя оболочка глаза рассматривалась как сопряженные сферические оболочки разного радиуса, была публикация [1], посвященная исследованию напряженно-деформированного состояния роговицы методом фотоупругости. Аналитические расчеты в ней выполнялись согласно теории тонких изотропных оболочек [2]. Авторами получены графики, характеризующие напряжения в роговице при разных соотношениях модулей упругости роговицы и склеры. При этом всегда полагалось, что модуль упругости роговицы больше, чем модуль упругости склеры. В настоящее время накоплено больше экспериментальных данных, позволяющих сделать вывод о том, что роговица существенно мягче склеры [3, 4]. Согласно [4] модуль упругости склеры (Е) в пять раз больше модуля упругости роговицы (?2) — Е. Н. Иомдиной получено, что модуль упругости склеры в три раза больше модуля упругости роговицы.
В данной работе исследуется деформация роговицы, сопряженной со склерой при различных соотношениях Е1/Е2. В первой модели роговица и склера предполагаются однородными и изотропными. Проведено сравнение аналитических результатов и численных, полученных в прикладном пакете А^УБ. Вторая модель используется для решения задачи о деформации роговицы и склеры как трансверсально-изотропных сопряженных оболочек под действием ВГД. Приводятся результаты, полученные методом конечных элементов (МКЭ) в прикладном пакете А^УБ.
2. Аналитическое решение задач
Напряженно-деформированное состояние изотропной однородной оболочки может быть описано уравнениями В. В. Новожилова [2] в сферических координатах (^ - угол, образуемый нормалью к срединной поверхности с осью оболочки, в — угол, определяющий положение точки на соответствующем параллельном круге). В случае осесимметричной деформации дифференциальные уравнения в комплексных усилиях для
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 07−01−250).
© Е. В. Краковская, 2008
сферической оболочки имеют вид
N N2 л ~
-r±I-icAN
1 dN1 ctg в ~ ~ ic dN
й-ж + ir№ - Л" + W1I = °'-
N = N + N2,
Лг, = ЛГ, —
С 1 — (U, 2
N2 = N2 —
i М — ?-1M2 с 1 — /X2
где с = /?/д/12(1 — /х2) — 9-ВГД, ДЖ = 1/Д2 • d2N/dв2 + сХёв/Н2 ¦ dN/dв- N2 -усилия- Ы, М2 — моменты, возникающие в оболочке- Н, Д, ц — толщина, радиус, коэффициент Пуассона оболочки соответственно.
Рис. 1. Сферическая оболочка.
Решение системы (1) для незамкнутой оболочки получено методом асимптотического интегрирования [2] и имеет вид
_____________ D.
Рi = /(3(1 — L42)) ~j~(@ ~ 0о), hi
hi
Ci
/12(1 — A4*2)
n[ •* - - у ctg 6(((Ai — Bi) cos fa — (Ai + Bi) sin/3i)e /3s +
+ ((-A? + B?) cos pi + (-A- + B'-i) sin/i-,)e/3s)) + ,
Nf'-1 = (Ai cos Pi — Bi sin Pi) e~'-3i + (Ai cos p. t + Bi sin pi) e'-3i +
M (i) = -Ci ((Bi cos pi + Ai sin ?3i)e-e + (Bi cos в — Ai sin e?)ee?), M
(i)
pi M
(1)
'-it'*'-*'-1 = TTT- ((Aj COS Pi — Bi sin Pi) e '-3i +
Ei hi
$(i)
Ri
-((i
+ 1 1 iRi
Q (= N ((i)tge, u (i) = C- sin в,
(2)
Ri q (1 pi)
+A- cos Pi + Д- sin Pi) e, 3i) + ~~t l& quot-w — C? cos в,
— '- W '- ^ 7
-- (((A. -- B. ?) cos pi+
+ (Ai — Bi) sin pi) e * + ((Ai + Bi) cos в + (-Ai + Bi) sin pi) e *),
где Q 1 -перерезывающая сила, w — нормальный прогиб оболочки, u — перемещение в меридиональном направлении, $ - угол поворота нормали- во — угол, определяющий край оболочки- Ri, hi, Ei, pi -радиус кривизны, толщина, модуль упругости, коэффициент Пуассона оболочки соответственно- индекс 1 означает принадлежность к склере, индекс 2 — к роговице. При этом, система (2) используется для склеры при Ai = Bi = 0, а для роговицы — при Ai = Bi =0. Для склеры константами интегрирования являются A1, B1, Ci, а для роговицы — A2, B2, C2. Следует учесть, что константы C1 и C2
фиксируют начало отсчета осевого смещения оболочек. В нашем случае эти константы
С = С2 = о.
На линии сопряжения оболочек (см. [5]) выполняется шесть условий непрерывности перемещений, момента, усилий и угла поворота:
и (1) =
д (11}
мР = м12),
и (2) сов 7 — т (2) вт 7,
= ^(2) сов 7 + Ж (2) вт 7,
N
(1)
1
-,(1)
лг (2) .-. (2).
N1 сов 7 — вт 7,
т
^(1) = #2)
т (2) сов 7 —
— и (2) вт 7,
(3)
здесь 7 — угол между касательными к оболочкам 1 и 2 (рис. 1).
Уравнение для усилий и перерезывающей силы выполняется автоматически, при выполнении остальных условий. Для нахождения неизвестных коэффициентов интегрирования А1, В1, А2, В2 решается система (3) совместно с соответствующими равенствами для обеих оболочек (2).
3. Полученные результаты
Расчеты проводились при следующих параметрах: Д1 = 12 мм, Н1 = 0.5 мм, М1 = М2 = 0. 4, Е1 = 14.3 МПа- Д2 = 8 мм, Н2 = 0. 42 мм, Е2 = 1. 43 МПа, радиус основания роговицы, а =10 мм. Рассматривалось нормальное внутриглазное давление (15 мм. рт. ст.) и повышенное (30 мм. рт. ст.).
В таблице 1 представлены значения прогиба т (2) в центре роговицы, сопряженной со склерой, полученные аналитически по формулам (2) и (3) для различных значений толщины роговицы и соотношений модуля Юнга склеры и роговицы Е1/Е2. Толщина роговицы и прогиб в таблицах представлены в мкм (1 мм = 1000 мкм).
Таблица 1. Аналитическое решение для изотропных оболочек
Давление q = 15 мм. рт. ст. д = 30 мм. рт. ст.
Толщина, Н 420 520 620 420 520 620
Е2 = Е /3 18.2 14.8 12.4 36.4 29.6 24. 8
Ег = Е/Ъ 30.3 24.6 20.6 60.7 49.3 41. 3
В таблице 2 представлены значения прогиба т (2) в центре роговицы, сопряженной со склерой, полученные с помощью МКЭ в программе Л^УБ для различных значений толщины роговицы и соотношений модуля Юнга склеры и роговицы Е1/Е2.
Таблица 2. Численное решение для изотропных оболочек
Давление д = 15 мм. рт. ст. д = 30 мм. рт. ст.
Толщина, Н 420 520 620 420 520 620
Е2 = Е-1 /3 17.2 13.2 10.4 34.5 26.5 21. 6
Е2 = Е/Ъ 31.1 24.8 21.5 62.2 49.9 43. 1
Результаты расчетов при различных соотношениях модулей упругости показывают, что чем тоньше роговица, тем больше ее прогиб и чем меньше модуль упругости роговицы по отношению к склере, тем также больше ее прогиб. Значения численных и аналитических результатов различаются не более, чем на 16%.
Согласно экспериментальным данным [3] модуль упругости склеры и роговицы в направлении толщины Е'-i в десятки раз меньше, чем в тангенциальном направлении Ei. В связи с этим оболочку глаза в некоторых задачах можно рассматривать и как мягкую оболочку. Модель мягкой корнеосклеральной оболочки глаза представлена в
работе [6], однако при оценке изменения напряженно-деформированного состояния роговицы после рефракционных операции необходимо учитывать и изгибные деформации. В связи с этим задача о деформации сопряженной трансверсально-изотропной сферической оболочки под действием внутреннего давления решена методом конечных элементов. В расчетах предполагалось Е'- i = Е20 и Е'- i = Е50, для модуля сдвига в плоскости перпендикулярной плоскости изотропии принято ^ = 6^/20 и = ^/50, где Gi = Е2/(1 + - модуль сдвига в плоскости изотропии. Задача решалась при
тех же геометрических параметрах, что и задача для изотропных оболочек. Значения прогиба роговицы в центре для сопряженной задачи и& gt-4г представлены в таблице 3.
Таблица 3. Решение для анизотропных оболочек
Давление q = 15 мм. рт. ст. q = 30 мм. рт. ст.
Толщина, h 420 520 620 420 520 620
E'-i = Ei/20 и G'-i = Gi/20
Е2 = Ei/3 546 480 4248 1093 961 848
Е2 = Ei/5 751 652 569 1504 1304 1128
E'-i = Ei/50 и Gi = Gi/50
Е2 = Ei/3 1079 884 734 2150 1762 1461
E2 = Ei/5 1489 1207 982 2973 2412 1963
Сравнение результатов для изотропной (w (2)) и трансверсально-изотропной (wtr) сопряженных оболочек показывает, что анизотропия существенно влияет как на величину, так и на форму прогиба роговицы.
Литература
1. Волков В., Вяземский С., Малышев Л., Мамаева О., Павилайнен В., Саулгозис Ю. Исследование напряженного состояния роговицы живого глаза человека методом фотоупругости // Известия Академии Наук Эстонской ССР, серия Физика-Математика. 1988. Том 37. Вып. 1. С. 76−84.
2. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 432 с.
3. Иомдина Е. Н. Механические свойства тканей глаза человека // Современные проблемы биомеханики. Вып. 11. Изд-во МГУ, 2006. С. 183−200.
4. Srodka W., Asejczyk M., Kasprzak H. Influence of IOP on the geometrical and biomechanical properties of the linear model of the eye globe-effect of the optical self adjustment // Proceed. of 13th Conference of the European Society of Biomechanics. 2002. P. 723.
5. Филиппов С. Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999. 196 с.
6. Абушек Г. В. Напряженно-деформированное состояние сопряженной мягкой сферической оболочки, предварительно нагруженной внутренним давлением. Вестник СПбГУ. 2008. № 1. С. 85−92.
Статья поступила в редакцию 10 февраля 2008 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой