Принципы модулярного строения регулярных фрактальных структур

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

56
В PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES ¦
УДК 548. 1
ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯРНОГО СТРОЕНИЯ РЕГУЛЯРНЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР Иванов В. В., Таланов В. М.
Южно-Российский государственный технический университет, Новочеркасский политехнический институт, Новочеркаск, e-mail: valtalanov@mail. ru
Главной особенностью фрактальных структур является их самоподобная иерархическая организованность в соответствующем метрическом пространстве [1−6]. Свойство бесконечного самоподобия означает точную масштабную инвариантность геометрически регулярной фрактальной структуры относительно набора последовательных операций отображений подобия методом итераций.
Ключевые слова: молекулярное строения, фрактальные структуры, бесконечное самоподобие
PRINCIPLES OF THE MODULAR CONSTITUTION OF THE REGULAR FRACTAL FRAMES Ivans V.V., Talanov V.M.
The South Russian state engineering university, Novocherkassk polytechnic institute, Новочеркаск, e-mail: valtalanov@mail. ru
Key feature of fractal frames is their self-similar hierarchic organisation in appropriate metrical room [1−6]. Property of endless self-similarity means an exact scale invariance geometrically the regular fractal frame concerning a panel of serial processes of mappings of similarity a method of iterations.
Keywords: the molecular constitutions, fractal frames, endless self-similarity
Формально в рамках итерационного метода существуют два принципиально разных подхода к формированию регулярной фрактальной структуры Е: инъективный и сюръективный. Будем рассматривать фрактальную топологию объектов в геометрическом двумерном пространстве. Тог -да по аналогии с представлениями теории фрактальных множеств [7−9] имеем:
1. Инъективный подход — если —
набор сжимающих отображений метрического двумерного пространства со структурой Е на себя, то найдется единственная компактная фрактальная структура Е2), такая что
= б/е) х… х ад,
а
Б (Е) = Е. +1 = 1шЕ. 5 Е.
Л к г+1 г г
Инъективное отображение б. предполагает вложение образа структуры 1шЕ. в подобный элемент структуры Е В результате бесконечной итерационной процедуры образы 1шЕ. компактной фрактальной структуры Е-2) становятся точками.
2. Сюръективный подход — если Б … Бы-набор растягивающих отображений части пространства (генератора О) на полное метрическое двумерное пространство, то найдется единственная бесконечная фрактальная структура Е2), такая что
Я2) = Б/О) Х… Х Б/в),
а
Б. (в) = О. +1 = 1шО г в.
гк г у г +1 г г
Сюръективное отображение Б предполагает такое расширение генератора, при
котором возможно вложение прообраза его О. в структурный элемент подобного ему образа 1тО. В результате бесконечной итерационной процедуры полный образ 1тО. бесконечно размерной фрактальной структуры ^2) содержит упорядоченные в двумерном пространстве структурные элементы в форме генератора О.
При сюръективных отображениях генератора О из N элементов, а с (Ь2 — N дополнениями а'- в элемент образа 1тО образуется соответствующее количество орбит элементов аг и а'- [9]. Они представляют собой инвариантные частично упорядоченные подмножества множеств {а} и {а'-}. Каждая орбита одинаковых элементов, а — однородное N — элементное дерево, а орбиты дополнений а'- - неоднородны и состоят из полностью упорядоченных цепей, фильтрующихся влево, при этом каждый /-й элемент цепи является корнем однородного дерева с (/ - 1) ветвлениями.
При инъективных отображениях генератора О из N элементов, а с (Ь2 — N дополнениями в каждый из элементов, а также образуются два подмножества {а} и {а'-}. Они могут быть представлены как множества соответствующих орбит [9]. Орбиты, а представляют собой N полностью упорядоченных цепей, фильтрующихся вправо с элементами-корнями однородных деревьев с определенным ко -личеством ветвлений. Орбиты а'- есть (Ь2 — N неоднородных N — элементных полностью упорядоченных деревьев с количеством ветвлений, соответствующим итерации.
Отметим, что в обоих подходах при конечном числе итераций формируются
В ADVANCES IN CURRENT NATURAL SCIENCES № 3, 2012 В
В ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ В
57
предфракталы (компактные или конечноразмерные, соответственно), состоящие из самоподобных модулей. Однако только при сюръективном подходе к формированию предфракталов процесс их образования аналогичен росту поверхностных фрактальных структур из одинаковых модулей, размеры которых коррелируют с размерами молекул, атомных кластеров, наночастиц и других атомных ассоциатов.
Замкнутые фрактальные кривые задаются на прямолинейном отрезке — стороне («}-гона генератором в виде ломаной кривой с определенным коэффициентом самоподобия. При последовательном инъективном отображении образов ее в отрезки-прообразы на периметре полигона образуется замкнутая фрактальная кривая. Если в качестве инициального множества рассматривать некоторые двумерные сетки Кеплера-Шубни-кова, узлы которых удовлетворяют условию топологической эквивалентности окружения («}-телами и лакунами, то получим соответствующее упорядоченное в двумерном пространстве множество фрактальных кривых {Е^}. Их пересечения образуют множество упорядоченных в пространстве точек, в общем случае изоморфное множеству узлов инициальной двумерной сетки.
Множество {Е-1)} можно одновременно рассматривать в качестве квазифрактальной границы как растущей поверхностной фазы так и остального, лакунарного пространства, которое является дополнением до двумерного пространства. В некоторых случаях лакунарные кривые распадаются на множества самоподобных фрактальных кривых, которые обладают свойствами канторова множества [10, 11]. В этом случае сами лакунарные замкнутые фрактальные кривые могут быть представлены как множества орбит, которые суть полные упорядоченные цепи, фильтрующиеся вправо, а элементы цепи — корни однородных деревьев с 2-ветвлением.
На основании результатов предварительного анализа особенностей строения регулярных фрактальных структур можно сформулировать следующие принципы.
1. Принцип модулярного строения регулярных фрактальных структур: Любая регулярная фрактальная структура может быть представлена из одинаковых минимальных модулей, строение и форма которых содержит структурную информацию как о самой фрактальной структуре, так и о любом ее предфрактале. Такие модули выполнят функцию генератора в = Е модулярной фрактальной структуры и,
в частности, любого ее предфрактала n-го поколения:
Fn F) — Fn (G),
где n — количество итераций.
Для описания модулярного строения регулярных фрактальных структур может быть использован аппарат модулярной кристаллографии [10].
2. Принцип иерархии модулей самоподобных регулярных фрактальных структур: Самоподобная регулярная фрактальная структура может быть представлена как модулярная из любых ее предфракталов [4, 11]. В частности, модулярное строение каждого предфрактала n-го поколения Fn может быть представлено модулями — предфракталами предыдущих поколений:
Fn (Fn-1 (Fn-2 (Fn-3 -- (^) -))Х
а сами модули классифицируются по сложности в иерархической последовательности
F 8 F, 8 F, 8 F. 8 … 8 F,.
n n-1 n-2 n-3 1
Сформулированные выше принципы положены в основу эволюционной модели формирования детерминистических фрактальных структур с дробной размерностью и упорядоченных в 2D пространстве множеств и мультимножеств замкнутых фрактальных кривых (см., например, [12, 13]). Отметим, что лакунарные спектры фрактальных структур и мультифракталов могут представлять интерес в связи с определением вероятных распределений по размерам микро и наночастиц, захваченных в процессе роста основной поверхностной фазы.
Список литературы
1. Фракталы в физике / под ред. Л. Пьетронеро и Э. То -затти. — М.: Мир, 1988. — 420 с.
2. Федер Е. Фракталы. — М.: Мир, 1991. — 260 с.
3. Лорд Э. Э., Маккей А. Л., Ранганатан С. Новая геометрия для новых материалов. — М.: Физматлит, 2010. — 264 с.
4. Whyte L.L., Wilson F.C. Wilson D. Hierahical Structures. — N.Y.: Elsevier, 1990.
5. Sander L.M. Fractal growth // Sci. Am., 1987. -V. 256. — P 94−100.
6. Таланов В. М., Ерейская Г П., Юзюк Ю. И. Введение в химию и физику наноструктур и наноструктурированных материалов. — М.: Изд-во «Академия естествознания», 2008. — 389 с.
7. Бурбаки Н. Теория множеств. — М.: Мир, — 1965. — 455 с.
8. Биркгоф Г., Барти Т Современная прикладная алгебра. — М.: Мир, 1976. — 400 с.
9. Общая алгебра. В 2-х томах / под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, Гл. ред. физ. -мат. лит., 1990. -Т.1. — 592 с.- 1991. — Т.2. — 480 с.
10. Ferraris G., Makovicky E., Merlino S. Crystallography of modular structures. — IUC Oxford Science Publications. -2008. — 370 p.
11. Лорд Э. Э., Маккей А. Л., Ранганатан С. Новая геометрия для новых материалов. — М.: Физматлит, 2010. — 264 с.
12. Иванов В. В., Демьян В. В., Таланов В. М. Информация и структура в наномире: модулярный дизайн фрактальных структур в двумерном пространстве // Международный журнал экспериментального образования. — 2010. — № 11. — С. 153−155.
13. Иванов В. В., Таланов В. М., Гусаров В. В. Информация и структура в наномире: модулярный дизайн двумерных наноструктур и фрактальных решеток // Наносистемы: физика, химия, математика. — 2011. — Т. 2, № 3. — С. 121−134.
В УСПЕХИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ № 3, 2012 В

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой