Канонические представления на плоскости Лобачевского–Галилея, индуцированные характерами

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Секция: ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
УДК 517. 98
Канонические представления на плоскости Лобачевского-Галилея, индуцированные характерами 1
© Ю. В. Дунин
Ключевые слова: дуальные числа, канонические представления, плоскость Лобачевского Для плоскости Лобачевского-Галилея вводятся канонические представления, индуцированные характерами мультипликативной группы алгебры дуальных чисел, они разлагаются на неприводимые
В настоящей работе мы вводим для плоскости Лобачевского-Галилея канонические представления, индуцированные характерами мультипликативной группы алгебры дуальных чисел, мы разлагаем их на неприводимые составляющие, руководствуясь схемой изучения канонических представлений для классической плоскости Лобачевского, см, [5]. Надгруппой служит группа Лагерра Я Ь (2, Л), см, [4].
Приведем некоторые сведения об алгебре дуальных чисел и плоскости Лобачевского Галилея из [4] и [2].
Алгебра Л дуальных чисел есть двумерная алгебр, а над полем М, состоящая из элементов г = х+іу, х, у Є К, с соотношеннем і2 = 0, Числом, сопряженным дуальному числу г = х+іу, называется число г = х — іу. Абсолютная величина |г| числа г есть = |х|. Мультипликативная группа Л* алгебры Л состоит из дуальных чисел г = х + іу, для которых х = 0, Мы будем рассматривать
1Работа поддержана Госзаданием Минобрнауки 1. 3445. 2011, ФЦП & quot-Научные и научно-
педагогические кадры инновационной России& quot- 14. 740. 11. 0349
следующие характеры (одномерные представления в группу C*) z ^ zM, v, где, v Є C, группы Л*:
(заметим, что произвольный характер группы Л* имеет несколько более общий вид- он получается из указанного добавлением множителяп х)?, где е = 0,1, однако, в настоящей работе для простоты мы ограничимся характерами (1)),
Плоскость Лобачевского-Галилея? есть множество па плоскости Л, задаваемое неравенством гг & lt- 1, Это — вертикальная полоса, ограниченная прямыми х =
— 1 и х =1,
Группа С движений плоскости Лобачевекого-Галилея? состоит из дробнолинейных преобразований
соответствующие преобразованиям (2), образуют группу Яи (1,1-Л). Обозначим, а = а + ір, Ь = в+і^. Условие аа — ЬЬ = 1 равносильно тому, что а2 — в2 = 1, так что а2 ^ 1, т. е, а ^ 1 ми, а ^ - 1. Следовательно, группа ЯИ (1,1-Л) состоит из двух связных кусков. Группа О изоморфна связной компоненте единицы группы Яи (1,1- Л). Эта компонента состоит из матриц д с условием, а ^ 1, Для нее мы сохраним обозначение О. Параметры, а и в матрицы д Є О можно записать в виде, а = еЬ і и в = бЬ і, где і Є К, Следовательно, всякую матрицу дЄ О
Стационарной подгруппой точки z = 0 служит подгруппа K, состоящая из диагональных матриц:
так что L = G/K,
Напомним [1] некоторые сведения о представлениях группы G, Представление Тст, о? С, действует в пространетве D® финитных функций ^(s) на R класса Cпо формуле
(Ta (g) ф) (s) = p (s + t) ¦ exp {о[-р sh (2s + t) + q ch (2s + t)]} ,
(1)
(2)
Она сохраняет меру
Матрицы
(3)
(4)
где ?, р, ^ - параметры элемента д, см. (3). В частности, для к € К, см. (4), мы имеем
(Та (к) р) (з) = р (з) ¦ ехр (-арвЬ28), (5)
Эрмитова форма (скалярное произведение из Ь2{К, йв))
/ГО
¦ф (в)р (в) ?8
'-ГО
инвариантна относительно пары (Та, Т-а), то есть
(Та (g)ф, р) К = (ф Т-а (9−1)р)ж, (6)
так что для чисто мнимых, а представление Та унитаризуемо,
С помощью (6) представление Та распространяется на пространетво Р'-(К) обобщенных функций ^ на К.
Пусть Л, V € С. Каноническое представление К, и группы С действует в пространстве Р (?) финитных фун кцнй / (г) на? класс, а Спо формуле
(Ял (д)/)(*) = /(г ¦ д)(Ьг + а)-2Л-4^
ма, -2Л-4 (?х + Ру — Р
= /(г ¦ д)(вх + а) ехР : —.
рх + а)
В предыдущей работе [3] мы рассматривали случай V = 0, При Л = -2, V = 0
это представление становится квазирегулярным представлением, см. [2]. Эрмитова форма
(/, Ь) с = у /(г) Мг) ?х ?у, г = х + jy, инвариантна относительно пары (ЯЛ, и, Я-л-2-и):
(Ял, и (g)/, Ь) с = (/, Я-Л-2,-Т7 ^^С.
Это позволяет распространить представление Ял па пространство Т& gt-!(?) обобщенных функций на Л с носителям и в ?, в частности, на пространство обобщенных функций, сосредоточенных на вертикальных прямых х = ±1. Получающиеся таким образом граничные представления раскладываются по представлениям еще одной серии представлений группы С, описанной в [1]. Они не участвуют в разложении канонических представлений ЯЛ на Р (?). Причина этого состоит
в том, что для функции р € Р (К) те преобразование Пуассона р) (г) см-
ниже, имеет носитель, лежащий в полосе, более узкой, чем? (в полосе |х| & lt- 1 — е & lt- 1), поэтому имеет нулевую асимптотику при |х| ^ 1. Поэтому в настоящей статье, как и в [3], мы не будем рассматривать граничные представления.
Найдем обобщенные функции 9 на К собственные для подгруппы К, см,
Та (к) 9 = ехр^р) ¦ 9. (7)
Из (5) и (7) мы получаем
[ехр (-арвЬ28) — ехр^р)] ¦ 9(з) = 0.
Отсюда следует, что искомая обобщенная функция — это дельта-функция
9а, и (з) = $(8 — 8о),
где
V
вп 2зо =---.
а
Следовательно, отношение v/а должно быть вещественным числом.
Эта обобщенная функция порождает ядро Пуассона — следующим образом. Элемент
д*=тгЫ11)
из С переводит точку 0 в точку г. Ядро Пуассона определяется формулой
р'-а (г, 8) = (Та (д-1) 9″. «) (8),
оно есть
(г, 8) = ф — с- 8о) ех^а 1-х2 (а+Вх) |,
где г = х + jy, х = Ш С и для краткости мы обозначили, А = еЬ 2з0, В = вЬ 2з0,
Ядро Пуассона порождает два преобразования — преобразование Пуассона Р (1: Р (К) ^ Сте (?) и преобразование Фурье: (c)(?) ^ (c)(К), связанные с
каноническим представлением Ял.». А именно,
(Рй р) (г) = (1 — х2)-Л-2р (80 + ?)ехр|а 1-(А + Вх)| ,
/) (8) = (1 — с2) Л+1 J /(с + *М) ехр{а 1-^2 (А + Вх^ ?",
где х = Ш ?, С = Ш (8 — 80),
Преобразование Пуассона сплетает Т- а с ЕЛ. «, а преобразование Фурье сплетает Лл Та-
л.* (д) рй = рй Т-а (д),
Л.V (д) = Та (д) ,
д€ С
(р-ц* р, /)с = & lt-р, 45 /)"¦
Теорема 1 Пусть V и, а — чисто мнимые числа: V = гт и, а = гр, здесь г = -/-1
— комплексное число, тир- вещественные числа. Каноническое представление ЛЛ, гт группы С в пространстве (c)(?) разлагается по представлениям Т: р с кратностью единица следующим образом,. Сопоставим функции / € (c)(?) совокупность ее компонент Фурье ^& quot-р/, Р € К Это соответствие С-эквива-риантно. Имеет место формула обращения:
1 ЛГО __________
/=г- / м ^+(т/р)2 Р: -:Р / ?р.
Литература
1. Ю, В, Дунин, Представления группы движений плоскости Лобачевского-Галилея, Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2010, том 15, вып. 6, 1708−1712,
2. Ю, В, Дунин, Гармонический анализ на плоскости Лобачевского-Галилея, Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2011, том 16, вып. 1, 99−103.
3. Ю. В. Лунин. Канонические представления на плоскости Лобачевского-Галилея. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2012, том 17, вып. 1, 82−85.
4. В. Ф. Молчанов. Элементарные представления группы Лагерра. Матем. заметки, 1978, том 23, вып. 1, 31−39.
5. V. F. Molchanov, L. I. Grosheva. Canonical and boundary representations on the Lobachevsky plane. Acta Appl. Math., 2002, vol. 73, 59−77.
Поступила в редакцию 16 ноября 2012 года
Yu. V. Dunin. Canonical representations for the Lobachevskv-Galilei plane
For the Lobachevskv-Galilei plane, we introduce canonical representations induced by characters of the multiplicative group of the algebra of dual numbers, and decompose them into irreducible constituents
Keywords: dual numbers, canonical representations, Lobachevsky plane

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой