Kantbp 3. 0: New Version of a program for Computing energy Levels, reflection and transmission matrices, and corresponding wave functions in the coupled-channel adiabatic approach

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

UDC 517. 958:530. 145. 6
KANTBP 3. 0: New Version of a Program for Computing Energy Levels, Reflection and Transmission Matrices, and Corresponding Wave Functions in the Coupled-Channel
Adiabatic Approach
A. A. Gusev*, O. Chuluunbaatart, S. I. Vinitsky*, A. G. Abrashkevich*
* Joint Institute for Nuclear Research 6, Joliot-Curie, Dubna, Moscow region, Russia, 141 980 ^ School of Mathematics and Computer Science National University of Mongolia, Mongolia 1 IBM Toronto Lab, 8200 Warden Avenue, Markham, ON L6G 1C7, Canada
Brief description of a FORTRAN 77 program for calculating energy values, refection and transmission matrices, and corresponding wave functions in a coupled-channel approximation of the adiabatic approach is presented. In this approach, a multidimensional Schrodinger equation is reduced to a system of the coupled second-order ordinary differential equations on a finite interval with the homogeneous boundary conditions of the third type at the left-and right-boundary points for continuous spectrum problem, or a set of first, second and third type boundary conditions for discrete spectrum problem. The resulting system of these equations containing the potential matrix elements and first-derivative coupling terms is solved using high-order accuracy approximations of the finite element method.
Key words and phrases: boundary value problem, multichannel scattering problem, finite element method, Kantorovich method.
1. Introduction
In this work we present a brief description of a KANTBP3 program for calculating with a required accuracy approximate eigensolutions of the continuum spectrum for systems of coupled differential equations on finite intervals of the variable z G [?mm, ?max] using a general homogeneous boundary condition of the third-type [1]. The third-type boundary conditions are formulated for problems under consideration by using known asymptotics for a set of linear independent asymptotic regular and irregular solutions in the open channels, and a set of linear independent regular asymptotic solutions in the closed channels, respectively [2]. These problems are solved by the finite element method [3,4]. This approach can be used in calculations of effects of electron screening on low-energy fusion cross sections, channeling processes, threshold phenomena in the formation and ionization of (anti)hydrogen-like atoms and ions in magnetic traps, scattering problem for quantum dots and quantum wires in magnetic field, potential scattering with confinement potentials, penetration through a two-dimensional fission barrier, tunneling from false vacuum of two interacted particles and three-dimensional tunneling of a diatomic molecule incident upon a potential barrier [2,5].
2. Statement of the Problem
In the Kantorovich method or close-coupling adiabatic approach, the multidimensional Schrodinger equation is reduced to a finite set of N ordinary second-order differential equations on the finite interval [zmin, zmax] for the partial solution
Received 27th September, 2013. The work was supported partially by grants 13−602−02 JINR, 11−01−523 and 13−01−668 RFBR.
X (j)(z) — (-X[Jz),…, X%z))T
(L-2E])x (%) = 0, L = -1-L-d+ ^d^ Q (Z). (1) v '- v '- zd-i dz dz w wdz z d-i d z v '-
Here I, V (z) and Q (z) are the unit, symmetric and antisymmetric N x N matrices, respectively. We assume that V (z) and Q (z) matrices have the following asymptotic behaviour at large z = z± ^
(2 Z ± N y ('-± a{ 1 '-±)
Va{ z±) — e, + + ^ -, Q%0(z±) — ^V, (2)
V Z± J I=2 Z± I = 1 Z±
where ei & lt- … & lt- e n are the threshold energy values.
In the present work, scattering problem is solved using the boundary conditions at
d 1 Z? min and ^ ?max-
d$(z)
dz
/v (Zmin)$(?min^
d
— 2max)^(?max^ (3)
where '-(z) is a unknown N x N matrix-function, $(z) — {x (^ (z)}Ij=L1 is the required
N xNa matrix-solution and Na is the number of open channels, Na = max2?^e- j ^ N. From this we obtain the quadratic functional at d =1 (similar to Eq. (5) in [3])
'-max
E ($, E, Zmin, ?max) = J $T (z) (L — 2E I) $(z)d* - n ($, E, Zmin, ?max) —
'-min
$ (Zmax)G (^max)^(^max) + $ (^min)G (^min)$(^min^ (4)
where n ($, E, Zmin, ^max) is the symmetric functional
'-ma
П ($, E,mim ^max) J
'-min
d$T (z)d$(z) ,.T. ,
+$T (z)Q (z)d-d^) — Q (?)$(?) — 2E$T (z)G (z)
dz, (5)
and G (z) — '-(z) — Q (z) is the N x N matrix-function which should be symmetric according to the conventual R-matrix theory.


ax
3. The Physical Scattering Asymptotic Forms
Matrix-solution (z) = $(z) describing the incidence of the particle and its scattering, which has the asymptotic form & quot-incident wave + outgoing waves& quot- is
(z ^ ±ro) — & lt-
X (+)(z)T, z& gt- 0,
X (+)(z) + X (-)(z)Rv, z& lt- 0,
X (-)(/) + X (+)(z)Rv, z & gt- 0,
X (-)(z)Tv, z & lt- 0,
v
(6)
where R^ and T are the reflection and transmission N0 x N0 matrices, v and v denote the initial direction of the particle motion along the z axis. Here the leading term of the asymptotic rectangle-matrix functions X (±) (z) has the form [2]
X (±z) ^ p~l/2 exp z — ^ ln (2pjM))) Sij, (7)
Pj = y/2E — ej i = 1,…, N, j = 1,…, N0,
where Zj = Z+ at z & gt- 0 and Zj = Z~ at z & lt- 0. The matrix-solution (z, E) is normalized by
?
J (z, E'-)®v (z, E) dz = 2n5(E'- - E) SV, VI00, (8)
_?
where I00 is the unit N0 x N0 matrix. Let us rewrite Eq. (6) in the matrix form at ^ and ^ -? as
/*: (*+) *: (z+) = (0 X (_)(z+) + (0 X (+)(z+) S V*: (*_) *^(z_)J VX (+)(*_) 0) + X (_)(z_) 0 (9)
where the scattering matrix S
s=(R: R:) ('-o& gt-
is composed of the reflection and transmission matrices.
In addition, it should be noted that functions X (±)(z) satisfy relations
Wr (Q (z) — X (^(z), X (±)(z)) = ±2d00, Wr (Q (z) — X (±)(z), X (±)(z)) = 0, (11) where
T
Wr (.- a (z), b (z)) = a7 (z) (^^ - •b (z)) — (^^ - •a (z)) b (z). (12)
'-db (z) f da (z) V
bT -*(z)) -{& quot-ZT -™(z))
This Wronskian is used to estimate a desirable accuracy of the above expansion.
Note, using a wronskian, we obtain the following properties of the reflection and transmission matrices:
T: T: + R: R: = I00 = T^: + R^, T: R: + R: T: = 0 = R^: + T^, (13)
T^ = T, R^ = R, Rr = R:. This means that the scattering matrix (10) is symmetric and unitary.
4. Test Desk
We consider the boundary problem (1)-(3) with parameters d =1, Z1 = Z2 = 0. 1, m1 = 1, m2 = 3, s = 8, a: min = 0.1. This problem is followed from Kantorovich expansion of the 2D BVP described the tunneling problem of transmission of two ions
through repulsive barrier (for details, see [2])
(p2 p2 (-gy — + x2 + Ui (xi) + ^2) — y y) = 0, (14)
where Ui (xi) = 22& gt-i/^|x^|s + xmin are Coulomb-like barrier potentials, xi = s2y + six and x2 = s2y — s3x are Jacobi coordinates with si = mi/M, S3 = m2/M, s2 =
^toTTO2/M, S2 = jM, M = mi + m2.
The required asymptotics of regular and irregular solutions given in [2]. The following values of numerical parameters and characters described in [1] have been used in the test run via the supplied input file SQRTBT. INP
& amp-PARAS TITLE='- REFLECTION AND TRANSMISSION MATRICES IPTYPE=1,NROOT=1,MDIM=4,IDIM=1,NPOL=4, SHIFT= 4D0, IPRINT=1,IPRSTP=120,
NMESH=7,RMESH=-25D0,100D0,-6D0,100D0,6D0,100D0,25D0, NDIR=1, NDIL=4, NMDIL=0,THRSHL= 1. D0,3D0,5D0,7D0,IBOUND=8, FNOUT='-KANTBP. LPR, IOUT=7,POTEN=, ODPEVP. PTN, IOUP=10, FMATR=, KANTBP. MAT, IOUM=11,EVWFN=, KANTBP. WFN, IOUF=0
& amp-END
Boundary problem (14) and the corresponding matrix elements V (y), Q (y) have been solved by the ODPEVP program [6] on grids ilx{xmin, xmax} = {-xmin (64)xmax} with accuracy eps = 10-i0. Boundary points are xmax = -xmin = 8.1. All calculation details of this problem were written into file ODPEVP. LPR.
TEST RUN OUTPUT
PROBLEM: REFLECTION AND TRANSMISSION MATRICES
CONTROL INFORMATION
NUMBER OF DIFFERENTIAL EQUATIONS… (MDIM) = 4
NUMBER OF FINITE ELEMENTS… (NELEM) = 300
NUMBER OF GRID POINTS… (NGRID) = 1201
ORDER OF SHAPE FUNCTIONS… (NPOL) = 4
ORDER OF GAUSS-LEGENDRE QUADRATURE.. (NGQ) = 5
DIMENSION OF ENVELOPE SPACE … (IDIM) = 1
BOUNDARY CONDITION CODE … (IBOUND) = 8
DOUBLE ENERGY SPECTRUM… (SHIFT) = 4. 0
SUBDIVISION OF RHO-REGION ON THE FINITE-ELEMENT GROUPS:
NO OF NUMBER OF BEGIN OF LENGTH OF GRID END OF GROUP ELEMENTS INTERVAL ELEMENT STEP INTERVAL
100 -25. 000 0. 19 000 0. 4 750 -6. 000
100 -6. 000 0. 12 000 0. 3 000 6. 000
100 6. 000 0. 19 000 0. 4 750 25. 000
TOTAL SYSTEM DATA
TOTAL NUMBER OF ALGEBRAIC EQUATIONS.. (NN) = 4804
TOTAL NUMBER OF MATRIX ELEMENTS… (NWK) = 60 010
MAXIMUM HALF BANDWIDTH… (MK) = 20
MEAN HALF BANDWIDTH… (MMK) = 12
NDIM, MDIM= 4 4
CALCULATION OF WAVE FUNCTION WITH DIRECTION & lt---

NUMBER OF OPEN CHANNELS… (NOPEN) =
VALUE OF I-TH MOMENTUM… (I, QR) =
VALUE OF I-TH MOMENTUM… (I, QR) =
I M P A R T: W R O N S K I A N
-2. 0 -. 16 8196E-08 -. 16 8196E-08 -2. 0
RE PART: RRMATRIX
-. 194 759 -. 59 0855E-03 -. 59 0855E-03 -. 48 5377E-01
IM PART: RRMATRIX
-. 124 681 0. 172 716 0. 172 716 0. 931 470
RE PART: TT MATRIX
0. 600 459 -. 31 7924E-01 0. 31 7924E-01 -. 276 468
I M P A R T: TT M A T R I X
-. 729 781 0. 150 166 -. 150 166 0. 13 4581E-01
Z REPART: FUNCTIONS
2
1 0. 1732E+01
2 0. 1000E+01
-25. 0000 0. 6664D+00 -. 1165D+00
-13. 6000 0. 6802D+00 -. 7978D-01
-3. 6000 0. 1490D-01 -. 5461D-01
0. 0000 -. 8416D+00 0. 7861D-01
3. 6000 -. 4115D+00 -. 6691D-01
13. 6000 0. 5769D+00 -. 6829D-01
25. 0000 0. 2716D+00 -. 1259D+00
0. 1531D+00 -. 1120D+00 0. 7601D-06
0. 4223D-01 0. 2431D+00 -. 2701D-04
-. 3718D-01 -. 2780D+00 -. 9230D-02 0. 9335D-02 0. 4446D+00 0. 5115D-01
0. 8351D-01 0. 1351D+01 -. 4630D-02
-. 8088D-01 -. 1298D+01 -. 3777D-04 -. 1631D+00 -. 5370D+00 0. 1506D-05
0. 8680D-05 0. 2445D-07 0. 4751D-06 0. 3867D-04 -. 2948D-05 0. 3128D-05 0. 2404D-02 -. 1299D-02 -. 2425D-03 -. 1732D-01 -. 2247D-02 -. 6850D-02 0. 2048D-01 -. 2890D-04 -. 9308D-04 -. 5932D-04 0. 3999D-05 0. 9632D-05 0. 4406D-04 -. 6915D-07 -. 2284D-05

Z IMPART: FUNCTIONS
-25. 0000 -13. 6000 -3. 6000 0. 0000 3. 6000 13. 6000 25. 0000
0. 2735D+00 -. 2428D+00 0. 7372D+00 0. 5262D+00 -. 5284D+00 -. 5507D+00 -. 8982D+00
0. 1055D-01 0. 8603D-01 -. 1083D+00 -. 1487D+00 -. 8131D-01 0. 1129D+00 0. 3837D-01
-. 2391D-01 0. 1506D+00 -. 1518D+00 -. 1846D-01 0. 1780D+00 -. 1559D+00 0. 6149D-01
-. 2560D+00 -. 1425D+00 0. 1221D+00 0. 6235D+00 0. 1380D+01 -. 1335D+01 -. 6546D+00
0. 6563D-05 0. 2784D-04 0. 1107D-02 -. 3508D-01 0. 1289D-01 0. 6059D-05 0. 5103D-05
-. 4645D-05 0. 0. 5248D-04 0. -. 5541D-02 -. -. 4223D-03 -. 0. 1938D-01 -. -. 8405D-04 -. 0. 4498D-04 -.
3403D-06 -. 2162D-06 2187D-05 0. 5597D-05 1592D-02 -. 3799D-03 5965D-02 -. 9388D-02 2320D-02 0. 4662D-04 3894D-06 0. 1222D-04 2851D-06 -. 2320D-05

CALCULATION OF WAVE FUNCTION WITH DIRECTION --& gt-
NUMBER OF OPEN CHANNELS… (NOPEN) =
VALUE OF I-TH MOMENTUM… (I, QR) =
VALUE OF I-TH MOMENTUM… (I, QR) =
IM PART: WRONSKIAN
2. 0 -. 16 8196E-08 -. 16 8196E-08 2. 0
2
1 0. 1732E+01
2 0. 1000E+01
RE PART: RRMATRIX
-. 194 759 0. 59 0855E-03 0. 59 0855E-03 -. 48 5377E-01
I M P A R T: RR M A T R I X
-. 124 681 -. 172 716 -. 172 716 0. 931 470
RE PART: TT MATRIX
0. 600 459 0. 31 7924E-01 -. 31 7924E-01 -. 276 468

I M P A R T: TT M A T R I X
-. 729 781 -. 150 166 0. 150 166 0. 13 4581E-01

Z REPART: FUNCTIONS
-25. 0000 0. 2716D+00 0. 1259D+00
-13. 6000 0. 5769D+00 0. 6829D-01
-3. 6000 -. 4115D+00 0. 6691D-01
0. 0000 -. 8416D+00 -. 7861D-01
3. 6000 0. 1490D-01 0. 5461D-01
13. 6000 0. 6802D+00 0. 7978D-01
25. 0000 0. 6664D+00 0. 1165D+00
0. 1631D+00 -. 5370D+00 0. 1506D-05
0. 8088D-01 -. 1298D+01 -. 3777D-04
-. 8351D-01 0. 1351D+01 -. 4630D-02 -. 9335D-02 0. 4446D+00 0. 5115D-01
0. 3718D-01 -. 2780D+00 -. 9230D-02
-. 4223D-01 0. 2431D+00 -. 2701D-04 -. 1531D+00 -. 1120D+00 0. 7601D-06
-. 4406D-04 0. 6915D-07 -. 2284D-05 0. 5932D-04 -. 3999D-05 0. 9632D-05 -. 2048D-01 0. 2890D-04 -. 9308D-04 0. 1732D-01 0. 2247D-02 -. 6850D-02 -. 2404D-02 0. 1299D-02 -. 2425D-03 -. 3867D-04 0. 2948D-05 0. 3128D-05 -. 8680D-05 -. 2445D-07 0. 4751D-06

Z IMPART: FUNCTIONS
-25. 0000 -. 8982D+00 -. 3837D-01 -. 6149D-01 -. 6546D+00 0. 5103D-05 -. 4498D-04 0. 2851D-06 -. 2320D-05
-13. 6000 -. 5507D+00 -. 1129D+00 0. 1559D+00 -. 1335D+01 0. 6059D-05 0. 8405D-04 0. 3894D-06 0. 1222D-04
-3. 6000 -. 5284D+00 0. 8131D-01 -. 1780D+00 0. 1380D+01 0. 1289D-01 -. 1938D-01 0. 2320D-02 0. 4662D-04
0. 0000 0. 5262D+00 0. 1487D+00 0. 1846D-01 0. 6235D+00 -. 3508D-01 0. 4223D-03 0. 5965D-02 -. 9388D-02
3. 6000 0. 7372D+00 0. 1083D+00 0. 1518D+00 0. 1221D+00 0. 1107D-02 0. 5541D-02 0. 1592D-02 -. 3799D-03
13. 6000 -. 2428D+00 -. 8603D-01 -. 1506D+00 -. 1425D+00 0. 2784D-04 -. 5248D-04 -. 2187D-05 0. 5597D-05
25. 0000 0. 2735D+00 -. 1055D-01 0. 2391D-01 -. 2560D+00 0. 6563D-05 0. 4645D-05 -. 3403D-06 -. 2162D-06

C H E C K P R O P E R T I E S
CHECK |RR_& lt--|~2 + |TT_& lt--|~2
1. 0 0. 24 2339E-09 0. 24 2339E-09 1. 0
CHECK |RR_-& gt-|~2 + |TT_-& gt-|~2
1. 0 -. 40 7011E-09 -. 40 7011E-09 1. 0
RE PART: TT_-& gt-~1 * RR_& lt-- + RR_-& gt-~1 * TT_& lt--
0. 18 5469E-09 0. 42 0999E-09 -. 47 6236E-09 0. 15 7399E-09
I M PART: TT_-& gt-~1 * RR_& lt-- + RR_-& gt-~1 * TT_& lt--
0. 21 9235E-11 -. 12 5379E-09 -. 19 7244E-09 0. 12 9723E-10
RE PART: RR_& lt--~T — RR_& lt--
0. 0 -. 18 5546E-09 0. 18 5546E-09 0. 0
I M PART: RR_& lt--~T — RR_& lt--
0. 0 0. 35 6981E-09 -. 35 6981E-09 0. 0
RE PART: RR_-& gt-~T — RR_-& gt-
0. 0 0. 10 3188E-09 -. 10 3188E-09 0. 0
I M PART: RR_-& gt-~T — RR_-& gt-
0. 0 -. 53 3526E-09 0. 53 3526E-09 0. 0
RE PART: TT_-& gt-~T — TT_& lt--
0. 23 1348E-10 0. 84 7061E-10 -. 95 2086E-13 0. 14 2655E-10
I M PART: TT_-& gt-~T — TT_& lt--
0. 18 6473E-11 0. 45 2252E-09 0. 51 1466E-09 -. 11 6038E-10
References
1. A Program Package for Solution of Two-Dimensional Discrete and Continuum Spectra Boundary-Value Problems in Kantorovich (Adiabatic) Approach / O. Chuluun-baatar, A. A. Gusev, S. I. Vinitsky, A. G. Abrashkevich // JINR Lib. — 2013. — http: //wwwinfo. jinr. ru/programs/jinrlib/kantbp/indexe. html.
2. Symbolic-Numerical Algorithms to Solve the Quantum Tunneling Problem for a Coupled Pair of Ions / A. A. Gusev, S. I. Vinitsky, O. Chuluunbaatar et al. // Lecture Notes in Computer Science. — 2011. — Vol. 6885. — Pp. 175−191.
3. KANTBP: A Program for Computing Energy Levels, Reaction Matrix and Radial Wave Functions in the Coupled-Channel Hyperspherical Adiabatic Approach / O. Chuluunbaatar, A. A. Gusev, A. G. Abrashkevich et al. // Comput. Phys. Commun. — 2007. — Vol. 177. — Pp. 649−675.
4. KANTBP 2. 0: New Version of a Program for Computing Energy Levels, Reaction Matrix and Radial Wave Functions in the Coupled-Channel Hyperspherical Adia-batic Approach / O. Chuluunbaatar, A. A. Gusev, S. I. Vinitsky, A. G. Abrashke-vich // Comput. Phys. Commun. — 2008. — Vol. 179. — Pp. 685−693.
5. Symbolic-Numerical Algorithm for Generating Cluster Eigenfunctions: Tunneling of Clusters Through Repulsive Barriers / A. A. Gusev, S. I. Vinitsky, O. Chulu-unbaatar et al. // Lecture Notes in Computer Science. — 2013. — Vol. 8136. — Pp. 427−442.
6. ODPEVP: A program for Computing Eigenvalues and Eigenfunctions and Their First Derivatives with Respect to the Parameter of the Parametric Self-Adjoined Sturm-Liouville Problem / O. Chuluunbaatar, A. A. Gusev, S. I. Vinitsky, A. G. Abrashkevich // Comput. Phys. Commun. — 2009. — Vol. 180, No 8. — Pp. 1358−1375.
УДК 517. 958:530. 145. 6
KANTBP 3. 0: новая версия программы для вычисления энергетических уровней, матриц амплитуд отражения и прохождения и соответствующих волновых функций в адиабатическом подходе со связанными каналами
А. А. Гусев*, О. Чулуунбаатар^, С. И. Виницкий*, А. Г. Абрашкевич*
* Объединённый институт ядерных исследований ул. Жолио-Кюри, д. 6, г. Дубна, Московская область, Россия, 141 980 ^ Факультет математики и компьютерных наук Монгольский государственный университет, Монголия * Лаборатории IBM в Торонто 8200 Ворден авеню, Маркхэм, ON L6G 1C7, Канада
Представлено краткое описание программ на языке Фортран 77 для вычисления энергетических уровней, матриц амплитуд отражения и прохождения и соответствующих волновых функций в адиабатическом подходе со связанными каналами. В этом подходе многомерное уравнение Шрёдингера сводится к системе связанных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на конечном интервале с однородными граничными условиями третьего рода на левой и правой граничных точках для задачи непрерывного спектра или набора граничных условий первого, второго и третьего рода для задачи дискретного спектра. Полученная система уравнений, содержащая матричные потенциалы, а также связанная слагаемыми, содержащими первые производные, решается в приближении высокого порядка точности методом конечных элементов.
Ключевые слова: краевая задача, многоканальная задача рассеяния, метод конечных элементов, метод Канторовича.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой