О некоторых бифуркациях двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническим касанием к негиперболической неподвижнойточке

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 476−480
УДК 517. 917
О НЕКОТОРЫХ БИФУРКАЦИЯХ ДВУМЕРНЫХ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ С ГОМОКЛИНИЧЕСКИМ КАСАНИЕМ К НЕГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ
© 2014 г.
О. В. Гордеева, В. И. Лукьянов Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
olga. gordeeva@inbox. ru
Поступила в редакцию 11. 07. 2014
Изучаются бифуркации в однопараметрическом семействе двумерных диффеоморфизмов, имеющих квадратичное гомоклиническое касание к неподвижной точке негиперболическое седло произвольного конечного вырождения. На бифуркационной диаграмме указывается счетная система интервалов, накапливающихся к началу координат, на каждом из которых имеется устойчивая однообход-ная траектория диффеоморфизма. Доказывается, что границы интервалов соответствуют бифуркациям однообходных периодических траекторий.
Ключевые слова: гомоклиническое касание, негиперболическое седло, отображение первого возвращения, рескейлинг.
Постановка задачи и основные результаты
Настоящая работа является продолжением и обобщением работ [1, 2] на случаи, когда неподвижная точка является п-вырожденным (п = 2т) седло-узлом или и-вырожденным седлом (п = 2 т +1). В силу большой размерности всевозможные бифуркации неподвижной точки и вместе с ней гомоклинической структуры описать проблематично. В статье рассматриваются бифуркации двумерных диффеоморфизмов, связанные с глобальными бифуркациями гомоклинической траектории.
Рассматривается Сг -гладкий диффеоморфизм /0 (г & gt- п +1), имеющий неподвижную точку типа негиперболическое седло и негрубую гомоклиническую к ней траекторию Г0. Предполагается, что других вырождений /0 не имеет, т. е. /0 удовлетворяет условиям:
А) /0 имеет неподвижную точку О типа негиперболическое седло с мультипликаторами Х1 = X, где |Х| Ф1, и X2 = 1 и ляпуновская величина! п1 & gt- 0.
Не изменяя общности, считаем, что 0 & lt- & lt- 1 и! п1 & gt- 0. Пусть ио — малая фиксированная окрестность неподвижной точки О. Тогда, как хорошо известно, через точку О в каждом рассматриваемом случае проходит сильно устойчивое Сг -гладкое инвариантное многооб-
разие IV™, касающееся собственного направления, отвечающего мультипликатору X. Это многообразие представляет собой гладкую кривую, которая в случае седло-узла разделяет и0
на две подобласти — узловую и+ и седловую и ~, в случае сложного седла обе подобласти седловые. Положительная полутраектория диффеоморфизма /" любой точки из и+ стремится к О в случае седло-узла, касаясь ведущего собственного направления, отвечающего мультипликатору X2 = 1. В седловых подобластях и+
и и ~ в случае седла существует общее С -гладкое инвариантное неустойчивое многообразие, состоящее из точек, отрицательные полутраектории которых стремятся к О. При этом остальные точки из и+ и и ~ покидают и 0 как при положительных, так и при отрицательных итерациях /0. Неустойчивое многообразие выходит из точки О, касаясь собственного направления, отвечающего мультипликатору X 2 = 1.
В) Инвариантные многообразия Wu (О) и Wss (О) имеют квадратичное касание в точках некоторой гомоклинической траектории Г0.
Пусть М е W& quot- п и0 — некоторая гомокли-ническая точка траектории Г0 и П + с и0 — ее достаточно малая окрестность. Обозначим через? и кусок ^ п П+ многообразия, который
содержит точку М. Будем различать два основных случая квадратичного гомоклиническо-го касания: касание «сверху», т. е. когда 1и с и& quot-, и касание «снизу», т. е. когда 1и с и+.
Напомним также следующие необходимые факты из теории инвариантных многообразий [3, 4]. Во-первых, у диффеоморфизма /0 в и0
существует центральное многообразие Рс (О), которое в случае седло-узла определяется неоднозначно. Каждое такое многообразие представляет собой инвариантную С -гладкую кривую, совпадающую с (О) в области и& quot- ,
пересекающую область и + и касающуюся в ней ведущего собственного направления. Кроме того, у /0 в и0 существует единственное сильно устойчивое инвариантное С -гладкое слое-
^55
, состоящее из одномерных кривых -слоев, и Р55 — это один из его слоев. Каждый
& quot- Т755
слой слоения Ь пересекает трансверсально любое центральное многообразие Рс (О) точки О,
в том числе все слои из и& quot- трансверсальны.
Диффеоморфизмы, удовлетворяющие условиям А) и В), образуют в пространстве С -гладких диффеоморфизмов локально связную бифуркационную поверхность коразмерности п +1. В настоящей работе изучаются бифуркации диффеоморфизма /0, связанные с бифуркацией гомоклинической траекторией. Поэтому для изучения бифуркаций диффеоморфизма /0 мы будем рассматривать параметрическое семейство /-, диффеоморфизмов, пересекающих бифуркационную поверхность трансверсально при — = 0. При этом /0 является элементом этого семейства при — = 0.
Далее будет введен единственный управляющий параметр — - это величина, характеризующая расщепление многообразий и Р55 относительно некоторой гомоклинической точки, например точки М +, при условии, что неподвижная точка сохраняется.
Выберем в и0 при — = 0 две точки траектории Г0: М + е (О) и М & quot-е (О). Пусть П+ и П — достаточно малые, диаметра е, окрестности точек М + и М& quot- соответственно. Очевидно, существует натуральное q, такое,
что М + = /0! (М& quot-). При всех достаточно малых — в и0 будут определены два отображения по траекториям диффеоморфизма /-: локальное
Т0 = /- | и0 и глобальное Т1 = /-: П ^ П+. По
построению, любая однообходная периодическая траектория, целиком лежащая в и, должна иметь ровно по одной точке пересечения с окрестностями П+ и П& quot-. Точку такой траектории на П+ можно рассматривать как неподвижную точку соответствующего отображения
первого
возвращения
(1)
Tk = T1 • T0k: П+ ^ П- ^ П+, где T0k действует
из П+ в П. Мы будем изучать бифуркации неподвижных точек отображений первого возвращения Tk для всех достаточно больших k.
Свойства отображений T0 и T1
В U0 можно выбрать С4 -гладкие локальные координаты (x, у), в которых отображение T0 запишется в виде, аналогичном [2]:
I x =)x + h (x, у, ц) x2у | у = у + у& quot- + O (yn+1), где |Х (ц)| & lt- 1, X (0) = X. Обратим внимание, что
второе уравнение системы (1) не зависит от x. В координатах (x, у) неподвижная точка O лежит в начале координат и ее инвариантные многообразия Wss и W& quot- распрямлены: W& quot-: {x = 0}, Wss: {у = 0}. В новых координатах,
--TVSS
при всех достаточно малых ц, слоение F состоит из горизонтальных прямых у = const. Отметим, что x = 0 также является инвариантной прямой.
Пусть (xi, у1), i = 0,., k , — множество точек на U 0, таких, что T& gt-(xi, у1) = (xM, ум). Одним из важных достоинств локальных координат (1) является то, что соотношение (xk, ук) =
= T0k (x0, у0) допускает в них весьма удобное для дальнейших исследований представление. А именно, в следующей лемме дано такое представление отображения T0k: U0 ^ U0 в так называемой перекрестной форме, аналогичной [1, 2]. Лемма 1. Для всех достаточно малых ц
отображение T0k: (x0, у0) ^ (xk, ук) может быть записано в следующем виде:
xk =Xk (Ц)x0 + o (Xk)§ k (x0,Уk, Ц),
vk& quot- (1 + Pk), -4 ус =v k + V n (Уk — у) +
(у-)& quot-
+ v& quot-O ((Уk — у-)2),
478
О. В. Гордеева, В.И. Лукьянов
где функции ?, к (х0, ук, ц) равномерно ограничены вместе с производными до порядка (г — 2), ЫЬ ^ 0 и рк ^ 0 при кда, а
1
— +…, многоточием обозначе-
У к ((п — 1) к)1/(п-1) ны члены более высокого порядка малости.
Глобальное отображение Т: П ^ П+ при всех достаточно малых ц может быть записано в следующем виде:
) Х0 — х+ = у — у-, цХ [ у0 = x1, у1 — у-, ц X
(3)
где (х0, у0) е П +, (х1, у1) е П — функции Е и О — С- -гладкие и Е (0,0,0) = 0(0,0,0) = 0. Условие В) означает, что Wu (О) и Wss (О) при ц = 0 касаются квадратично в точке М + (х+, 0), откуда следует, что 0у (0,0,0) = 0,0уу (0,0,0) Ф 0.
Перепишем отображение (3) еще и таким образом
х0 — х + = ох1 + Ь (у1 — у-) +
+ О (х2 + | хДУ1 — у-)| +(У1 — у-)2),
у0 = у +(ц) + сх1 + й ((1 — у-)2 + + О (х2 +1×1(у1 — у-)| +1 у1 — у- |3),
тода состоит в том, чтобы с помощью гладких замен координат и параметров (перенормировок) привести отображение к некоторому стандартному виду, в котором малые члены уже не будут влиять на динамику. Следующая лемма формализует этот подход для нашего случая.
Лемма 2 (Рескейлинг-лемма). Пусть / -
семейство диффеоморфизмов, определенное выше. При всех достаточно малых значениях параметра ц, |ц| & lt- ц, с помощью гладких замен координат (х0, ук) ^ (X, У) и параметров отображение первого возвращения Тк при любом достаточно большом к может быть приведено к следующему виду:
X = У,
У = м — У2 + о (1)к
(5)
где X, У, М определены в шаре ||Х, У, М|| & lt- Ьк, Ьк ^ +да при к ^ да. Через о (1) обозначены некоторые функции от (X, У, М), которые стремятся к нулю вместе со своими производными (до порядка (г — 2)) при к ^ да, и
М = -

¦(ц-у к +…).
(6)
(4)
Доказательство
где у + (ц), коэффициенты а, Ь, с, й, включая х + и у-, гладко зависят от ц. Так как Т1 -диффеоморфизм, то Ьс Ф 0. Квадратичность гомоклинического касания означает, что й Ф 0. Заметим при этом, что й & gt- 0 отвечает случаю гомоклинического касания «сверху», а й & lt- 0 -случаю касания «снизу».
Обозначим через ц = у + (ц) управляющий параметр, который отвечает за расщепление многообразий и ^ относительно некоторой гомоклинической точки. Поэтому всюду далее рассматриваем однопараметрическое семейство диффеоморфизмов.
Отображения первого возвращения
Используя формулы (2) и (4), мы можем построить (при всех достаточно больших к и малых ц) отображения первого возвращения
Тк = Т1Т0к: ст0 ^ П + в локальных координатах. Однако полученная при этом формула для отображения будет не всегда удобной для исследования, поскольку будет содержать слишком много «лишних» малых членов. Поэтому мы применим к полученной формуле так называемый рескейлинг-метод [5, 6]. Суть этого ме-
В силу (2), (4) мы можем записать отображение первого возвращения Тк в виде:
х — х + = аХкх + о (Хкк (х, у, ц) + Ь (у — у-) +
+ О (Х2кх2 + | X |к| х (у — у-)|+(у — у-)2),
V, +
Vкп (1 + Рк)
(у -)п
(у — у-) + упкО ((у — у-)2) =
= ц + сУкх + cXkк (х, у, ц) + й (у — у-)2 + (7)
+ О (^кх2 +1 X |к|х (у — у-) I + у — у- |3). Введем новые координаты хпем1 = х — х + +
+^1*, упе* = у-у-+У2к, где, V2к = О (^),
так, чтобы обнулить в первом уравнении из (7) свободный член и во втором уравнении — линейный член по упе№. Тогда отображение Тк в новых координатах запишется в виде:
х = аУкх + Ьу + О^)О (х2) + XkO (ху) + О (у2),
у
V к (1 + Рк) пкО (у2) = М1 + cXkx +
(у-)п & quot- '- * (8)
+ йу2 + о^)О (х2) + 7кО (ху) + О (у3),
где М1 = ц — V к +…
Теперь сделаем перенормировку (рескей-линг) координат следующим образом
Vк (1 + рк) Vкп (1 + рк)
х = -Ь-^7-aX, у = --У. й (у-)п й (у-)п
V
к
После этого отображение (8) для тех к, при которых V к асимптотически мало (V к ^ 0 при к ^ да), может быть представлено в виде (5), где для М будет справедлива формула (8). Лемма 2 доказана.
Лемма 2 показывает, что исследование бифуркаций отображений первого возвращения Тк при всех достаточно больших к сводится,
по существу, к исследованию стандартного отображения параболы:
У = М — У2, (9)
бифуркации которого хорошо известны. Так, при М е (-1 / 4, 3 / 4) отображение (9) имеет устойчивую неподвижную точку, которая рождается в результате седло-узловой бифуркации
при М = -¼ и претерпевает бифуркацию удвоения периода при М = 3/ 4. Из (9) получаем, что для отображения Тк соответствующие бифуркационные точки — границы интервала
1
Ak ц =vk + 4d (77& quot- & quot-k
2n
V k + …
Ц2 =V
3
k 4d (у-)2n k
+…
(10)
Здесь точка — отвечает седло-узловой бифуркации, а — 2 — бифуркации удвоения периода соответствующей неподвижной точки.
Таким образом, доказана следующая
Теорема.
1) В любой достаточно малой окрестности начала координат существует счетное множество непересекающихся интервалов Дк, таких,
что при ц е Ak диффеоморфизм f имеет
асимптотически устойчивую однообходную периодическую траекторию.
2) Границами интервала Ak являются бифуркационные значения параметра ц, отвечающие бифуркациям коразмерности один, седло-узловой и удвоения периода соответственно.
3) При k ^ +да интервалы Ak накапливаются к точке ц = 0.
Список литературы
1. Гонченко С. В., Гордеева О. В., Лукьянов В. И., Овсянников И. И. О бифуркациях двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническим касанием к седло-узловой неподвижной точке // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2014. № 2(1). С. 198−209.
2. Гордеева О. В., Лукьянов В. И. Некоторые бифуркации предельных множеств в окрестности негрубой гомоклинической структуры с вырожденным периодическим движением // Нелинейный мир. 2007. Т. 5. № 1−2. С. 95−100.
3. Shilnikov L.P., Turaev D.V. A new simple bifurcation of a periodic orbit of «blue sky catastrophe» type, Methods of qualitative theory of differential equations and related topics // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2000. 2, 200. Р. 165−188.
4. Лукьянов В. И. О бифуркациях динамических систем с петлей сепаратрисы «седло-узла» // Диф. уравнения. 1982. Т. XVIII. № 9. С. 1493−1506.
5. Tedeschini-Lalli L., Yorke J.A. How often do simple dynamical processes have infinitely many coexisting sinks? // Commun. Math. Phys. 1986. V. 106. P. 635−657.
6. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative two-dimensional maps // Non-linearity. 2007. V. 20. Р. 241−275.
ON SOME BIFURCATIONS OF TWO-DIMENSIONAL DIFFEOMORPHISMS WITH A HOMOCLINIC TANGENCY TO A NONHYPERBOLIC FIXED POINT
O.V. Gordeeva, V.I. Lukyanov
We study bifurcations in one-parameter family of two-dimensional diffeomorphisms having a quadratic homoclinic tangency to a nonhyperbolic fixed point of an arbitrary finite degeneration. The bifurcation diagram specifies a counting system of intervals accumulating to the origin, each of which has a stable single-round diffeomorphic trajectory. We prove the boundaries of the intervals correspond to bifurcations of single-round periodic orbits.
Keywords: homoclinic tangency, nonhyperbolic saddle point, first return map, rescaling.
References
1. Gonchenko S.V., Gordeeva O.V., Luk'-yanov V.I., Ovsyannikov I.I. O bifurkaciyah dvumernyh dif-feomorfizmov s gomoklinicheskim kasaniem k sedlo-uzlovoj nepodvizhnoj tochke // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2014. № 2(1). S. 198−209.
2. Gordeeva O.V., Luk'-yanov V.I. Nekotorye bi-furkacii predel'-nyh mnozhestv v okrestnosti negruboj gomoklinicheskoj struktury s vyrozhdennym peri-odicheskim dvizheniem // Nelinejnyj mir. 2007. T. 5. № 1−2. S. 95−100.
3. Shilnikov L.P., Turaev D.V. A new simple bifurcation of a periodic orbit of «blue sky catastrophe» type, Methods of qualitative theory of differential equations
480
О.В. Гордееeа, B.H. flyKbmoe
and related topics // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2000. 2, 200. P. 165−188.
4. Luk'-yanov V.I. O bifurkaciyah dinamicheskih sis-tem s petlej separatrisy «sedlo-uzla» // Dif. uravneniya. 1982. T. XVIII. № 9. S. 1493−1506.
5. Tedeschini-Lalli L., Yorke J.A. How often do simple dynamical processes have infinitely many coexisting sinks?
// Commun. Math. Phys. 1986. V. 106. P. 635−657.
6. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative two-dimensional maps // Non-linearity. 2007. V. 20. P. 241−275.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой