О некоторых классах пространств Вейтценбека

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ № 26 2011
ПГПУ
ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES № 26 2011
УДК: 514. 764. 21- 514. 822
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ПРОСТРАНСТВ ВЕЙТЦЕНБЕКА
© И. А. ГОРДЕЕВА Владимирский Государственный Гуманитарный Университет, кафедра информатики e-mail: igordeeva@list. ru
Гордеева И. А. — О некоторых классах пространств Вейтценбека // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 70−75. — Многообразие Вейтценбека это триплет (M, g, V), где M это дифференцируемое многообразие размерности n & gt- 2 с метрикой g определенной сигнатуры и линейной связностью V с тензором кривизны R = 0, тензором кручения S = 0 и обладающей свойством метричности Vg = 0. Теория такого рода многообразий носит название & quot-новая теория гравитации& quot-. Мы рассматриваем свойства трех классов такого рода многообразий и на их основе доказываем теоремы исчезновения. Ключевые слова: Связность с кручением, тензоры кривизны и кручения, телепараллелизм, пространства Вейтценбека.
Gordeeva I. A. — About some classes of Weitzenbock manifolds // Izv. Penz. gos. pedagog. univ.
im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 70−75. — Weitzenbock manifold is the triple (M, g, V), where M is a differential manifold of dimensional n & gt- 2 with metric g of certain signature and linear connection V of curvature tensor R = 0, torsion tensor S = 0 and having the metrically property Vg = 0. The theory of these manifolds was called the & quot-the new theory of gravity& quot-. We consider properties of some classes of these manifolds and prove vanishes theorems as corollaries of these properties.
Keywords: Connection with torsion, curvature tensor, torsion tensor, teleparallelism, Weitzenbock manifold.
1. Введение
1.1. Рассмотрим п-мерное (п & gt- 0) С «-многообразие М с линейной связностью V, обладающее нулевой кривизной К = 0 и ненулевым кручением Б = 0. В этом случае (см. [14], стр. 133−135) любой вектор Хх, заданный в некоторой точке х € М может быть включен в некоторое поле Х абсолютно параллельных векторов и это поле определяется (локально) единственным образом. На этом основании связность V называется связностью абсолютного параллелизма.
С другой стороны (см. там же) связность V нулевой кривизны К = 0 характеризуется существованием п независимых полей Х, Х^,…, Хп абсолютно параллельных векторов или ковекторов (1-форм).
Подобную связность построил Э. Картан (см. [4]) на 2-мерной сфере евклидова пространства. Эта связность в дополнение обладала еще свойством метричности: абсолютно параллельными были два ортогональных векторных поля Х1 и Х2.
Цитируемая работа Э. Картана, как и две другие его работы (см. [3] и [5]) были написаны с целью введения в круг исследования физиков-теоретиков пространств-времен, которые обладали ненулевым кручением.
1.2. Спустя более чем пятьдесят лет идея Э. Картана получила развитие в целой серии работ по так называемой & quot-новой теории гравитации& quot-(см. об этом в [9]) пространства-времени (М, д), которое обладает наряду со связностью Леви-Чивита V связностью V с ненулевыми кривизной К и кручением Б и свойством метричности Vg = 0.
В частности, были рассмотрены пространства-времена с нулевой кривизной К = 0 и ненулевым кручением Б = 0. Эти пространства получили название & quot-пространств (многообразий) Вейтценбека& quot-или & quot-пространств телепараллелизма& quot-(см., например, [1], [6], [7]).
В работах [11] и [12] нами была получена классификация многообразий (М, д, V) за счет поточечно неприводимого разложения тензора Т = Т + Т2 + Т3 тензора деформации Т = V — V относительно действия группы О (ц), где ц = дх для произвольной х € М. В следующем параграфе изучим свойства трех классов многообразий Вейтценбека, когда Т = Т1, Т = Т2 и Т = Т3.
2. Пространства Вейтценбека
2.1. В начале рассмотрим пример Э. Картана (см. [4]) многообразия с несимметрической метрической связностью. Пусть Б2 — сфера радиуса К без полюсов евклидова пространства Е3, С1 — долгота и С2 — широта точки сферы, тогда первая квадратичная форма сферы имеет вид: ?в2 = К2((сов22)^С1 & lt-8>- ?С1 + ?с2 & lt-8>- ?С2), а метрический тензор д имеет компоненты: дц = К2сов2С2, д22 = К2, д12 = д21 = 0. Тогда векторы Х1 = {(КсовС2)-1- 0} и Х2 = {0, К-1} будут единичными векторами в направлении & quot-востока"-и & quot-севера"-. Полагаем, что в некоторой связности V векторы Х1 и Х2 переносятся параллельно вдоль любого направления на сфере, т. е. VkХ^'- = дкХ^'- + Де! а2 Г^ =0 и VkХ^ = дкХ^ + Г& quot-к2 = 0.
При — П & lt- С2 & lt- 2 отсюда последует: г21 = -?дС2, а остальные символы Кристоффеля связности V равны нулю. При п = 2 тензор кривизны К обладает лишь одной существенной компонентой К1212. Остальные компоненты Кijkl либо равны нулю, либо совпадают с ней с точностью до знака. А так как Г21 единственная компонента из всех Г, отличная от нуля, и производная от нее по С1 равна нулю, то К1212 = 0. Тогда все коэффициенты К^ = 0 тензора кривизны К, а единственным отличным от нуля компонентом тензора кручения Б будет б1! = - Б^ = 2? дС2.
Непосредственно проверяется выполнение условий Vg = 0. Воспользуемся известным соотношением (см. [13], стр. 141)
Vigjk = дigjk — Г^'- дрк — Ггkgjp
и подставим в него компоненты метрического тензора д.
V1 ди = д1 ди — Г цдр1 — Г цд1р = д1(К2сов2с2) = 0 V2gll = д2д11 — 2Г1 д1р = д2(К2сов2С2) + 2tgС2К2cos2С2 = 0 Vlg22 = д1д22 + 2ГР2д2р = д1(К2) = 0 V2g22 = д2д22 + 2Гр2д2р = д2(К2) = 0 Vlgl2 = Vlg2l = V2gl2 = V2g2l = 0.
Таким образом, (Б2,д, V) являет пример многообразия Римана-Картана (М, д, V). В дополнение, если К = 0, тогда V носит название связности Вейтценбёка или абсолютного параллелизма. Многомерные обобщения пространства (Б2,д, V) носят название пространств Вейтценбека (см. [1], [6], [7]).
2.2. Пространство Вейтценбека или пространство абсолютного параллелизма (см. [1], [6], [7]) — это пространство, которое допускает параллельное перенесение п произвольных векторных полей ^ с локальными компонентами С^), С^),…, С^) по любой кривой, то есть VkС^) = VkСi2) = • • • = VkСin) = 0. Дифференцируя и альтернируя последнее, получим условия интегрируемости, которые являются тождествами Риччи (см. [14], стр. 136)
2Уу = К^ - 2БРk УрС
которые дают
К^ = 0.
Это условие должно удовлетворяться тождественно по отношению к выбору вектора Ср. Отсюда следует, что тензор кривизны равен нулю. И, обратно, если К = 0, то существуют п линейно независимых векторов С являющихся решениями уравнения VkСij) = 0. Таким образом, если матрица С^-) невырождена, то пространство не имеет кривизны. Если одновременно кручение также равно нулю, то пространство является плоским.
3. Характеристики трех классов многообразий Вейтценбека
3.1. Тензор кручения Б связности V является гладким сечением тензорного расслоения Л2М& lt-8>-ТМ. В свою очередь, для тензорного расслоения Л2М & lt-8>- Т*М имеет место (см. [15], доклад XVI) поточечно 0(ц)-неприводимое разложение
Л2М ® Т*М = Р1(М) 0 Р2(М) 0 рз (М),
при этом ортогональные проекции на компоненты этого разложения определяются равенствами (см., напр., [12]):
(1)БЬ (Х, У, Я) = 3−1(БЬ (Х, У, Я) + БЬ (У, Я, Х) + БЬ (Я, Х, У)) — (2)БЬ (Х, У, Я) = д (Х, Я)0(У) — д (У, Я)0(Х) — (3)БЬ (Х, У, Я) = БЬ (Х, У, Я) -(1) БЬ (Х, У, Я) -(2) БЬ (Х, У, Я),
0(Х) := (п — 1)-1д (Б (Х^Х), Xi) для произвольных Х, У, Я € СТОТМ и локального ортонормированного базиса Х1,…, Хп векторных полей.
Будем говорить, что многообразие Римана-Картана (М, д, V), равно как и его присоединенная связность V, принадлежат классу ра или ра 0 ре для а, в =1, 2, 3 и, а & lt- в, если в каждой точке х € М тензор БЬ является сечением соответствующего тензорного расслоения ра (М) или ра (М) 0 Ре (М).
В [11] нами были доказаны две леммы о принадлежности многообразий Римана-Картана к отдельным классам.
Лемма 1. Связность V принадлежит классу р1 0 р2 тогда и только тогда, когда ее тензор кручения удовлетворяет алгебраическому уравнению вида
Б (X, У, Я) + Б (Х, Я, У) = д (Х, Я) В (У) + д (Х, У) В (Я) + д (У, Я) А (Х)
для некоторых гладких 1-форм, А и В и произвольных гладких векторных полей X, У и Я на М.
Лемма 2. Связность V принадлежит классу р2 тогда и только тогда, когда ее тензор кручения удовлетворяет алгебраическому уравнению вида
Б (X, У, Я) — Б (Х, Я, У) + д (Х, У) С (Я) — д (Х, Я) С (У) = 0
для некоторой гладкой 1-формы С и произвольных гладких векторных полей X, У и Я на М.
Отметим здесь же, что метрическая связность V класса р2 в литературе (см. [16]- [17]- [18] и др.) называется еще полусимметрической.
3.2. Локальные компоненты тензора деформации Т = V — V и кручения Б связаны равенствами (см. [17], стр. 80)
Т'-к'- = Б'-к'- + Бijk + Б'-к'-, (3. 1)
где gilTjk и Бijk gklБij.
При этом компоненты тензора кривизны К многообразия (М, д) находятся из равенства (см. [14], стр. 133).
ту I ____7 Т1 I _1_ Х7 Т1 I Т1 т, гр l^ т /о о
Кijk = ^Т'-к + Vj Т'-к Т'-т Т'-к + ТшТ'-к. (3. 2)
Тензор Риччи Кгс имеет локальные компоненты
Д._ 7~& gt- k _ ~7 гр к ^ гр k гр к^ I, гр 1 т k /о о
ij := Кк'- = viТ к'- - Vk — + Т'-к. (3. 3)
Для многообразий Вейтценбека класса р. имеем Т € СТОЛ3М и тогда из (3. 3) последует
р р k 7Т'-^^Т'- 1т1 k
Кij := Кк'- = V k+ Т'-к.
Откуда в случае положительно определенной метрики имеем Кгс (Х, X) = д (Т (X), Т (X)) & gt- 0 или подробнее в координатной форме
К'-X'-Х'- = - (VkTijk)XiXj + Т^Т^XiXj = (^Хi)(TjklXj) & gt- 0
для произвольного X € СТОТМ. Первое слагаемое -(VkТ'- k) Х'-Х'- в данной формуле обратится в нуль, так как Т'- кососимметричен по всем индексам, а свертка с — (VkТ'- k) с Х'-Х'- предполагает симметрирование по индексам г и, второе слагаемое это квадрат тензора Т^Х'-, который больше или равен нулю, если метрика положительно определена.
Справедлива
Теорема 1. Если многообразие Вейтценбёка (М, д, V) является многообразием класса р. с положительно определенной метрикой д, то кривизна Риччи риманова многообразия (М, д) неотрицательная.
Согласно формулам (3. 1) и (3. 2) тензор кривизны К риманова многообразия определяется через тензор кручения Б связности V многообразия Вейтценбека (М, д, V).
Заметим, что в силу (3. 1), условия Т € СТОЛ3М и Б € СТОЛ3М равносильны. Поэтому справедливо Следствие. На римановом многообразии (М, д) с положительно определенной метрикой д и отрицательной кривизной Риччи не существует связностей Вейтценбека с кососимметричным ковариантным тензором кручения.
3.3. Для многообразия Вейтценбека (М, д, V) класса р2 связность V является полусимметрической (см. [14], стр. 152) и мы имеем Tkij = ду^ - дь^'-, где ^ = п. Т^к. Тогда (3. 2) имеет вид
К'- к = - ^д^к — д'-^г) + ^ (^д^к — д'-к^О-
-(^д^ш — д'-тМ)(^ш^ы — gjk ^т) + (^^т — д^ш^Н^^к — gik & lt-^т) = выполнив преобразования, получим
= - д^^^к + д'-к Vi ш1 + gilVj & lt-^к — gik Vj ^ - д"^- & lt-^к + д'- ^^к+
+gil д'-к (^т^т) — д'-к & lt-^ш1 + д'-^^'-^к — д'- ^^к — д'-^к^т^^ + д'-к ^ ш1 =
далее сгруппировав, замечаем закономерность
1
— - gjl (ViWk — WjWfc + 2 gik wm^m) + gjk (ViWl — + 2 9U +
+gii (Vj — + 2) — gik (Vj — wj + 2 gji^m^™) —
обозначив содержимое скобок через w с двумя индексами, получим
— - gjlwik + gjk wil + gilwjfc — Й^А^Ъ
где Wji — VjWi — Wj Wi + 1 gji Wmwm.
В этом случае тензор Риччи имеет вид
Rjk Rljk gjfc (g'- wil) + (n 2) wjk,
откуда
Wjk — n-2(Rjk — 2(n — 1) Rgjk)
для скалярной кривизны Д многообразия (M, g). В итоге
Rjjki n 2(gjiRjk + gjkRji + gjiRjk gjkRji)+
+ 2(n 1)(n 2) (gjigjk — gjkgji — giigjk + gjkgji)
или
1R
Rjjki n 2 (gjiRjk gjkRji + gjkRji gjiRjk) + (n i)(n 2) (gjigjk gjigjk). (3. 4)
Выражение (3. 4) означает равенство нулю тензора Вейля W многообразия (M, g) (см. [16], стр. 115). Доказана
Теорема 2. Если многообразие Вейтценбёка (M, g, V) принадлежит классу р2 и dim M & gt- 4, то рима-новое многообразие (M, g) конформно плоское.
Справедливо
Следствие. На n-мерном (n & gt- 4) римановом многообразии (M, g) нельзя задать полусимметричную связность Вейтценбека V, если (M, g) не является конформно плоским.
3.4. В заключение рассмотрим многообразие Вейтценбека (M, g, V) класса рз. В этом случае
Tkjk — 0- Tjjk + Tjfci + ibj — 0. (3. 5)
и, следовательно, в силу (3. 5) и (3. 3)
Д : — Rijgij — VіTbfc — VfcTjik — T^Tjl + TjTik — T^ - TijfcTkij —
— 1(T-_ T-.,)Tkij — i (- T-, ¦ - T& gt- • • - T-,)Tkij — -1T, ¦ Tkij
— 2^Tijk T — 2^ Tjki Tkij T — 2TkijT.
Значит, для многообразия Вейтценбека (M, g, V) класса рз с положительно определенной метрикой g скалярная кривизна Д риманова многообразия (M, g)
Д — - 2IITу2 & lt- 0. (3. 6)
Доказана следующая
Теорема 3. Если многообразие Вейтценбёка (M, g, V) с положительно определенной метрикой g принадлежит классу рз, то риманово многообразие (M, g) имеет неположительную скалярную кривизну R & lt- 0.
Из (3. 6) следует, что условие R = 0 означает V = V. Поэтому справедливо Следствие. На римановом многообразии (M, g) с положительно определенными метрикой и скалярной кривизной нельзя задать связность Вейтценбека V класса рз.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Aldrovandi R., Pereira J.G., Vu K.H. Selected topics in teleparallel gravity // Brazilian J. Ph. 2004. V. 34. P. 1374−1380.
2. Barua B., Ray A.K. Some properties of semi-symmetric connection in Riemannian manifold // Ind. J. Pure Appl. Math. 1985. V. 16. № 7. P. 726−740.
3. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relative generalisee. Part I // Ann. Ec. Norm. 1923. V. 40. P. 325−412.
4. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relative generalisee. Part I // Ann. Ec. Norm. 1924. V. 41. P. 1−25.
5. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relative generalisee. Part II // Ann. Ec. Norm. 1925. V. 42. P. 17−88.
6. Fernandez O.E., Bloch A.M. The Weitzenbock connection and time reparameterization in nonholonomic mechanics // J. of math. physics. 2011. V. 52. 12 901.
7. Hayashi K., Shirafuji T. New general relativity // Phys. Rev. D. 1979. V. 19. P. 3524−3553.
8. Muniraja G. Manifolds admitting a semi-symmetric metric connection and a generalization of Shur’s theorem // Int. J. Contemp. Math. Sciences. 2008. V. 3. № 25. P. 1223−1232.
9. Trautman A. Einstein-Cartan theory // Encyclopedia of Mathematical Physics. Elsevier, Oxford. 2006. V.
2. P. 189−195.
10. Yano K. On semi-symmetric metric connection // Rev. Roum. Math. Pure Appl. 1970. V. 15. P. 1579−1586.
11. Гордеева И. А., Паньженский В. И., Степанов С. Е. Многообразия Римана-Картана // Итоги науки и техники (совр. мат-ка и ее прил-я). М.: ВИНИТИ РАН, 2009. Т. 123. С. 110−141.
12. Гордеева И. А., Степанов С. Е. Псевдокиллинговы и псевдогармонические векторные поля на многообразии Римана-Картана // Мат. заметки. 2010. Т. 87 № 2. С. 267−279.
13. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. М.: Наука, 1981. 344 c.
14. Норден А. П. Пространства аффинной связности М.: Наука, 1981. 463 c.
15. Четырехмерная риманова геометрия: Семинар Артура Бессе 1978/79. М.: Мир, 1985. 323 c.
16. Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. М.: ИЛ, 1948. 316 c.
17. Яно K., Бохнер C. Кривизна и числа Бетти. M.: ИЛ, 1957. 152 c.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой