О некоторых нелинейных уравнениях, которые встречаются в математических моделях явлений природы

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Естественные и точные науки
• • •
21
УДК 517. 946
О НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ уравнениях, КОТОРЫЕ ВСТРЕЧАЮТСЯ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЯХ ЯВЛЕНИЙ ПРИРОДЫ
(c)гоюзайнулабидов М.М., Зайнулабидова З. М.
Дагестанский государственный педагогический университет
В статье исследованы нелинейные уравнения, имеющие приложения в механике и электродинамике.
The authors of the article research some nonlinear equations with applications in the mechanics and the electrodynamics.
Ключевые слова: уравнение Абеля, задача Коши, Дарбу и Гурса.
Keywords: Abel’s equation, Cauchy, Darboux and Goursat problem.
Математическое описание многочисленных явлений природы, например, задача определения расстояния между движущимися по разным путям объектами или задача действия тока на ток в электродинамике [3] сводится к необходимости нахождения решений нелинейных уравнений вида:
UUxy+UxUy=f (x, y) (1)
UUxrUxUy=f (x, y), (2)
где U=U (x, y) — искомая, a f (x, y) — заданная функции переменных х и у.
Поэтому проблема поиска корректно поставленных начально-краевых задач для уравнений (1) и (2) представляет определенный научнопрактический интерес.
Настоящая заметка посвящена исследованию этой проблемы.
Легко заметить, что уравнение (1) можно переписать в виде неоднородного уравнения Даламбера в характеристических координатах относительно неизвестной функции U2(x, y), то есть в виде
d2U2
-----= 2f (pc, y), общее решение ко-
дхду
торого, как известно, имеет вид:
U2(x, y) =
х У ,
2j dsJ f (s, t) dt + gj (x) + g2(y)
О О
(3)
где g-i и д2 — произвольные функции, такие что L/2(0,0)=g1(0)+g2(0).
Следовательно, для (1) корректно поставлены классические задачи Коши, Гурса, Дарбу и их решения могут быть выписаны в явном виде.
Представление решения U (x, y) типа (3) для уравнения (2) вызывает затруднения, хотя некоторые полезные сведения о его решении можно получить.
Так как в большинстве случаев в приложениях U (x, y) выражает положительную функцию, то решение уравнения (2) можно искать в виде U (x, y)=expV (x, y), в результате чего оно сведется к уравнению:
Vxyexp2V=f (x, y) (4)
относительно неизвестной функции V (x, y).
Дифференцируя, например, по переменной х, перепишем (4) в виде, эквивалентном (4) в смысле разрешимости, уравнения третьего порядка
22
• • •
Известия ДГПУ, № 2, 2010
А*, УХ^'- + 2КУ"Уу"Г (х, У) = 0 ^
f (x, y)* 0. (5)
Для произвольной функции f (x, y) уравнение (5) навряд ли проще (4). Однако при f (x, y)=f1(x)f2(y) оно проще (4) и может быть переписано в виде уравнения:
-lirnh+r---vjn. x)}=о, кою-
ду
рое эквивалентно хорошо изученному [см., напр. 2] обыкновенному нелинейному дифференциальному
уравнению
V"+Vx2-VJ (x) = g (x), (6)
где д (х) — произвольная функция,
/(ХШХ) = /ЛХ),
Очевидно, решение (6) будет зависеть от произвольной функции переменной у, которая должна быть подобрана так, чтобы это решение было и решением (4).
Например, при f (x)=0, то есть когда /г (х) = а = const и д (х)= 0, всякое решение (6) имеет представление V (x, y) = ln{Cl (y)[x-C (y)]}, (7)
где С (у) и Ci (y) — произвольные функции, такие, что функция V (x, y) действительна.
Требуя удовлетворения (7) уравнению (5) при f (x, y) = ctf2(y), получим, ЧТО С (у) И Ci (y) должны быть связаны соотношением
Cy) C2l (y) = af2(y).
Следовательно, из всех решений (7) уравнения (6), когда д (х)=0, реше-
ниями (4) являются только решения, представимые в виде:
V (x, y) = In QOO
х-а
• fM) di
Cl it)
где b — произвольная постоянная, а Ci (y) — произвольная функция.
Наряду с (1) и (2) представляет научный интерес исследование нелинейных уравнений вида а)
UUxyUxUy=UU2f (x, y) и б)
UUXy UxUy=ULIxf (x, y), где f (x, y) — заданная и U (x, y) — искомая функции.
Соответственно знакам плюс и минус, уравнения а) эквивалентно сводятся к линейным и хорошо изученным уравнениям Vxy-2Vf (x, y)=0 и Wxy=f (x, y) относительно неизвестных функций V (x, y)=U2(x, y) и
W (x, y)=nU (x, y).
Решения уравнений б) имеют представление
У (х, у) =
х (у Л
jViO) exp jf (s, t) dt ds + g2(y)'
(8)
о V о У
где gi (x), д2(у) — достаточно гладкие произвольные функции, а V (x, y)=U2(x, y) и V (x, y)=nU (x, y) соответственно знакам плюс и минус.
Используя (8) как формулу общего решения уравнения б) без особого труда можно показать корректность постановки классических задач Коши, Гурса, Дарбу для этих уравнений и выписать их решения в явном виде.
В заключение отметим, что основные результаты настоящей заметки в тезисном порядке изложены в [1].
Примечания
1. Зайнулабидов М. М., Зайнулабидова 3. М. О некоторых нелинейных уравнениях, имеющих многочисленные приложения // Материалы международной научной конференции ДГУ. Махачкала, 2009. С. 120. 2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. С. 576. 3. Лоренц Г., Шереметовский В. Элементы высшей математики. T. 2. М" 1926. С. 528.
Статья поступила в редакцию 26. 03. 2010 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой