О некоторых свойствах J-аналитических функций

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 2
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ 3-АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
© 2013 В.Г. Николаев1
Изучены свойства 2-вектор-функций, аналитических по Дуглису. Доказаны три вспомогательные теоремы, на основании которых приведен общий алгоритм построения примеров неединственности однородной задачи Шварца в виде квадратичных форм.
Ключевые слова: матрица, собственное число, собственный вектор, голоморфная функция, квадратичная форма, векторный полином.
1. Предварительные сведения
Настоящая статья посвящена исследованию свойств 2-вектор-функций, аналитических по Дуглису (Бо^Ив) [1].
Ниже для краткости будем обозначать фх и фу частные производные функции ф (х, у) по х и по у соответственно.
Определение 1.1. Обозначим. произвольную п хп-матрицу, среди собственных чисел которой нет вещественных. Комплексную п-вектор-функцию ф (х, у) назовем. -аналитической, или аналитической по Дуглису с матрицей. в области С С И2, если
| -. дФ =0, (х, у) € С. (1. 1)
В скалярном случае при. = А, 1 т, А = 0 функцию ф (г), удовлетворяющую в области С С И2 соотношению фу — А • фх = 0, назовем А-голоморфной. При, А = I она совпадает с обычной голоморфной функцией.
Определение 1.2. Будем говорить, что функция ф (г) соответствует матрице ., если для них выполнено (1. 1).
Замечание 1.1. Если а, в — константы, С — вектор-константа, а функции ф (г) и ф2соответствуют матрице. 1, то функция ф (г) = аф + вф2 + С будет соответствовать той же матрице. Это вытекает из (1. 1).
Хорошо известно, что условия (1. 1) достаточно для аналитичности функции ф (г). При этом даже не нужно требовать непрерывности ее первых частных производных.
хНиколаев Владимир Геннадьевич (vg14@inbox. ru), кафедра алгебры и геометрии Новгородского государственного университета, 173 003, Российская Федерация, г. Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, 41.
2. Вспомогательное утверждение
Имеет место
Теорема 2.1. Для произвольного комплексного числа л Ф И. существует такая непостоянная вещественная функция и (х, у), что комплексная функция иу — - л • их является голоморфной. При л = -г функция и (х, у) есть полином не выше 2-й степени, квадратичная часть которого единственна с точностью до вещественного множителя.
Разумеется, линейная часть и (х, у) не единственна.
Доказательство разобьем на три пункта. Пусть л = кг+г, к = 0. Обозначим
иу — (кг + г) • их = р + гя, (2. 1)
где и (х, у) — вещественная функция- р + г, д — комплексная функция.
1°. Пусть л = -г. Тогда р + гя в (2. 1) будет голоморфной для произвольной гармонической функции и (х, у), что следует из формул (2. 4) или (2. 5) ниже. Поэтому при л = -г единственности нет.
2°. Пусть л = -г, то есть (к, г) = (- 1,0), к = 0. Предположим, что вещественная функция и (х, у) и голоморфная р + г, д = /(г), удовлетворяющие (2. 1), существуют и определены в некоторой односвязной области О. Это в силу (2. 1) означает, в частности, что и (х, у) — аналитическая в О функция.
Докажем, что и (х, у) — полином второй степени. Выпишем реальную и комплексную части уравнения (2. 1):
иу — гих = р- -ких = д. (2. 2)
Следовательно,
I & lt-У1 — 01 _ Т11 '- п — - /-«'-•& gt-/
(2. 3)
рх иху гихх- ду киху,
хх
рУ иУУ гиху- дх ких
Поэтому с учетом условий Коши — Римана
рх = Яу, ру = -Ях, (2. 4)
которым удовлетворяет голоморфная функция /(г) = р + гд, из (2. 3) вытекает,
что
Из (2. 2) имеем:
(1 + к) иху — гихх = 0, гиху кихх + иуу — 0.
: — 1 Я (x, y),
г
г • их + р (х, у) = - кЯ (х, у)+ р (х, у).
(2. 5)
(2. 6)
Применяя к (2. 6) условие замкнутости (иу)'-х = (их)'-у, получаем:
г1
— кЯх + рх = - к Яу, т. е. — гдх + крх = -Яу.
Отсюда в силу соотношения рх = яу — см. (2. 4) — имеем равенство -гях + + кЯу + Яу = 0, или
(к + 1) Яу — г • Ях = 0. (2. 7)
Выражение (2. 7) — это линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка относительно вещественной функции Я (х, у). Как известно, его общее решение имеет вид
Я (х, у) = ф (гу + (к + 1) х), (2. 8)

и
х
и
у
где ф (?) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Причем функция д (х, у), являясь мнимой частью голоморфной I (г), будет гармонической, то есть по определению цхх + цуу = 0. Это равенство с учетом (2. 8) означает, что
[(к + 1)2 + г2] • ф'-'- = 0, (х, у) е С (2. 9)
(производная ф'-^ существует в силу (2. 8) и равенства ц = 1тI (г)).
Так как по условию п. 2° (к, г) = (- 1, 0), то в силу (2. 9) = 0 в области С, откуда функция ф (?) линейная. Поэтому на основании (2. 8) функция д (х, у), а следовательно и I (г) = р + гц, тоже линейные. При этом линейная часть I (г) единственна с точностью до вещественного множителя. Отсюда с учетом (2. 2) следует, что вещественная функция и (х, у) в (2. 1) — полином не выше второй степени, квадратичная часть которого определена с точностью до множителя.
Чтобы получить формулы для коэффициентов квадратичной формы и (х, у), надо подставить выражение и = ах2 + 2сху + Ьу2 в систему (2. 5). Приведем конечный результат:
при к = -1, г — произвольном:
2 2 г (г2 + к2 + к) 2 ,
и (х, у) = х2 + - ху — к & gt- у2 — (2. 10)
при к = -1, г = 0:
и (х, у)=2ху + гу2. (2. 11)
Можно показать, что квадратичная форма (2. 10) при к & gt- 0 положительно определена.
3°. Существование вещественной функции и (х, у) и голоморфной р + гц, для которых верно (2. 1), вытекает из (2. 4), (2. 10), (2. 11). Тем самым теорема 2.1 доказана.
3. Функции с линейно зависимыми компонентами вещественной части
В этом пункте рассмотрим аналитические по Дуглису 2-вектор-функции ф (г), обладающие свойством Ие ф (г) = (а • I, в • I), где а, в — некоторые вещественные числа. При этом хотя бы одно из них будем считать ненулевым. В теореме 4.1 будет доказано, что такие функции существуют.
Замечание 3.1. В [2] показано, что если, а = в = 0, то есть при Ие ф (г) = 0, функция ф (г) будет векторным полиномом. Также этот случай изучался в [3].
Теорема 3.1. Пусть функция ф (г) является аналитической по Дуглису в од-носвязной области С с нетреугольной 2×2-матрицей ., имеющей комплексные собственные числа А, ^? И, А =
Для вещественных а, в обозначим:
С а, в = 0- С0 У0в), а = 0, в = 0. (3. 1)
При, а = 0, в = 0 положим С = Е. Тогда:
1) если Ие ф (г) = (а • I, в • I) и матрица Л'- = СЛСнетреугольная, то ф (г) есть векторный полином не выше второй степени-
2) если Ие ф (г) = (I, 0), или Иеф (г) = (0, д), то матрица Л'- нетреугольна, а квадратичная часть ф (г) единственна с точностью до вещественного множителя.
Замечание 3.2. Матрица С подобрана из условия Ие (Сф) = (I, 0).
Доказательство. 1) Пусть матрица J'- = CJC 1 нетреугольная. С учетом (1. 1) равенство
(Сф)у — CJC-1(Сф)х = 0 (3. 2)
означает, что функция Cф (z) будет аналитической по Дуглису с матрицей J'- = = CJC-1. Обозначим ее снова ф (z), то есть пусть фу — J'- • фх = 0. При этом в силу замечания 3. 2
ф (7) (f (х, У) + i9i (x, V) (33)
ф (^={ 0 + ig2(x, y) J. (33
Очевидно, что п. 1) достаточно доказать для функций ф (z) вида (3. 3) и матрицы J '-.
1a) Пусть одно из собственных чисел J'- равно X = i, а второе л = -i, Im л = 0 произвольное.
Обозначим y = (b, 1) — собственный вектор матрицы J'-, соответствующий ?. Здесь b = 0, так J'- нетреугольная. Пусть также вектор x = (1,0). В силу нетре-угольности J'- он не может быть собственным, поэтому J'-x = Xx + Zy, Z = 0-
J'-y = ?y.
Таким образом, в базисе
B = (x, y)=(j Ь) (3. 4)
матрица Ji = B-1J'-B оператора J'- имеет вид
J1 = XZ ?0 = Zi ?0
(3. 5)
то есть Л = г, так как матрицы и Jl подобны и поэтому имеют одинаковые собственные числа.
Далее, поскольку = В. Е-1 и фу — • фх =0, то
(В-1ф)у —. 1(В-1ф)х = 0. (3. 6)
С учетом (3. 3) и (3. 4)
B-i*& lt-z>-=(: i)(f +7)=(t1).
Тогда (3. 6) с учетом (3. 5) и (3. 7) можно подробно расписать в виде
(Г)у — (Гл)(& quot-2)хZ = ^
(3. 7)
(3. 8)
Ыу — ?Ых = -- R (z) = - R'- (z), (3. 9)
Согласно первой строке (3. 8) функция Я (г) будет голоморфной (по определению 1. 1). Вторая строка после деления на г примет вид
~~ГЯ (г) = -
г ах г
где функция д2(х, у) вещественная, а функция Я'-(г) голоморфная.
Таким образом, с учетом (3. 9) и теоремы 2.1 функции д2(х, у) и Я (г) в (3. 7) будут полиномами не выше второй степени (кроме случая ц = -г). Отсюда в силу (3. 7) ф (г) также есть векторный полином степени два.
В п. ограничение на собственные числа было сделано для того, чтобы применить теорему 2.1. Но теперь избавимся от него.
1Ь) Собственные числа Л = Ах +А2г, М = 0 и? л = А нетреугольной матрицы 1'-.
Рассмотрим линейную обратимую подстановку
х = XI — у1, у = -1 у1. (3. 10)
Л2 Л2
Несложно показать, что функция ф (х, у), аналитическая по Дуглису с матрицей 1'-, в результате преобразования (3. 10) становится функцией фх = ф (х1,у{), удовлетворяющей (1. 1) уже с матрицей 1* = ^(1'- - ЛхЕ). При этом ф (г) и фх (г) одновременно имеют вид (3. 3). Матрица 1 * останется нетреугольной, а ее собственными числами будут г и некоторое п = -г¦ Отсюда в силу п. 1а) и обратимости (3. 10) вытекает, что утверждение п. 1) верно и для произвольных собственных чисел, А = ~р.
2) При, а = 0, в = 0 матрица 1'- = С 1С-1 будет нетреугольной — проверяется ее вычислением (так как 1 по условию теоремы нетреугольная). Тем более это верно для, а = 0, в = 0 — тогда 1'- = 1. Поэтому утверждение п. 1) справедливо для функций ф (г) со свойством Ие ф (г) = (/, 0) или Ие ф (г) = (0, д).
Рассмотрим случай Иеф (г) = (?, 0). Пусть ф1(г) и ф2(г) — две разные векторные квадратичные формы вида (3. 3), соответствующие одной и той же нетреугольной матрице 1.
Поскольку квадратичная форма д2(х, у) в силу (3. 9) и теоремы 2.1 определена с точностью до вещественного множителя, то при некотором реальном? имеем: фз (г) = фх + ?ф2 = (Ъ (х, у), 0). В силу замечания 1.1 фз (г) будет аналитической по Дуглису с той же самой матрицей 1. Подставив фз (г) в (1. 1), получим 2 х х 2-систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно переменных Нх, Ну. Ее определитель не равен нулю в силу нетреугольности 1, поэтому Ъ-х = Ъу = 0. Следовательно, фз (г) есть вектор-константа. Таким образом, квадратичные формы фх (г) и ф2(г) отличаются на константу, что и требовалось.
Для случая Иеф (г) = (0,д) нужно использовать формулу (3. 2), где матрица С имеет вид (3. 1) при, а = 0, в = 0. Теорема 3.1 доказана.
Замечание 3.3. В п. 1) приведенного выше доказательства было существенно использовано условие нетреугольности матрицы 1'-. Однако при, а = 0, в = 0 она может быть верхнетреугольной (то есть элемент а'-21 = 0). В этом особом случае п. 1) не верен.
Приведем контрпример. Пусть в (3. 1) а = в = 1,
1 = (1 — 1 2---1) — С = (1 -0) — ф (г) = (?).
где п = 1, 2, 3,… Матрица 1 имеет собственные числа, А = г и? л = 2 г. При этом матрица 1'- = С 1С-1 имеет элемент а21 = 0. Здесь Иеф (г) = (Иегп, Иегп) для произвольного п, что противоречит утверждению п. 1) теоремы 3.1.
Замечание 3.4. Если функции ф1 (г), где Иеф1 = (/, 0), и ф2(г), где Иеф2 = = (0,д), соответствуют одной и той же матрице 1, то квадратичные формы ] и д могут быть разными. В качестве доказательства приведем
Пример 3.1. Пусть
_г 8) (5×2 + 3у2 — 1 + 6хуг (0+(х& quot- + 3у2) г
(-г 8), (5×2 + 3у2 — 1 + вхуг (
5г), ф1={ 0 + х + 3у2) г), ф2=- ^ - + хуг,
Здесь матрица 1 имеет собственные числа, А = г, ?л = 3 г.
Таким образом, если две функции фз (г), Ивф3 = (а • I, в • I), и ф4(г), Ив ф4 = ('-У • д, 5 • д) соответствуют некоторой матрице где все числа а, в, 1,5 — ненулевые, то фз (г) и ф4(г) могут не быть линейно зависимыми. Для построения контрпримера нужно к функциям ф1, ф2 и к матрице. из примера 3.1 применить преобразование (3. 2), где С — произвольная неособая вещественная матрица без нулевых элементов.
4. Алгоритм построения контрпримеров к задаче Шварца
Как известно, однородная задача Шварца [2- 3] состоит в следующем. Обозначим Г границу ограниченной односвязной области G С R2. Для данной матрицы J надо найти соответствующую ей вектор-функцию ф (г), аналитическую в G и обладающую свойством Re ф (г)|г = 0.
Очевидно, что функция ф (г) = 0 + iC = const будет решением этой задачи. Однако построенный в пункте 3 пример 3.1 показывает, что она не всегда является единственным ее решением. Действительно, Re Ф1 (z) |г =0 на эллипсе Г: 5×2 + 3y2 = 1, но ф1(г) = const.
Для получения общего алгоритма построения таких примеров докажем следующее утверждение, которое вытекает из теоремы 3.1.
Теорема 4.1. Пусть нетреугольная 2×2-матрица J имеет комплексные собственные числа А, л ^ R, А = и пусть а, в — вещественные числа. Тогда для каждого из трех случаев: 1) а = 0, в = 0- 2) а = 0, в = 0- 3) а, в = 0 существуют соответствующие матрице J векторные квадратичные формы ф (г) со свойством Re ф = (а ¦ f, в ¦ f).
Доказательство. 1) Рассмотрим случай Re ф = (f, 0). Пусть сначала, А = = i и ц = ki + r = -i. Найдем y = (b, 1) — собственный вектор матрицы J, соответствующий ??. Образуем по формуле (3. 4) базис B оператора J. Найдем коэффициент Z = 0 матрицы Ji = B-1JB вида (3. 5).
Вычисления показывают, что если
(aii ai2 А
V a21 a, 22) '-
т I11 ^12 т a12 м
J =, то b =-, Z = a2i.
& quot-"- ?л — aii
Построим по формулам (2. 10) или (2. 11) вещественную квадратичную форму д2(х, у) = и (х, у) для данных к, г. Подставив д2(х, у) в левую часть (3. 9), запишем получившееся выражение в виде
а1(х + гу) = а1 г = ^Я'- (г), где а1 — комплексное число. Отсюда
2
Я (г) = О?-.
У '- 2 С
Тогда согласно (3. 4) и (3. 7) окончательно имеем:
*х»)=в (В-1Ф) = (1 '-) = (1. (4. 1)
Функция (4. 1) будет аналитической по Дуглису с данной матрицей при этом Ивф (г) = (I, 0). Для произвольного Л = Л1 + Л2г нужно использовать преобразование (3. 10).
Случаи 2) и 3) сводятся к предыдущему, если положить
с J), а = 0, в = 0 — CJ J), а, в = 0
и затем использовать (3. 2). Теорема 4.1 доказана.
Схема приведенного доказательства дает общий алгоритм построения примеров неединственности однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм.
Действительно, пусть для некоторой матрицы J построена соответствующая ей векторная квадратичная форма ф (г) вида (4. 1). При этом оказалось, что функция f (x, y) в (4. 1) есть положительно определенная и неособая квадратичная форма. Тогда функция ф (г) = ф (г) — (J, 0) будет согласно замечанию 1.1 соответствовать той же матрице J, но при этом ReФ1 (z)|г =0 на эллипсе Г: f (x, y) = J. Таким образом, будем иметь пример неединственности однородной задачи Шварца, так как ф1(г) = const. Очевидно, что его можно построить не для всех матриц.
Следует отметить, что тип квадратичной формы f (x, y) в (4. 1) после применения (3. 10) и обратного к нему не изменится. Из теорем 2.1 и 3.1 вытекает, что этот тип определен однозначно. В связи с этим предлагается ввести следующую классификацию 2×2-матриц по квадратичным формам.
Определение 4.1. Будем говорить, что матрица J € Sw+, если функция f (x, y) в (4. J) есть положительно (отрицательно) определенная и неособая квадратичная форма. Если f — знакопеременная форма, то J € Sw_. Если f = (ax+by)2, то J € Swo.
Отметим, что в соответствии с такой классификацией в примере 3.1 матрица J € Sw+.
Заключение
В статье изучены некоторые свойства 1-аналитических вектор-функций, соответствующих нетреугольным 2×2-матрицам. Основным ее результатом является алгоритм построения векторных полиномов второй степени, которые соответствуют произвольным матрицам и реальные части которых линейно зависимы. На основании данного алгоритма выделен класс 2×2-матриц, обозначенный Sw+, для которых нет единственности однородной задачи Шварца.
Литература
[1] Солдатов А. П. Функции, аналитические по Дуглису. Великий Новгород: Изд-во НовГУ, 1995. 195 с.
[2] Солдатов А. П. Задача Шварца для функций, аналитических по Дуглису // Современная математика и ее приложения. 2010. Т. 67. С. 97−100.
[3] Николаев В. Г. Об одном преобразовании задачи Шварца // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2012. № 6(97). С. 27−34.
Поступила в редакцию 21/777/2013- в окончательном варианте — 21/777/2013.
ON SOME PROPERTIES OF J -ANALYTICAL FUNCTIONS
© 2013 V.G. Nikolaev2
The properties of 2-vector-valued functions analytic in Douglis are studied. Three auxiliary theorems, on the basis of which the general algorithm of constructing examples of not-uniqueness homogeneous problem of Schwartz in the form of quadratic forms is reduced to are proved.
Key words: matrix, eigen number, eigen vector, holomorphic function, quadratic form, vector polynomial.
Paper received 21/1/7/2013. Paper accepted 21/777/2013.
2Nikolaev Vladimir Gennadievich (vg14@inbox. ru), the Dept. of Algebra and Geometry, Novgorod State University, Veliky Novgorod, 173 003, Russian Federation.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой