О некоторых свойствах функций из класса n (e)

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009
Математика и механика
№ 3(7)
УДК 512. 541
Э.Г. Кирьяцкий
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССА Сп (Е)
В данной работе изучаются свойства голоморфных в единичном круге E функций, разложение которых в степенной ряд начинается с zn, имеющих в единичном круге положительную вещественную часть п-й производной.
Ключевые слова: голоморфная функция, разделенная разность, класс Ка-ратеодори, класс Левандовского, оценки коэффициентов.
Через Сп (Е), п & gt- 0, обозначим класс голоморфных в единичном круге Е (т.е. в круге |г| & lt- 1) функций Г (г) вида
При п = 0 получим класс Каратеодори [2, 4]. Если п = 1, то имеем класс однолистных в Е функций с ограниченным вращением [3, 4].
В данной работе изучаются различные свойства функций вида (1) из класса Сп (Е), где п & gt- 0. Мы устанавливаем признаки принадлежности функций к классу Сп (Е), оцениваем модули коэффициентов разложения в степенной ряд, модули и действительные части этих функций. Устанавливаем так называемую теорему покрытия, относящуюся к образу круга Е при отображении этого круга любой
функцией из класса Сп (Е), п & gt- 0. Кроме того, находим радиусы тех окружностей |г| = г & lt- 1, которые отображаются функциями из класса Сп (Е), п & gt- 0, на выпуклые и звездообразные замкнутые кривые.
1. Определим разделенную разность п -го порядка голоморфной в Е функции Г (г) формулой [1, 5]
где Г — простой замкнутый контур, лежащий внутри круга Е и охватывающий все точки z0,…, zn е Е.
Так как Е есть выпуклая область, то формулу (2) можно заменить формулой
1Ч *п-
(1)
к=2
для которых выполнено условие Яе{^(г)} & gt- 0 при любом 2 е Е [1].
00 0
где
С = 20 + Ч (21 — 20) + ••• + (- 2п-1)е Е, 0 & lt- ь & lt- 1,0 & lt- 12 & lt- & lt- 1п & lt- (п_!,
причем среди точек z0zn е Е могут быть совпадающие между собой точки [1, 5]. В частности, если z0 = z1 = • •• = zn = Ъ, то
[р) — р (п) (5).
П!
Лемма 1. Если Г (2) е Сп (Е), то Яе[Р (г)-гп ] & gt- 0, Vz0zn е Е. Действительно, пользуясь условием леммы 1 и формулой (3), имеем
1Ч *п-
Яе [ (г) — 2о]= Л". | Яе Р (п) (С)сИ1. Жп & gt- 0.
0 0 0
Лемма 2. Если Е (2)е Сп (Е), п & gt- 1, то [[ (2) — г, гх ]е Сп-1 (Е) при любом фик-
Р (2) ~
сированном г1 е Е. В частности, -е Сп-1 (Е).
2
В самом деле, если Е (2) е Сп (Е), то, согласно свойствам разделенных разностей и лемме 1, имеем Яе[[(г)-г, г1 ]-г2гп+1] = Яе[(г)-г1,г2ги+1]& gt-0 при любом г1 е Е и любых г2zn+1 е Е. Но тогда [[(2)-2,г1]е Си-1 (Е). Положив
Р (*)
2,
1 = 0, получим [[(г)-г, 0] = 4 ' є Сп-1 (Е).
г
Используя лемму 2, приходим к следующему утверждению.
Е (г) ~
Теорема 1. Если Е (2) є Сп (Е), п & gt- 1, то -Сп-к (Е), 0 & lt- к & lt- п.
г
Исходя из определения класса Сп (Е), легко установить также теорему.
Теорема 2. Для того чтобы функция Ґ (г) принадлежала классу Сп (Е), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 1
п (п -1)… (п — т +1) Теорема 3. Если п & gt- 1 и
Р (И) (2) Єп-ш (Е) & gt- Где 1 ^ т
Р (г) = гп + X ак, пгп+к — € Ся (Е), к=2
то справедливы неравенства
(к — 1)!п!2 (п + к -1)!
ак, п, А.' к=2& gt-3'-- ()
ІЛ & lt- 1| р («) (2) & lt- ІИ, у| 2| = г & lt- 1- (5)
1 + г пIі 1 1 _ г
1 Г & lt- - Яе Р (л) (г) & lt- ^г = г & lt- 1- (6)
1 + г п! 1 _ г
г» + І (-І)*& quot-'- г-*-. г) & lt- г& quot- + І г& quot-**-!, УИ = г & lt- 1. (7)
к=2 («+к-1)! *=2 («+к -1)!
Знаки равенства в (4) — (7) реализуются функцией
Нп (2- 0) = егя6Нп (2е-г'-6) при надлежащем выборе 0, 0 & lt- 0 & lt- 2п, где функция Нп (г) определена формулой
Нп (г) = г» + ± ((-1,)!Я1) *П+к-. (8)
к=2 («+ к-1)!
причем Нп (г- 0) е Сп (Е).
Для доказательства воспользуемся теоремой 2, где возьмем т = п. Тогда получим
Ф () = Р ()е ^0(Е), п!
т. е. функция ф (г) принадлежит известному классу Каратеодори [2, 4]. Учитывая
свойства функций из этого класса, легко получаем (4), (5) и (6). Правую часть неравенства (7) получим интегрированием правой части неравенства (5) по г вдоль
отрезка, соединяющего точки г = 0 и г = гг'-^. Левую часть неравенства (7) получим интегрированием левой части неравенства (6) по г вдоль отрезка, соединяющего точки г = 0 и г = гг'- ^ с последующим учетом того, что
Яе Р (г) & lt- |Р (г)|, У г е Е. Далее, легко убедиться в том, что
1 1 I -/и0_ 1 1. _ 0
1 /и0 тт (и) (-/и0 1 + е 2 1 ^ тт (п) { л Г& gt- А V/ 77
-е Н и Ме 2) =-г-3- и -Яе Н П — 2В) = Яе-----------------& gt- 0, чг е Е.
п V / 1 -/и 0 п ' /. -10 '
п! 4 — 1 — е 2 П! 1 — 2в
Значит, Нп (2−0) е Сп (Е). Отсюда легко следует, что функция Нп (г-0) реали-
зует знаки равенства в (4) — (7).
Лемма 3. Имеют место следующие формулы:
И (1) = 1 +,. * 2 — (9)
к=2 («+ к-1)! п -1
(-1)» Нп (-1) = 1 + 2? (к — 1)!п!(-1) = п2п Г 1п2-?_!_), п & gt- 1. (10)
?2 (п + к -1)! I? к2к J '- '-
Доказательство. Согласно формуле (8), имеем
X 1 + 7
И1 (г) = 1 + 2? гк-1 =--------, Уг е Е.
к=2 1- 7
Пусть п & gt- 2. Интегрируем п раз вдоль отрезка, соединяющего точки 0 и г:
П X
|& lt-Ь |^ = - + 2^ (к 1)! 7"+к4
0 0 01 — 2 п! к=2 (+ к-1)!
Для левой части полученного равенства применим известную формулу Коши для кратного интеграла [5]. Тогда
7(, -,)-1+1Л=^+2?-('-Ы^
(«-1)! 0 1 — г «! к=2 («+ к -1)
п+к-1
z
к=2 — 1)!
Умножив обе части на п!, получим для функции Нп (г) интегральную формулу
тт / п -ч '- (к — 1)!п! п+к-1 Г/ 1 + ^ л 4 ^11Л
нп (2) = 2 + 27------= пК2 -{), п- 2. (11)
к=2 (п + к -1)! 0 1 -*
Из (11) при г^ 1 имеем
1 + 2 V (к — 1)!п! = «[(1 — г)"-2 (1 + г уг = -, п — 2.
к=2 («+ к — 1)! о «- 1
Отсюда следует формула (9). Докажем формулу (10). Из (11) при г ^ -1 имеем
(-1)& quot- и. (-1)=1+2? (к-шшнг = «]о±о: =»л-01 л. й («+ к -1)! 0 1 — & lt- 0 1 + & lt-
Вычисляя последний определенный интеграл, получим
/г (1 -1)
. (ЬО- Ж = 2я п 1п2 —
I 1 + г 1 ГТк2
«0 1 + ^ ~ к=1 к2к
Формула (10) доказана при любом п & gt- 2. Легко проверяется справедливость формулы (10), если п = 1.
Теорема 3. Если п & gt- 2, то образ круга Е при отображении его любой функцией w = Р (2) ё Сп (Е) содержится в круге
Iп +1
И & lt-----7. (12)
п -1
Если п & gt- 1, то образ круга Е при отображении его любой функцией w = Р (2) ё Сп (Е) содержит круг
Ы & lt- и2» | 1п2 — У-^- I. (13)
I у к2к ]
Доказательство. Пусть п & gt- 2. Из (7) и леммы 3 следует
|р (гег6)| & lt- Нп (г) & lt- Нп (1) =, Уг & lt- 1,
1 4 71 п -1
и справедливость (12) установлена. Из левой части (7) и леммы 3 следует
|р (ге10)| & gt- (-г)п Нп (-г), Уг & lt- 1.
Устремляя г к единице, получим
|р (6)| & gt- (-1)» Нп (-1) = и2» (1п2 — ?-1
к 2к
Справедливость (13) также установлена.
Следствие 1. При любом п & gt- 1 образ круга Е при отображении его любой функцией w = Р (Сп (Е) содержит круг |^| & lt- 21п2 -1.
Доказательство. Установим неравенство
21п2 -1& lt- и2» | 1п2 — У-^-)& lt- 1, п = 1,2,3,…
I у к2к)
Ясно, что
Р. = «2& quot-I '-& quot-2-ХтУ = & quot-2"- X ^ = Ттл^г = 1:1 (& gt--
к=1 2 к) к=п+1 2 к к=1 2 (п + к) к=1 2 ^ П + к
Отсюда следует, что Рп монотонно возрастает и Рп ^ 1. Поэтому
21п2 -1& lt- Рп = & amp- -1 (1- - 1& lt-&- -1 = 1
п & amp- 2* I. п + к) & amp- 2*
и следствие 1 доказано.
2. Обозначим через Ьп (Е) класс голоморфных в Е функций
X
^ (г) = гп + & amp- а*, пг*+*-1, (14)
*=2
для которых выполняется неравенство
V вп, а I & lt- 1 где Вп = (п + к — !
2 п+к-1| а,"& lt-, д п+к-1 п!(к-1)!.
При п = 1 имеем класс Ц (Е). Известно [7], что этот класс является собственным подклассом класса всех однолистных в Е функций Г (г) с нормировкой ^(0) = 0, Р (1) (0) = 1. Класс Ц (Е) часто называют классом Левандовского [8].
Простыми примерами функций, принадлежащих классу Еп (Е), является функция
р 2 = 2» + п!(к -1)! 2п+к-х, к = 2,3,4,… (15)
(п + к -1)!
Отсюда, между прочим, легко следуют оценки коэффициентов ак функций вида (14) из класса? п (Е), а именно
К"1 * Г^ТТ), * = 2,3,4,…, (16)
1 1 (п + к -1)!
со знаком равенства для функций (15).
Нетрудно установить строгое включение Ьп (Е) с Сп (Е). В самом деле, пусть функция Р (г) вида (14) принадлежит классу? п (Е). Тогда
IX X
-Яе^(п) (2) = 1 + ?Бпп?к1 Яе{, пzп+кл} & gt- 1 —? Я+к-1 ак, п& gt- 0. П! к=2 ^ '-к=2
Это значит, что? п (Е) с Сп (Е). Далее, функция Нп (г), задаваемая формулой (8), принадлежит классу Сп (Е). Но из (16) следует, что функция Нп (г) не принадлежит классу? п (Е). Таким образом, для любой функции Р (г) из класса? п (Е) следует неравенство Яе Р (2) & gt- 0, У г е Е, и класс? п (Е) является собственным подклассом класса Сп (Е).
Из того что ^ (2) е Сп (Е), не всегда следует Г (г) е Ьп (Е). Однако имеют место следующие три теоремы, связывающие классы Сп (Е) и Ьп (Е):
Теорема 4. Если
^(*) = *п + X а, п*п+к-1 € Сп (Е), к=2 х 1
то ^(2)=2"+Е «гН ак, п Г2 «+к-1 е 4(Е). (17)
к=2 4
и вд. 2"+?<-"--"--'К"-+,'-,-1)-(,+*-т2г. 4(к) (18)
к=2 4и (И — 1)… (И — т +1К
при любом целом т, удовлетворяющем условию 0 & lt- т & lt- п -1.
Доказательство. При п = 1 соотношение (17) очевидно. Так как Р (г) е Сп (Е), п & gt- 2, то, учитывая оценки (4) и формулу (9), получим
?В+к 1акпI2 & lt-? (к- 1) Ы (я~1} = 1.
?2 П+& quot- 1 4 1 М? (и + к -1)!
Отсюда следует (17). Далее, так как п & gt- т +1, т & gt- 0, то, учитывая оценки (4) и формулу (9), получим
у (п — т -1)п + к-1)… (п + к — т) а & lt- У (к -1)!(п — т)!(п — т -1)
к=2 «+к-1 4"(п — 1)… («- т + 1)™ & lt- к=2 (- т + к — 1)!.
Положим р = п — т, где р & gt- 2. Тогда, применяя формулу (9), в которой роль
п играет р, получим
А (к- 1)!(п-т)!(п-т-1) -у (к-1)!р!(р-1) ^
к=2 (- т + к -1)! к=2 (Р + к -1)!.
Отсюда следует (18).
Теорема 5. Если п & gt- 4 и
Р (z) = zп + X ак, п*п+к-1 е С» (Е),
к=2
& lt- п V1 (п + к -1)2 (п — 2)(п — 3) |2 ~, ч
то V (2) = 2 + Е------Л (2 *-------Л-----К, п е Ьп (Е). (19)
к=2 4п (п -2п-1)
Доказательство. Имеем к _я (и — к -1)2 (и — 2)(- 3) а, 2 & lt- (к — 1)!(п — 1)!(п + к — 1)(п — 2)(п — 3) =
к=2 п+к 1 4п (и2 -2п-1) к, п к=2 (п + к -2)!(и2 — 2п)-1
_ (к-1)!(п-1)! + (к- 1)!(п-2)!(п-1)(п-2)(п-3) _
к=2 (и + к -1)!(2 — 2п -1))=2 (п + к — 1)!(и2 — 2п-1)
(п — 2)(п — 3) 1 (п -1)(п — 2)(п — 3) 1
п2 — 2п -1 п — 2 п2 — 2п -1 п — 3
Отсюда следует (19).
= 1.
зи
Теорема 6. Если
Р (г) = гп + X а, пгп+к — € С» (Е)
к=2
х і
I |Ък, п|* 2, к=2 2
п+к-1
вп+к-1 |Ък, п| |ак, и|г
к=2
Доказательство. В самом деле
у (2) = I Вп+к-1 Ъкп\акпzn+k-l € Ип (Е). (20)
к=2
амом деле
X X
X Вп+к-1 |Ьк, я| |ак, я| - X 2 |Ьк, я| - 1. к=2 к=2
Отсюда следует (20).
Теорема 7. Любая функция Р (2)є Сп (Е), п & gt- 5, отображает каждую окружность |г| = г & lt- 1 на выпуклую кривую.
Доказательство. Пусть
X
Р (2) = 2П + X а, п2П+к — € Сп (Е) ,
к=2
где п & gt- 1. Тогда легко убедиться в справедливости равенства
х
2, XV ,/ л2 к-1
П & quot- ~
+ V (п + к -1) «к"2к 7р & quot- (2) '- к’П
і+е±Ае±=-к=2-------------------------------------. (21)
Р '-(2) х
п+V (п+к — 1) ак, п2 к-1
к=2
Отсюда, если п & gt- 5 и |г| = г & lt- 1, то, пользуясь оценками (4), получим
ж
П + У
гЕ & quot- (2) ГІ
1 + Яе-------^ = Яе---------------к=2
2 + У (п + к — 1)2 ак, п2к 1
^(2) п + У (п + к — 1) ак, п2к 1
к=2
п2 — Е (п+к -1)2 ак, П, п ,
к=2 & gt- п — 4 + -21-ПІ & gt- 0.
1| I п (п
П + Е (п + к — 1) ак
к=2
Таким образом, для любой функции Р (г) из класса Си (Е), п & gt- 5, на любой окружности |г| = г & lt- 1 справедливо неравенство
р'-'- (г)
1 + Яе----^ & gt- 0.
р'-(2)
Как известно [4], это означает, что функция Р (г) отображает любую окружность |г| = г & lt- 1 на выпуклую кривую.
& lt-Х
и
Замечание 1. Исходя из формулы (21), заключаем, что радиусы г окружностей |г| = г & lt- 1, которые отображаются любой функцией Р (г) є Сп (Е), где п есть одно из чисел 1, 2, 3, 4, на выпуклую кривую, можно найти, решая неравенство
х Ох. к-1
п2 — ^ (п + к -1)2 -п----& gt- 0.
к=2 Вп+к-1
Теорема 8. Любая функция Е (г) из класса Сп (Е), где п & gt- 4, отображает каждую окружность |г| = г & lt- 1 на звездообразную кривую.
Доказательство. Пусть
Е (2) = 2п + X а, п2п+к — е Сп (Е),
к=2
где п & gt- 1. Тогда легко убедиться в справедливости равенства
х
, XV, 7 14 к-1
ЕМ/ Ч 1+ Е (+ к — 1)°к, П2
2р (2) к=2__________________
^2) і - Е-к,
к-1
2
(22)
к=2
Отсюда, если п & gt- 4 и |г| = г & lt- 1, то, пользуясь оценками (4), получим
х
ям/ ч «- Е (+к — 1) ак,"| 0 й
«гЕ'-(г) «2п-8
Яе------Ц2 ^^ п — 4-^----------------------------------------
'-(г г 1+Хк"| (п — 2)(п+0
к=2
Таким образом, для любой функции Е (г) из класса Сп (Е), п & gt- 4, на любой окружности |г| = г & lt- 1 справедливо неравенство
ИеГМ & gt- 0.
Г (7)
Как известно [4], это означает, что функция Е (г) отображает любую окружность |г| = г & lt- 1 на звездообразную кривую.
Замечание 2. Исходя из формулы (22), заключаем, что радиусы г окружностей |г| = г & lt- 1, которые отображаются любой функцией Р (г)е Сп (Е), где п
есть одно из чисел 1, 2, 3, на звездообразную кривую, можно найти, решая неравенство
(п + к — 1) гк-1 п п-2^-----------------& gt- 0.
1−1 Т}П
к-2 п+к-1
Л И Т Е Р, А Т У Р А
1. Кирьяцкий Э. Г. Многолистные функции и разделенные разности. Вильнюс: Техника, 1995. 390 с.
2. Александров И. А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. С. 35 — 39.
3. Зморович В. А. К теории специальных классов однолистных функций // Успехи мат. наук. Т. 14. № 4. С. 137 — 143.
4. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1960. 621 с.
5. Ибрагимов И. И. Методы интерполирования функций и некоторые их применения. М.: Наука, 1971. 510 с.
6. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М., 1958. 468 с.
7. Титчмарш Е. Теория функций. М.- Л., 1951. 507 с.
8. Кирьяцкий Э. Г., Касаткина Т. В. Об одном обобщении класса Левандовского // Вестник ТГУ. 2006. № 290. С. 56 — 60.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:
КИРЬЯЦКИЙ Эдуард Григорьевич, профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического моделирования факультета фундаментальных наук Вильнюсского технического университета имени Гедиминаса, член-корреспондент Международной академии наук Евразии (IEAS). Е-mail: Eduard. Kiriyatzkii@takas. lt
Статья принята в печать 26. 01. 2009 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой