О некоторых свойствах плоских течений при обтекании тел со струями

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц, А Г И То м XV 19 84
М 6
УДК 533.6. 011. 32
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИЙ ПРИ ОБТЕКАНИИ ТЕЛ СО СТРУЯМИ
В. М. Шурыгин
В случае обтекания тел со струями неограниченным безотрывным потоком идеальной несжимаемой жидкости при числах Ве^О, следуя работе автора *, приводятся представления функций Жуковского в окрестности бесконечно удаленной точки, формулы для суммарных сил, действующих на тело, и устанавливается определенная связь между поведением функций Жуковского, полной циркуляцией и приведенным суммарным расходом.
Пусть я-листный контур, соответствующий рассматриваемому телу с (п-1)-й струей, гладко обтекается течением В* + В при неограниченном набегающем потоке В* со скоростью Ц*", константа Бернулли которого В*=р* -^-^йр*йг* |2 (рис. 1). Условимся,
что из тела вытекает только одна струя с константой Бернулли В = р-г ~^-рс1Р1с1г2, отличной от В*. Обозначим через а+ и а_
Рис. 1
_____________
* Шурыгин В. М. Аэррдинамика тел со струями. -М.: Машиностроение,
1977.
точки на я-листном контуре, в которых начинаются линии тангенциального разрыва скорости Г* (см. рис. 1). Производную комплексного потенциала, Р[, г (?)] течения В в верхней полуплоскости ^ (рис. 2) можно записать в следующем виде:
1
аР'-, сй=-------^, (1)
71
где — объемный расход ЖИДКОСТИ В струе, -соответствует
А 2 А1
бесконечно удаленной точке А,. Для производной /^ [?*(/*)] в верхней полуплоскости ?* (рис. 3), полагая, что линиям тангенциального разрыва скорости соответствует интервал (-1,действительной оси, на которой = запишем формулу:
п~ 1−2т'- п-Х-т'-
П (**-%) П «*-'-о)& lt-**-? & gt-
и т ит ит
и Г __1 т^п-Зт'-
__ и _ & gt- ^ а* - ч,)з П V* - ч*.) л-
где ш'- - число точек ветвления От, лежащих внутри области течения В* Ь0т и ?0 — сопряженные координаты- О* - некоторая действительная константа.
Заметим, что если бесконечно удаленная точка Е (см. рис. 3) соответствует одной из бесконечно удаленных точек струйных каналов Л*(/г = 2, п-1), то соответствующий множитель в выражении (2) следует опустить.
Отметим на линиях тангенциального разрыва скорости точки А*+ и Л1, состоящие из точек Л+, А*+ и А-, А-, принадлежащих соответственно границам течений В и В*. Проведем через точки А+ и А- вокруг обтекаемого тела замкнутый контур (см. рис. 1). Рассматривая циркуляцию скорости течения В* + В вдоль такого
(c)
а- А'-
А 2/7/, ЛУ/'-|/,////У77/У///У/У/У у
ч '-
Рис. 2
?ис. 3
контура при его обходе против часовой стрелки, замечаем, что эта циркуляция, в отличие от соответствующей циркуляции при
Q _ ?*
числах Бернулли Ве =-------------- = 0, изменяется в зависимости от
I, т2*
~2~? со
положения точек Л+ и Л_. При этом справедливо, например, следующее предложение: существует бесконечная совокупность пар точек Л + и Л_, для которых циркуляции скорости по контурам, проходящим через эти точки, равны наперед заданной произвольной величине.
Начиная с некоторого расстояния от тела каждой точке Л+ можно поставить в соответствие одну и только одну точку Л1, если потребовать, чтобы криволинейный интеграл от проекции скорости течения В вдоль линии, лежащей в области течения В и соединяющей точки А- и Л+, равнялся бы нулю. Теперь циркуляция скорости данного течения В* + В по замкнутому контуру вокруг тела будет зависеть только от одного параметра — положения точки А+. Обозначим эту циркуляцию через Г (Л+). При /7* __ ф* ?qr* получим
л-1
F* (Л1) — F* (Л*+) = Г (А) + i X Q* * •
k = 2 Ak
Будем называть полной циркуляцией Г предельное значение циркуляции Г (Л+), когда точка Л+ стремится к бесконечно удаленной точке Л*, и запишем следующую формулу:
* I
ч * + ® —
Ах _х
lim Г -^?r dt* =г + i 2 Q**, (3)
е + -& gt-0 .J at k = 2 *к
у-. +
где каждой конкретной задаче соответствует своя определенная функциональная связь ?_(е+) (см. рис. 3).
Формулу (2) в окрестности точки Л* перепишем в следующем виде:

I А* До
= Кх + … +
dF* dt*
(t*-n .)»
(t*
¦4 *)2
Ал
t*
Х (**~ «О. (4)
степенной ряд и К*, b*, K2 -действительные кон-
станты для данного течения.
Интеграл в формуле (3) содержит три сингулярных интеграла
из которых интеграл /2 — расходящийся. Пусть далее полная циркуляция Г, а вместе с ней и суммарная подъемная сила Ks, действующая на обтекаемый контур (см. ниже), будут конечными. Тогда из условия сходимости интеграла в формуле (3) зависимость е_ (е+) должна иметь следующий вид:
?_ = е+ + 2Ь* ?+ + Al (в +), (5)
где
lim (е+) = 0.
? +& quot-*о
Выведем формулу для суммарной силы = X? + iY-l, действующей на обтекаемый контур и окрестности бесконечно удаленных точек струйных каналов:
= г [ р* йг* + I | р йг.
* ¦
*а+ гй_
Здесь интегрирование по контуру и отрезкам вблизи точек А*к (? = 2, п- 1), А2 совершается так, чтобы области течения В* и В оставались справа.
Включая в контур интегрирования отрезки линий тангенциального разрыва скорости ац. Л+, а_л1, проходимые дважды в противоположных направлениях, приходим к следующей формуле для сопряженной суммарной силы:
Здесь интегрирование совершается по произвольным линиям между точками А*+ и А-, Д_ и А+, принадлежащим соответственно областям течений В* и В ёР/йг = 11е-'-, ь.
и*
Рассмотрим функцию Жуковского /* (?*) — 1п и* +
для течения В*, где и* = 1п и^/и*, — Нетрудно видеть, что
при числе Ве = 0 эта функция в м^лой окрестности можег быть
А1
представлена в виде следующ? го разложения:
— & lt-г + 2 Q% + От,
/'-((*) =-----------=V-----------Г-ч)!Х
X [1+ ь (t* - 1)) + 0*2 (** - V,)2 ln (** - ч) +…].
д1
Вследствие непрерывности при изменении числа Ве функции /* (t*) в точках t* рассматриваемой окрестности справедливо следующее общее представление функций Жуковского вблизи
ул при произвольных числах Ве:
А
= а* (t* - ч*.)2 /[1 + Д- (**)], (7)
где lim Д2 (t*) = 0.
Ai
л siF*
Используя в формуле (6), что (dF*/dz*)2 dz* = Uaoe-f*v*'-& gt--?pf dt*,
полагая, что точки Л+ и Д* удовлетворяют соотношению (5), переходя к пределу при е+ -* 0 и учитывая соотношение (7), преобразуем формулу (6) к следующему виду:
7? s = Ц- UI (г + I? Q*.) — -f *а* L& amp- КГ — рQZi U» +
н=2 AkJ
k
П- I — «& amp-* -и
----- -117 *
+ 4~РUnd^ + p^U* Q* е Ak--?U^Qje
Л. Л»
ft = 2
Замечая, что
lim (z** - г**) = lim -Г g/* d/* = idA
t+V e+^oi/-. J
е-
л1
л-1
1
приходим к окончательным формулам для Xs, 5V.
_ f n~l ~ & quot-_1 _г& amp-**
R, = iPuto r-f ?Zq*. -p?/"o~ +pE?/*. Q*. e л* +
ft=2 л*"'- fc=2 Лй
+ P (9)
k = 2
n-
Х, = -РиЦ? Q*# + 1/ 1 + Be) +
+ p 2 ^ Q*. c°s + POT Q- cos «r, (10)
k=2 Ak, А n-1
pi? r + p2tf& gt-'-Q%sln"*. +P^QXssin^. (11)
?г=2
Как видно, формулы (9) -(11) являются обобщением соответствующих формул работы* (см. стр. 22) для течений без тангенциальных разрывов скорости. Полная циркуляция Г и приведенный
л-1
суммарный расход + ^ 1 + Ве От здесь играют та-
* = 2 Ац
кую же роль, как циркуляция и суммарный расход при числах Ве «= 0.
Представляя коэффициент а* в формуле (7) для функции Жуковского в виде
а* = а*д + 1а'-г, (12)
из выражений (8) и (12) получим следующую связь действительных коэффициентов а*^ и а* соответственно с расходами и полной циркуляцией:
а*=(3-----------Iеа* = __Е_. (13)
0 п я/1 + Ве к* г ъК
Таким образом, суммарная подъемная сила и полная циркуляция скорости связаны с кривизной функциональной зависимости мнимой части функции Жуковского вдоль линии тангенциаль-
ного разрыва скорости в окрестности г*, а суммарное сопротив-
ление — с кривизной действительной части функции Жуковского где
V* (7]*) = & amp-* (7|*) = йг (Ч* - 7)**)2 + •. ,
и* (& gt-]*) = 1п и ж/С!* = а* (т)* - т)*/ + ….
(14)
Остановимся теперь на представлении функции Жуковского /(*) = 1п — й (?) -г IV (I) вдоль линии тангенциального разрыва скорости, где t = 7), в окрестности бесконечно удаленной
точк.и Л1(? = т)_). В соответствии с равенством статических давлений р*-р в произвольной точке линий с координатами (т^, имеет место соотношение
(1 + Ве) е-2"™ — е-2и*(т*) = Ве.
Это соотношение в окрестности бесконечно удаленных точек Аг и А* можно упростить, ограничиваясь главными членами:
(1 + Ве) и (т)) — и* (?)*) — 0. (15)
Функции ъ (-ц) и V* (г^) связаны соотношением
¦а (т)) = г)*(т|*). (16)
Из равенства длин отрезков линий Ь* с двух ее сторон между фиксированной точкой с координатами (т|*, т^) и произвольной точкой следует:
и*х *1* иоо I? Г,
71,
© А,
* ^ V ^
^ 177 777^/77 777 777^77777^/7 777 777 777 777 777 647 288 320
Рис. 4
Пусть точки с координатами (т^, т),) и (у]*, т)) находятся вблизи
бесконечно удаленной точки -/?_). Тогда, оставляя главные
л 1
члены, получим:
ТО — ^Ы]. (17)
При этом согласно соотношениям (1) и (4)
Р* (П) =------- 1п (1 — %) + с,
р* (т-*) — [1 + 26* (к}* -7)*,)] + 0[1п (т,* - ч*.)].
2 Л, л1
Л1
Подставляя эти выражения в соотношение (17), приходим к следующей асимптотической зависимости т)*(^) в окрестности бесконечно удаленной точки:
я VI + Ве к 1
(V -1*.)! — -5--------------1----- - ¦ (8)
V 2 Ч Мч-ч*!
Из соотношений (14), (15), (16) и 08) следуют соответствующие асимптотические зависимости для и (у)), v (r?) в окрестности Л:
* Г/г*
~ ~ч те ааКх 1
Д (ТГ]) =
2 /1 + Ве-$~ Inh I '
~ г~ гс Kl -h Ве йг/С, 1
V (n) = - -------------
2
Замечание.
Если рассмотреть обтекание неограниченным потоком В* источника с расходом Q~ и константой Бернулли В (рис. 4), то в ок-
А 2
рестности Л*
/•(& lt-*) -а* (/•- 1) [1 4 Д8 (**)],
где
Q-
а* =--------?-А --*, lim Д. (**) -0,
4"^К1.+ Ве,'
'-b. -f '. ?Л — *? хвэо хічнчігзхиахз -yatf вн (і 'і -) wBHeadio хэАахохэахооо BaHdeBd охончігвиїїнзлнвх винні- в '(с -and) 00 = ^ эньох уоннзігвіґА оньэнояээр хэАахохэа -хооз (эфф = aj) z вльох 'g и иинэьэх ічниаоїгон SHHxdaa вэхснвж -Bdpoxo? и HXDOjjDOiruAirou 3HHxdaa вн охь 'oxiiHHdii чоэ1Г?
(k+l)U[ ~f)
¦ ≅------------------------------=i_-- I —
1 эа + 1 А
lV и V HXDOHXDsdso, а и
5 эиа
У I-
¦77 //////////уу///////////////////////////{//////////Z J
'V +э

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой