О нелинейных гиперболических уравнениях, связанных дифференциальными подстановками с уравнением Клейна-Гордона

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ISSN 2074−1871 Уфимский математический журнал. Том 4. № 3 (2012). С. 86−103.
УДК 517. 95
О НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ, СВЯЗАННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ ПОДСТАНОВКАМИ С УРАВНЕНИЕМ КЛЕЙНА-ГОРДОНА
М.Н. КУЗНЕЦОВА
Аннотация. В настоящей работе проведена полная классификация нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными иХу = f (и, их, иу), сводящихся дифференциальными подстановками специального вида V = & lt-р (и, их) к уравнению Клейна-Гордона vxy = F (v).
Ключевые слова: нелинейные гиперболические уравнения, дифференциальные подстановки, уравнение Клейна-Гордона.
1. Введение
В настоящей статье рассматриваются нелинейные гиперболические уравнения вида
иХу = f (и, их, иу). (1. 1)
Дифференциальные подстановки широко применяются при исследовании интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений. Иногда, при помощи дифференциальных подстановок удается получить решение уравнения из решения другого, хорошо изученного уравнения. Отличительным признаком интегрируемости уравнения является наличие симметрий. В работе [1] было доказано, что нелинейное уравнение Клейна-Гордона
vxy = F (v) (1. 2)
обладает высшими симметриями тогда и только тогда, когда оно эквивалентно либо уравнению Лиувилля
vxy = exp V, (1. 3)
либо уравнению синус-Гордона
vxy = sin v, (1. 4)
либо уравнению Цицейки
vxy = exp v + exp (-2v). (1. 5)
В настоящей работе описан класс нелинейных гиперболических уравнений, связанных дифференциальными подстановками специального вида с уравнением Клейна-Гордона.
Для того чтобы сформулировать строгие утверждения и определения, отметим следующее. Поскольку, через и мы обозначаем любое решение уравнения (1. 1), то все смешанные производные функции и выражаются через
Ux, Uy, Uxx,уу, … (1. 6)
M.N. Kuznetsova, On nonlinear hyperbolic differential equations related to the KleinGordon equation by differential substitutions. © Кузнецова М. Н. 2012.
Работа поддержана РФФИ (гранты 11−01−97 005-р-поволжье-а, 12−01−31 208-мол-а) и ФЦП & quot-Научные и научно-педагогические кадры инновационной России& quot- на 2009−2013 годы (соглашение № 8499). Поступила 26 марта 2012 г.
в силу уравнения (1. 1) и его дифференциальных следствий и исключаются изо всех выражений. При этом, переменные (1. 6) считаются независимыми, так как их нельзя связать между собой, пользуясь уравнением (1. 1) и его дифференциальными следствиями.
3
Определение 1. Соотношение
т / ди дпи ди дти.
V = Ф и,-,… ,--,-,… ,--1 (1. 7)
дх дхп ду дуГ:
называется дифференциальной подстановкой из уравнения (1. 1) в уравнение
Уху = д (у, ух, уу), (1. 8)
если для любого решения и (х, у) уравнения (1. 1) функция (1. 7) удовлетворяет уравнению (1. 8).
Прежде чем приступить к подробному изложению сути данной работы, кратко коснемся некоторых публикаций, посвященных дифференциальным подстановкам. Как известно (см. [2−4]), одним из критериев интегрируемости нелинейного уравнения является обрыв с двух сторон последовательности инвариантов Лапласа его линеаризации. Такие уравнения принято называть уравнениями лиувиллевского типа. В работах [5,6] были описаны свойства обобщенных инвариантов Лапласа нелинейных уравнений, обладающих дифференциальными подстановками. Одним из наиболее полных обзоров, посвященных уравнениям лиувиллевского типа, является работа [7]. Необходимо отметить работу [8], которая посвящена нелинейным гиперболическим уравнениям, обладающим симметриями третьего порядка. Мы упоминаем здесь именно эти работы еще и потому, что в них представлено достаточно большое количество примеров дифференциальных подстановок, связывающих пары нелинейных гиперболических уравнений.
Дифференциальные подстановки могут быть частными случаями преобразований Бек-лунда (см., например, [9]). В статье [10] описаны пары нелинейных уравнений вида (1. 1), линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа первого и второго порядка, и для каждой такой пары построено соответствующее преобразование Беклунда.
Цель данной работы — описать все нелинейные гиперболические уравнения (1. 1), сводящиеся дифференциальными подстановками
V = (р (и, их) (1. 9)
к уравнению Клейна-Гордона (1. 2). Другими словами, задача состоит в определении функций /, (р и Р.
Полный список искомых уравнений и дифференциальных подстановок представлен во втором параграфе настоящей статьи. Третий параграф посвящен доказательству основного результата. Последний раздел посвящен в некотором смысле & quot-обратной"- задаче — описанию уравнений (1. 2), сводящихся дифференциальными подстановками
и = ф (ь, ьу) (1. 10)
к уравнению (1. 1). Кроме этого, для отдельных пар уравнений построены преобразования Беклунда, связывающие их решения.
2. Классификация уравнений, сводящихся к уравнению Клейна-Гордона Основным результатом работы является следующее утверждение:
Теорема 1. Пусть уравнение (1. 1) сводится дифференциальной подстановкой (1. 9) к уравнению Клейна-Гордона (1. 2). Тогда уравнения (1. 1), (1. 2) и подстановка (1. 9) с точностью до точечных преобразований и ^ 0(и), v ^ k (v), х ^ ?х, у ^ г/у, где? и rq —
постоянные, принимают следующий вид:
иху = uFF-1(их)), vxy = F (v), v = F-1(ux) — (2. 1)
иху = sin uJ 1 — иХ, vxy = sin v, v = и + arcsin ux- (2. 2)
uxy = exp + иХ, vxy = exp v, v = и + ln (^ux + л/l + uX^j — (2. 3)
Л/72щ
S'- (Ux) xV
С — UyU (u, ux)
Vxy = F (v), v = s (ux) — (2. 4)
Vxy = 0, v = p (u, ux) — (2. 5)
xy / •& gt- ^xt
Vux (u, Ux)
uxy = ux (ф (и, щ) — uya'-(u)), vxy = exp v, v = a (u) + ln ux- (2. 6)
Uxy = Ux (ф (u, Uy) — Uya'-(u)), Vxy = 0, v = a (u) + ln uX- (2. 7)
Uxy = U, Vxy = V, v = Ciu + C2Ux- (2. 8)
uxy = 8(uy), vxy = 1, v = c1u + c2ux. (2. 9)
Здесь с — произвольная постоянная, с1 и с2 такие, что (с1, с2) = (0,0), функция ф удовлетворяет условию (фи, фиу) = (0, 0). В случае (2. 4) функции s и F связаны соотношением s'-(ux)F (s (ux)) = 1- в случае (2. 6) функции гф и, а удовлетворяют соотношению
фи + ффиу — a1 Uyфиу = exp а,
а в случае (2. 7) — соотношению
фи + ффиу — a1 Uy фиу = 0-
в случае (2. 9) функция 8 является решением обыкновенного дифференциального уравнения 8(с1 + с2 8'-) = 1.
Теперь остановимся подробно на некоторых из полученных уравнениях. Случай (2. 1). При F (v) = expv получаем уравнение
Uxy = UUx, (2. 10)
которое сводится дифференциальной подстановкой v = ln ux к уравнению Лиувилля (1. 3). Симметрии третьего порядка, интегралы и общее решение уравнения (2. 10) можно найти, например, в [8].
При F (v) = sin v получаем уравнение
Uxy = ил/1 — u2x, (2. 11)
сводящееся дифференциальной подстановкой v = arcsin ux к уравнению синус-Гордона
(1. 4). Симметрии уравнения (2. 11) приведены в [8].
При F (v) = exp v + exp (-2v) при помощи точечных замен приходим к уравнению
uxy = 3ub (ux). (2. 12)
Здесь функция b определяется соотношением (2ux + b)2(ux — b) = 1. Дифференциальная подстановка v = - 2 ln (wx — b (ux)), к

Статистика по статье
  • 48
    читатели
  • 5
    скачивания
  • 0
    в избранном
  • 0
    соц. сети

Ключевые слова
  • НЕЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ,
  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОДСТАНОВКИ,
  • УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА,
  • NONLINEAR HYPERBOLIC EQUATIONS,
  • DIFFERENTIAL SUBSTITUTIONS,
  • THE KLEIN-GORDON EQUATION

Аннотация
научной статьи
по математике, автор научной работы & mdash- Кузнецова Мария Николаевна

В настоящей работе проведена полная классификация нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными $u_{xy}=f (u, u_x, u_y)$, сводящихся дифференциальными подстановками специального вида $v = varphi (u, u_x)$ к уравнению Клейна-Гордона $v_{xy} = F (v)$.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой