О несепарабельных всплеск-функциях типа Мейера в пространствах Бесова и Лизоркина Трибеля

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Известия Саратовского университета. 2009. Т.9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2
Библиографический список
1. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.
2. Расулов К. М. Краевые задачи для полианалитиче-ских функций и некоторые их приложения. Смоленск: Изд-во СГПУ, 1998. 344 с.
3. Анищенкова Н. Г. Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: Дис. … канд. физ. -мат. наук. Смоленск, 2002. 120 с.
4. Анищенкова Н. Г., Зверович Э. И., Расулов К. М. О решении обобщенной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в круге // Докл. НАН Беларуси. 2002. Т. 45, № 6. C. 22−25.
5. Медведев Ю. А. Четырехэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функ-
ций: Дис.. канд. физ. -мат. наук. Смоленск, 2007. 115 с.
6. Медведев Ю. А., Расулов K.M. О решении первой четырехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в случае окружности // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям. Смоленск: Изд-во Смоленск. ун-та, 2005. Вып. 6. C. 83−93.
7. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1970. 379 с.
8. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. 448 с.
УДК 517. 5
О НЕСЕПАРАБЕЛЬНЫХ ВСПЛЕСК-ФУНКЦИЯХ ТИПА МЕЙЕРА В ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА ИЛИЗОРКИНА-ТРИБЕЛЯ
С.А. Гарьковская
Воронежский государственный университет,
кафедра функционального анализа и операторных уравнений
E-mail: GarkovskayaSA@mail. ru
Статья посвящена доказательству возможности использования несепарабельных всплеск-функций типа Мейера в качестве разбиения единицы в определении шкал пространств Бесова и Ли-зоркина — Трибеля. Этот результат является первым шагом в доказательстве безусловной базисности вышеназванных всплеск-функций в рассматриваемых шкалах.
Ключевые слова: всплеск, несепарабельные всплески, пространства Бесова, пространства Лизоркина — Трибеля, разбиение единицы.
Nonseparable Wavelets of Meyer Type in Besov and Lizorkin -- Triebel Spaces
S.A. Garkovskaya
Voronezh State University,
Chair of Functional Analysis and Operator Equations E-mail: GarkovskayaSA@mail. ru
It is proved that Fourier transforms of nonseparable wavelets of Meyer type can be used as decomposition of unity in definition of Besov and Lizorkin — Triebel spaces. The result is the first step in the proof of unconditional basisness of above mentioned wavelets in scales under consideration.
Key words: wavelet, nonseparable wavelets, Besov spaces, Lizorkin — Triebel spaces, decomposition of unity.
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Определение 1 [1, с. 93]. Совокупность замкнутых пространств V- С), І Є Ъ, называ-
ется кратномасштабным анализом в Ь2 (Кп) с матричным коэффициентом расширения М, если выполнены следующие условия (аксиомы):
мш. V С У-+і для всех і Є Ъ-
МК2. и Vj плотно в Ь2 (Ъ) —
7ЄЖ
MR3. fl V- = {0}-
-еж
МК4. / Є V) ^ / (М7 •) Є V для всех І Є Ъ-
МК5. существует функция ^ Є Уо, такая что последовательность {^(- + п)}пеж образует базис Рисса в V).
Функция ^ называется масштабирующей. Если масштабирующая функция некоторого кратномасштабного анализа не является тензорным произведением функций одной переменной, то такой кратномасштабный анализ называют несепарабельным.
© С. А. Гарьковская, 2009
Построение всплеск-функций, соответствующих кратномасштабному анализу {V,},^г, подробно описано в работе [1, с. 120]. Всплеск-функции для несепарабельного кратномасштабного анализа в дальнейшем будем называть несепарабельными всплеск-функциями.
В данной работе рассматривается семейство несепарабельных всплеск-функций типа Мейера, построенное в работе [2]. Доказана возможность использования преобразований Фурье функций этого семейства в качестве обобщенного разбиения единицы в определении шкал пространств Бесова и Ли-зоркина — Трибеля. Этот результат является первым шагом в доказательстве безусловной базисности вышеназванных всплесков в рассматриваемых шкалах. На наш взгляд, он имеет и самостоятельный интерес. Базисность сепарабельных всплесков, построенных на основе всплесков Мейера — Давида, изучена в работе [1, с. 498]. Базисность несепарабельных всплесков в шкале пространств Бесова рассмотрена в работе [3]. Базисность несепарабельных всплесков в шкале пространств Лизоркина -Трибеля, насколько известно автору, исследуется впервые.
Напомним определение пространств Бесова и Лизоркина — Трибеля [4, с. 57].
Пусть Б (Кп) — пространство Шварца комплекснозначных быстроубывающих бесконечно дифференцируемых функций на Кп, Б'-(Кп) — множество всех умеренных распределений на Кп.
Определение 2. Обозначим через ?(Еп) совокупность всех систем, а = {а,(ж)}°=0 С Б (Кп), таких что:
(1) Бирра0 С {х е Кп| |х| & lt- 2}, Бирр аз С {х е Кп| 2−7'--1 & lt- |х| & lt- 2,+1}, ] = 1, 2, 3,… -
(и) для каждого мультииндекса, а существует положительное число са, при котором 2-?Н |^аа,(х)| & lt- са для всех ] = 1, 2, 3,… и всех х е Кп, где |а| = а1 + а2 + ¦ ¦ ¦ + ап-
О
(111) Е а^ (х) = 1 для каждого х е Кп.
з=0
Определение 3. Пусть -го & lt-з<- го, 0 & lt- q & lt- го и, а = {а, (х)}°=0 е ?(Кп).
(I) Если 0 & lt- р & lt- го, то пространства Бесова Вр,(Еп) определяются следующим образом:
Б'"Л (Г& gt-) = {/1 / е Б'-(Г& gt-), ||/|вр,(Г& gt-)|| = ||2зГ-1 аз/(Ь"(Г& gt-))|| =
О г 5 1
= (Е (|2"Е-1 азр/(х)1Р*) У & lt- го}
к=0
с естественным видоизменением при q = го.
(II) Пусть 0 & lt- р & lt- го. Пространства Лизоркина — Трибеля Гр (Кп) определяются следующим образом:
(Кп) = {/1 / е Б'-(Кп), ||/|^,(Кп)|| = ||2*& gt-Г-1 аз/р (Кп, гр)|| =
/ОО р 1
(?|2*3 Г-1 а, Г/(х)|*) 5? х) р & lt- Ц.
К™ к=0
с естественным видоизменением при q = го.
Доказательство основной теоремы основано на использовании известных результатов о мультипликаторах [1, предлож. 11.4. 7- 4, теорема 1.6. 3].
Будем использовать обозначение А (?) ^ В (?) в случае, когда А (?) ^ сВ (?), где с — константа, не зависящая от ?.
Предложение 1. Пусть 0 & lt-р<- го, 0 & lt-q & lt- го, {/к (х)}О=0 — последовательность целых функций экспоненциального типа ^ = (дк1,…, дкп). Тогда при к & gt- п + тдПпр ,) для любой системы функций Мк (?),? е Кп, Мк е НК к = 0,1,2,… ,
|{Г-1 (Мк/)}О=0, мг,)|| «||{м,(№ 1Й,. ,№"е»)}"<-, 1о (Н2К)|| ¦ ||{/к}О=0, ь"(г,)||,
где НК — пространство бесселевых потенциалов, а константа не зависит от /к и Мк.
Предложение 2. Пусть 0 & lt- р & lt- го, О = Вь = {у| у & lt- Ь}, Ь & gt- 0. Тогда
||Г-1МГ/|?р|| & lt- с||М (Ь-)|Н2*||||/|?р||,
Известия Саратовского университета. 2009. Т.9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.2 где с не зависит от b, f е L^, = {f| f е S'-(Rn), suppfF с О, ||/|Lp|| & lt- го}, M (x) е HK,
K & gt- n_________n
min (p, 1) 2 '-
Пусть n = 2, M :=2 1 ^ '- Рассмотрим семейство несепарабельных всплеск-функций типа
Мейера, соответствующих матрице M. Построение этого семейства всплеск-функций описано в работе [2]. Согласно [2], несепарабельные всплеск-функции типа Мейера могут быть построены для любой матрицы размерности 2×2 с определителем, равным ±2. Для удобства читателя напомним основные этапы построения.
Полагаем g: R ^ [0, го) — бесконечно дифференцируемая функция, такая что suppg := {n е R: g (n) =0} = (-го, ¼), V1 = (8, 2), V2 = (8, -2), V3 = (-3, 2), V4 = (-3, -1). Определим бесконечно
4
дифференцируемую функцию h: R2 ^ [0, го) формулой h (?) := П g ((?, V?}), где? = (?ь?2) е R2.
j=1
Обозначим через conv X выпуклую линейную оболочку множества X с R2 и через X° - внутренность множества X. Очевидно, supp h = (conv{(±2/3,0), (0, ±½)})°.
Пусть f — й2-периодическая функция, задаваемая выражением f (?) := Е h (? + k) для? е R2.
keZ2
Маска (определение маски см. [1, с. 94]) задается формулой
mo (?) := Vf (?)/(f (?) + f (? + (½, 1/2))).
Заметим, что m0 е C^ - й2-периодическая функция, удовлетворяющая условиям |m0(?)|2 + + |m0(? + (½, 1/2))|2 = 1, для всех? е R2, m0(0) = 1.
ГО
Полагаем р (?) := П m0((M*)-j?), где M* - матрица, сопряженная с матрицей M. Тогда функ-
j=0
ция р является масштабирующей функцией для кратномасштабного анализа {Vj }jez, соответствующего матрице M.
Преобразование Фурье всплеск-функции типа Мейера определяется формулой
¦0(?) := m0((M*)-1? + (2, 1))eni (il +ia)p ((M*)-1 ?) для? =(?1,?2) е r2.
Функции p и tp имеют компактные носители. Из построения следует, что supp р с [- 1- 1]2,
г п 2
¦2 — 2~|2 supp ih ((M *) -(j -1).
supptp с [- §- 3]2, suppip ((M*) (j 1)-) с |^-3 ¦ 2^i1- 3 ¦ 2
2. ОСНОВНОЙ результат
Теорема 1. Полагаем р, ф е Ь2 ^2) — масштабирующая функция типа Мейера и всплеск-функция типа Мейера, соответствующие матрице М =, V = {V,(?)}°=0, ^0(?) = (р (?),
V, (?) = ф ((М *)-(з'-1) ?) при ^ = 1, 2,3,…
(?). Пусть -го & lt- 5 & lt- го, 1 & lt-q & lt- го, 1 & lt-р & lt- го. Тогда ||/|Вр, (R2)||^ = |2в3 Г-1^, Г/11, (Ьр2))|| является эквивалентной нормой в Вр,(R2).
p, q'-
(ii). Пусть -го & lt- s & lt- го, 1 & lt- q & lt- го, 1 & lt- p & lt- го. Тогда ||f |Fp, q (R2)||v = ||2sj F-1 Vj Ff |Lp (1q,
является эквивалентной нормой в Fp, q (
Доказательство. Шаг 1. Вначале докажем, что систему функций {|Vj (?)|}|=0, где v0(?) = р (?), Vj (?) = t ((M*)-(j-1)?) при j = 1,2,3,… можно использовать в качестве обобщенного разбиения единицы в определении шкал пространств Бесова и Лизоркина — Трибеля.
Отметим следующий факт. По построению функция |р| является бесконечно дифференцируемой и 0 & lt- |р (?)| & lt- 1. Поскольку функция |t (?)| = m0^(M*)-1? +, 2))P ((M*)-1 ?) является бесконечно дифференцируемой и supp гр е [- 2- 2]2, то для |t (?)| и всех ее производных Daгр = al 1р2
2 2 dSl dS2
выполнено следующее свойство: для любого мультииндекса, а существует положительное число са, при котором для всех? е R2 выполнено неравенство |DatP ^ са.
Рассмотрим функции |V,(?)| = |ф ((М*) 1)?)| при о = 1, 2, 3,… Если обозначить
М,-1 .= (тиС? — 1) т12° - 1А
т21° - 1) т22 ° - 1) у
то матрицу (М*)-(,-1) можно найти по формуле
(M*)
*)-(j-1) := 1 / m22(j — 1) m21(j — 1)
2j 1 -m12 (j — 1) m11 (j — 1))
Для коэффициентов матрицы Мз-1 справедлива оценка |т^(о — 1)| ^ 212, которая легко доказывается по индукции.
Обозначим
П-1 (?)= ^,-1& gt-1 (?1 ,?2Л .= М*-(,-1)? = ^ (т22° - 1)?1 — Ш21 ° - 1)?Л.
3 П-1& gt-2(?1 ,?2^ 2,-1 -т12(0 — 1)?1 + ти 0 — 1)?2/
Заметим, что |д (?1,?2)| ^ 2-^ для к, т = 1, 2. Тогда, используя доказанные ранее неравенства для производных функции ф (?), получим
|?& gt-«|^(?)|| = |?& gt-«|ф (М*-"-1)?)|| = |В"|ф?(п,-1,1 (?1,?2)-П,-1,2"1,& amp-))| «
& lt-? в Э'-в1ф3 (?ь& amp-) 2-& quot-+1 |в|& lt- с"2−2.
0: |0| = |*| 9Пв- 1,1дПв-1,2
Таким образом доказано, что функции |V,(?)| удовлетворяют условию: для каждого мультииндекса, а существует положительное число са, при котором для всех о = 0,1, 2,… и всех х е R2 выполнено неравенство 22|а||^а|V,(х)|| & lt- са.
Шаг 2. Докажем утверждение (И) теоремы. Вначале покажем, что
II/|^,(R2)||М = ||2*'Г-1 |vj|Г/|?р (г, R2)|| & lt- ||/|Гр*,(R2)||.
Поскольку функции |V, | имеют компактные носители, то, полагая а_з (?) = 0, а-2(?) = 0, а-1(?) = 0, можно переписать функции | V, | в виде
Ь (?)| = Ь (?)|? а[2]+г (?),
г=-3
где [2] обозначает целую часть числа [|]. Тогда
5
||Г-1 И|Г/|Ьр (г, R2)|| & lt-? ||Г-11V,|ГР-1а|4]+, Г/|?р (г, R2)||.
г=-3
Применим предложение 1, в котором заменим М,(?) и /,(х) на |V,(?)|, и Га|?]+г Г/(х) соответственно. Функции Г-1 а[?. ]+гГ/ являются целыми функциями экспоненциального типа
= (2[2]+г+1, 2[2]+г+1). Так как НК = при к =1, 2,3,… и для любого о = 0,1, 2,…
1Ь |И? || =? 1Р» |1, (?! ,?2)||^2 (R2)|| «? (/ |^|а| | V, |(?)|2^) 2 & lt-
|а|^К |а|^К К2
^ ^ (У саа2-j|a|d?j2 & lt- Са2−2|а|6 ¦ 2^ & lt- с & lt- го,
1 а 1 ^ К supp Vj 1 а 1 ^ к
т. е. | Vj (?)| е Н2К для любого j = 1, 2,… и для любого к.
Известия Саратовского университета. 2009. Т.9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.2 В соответствии с предложением 1 при к & gt- 1 + т1п2р ,) получим
||Г-1 И|Г-1Га|2+Г/|Хр (г, R2)|| «||{|^,|(м, х?1, Д, 2& amp-)}О=0, г"(Н2К)||||Г-1 а|2+/ (г, R2)||.
Согласно оценкам, доказанным для производных функций |V, (?)|,
IV, (д, х?1,м, 2?2)|^2К|| =? ||В"^(2[2]+г+'?1, 2|2]+г+1?2)Р2(R2 '- '-
|а|
& lt-? Са 2_ 2 |а| 2([ 2 ]+Г + 1)|а| ^ с
|а|^к
для любого о =0,1, 2,… Следовательно, существует постоянная с, такая что
||{Ь |(д, 1?1,д, 2 ?2)}О=0,го (Н2К)| & lt- с& lt- гo,
||г-|Г/|ЬР (г,^)|| & lt- с|^1а|2]+гГ/, ьр (г,^)||.
Таким образом, доказано, что величину ||/|Гр (R2можно оценить сверху через с||/|Гр Шаг 3. Докажем обратное неравенство: ||/|Гр,^2)|| & lt- ||/|^. Поскольку для функций р и ф выполняется условие |ф (М*?)|2 = |р (?)|2 — |р (М*?)|2, то
52(?) =, 1ІП1 (|(?(?)|2 + ?^((м*) (і 1?)|) = к1іп1 |(?((м*) к?)|2 = 1-і=0 0=1
Так как функции |^ | фі-
то ряд Е V.2 (?) в каждой точке? Є К2 содержит конечное число
слагаемых. Тогда справедливо неравенство
і=о
(?)0 І(?) = 1-
і=0
і=0
Таким образом, доказано, что Е IV?(?)| ^ 1 для любого? Є К2.
і=0
Поскольку функции а? по условию имеют компактные носители, то, полагая v3(?) = 0, v2(?) = 0, v1 (?) = 0, можно переписать функции а? в виде
^(?) = (?)? ^2?+г (?)|.
? ^(?)| г=_3 к=0
Далее, получим
Р-1а?Р/|ір (1,К2)|| & lt- ?
г=_3
Р
Р_1Р|^*2? +г |Р/|Ьр (1, К2)
? V |
к=0
Учитывая, что
а /. 7
°~.7 (?)
са2, несложно проверить, что -------- е Н2
? К (5)|'-? К (5)|
к = 0 fc=0
Г-1 ^2,+г|Г/ являются целыми функциями экспоненциального типа д, = (3 ¦ 2,+, 3 ¦ 2,+).
Применим предложение 1 о мультипликаторах. Получим
°~.7 (0
Є НК. Функции
Р
_1 77 — 1
? V |
к=0
Р_1Р|Р/|Ьр (1, К2)
& lt-
& lt-
(3 ¦ 2?+^?1, 3 ¦ 2?+^?2^, 1і(Н2К)
1
? V |
к=0
і=0
Р _1 І^і+г |Р/,ір (1,)
1
а
і
С помощью оценок для производных функций жаз (5)-, полученных ранее, доказано, что
? К (i)l k = 0
(3 ¦ 2j+ 2 ?1, 3 ¦ 2j+ 2 ?2), (HK)
E |vk1 J j=0
k=0
Таким образом, величину ||/|Гр,(R2)|| можно оценить сверху через с||/|Гр,(R2)|||^. Следовательно, ||/|Гр,(R2)|||-| является эквивалентной нормой в пространстве Гр,^2).
Шаг 4. Заметим теперь, что по определению р — вещественная неотрицательная функция, |р (?)| = р (?). Для преобразования Фурье всплеск-функции справедливо равенство
гр (?) = e-«1+"2& gt- itp (?)|.
Определим систему функций {gj (?)}°=0 е C-(R2) следующим образом: g0(?) — финитная функция, равная 1 на supp р- g1(?) — финитная функция, g1(?) = епг (^1+^2) на suppt- gj (?) = g1 ((M*)-(j-1)?) для j = 2,3,… Тогда Vj (?) = gj (?)|vj (?)| и выражение для нормы примет следующий вид:
F-1 V, Ff |Lp (i, R2)|| = ||F-1 gj |v, |Ff |Lp (i, R2)|| = ||F-1gj FF-1|v, |Ff |Lp (i, R:
-1
-1
-1
Применим предложение 1. Функции Г 11V, |Г/ являются целыми функциями экспоненциального типа д, = (3 ¦ 2, 3 ¦ 2 ^). Поскольку
п|а|
|D"gj (?)| = 2(j-1)|a| |m22(j — 1) — m12(j — 1)|а1 |m11(j — 1) — m21 (j — 1)|С
-|а|
2(j-1)|a|
(2 ¦ 2^& quot-"-2-h1)|a| = 4|а|п|а|2^& quot-^|а|
и носители функций gj компактны, то
llgj|WK|| =? ||Dagj|L2(R2)ll =? (/|D"gj (?)|2d{)2 & lt-
|а|^к r2
42|а|п2|а|2- j& quot-21"-2|a|d^ 2 & lt- с ¦ 4KnK2- K6 ¦ 2
* E.
|a|^K supp gj
Таким образом, gj (?) е HKK для любого j = 1, 2,… и для любого к. Тогда
j+1
2 & lt- го.
|F-1 v, Ff|LP (i, R2)||» {gj (3 ¦ 2^?1,3 ¦ 2^?2)}О=0, (HK) {F-1 |v,|Ff}^=0, Lp (i,)
Пользуясь оценкой для производных функций д, (?) получим, что
|Dag,(3 ¦ 2^?1, 3 ¦ 2^?2)| & lt- 4|а|п|а|2-^|а|(3 ¦ 2^) = 12|а|п|а|.
|а|
Заметим, что suppg, (3 ¦ 2 j+ ¦, 3 ¦ 2 j+ ¦) с [-1- 1]2 для всех j = 0,1, 2,… Тогда,
||g, (3 ¦ 2^ ?1,3 ¦ 2V ?2), WK || =? (J |Dag, (3 ¦ 2V? j, 3. 2V ?2)|2d3 & lt-
H^K R2
& lt- 12|а|п|а|4 & lt- с ¦ 12КпК для любого о = 0,1, 2,…
|а|
3 + 1 3 + 1
Следовательно, ||{#,(3 ¦ 2-?1,3 ¦ 2-?2)}О=0, ?о (Н2К)|| ^ с & lt- го. Таким образом, доказано, что величину ||/|Гр,^2)||^ можно оценить сверху через с||/|Гр,^2.
ЭО
Известия Саратовского университета. 2009. Т.9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2
Доказательство обратного неравенства проводится аналогично с помощью системы функций {hj (С)}j=o& gt- таких что hj © G (R2), h0 (С) — финитная функция, равная 1 на supp р- hi (?) —
финитная функция, h1 © = e-ni (il +i2) на supptp- hj © = h1 ((M*)-(j-1)C) для j = 2, 3,…
Таким образом, будет доказано, что ||/|Fp (R2)||v является нормой в пространстве Fp (R2).
Шаг 5. Аналогичные рассуждения с использованием скалярного варианта теоремы о мультипликаторах приводят к доказательству эквивалентности норм для пространств Бесова. Как и для пространств Лизоркина — Трибеля, вначале доказывается, что
|BJ, (
I2)||H = ||2*j F-1|v, |Ff |i, (L
является эквивалентной нормой в Bp, q (R2). Для этого, как и на шаге 2 доказательства, используется представление функций |vj (С)| в виде
И (С)| = И ©!? 2 ]+г (С)
r=-3
и применяется предложение 2 о мультипликаторах. При к & gt- 1 + min2p q) имеем
||F|Vj|F& quot-'Fa, 2]+rFf|LP (R2)|| «|||vj (2[2]+r+'Cl!2[2]+г+1С2)|Я?|| ||F-1 a, 2RrFf, Lp||.
[ 2 ]+r
Ff, L.
Согласно полученным ранее оценкам ||^ 1|^?-|^/|?.
Затем, аналогично шагу 3 доказательства, представим функции © в виде
О/© = ^ ©? ^+г (С)|-
Е к (С)| г=-3 к=0
Применяя предложение 2, получим:
F-1^- F-1 °F j |Ff |Lp (R2) & lt- (3−2j+^Cl, 3−2j+^C2), H2K F-1|v2J+r |Ff, Lp (R2)
E |vk| E |vk|
k=0 k=0
На шаге 3, в частности, было доказано, что
а
Е V|
k=0
(3 ¦ 2j+^Cl, 3 ¦ 2j + ^C2), H

|Bp, q (R2)|||v 1 является эквивалентной нормой
для любого j = 0,1, 2,… Следовательно, величина
в Bp, q (R2).
Доказательство эквивалентности нормы ||f |Bp q (R2)||v проводится аналогично шагу 4. Таким образом, теорема полностью доказана.
Автор выражает благодарность проф. И. Я. Новикову за постановку задачи и полезные обсуждения.
Библиографический список
1. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А. Тео- Separable Wavelet Bases with Isotropic Scaling Matrices
рия всплесков. М.: Физматлит, 2005. 616 с.
and their Relations to Besov Spaces / University Bremen.
2. Bownik M., Speegle D. Meyer Type Wavelet Bases Bremen, 2005. 126 p.
in R2 // J. of Approx. Theory. 2002. V. 116. P. 49−75. 4. Трибель Х. Теория функциональных пространств.
3. Lindemann M. Approximation Properties of Non- М.: Мир, 1986. 448 с.
2

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой