К геометрии n-поверхностей в евклидовом пространстве e n+m

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 514. 752
М.А. Чешкова
К геометрии га-поверхностей в евклидовом пространстве Еп+т
В евклидовом пространстве Е'-1+т рассматриваются две гладкие /?-поверхности М, М и диффеоморфизм Т: М ® М. Исследуются случаи, когда главные нормали поверхности М:
1) параллельны касательным плоскостям к М-
2) ортогональны касательным плоскостям к М. Пусть М, М — две гладкие «-поверхности
в евклидовом пространстве Еп+т, Т: М ® М
— диффеоморфизм, Е (М)-К-алгебра дифференцируемых на М функций, Т/1 -/¦-модуль дифференцируемых на М тензорных полей типа (д, ,?), д — дифференцирование в Еп+т.
Формулы Гаусса-В ейнгартена поверхности М имеют вид ([1], стр. 23)
дху = VхУ + а (X, У),
дх Х=-А XП)
где Х,?& lt-е Т0(М), V — связность Лсви-Чивита
метрики .)) & lt- .) & gt-. & lt-,>- - скалярное произведение в Еп+т, а- вторая фундаментальная форма поверхности М, V1 — нормальная связность, Ах е Т^(М) — оператор Вейнгарте-
на, соответствующий полю X е ТМ1.
Выполняются уравнения Гаусса-Кодацци
Я (X, У)1 = Аа (у, г) Х — Аа (X) У,
Я1 (X, У) X = а (X, Ах У) -а (У, Ах X),
(V хА)(У) — (УуАх)(X) = (2)
А^хху — X, (Оха)(У, I) = ФУа)(X, I),
где
Я (X, У)1 = VXУу1уVXI- V[X, У]I
— кривизна связности V ,
Я 1 (X, У) Х = V X vlx-vl V XX-v[1х У
— кривизна нормальной связности V1,
(VхА)(У)хАхУ- Ах (VхУ)
— ковариантная производная поля А^ в связности V ,
(Бха)(У, г) =
= V ха (У, г) -а (У хУ, г) -а (У, V хХ)
а
сти V1 ev.
Обозначим через г — радиус вектор точки реМ, чере з г — радиус вектор точки /(р) е М, через, а — вектор р Т (р).
Тогда отображение /:М ® М запишется в
виде
т=г-а. (3)
Дифференциал отображения / определится из равенства
dfW=df (dxT) = дхт, Хе Т М.
Положим a=u+r, UeTM, геТ M1. Дифференцируя (3) и используя (1), получим
df (X)=FX+WX, '- (4)
где
FX=X^A, X+V XU, (5)
WX = a (X, U) + V Хт,
ЕХеТМ, WXeT M1.
Отображение f индуцирует на М метрику g (X, Y)=& lt-df (xi, df (Y)>-= '-
=& lt-FX, FY& gt-+<- WX, W1& gt-. (6)
Обозначим через N векторное расслоение
над М, слой которого Ep=Tf (p) M1. Пусть V — связность на М, удовлетворяющая условию
(dxdf (Y)) р — (df (V XY)) p = a (X, Y) p е Ep. (7)
Лемма 1. Связность V есть связность Леви-Чивита. метрики g, а векторпозиач-ная билинейная форма a — симметричная.
Д ОКАЗ ATE Л ЬСТВО. Имеем
Z g (X, Y) =& lt- д xdfX, dfY& gt-+<-dfX, д xdfY& gt-= =& lt-dfV /Х+ a (Z, X), d?& gt-+ +& lt-dfX, dfV ZY+ a (Z, Y)& gt-.
Откуда
Z g x, Y)= g (VzX, Y)+ g (X, V /Y), т. е. связность V согласована с метрикой g. Так как
д xdfi'-+d хд у г и dXд YT -dYdXT — д X YT = 0,
то получим
dfV xY-df V }X-di[X, Y+a (X, У) --a (УД)=0,
Приравнивая нулю касательные и нормальные составляющие к М, получим df (VXY- V YX-[X, yj) =0, a{X, Y)-a (УД)=0,
Так как/- диффеоморфизм, то
V XY- V FY-[Y, yi=0, a{X, Y)-a (УД)=0, т. е. кручение связности V равно нулю. Следовательно, V — есть связность Леви-Чивита метрики g, а билинейная форма a — симметричная.
Для & quot-р е M разложим a (X, Y) p на каса-
тельную, а (Х, У) рт и нормальную С (X, У) р
составляющие к поверхности М,
Лемма 2. Имеют. место соотношения
а (. ?, Г), т =ФхР){У) —пуХ, (8)
а{Х, У) р= (ОХП)(У) + а (X, ГУ), где (ОхГ)(У) = У ХГУ- ГУХУ — ковариант пая производная поля I7 в связности У © У, а (ОрП)(У) = УХПУ-ПУХУ — ковариантная
производная П в связности. Ур (c)У.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из (1),(5),(7) имеем
а (Х, У) = дХ (ГУ + ПУ) — ГУХУ-ПУХУ = = У ХГУ + а (Х, ГУ) — АПУХ+ + УрПУ- ГУХУ-ПУХУ =
= а (Х, У) Т+ а (X, У) р.
Приравнивая касательные и нормальные компоненты, получим (8).
Рассмотрим векторное пространство, определяемое векторами, а (Х,?)р — главная нормаль поверхности М в точке & lt-7=/(р).
Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:
1) главные нормали поверхности М па раллельиы нормальным пространствам к М в соответствующих точках-
2) (ВхГ)(У) = АпуХ ,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, Из (8) следует, что
а (X, У) Т=0 (ОХГ)(У) = А"уХ ,
Теорема 2. Если главные нормали поверхности М параллельны нормальным пространствам к М в соответствующих точках, то тензоры кривизны К, К связностей У, У удовлетворяют соотношениям
К (Х. У)1/. 1Й (Х. У)/.
= А 7 — А 7
|(орпуг) |(прп)(Х-) ¦
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу теоремы 1 имеем
У уГ7 = ГУу7 + АагУ.
Дифференцируем вдоль Л
У хГУу7 +У Х Ап7 У = У х УуГ7 =
= ГУ х Уу7 + АпУу7 Х +У хА"7 [ Х, У]. Так как
У[ х, у ] Г7 = ГУ [ х, У ] 7 + А"7 [ Х, У], то получим
К (х, У) Гг=У х У УГ7-У У У ХГ7 --У[ х, У ] Г7 = ГК (X, У) Х + (УхА"7)(У) —
— (УУАт)(Х) + Апу7Х- Апух7У.
Используя (2), имеем
Щх'-, У) Е1= ГК (Х, У)7 + Аурп7У —
АУрП7 Х + АПУу7 Х АПУх7 У =
= ГК (х, г& gt-г + А (охп)(7 У — А
(ОрЯ)(7)
х.
Пример 1. f: М ® М соответствие Петер-сона, т. е. касательные плоскости в соответствующих точках параллельны. Тогда [2] П = 0, ат=0, аег Г Ф 0, К (Х, У) = Г-1 К (Х, У) Г7, У ХУ = г-'-У ХГУ.
Теорема 3. Следующие утверждения эквивалентны:
1) главные нормали поверхности М параллельны касательным пространствам к М в соответствующих точках-
2) {БХЩ{У) = -а{Х, ГУ).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Главные нормали поверхности М параллельны касательным пространствам к М тогда и только тогда, когда
а1. Используя (8), получим доказательство теоремы.
Теорема 4. Если главные нормали поверхности М параллельны касательным пространствам к М в соответствующих точках, то тензоры кривизны К, К связностей У, У удовлетворяют соотношениям: К1 (Х, У) П7 = ПК (Х, У) 7+
+ а ((ОуГ)(7), Х) -а ((ОхГ)(7), У).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу теоремы 3 имеем
УрП7 = ПУ У7-а (У, Г7).
Дифференцируем вдоль Л
УХУрП7 = У хПУ У7-УХа (У, Г7) = = ПУхУ У7 -а (Х, ГУУ7) -У1ха (У, Г7).
Так как
У[х, У]П7 = ПУ[х,^7-а ([Х, У], Г7), то получим
К1 (Х, У) П7 = ПК (Х, У)7 -а (Х, ГУ У7) +
+ а (У, ГУх7) — У Ха (У, Г7) + + Ура (Х, Г7) + а ([Х, У], Г7).
Из (2) имеем
У ра (Х, Г7) — У Ха (У, Г7) + а (У х У, Г7) --а (У У Х, Г7) + а (У, У ХГ7)-а (Х, У УГ7) = 0.
Таким образом,
Кр (Х, У) П7 = ПК (Х, У)7+а (У, ГУх7) —
а (Х, ГУУ 7) + а (Х, У У Г7)-а (У, У ХГ7) = = ПК (Х, У)7+а (У, (ОхГ)(7)) --а (Х ,(ОуГ)(7)).
Пример 2. М, М -п поверхности в В2& quot-, касательные плоскости которых в соответствующих точках ортогональны. Тогда [3]
р=о, а1 =о. я (х, У) г= о-1 г'-(х, У) аг, V ху=
Определено О-1. Имеем О У.
Литература
1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т. 2. 414 с.
2. Чешкова М. Л. Соответствие Петереоиа нары /"-поверхностей/ Тр& gt-ды международно1-о конгрес-
са & quot-Женщины-математики"-. Н. Новгород, 1994. Выи. 3. С. 42−46. 3. Чешкова М. Л. К геометрии иары ортогональных /1-иоверхноетей в -Ё2& quot-//Сиб. мат.ж. Т. 36. 1995. С. 228−232.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой