К исследованию квазилинейных систем с двумя степенями свободы

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МАТЕМАТИКА
УДК 517. 9: 534. 1
К ИССЛЕДОВАНИЮ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
© 2010 г. Н. С. Красулина, А.Д. Морозов
Нижегородский госуниверсистет им. Н.И. Лобачевского
morozov@mm. unn. ru
Поступила в редакцию 20. 05. 2010
Рассматриваются квазилинейные системы с двумя степенями свободы общего вида в резонансном и нерезонансном случаях. Приводятся укороченные (усредненные) системы размерности 3 в резонансном случае и 2 в нерезонансном случае, которые с точностью до малых членов описывают поведение решений исходной четырехмерной системы. Рассмотрение иллюстрируется на примере двух слабосвязанных уравнений Ван дер Поля. В случае главного резонанса находится трехмерная усредненная система, которая зависит от двух параметров, и проводится ее исследование. На плоскости параметров находятся бифуркационные кривые, связанные: 1) с изменением числа состояний равновесия, 2) с рождением предельного цикла (бифуркация Андронова-Хопфа), 3) с рождением предельного цикла второго рода. В случаях резонансов высших порядков, а также в нерезонансных случаях в четырехмерном пространстве исходной системы существует двумерный устойчивый инвариантный тор.
Ключевые слова: резонансы, предельные циклы, состояния равновесия, бифуркации, усреднение.
1. Введение. Постановка задачи
Исследованию квазилинейных систем с двумя степенями свободы посвящено большое число работ (см., например, [1, 2]). В основном в этих работах исследуются резонансы. Побудительным мотивом заняться этой задачей явилась работа [3], в которой рассматривается система трех осцилляторов Ван дер Поля, описывающая суточные ритмы в химии глаза. Два осциллятора идентичны и связаны друг с другом не непосредственно, а через третий осциллятор. В случае совпадающей по фазе моды (совпадение двух осцилляторов) задача сводится к системе двух осцилляторов Ван дер Поля
у
х + х = е[(1 — л:)х +ц (м'--х)], м& gt- + со^ = б (1 — н& gt-2)й'- + 2ц (х — и'-)].
Здесь а& gt-2, Ц — параметры, е — малый положительный параметр. При этом авторы работы
[3] используют результаты экспериментов над перепелками и проводят исследование системы (1) в случае главного резонанса в основном численно. Мы также рассмотрим систему (1) и установим для нее в случае главного резонанса новые результаты, связанные с исследованием усредненной трехмерной системы.
Кроме этого будут рассмотрены и другие резонансы, а также нерезонансный случай. Показано, что во всех таких резонансных, а также в нерезонансных случаях в исходной системе существует двумерный инвариантный устойчивый тор (с квазипериодической обмоткой в нерезонансных и с периодической обмоткой в резонансных случаях). В случае главного резонанса существует нетривиальное устойчивое периодическое решение.
Исследование системы (1) предваряется исследованием произвольных квазилинейных систем с двумя степенями свободы
*1 + СО?*! = ?gl (xl, x2, xl, x2),
2
х2 + (й2×2 = еg2 (*1, х2, хъх2),
где gi, g2~ достаточно гладкие функции своих
аргументов в некоторой области DtzR4, 8 -малый положительный параметр.
Вводя в (2) фазовые переменные (*!,& gt->-! = х1, х2,у2 =х2) и переходя к канониче-ским переменным действие-угол
*1 = - Sin 01, *2 = j- sm02,
V «1 V ю2 (3)
У = V2/1®1 COS0!.^ = л!212Ю2 cos 02& gt-
получим систему
21,
А — е? п (^1& gt-^2>-®1>-®2)-|/-~ СОБ 0^:
V «1
= ^(/і,/2,61,62),
/2 _ є^22(^1'^2'6і, 62)1|------С03б2 =
С02
— ^2(/і,/2,Єі, 02),
2/2
6] - с?"і - є^-1і(7'-і,^2,6і, 62)
віпбі
л/2/і"і
(4)
В системе (6) три медленные переменные /1,/2,ф и одна быстрая 62. Правые части системы (6) периодические по 02 с наименьшим периодом 2пр. Усредняя систему (6) по быстрой переменной 02, получаем
йт = е/'ето (щ, и2, ф), т = 1,2,
Ф = аР’зоСи^иг. Ф),
где
2щ& gt-
(7)
= ®і + ?/з (/і& gt-/2>-6і, 02),
62 = ю2 ~~ Е822 (/і & gt- /2 & gt- 6], 62)
= ю2 +е/'4(/і,/2,61,62),
віп 62
л] 21 2® 2
рт0=1. ---- |^(М1,М2,Ф, 62) СЮ2^ = 152,
2пр
1 2 пр
^30=- |[/'зО--/'4(-)]^2−2яр ^ р
(8)
где /15/2 — переменные действия, 6,62 — угловые координаты,
^Л*(^1& gt-/2>-01>-®2) — Я*
2/1 • О
----- БШ 0],
(r)1
-- вш 62,2сое 61, д/2/2ю2 сое 62
р V ю2 * = 1,2.
Функции ^т0(м1,м2,Ф) — периодические по Ф с периодом 2п и достаточно гладкие по своим аргументам в некоторой области О0хБ1, где Д0сЛ2.
2.1. О связи усреднённой и исходной систем. Метод усреднения связан с некоторой заменой.
Разложим функции Рт, т = 1,2, /3 — -/4 в
ряды:
Определение 1.1. Говорят, что в системе (4) имеет место резонанс, если
ю, =-ю2, (5)
Р
где риц- взаимно простые целые числа.
2. Усреднение в резонансном случае
Предположим, что условие (5) выполнено. Приведем систему (4) к виду, для которого мы сможем применить метод усреднения.
Делая в (4) замену 0≠ф + - 02, придем к
р
Мг
ад,/2,Ф, 02) = Ф) е р
системе
/і=Е/і(/і,/2,ф + ^02,02),
Р
?2 = є/2(/і& gt-/2>-Ф + ~62,02), Р
Ф = е[/з (/ъ/2& gt-Ф + ~02'02)_ Р
-^^(/і,/2,ф + ^02,02)],
02 -Щ +Є^4(/і& gt-/2"Ф"-1------62,02).
Р
М2
а +со 1
^(¦)--^40=13*(/1. /2. Ф) е *, Р
и сделаем в системе (6) замену переменных:
М2
г _ ?1 у %(/1"/2& gt-Ф) 1 Р
Ч — Щ-----2і,--------------е
& lt-°2 к*о к
, кв2
І2=и2_^р2кіІЬІ2Л)еР ю2 к*0 *
М2
Щ_Ф Фу%(у2. Ф) — л
ю2? Ы0 *
В результате получим систему
йт = гРт0(щ, и2, Ф) + 0(г2), т = 1,2,
(9)
(6)
Ф — е/зо (м1& gt-м2>-Ф) + ^(е),
02 =Ю2-Ее (М1,М2,Ф, 02) + О (Е2),
2
где члены порядка 8 зависят как от щ, и2, Ф, так и от 02. Предполагаем, что эти члены ограничены в области ?& gt- х 51×51.
Если в этой системе пренебречь членами 2
0(8), то получим систему
= ьРто (цьи2,Ф), т =, 2,
Ф = ^30(м1,и2,Ф), (Ю)
02 =ю2-?С (м1& gt-м2>-ф>-02)>-
в которой первые три уравнения не зависят от 02. Следовательно, фазовое пространство системы (10) является прямым произведением фазового пространства усредненной системы (7) на. Тогда нетривиальному простому состоянию равновесия усредненной системы соответствует периодическое по 02 решение системы (10), а периодическому решению — двухчастотный режим. Более точно, применима теорема Боголюбова [4] (см. стр. 400, а также примеры на стр. 401−406 о приведении системы к стандартной форме).
2.2. Усреднение в нерезонансном случае. В случае когда число «& gt-! / ю2 плохо в известном смысле приближаемо рациональными числами, приходим к усредненной системе
^k=EFko (ubu2)& gt-k = h 2,
где
•і 2тг 2 ти
F/cO = 2 I р-*(ы1& gt-м2>-®1>-®2)с-®1й®2 ¦ (12)
0 0
Система (11) получается из системы (4) после замены
Ik=uk-si? Fkmj{Ibh)
(И)
(13)
п2+]2мтщ+]щ * = 1,2,
и отбрасывания членов 0(г2). В (13) Рщ —
коэффициенты разложения в двойной ряд Фурье функций РкШ,/2,01 & gt-92) ¦ При указанном условии на число 0)2 / ю2 РВД в (13) сходится.
Если в системе (11) существует простое нетривиальное состояние равновесия, то в исходной системе (2) ему соответствует двумерный инвариантный тор (устойчивый или неустойчивый в зависимости от того, устойчиво или неустойчиво состояние равновесия).
3. Рассмотрение примера
3.1. Случай главного резонанса. Усреднённая система. В качестве примера рассмотрим систему (1). Предположим, что имеет место главный резонанс: ю2 = 1. Естественно рассмотреть не только точный резонанс, а также слу-
чай, близкий к резонансу: ю2 = 1 + еД. Здесь параметр, А определяет уклонение от точного резонанса. Тогда, используя (7), (8), получаем усредненную систему
i/м, и, 2 i----. _
---- = Щ------ + (J, JMjM2 Sin Ф ,
di 2
- = м2 -^--2^щи2 sin®, (14) ах 1
i/Ф. ц ц и, — 2щ _
---= А + - + ------ eos Ф,
dx 2 2 ^mjm2
где т = 81 — медленное время.
Исследование двухпараметрического семейства системы (14) достаточно сложно. Например, затруднительно в аналитическом виде без использования компьютера построить на плоскости параметров области с разным числом состояний равновесия. Поэтому будем применять компьютерную программу Maple. При построении фазовых кривых системы (14) будем использовать программу WInSet [6].
В работе [3] были построены численно бифуркационные кривые на плоскости параметров (A, (i), разделяющие области с разным числом состояний равновесия, а также некоторые другие кривые. При этом усредненная система имела другой вид, связанный с использованием не переменных действие-угол, а полярных координат. В работе [3] не были построены фазовые портреты усредненной системы, а также не был решен вопрос о судьбе предельного цикла, родившегося из состояния равновесия типа седло-фокус в результате бифуркации Андронова-Хопфа. Все это представлено в данной работе.
Установим число состояний равновесия системы (14) и определим их тип при различных значениях параметров.
3.1.1. Состояния равновесия. Система для нахождения состояний равновесия системы (14) имеет вид
щ — + 11у]щи2 sin Ф = 0,
и2 — ~y — 2цл/м1и2 sin Ф = 0, (15)
. ц ц и2 — 2 м.
А + - + -, eos Ф = 0.
2 2 уMjii2
Исключая из уравнений (15) и2 и Ф (с использованием Maple), получаем
9и6 — 78и5 + (-32А2 — 8ц2 — 32Ац + 268) и4 +
+ (-456 — 72ц2) мЗ + (384 + 448ц2 +
+ 448Ац + 448А2 + 896А2ц2 + 432ц4 +
+ 512А3ц + 640ц3 А + 256А4) и2 + (-1024А3ц- (16)
-1 664ц3 А — 640Л2 — 21 76А2ц2 -1152ц4 --128 — 640Лц- 512А4 — 672ц2) и1 +
+ 256ц3Л + 256ц2 + 576ц4 + 256ц2 А2 = 0.
Для сложного состояния равновесия уравнение (16) должно иметь кратный корень. Продифференцируем уравнение (16) по и1. Из уравнения (16) и получившегося уравнения исключаем переменную и1. В результате получим условие на параметры (А, ц), при которых существует сложное состояние равновесия: 231 647 232 ц9Л3 +105 827 328 ц10 А2 +231 360 Л4ц 2 + +919 879 680 Л6ц6 +81 358 848 Л7ц3+221 709 312 ц13А + +51 904 512 цА11 +45 349 632 ц14 +6 033 408 А10 + +2 745 761 792 А8ц6−12 636 ц6 +9 027 936 ц12 + +912 162 816 Л7ц5 -38 032 128 Л5ц5 +
+701 669 376 А8ц4 -15 105 708 ц9Л +38 320 128 цпА + +392 167 424 Апц3 -4 323 051 ц10 +8 650 752 А12 --334 912 Л5ц3 +539 217 ц8 +16 Ац +40 007 424 Л6ц4 + +16 А2 +2640 ц3 А +7 749 632 А7ц +1 759 248 384 А9ц5 --81 ц4 +1 937 408 А8 +20 304 ц2 А2 +
+453 522 432 А4ц8 +1 492 475 904 цпА3 +
+7 929 600 А6ц2 +65 590 272 А8ц2 -80 637 888 А4ц6 + +17 664 А4 +296 448 А6 +8 802 064 ц6А2 +
+3 420 995 584 А5ц9 +930 873 344 А10ц4 --63 304 320 А3ц7−1 019 520 А3ц3 +35 328 А3ц --183 192 Ац5 +3 036 832 ц7Л +410 910 720 А9ц3 + +3 541 827 584 Л7ц7 +29 360 128 цА13 + (17)
+128 974 848 А12ц2 +2 529 857 536 Л4ц10 +69 050+ +8800 ц12А2 -35 909 484 ц8А2 +4 194 304 А14 --3 381 904 А4ц4+177 340 416 Л10ц2 +7 835 616 А3ц5 + +721 944 576 Л5ц7 -841 176 А2ц4 +889 344 А5ц + +30 167 040 А9 ц +3 827 613 696 А6ц8 =0.
Кривые (17) разделяют плоскость (А, ц) на области с разным числом состояний равновесия. Эти области показаны на рис. 1. Отметим, что здесь речь идет о состояниях равновесия в области и] & gt- 0, и2 & gt- 0,0 & lt- Ф & lt- 2п.
Тип состояний равновесия определяют корни характеристического уравнения
А3 + с2(ц, А) А2 + с1(ц, А) А + с0(ц, А) = 0, (18) где коэффициенты сК выражаются известным
образом через элементы матрицы Якоби, вычисленные в состоянии равновесия. Варианты расположения корней Ак = ак + гЪк, к = 1,2,3, на комплексной плоскости для простых состояний равновесия показаны на рис. 2.
3.1.2. Бифуркация Андронова-Хопфа. Найдём аналитические выражения кривых на плоскости параметров (А, ц), соответствующих бифуркации Андронова-Хопфа [7].
Для бифуркации Андронова-Хопфа мы требуем, чтобы существовала пара чисто мнимых корней характеристического уравнения: А23 = ±/'-Р. Обозначим А! = у. Тогда характеристический многочлен имеет вид
А3 — уА2 +р2А-р2у = 0. (19)
Сравнивая уравнения (18) и (19), мы видим, что необходимое условие для бифуркации Анд-ронова-Хопфа:
с0 = с1с2. (20)
Из соотношений (16), (20) находим уравнение бифуркационной линии на плоскости (А, ц):
206 046 997 776 ц16 +128 246 239 872 Ац15 --1 055 299 653 504 А2ц14 +151 716 144 096 ц14 --4 792 910 330 880 А3ц13 -959 470 912 224 Ац13 --10 067 384 941 056 А4ц12 -4 022 175 416 544 А2ц12 --76 183 604 811 ц12−13 620 666 378 240 А5цп —
-0 4 _П «& gt- ПО О *& gt- 0 4
Рис. 1. График неявной функции (17). Цифры указывают на количество состояний равновесия системы (14) в соответствующих областях
ІЇ
і
Седло Устс& lt-УгеыЯуз5П УлшЯчиш. Фужимшж)»: Седло-фокус
Рис. 2. Варианты расположения корней характеристического уравнения


а)

і
і
/
… х
Мгп & lt-. _! І. І
|& gt-І
Ц
I
V
у
Ь)
-*Ы -111
Рис. 3. (а) График неявной функции (21) и (Ь) бифуркационные кривые системы (14)
Рис. 4. Фазовые портреты усреднённой системы
-8 422 624 949 760 ДУ1 -1 162 076 374 872 Дц11 --11 038 023 456 768 ДУ°-9 771 098 692 608 ДУ° -2 453 769 115 848 А2|а10−53 727 633 963 ц10 --1 633 265 565 696 Д7ц9 -5 111 334 563 328 Д5ц9 --2 698 414 682 336 Д3ц9 -368 730 619 308 Дц, 9 + +10 450 239 639 552 Д8ц8 +4 596 633 773 568 Д6ц8 --930 295 796 592 Д4ц8 -500 042 378 940 Д2ц8 --10 567 871 928 |і8 +18 955 313 086 464 ДУ + +14 654 584 700 928 ДУ +2 928 072 365 568 Д5ц7 --65 251 243 872 Д3ц7 -43 666 800 936 Дц7 +
+20 325 924 864 000 Д10ц6 +19 734 795 325 440 Д8ц6 + +6 459 457 683 968 ДУ +646 749 530 928 ДУ --25 863 482 760 ДУ 842 897 393 ц6 + +15 864 307 384 320 Д’У +18 526 299 439 104 ДУ + +7 894 980 157 440 Д7ц5 +1 385 895 931 968 Д& gt-5 + +75 604 570 176 Д3ц5 1 221 626 868 Лц5 + +9 417 278 619 648 Д'-У +12 970 012 852 224 Д’У + +6 670 762 715 136 А8ц4 +1 563 045 302 976 Дб|/ + +151 762 831 008 ДУ +2 639 537 484 ДУ --16 895 076 ц4+4 277 139 406 848 ДУ +
Рис. 5. Рождение предельного цикла второго рода
а)
I * V
/
ч /
/
. ¦!_ -Г|3 I ¦ г ¦? НА
с)
I. I
I
ас 125 «с ж: -11'-
Рис. 6. (а) Бифуркационные кривые системы (14) и (Ь, с) решение исходной системы
+6 902 205 382 656 Д’У +4 225 522 688 000 Д9ц3 + +1 243 790 340 096 Д7ц3+175 856 646 912 Д5ц3 + +9 882 465 920 Д3ц3 +104 063 568 Дц3 + +1 433 187 385 344 Д’У +2 690 954 035 200 Д’У + +1 939 282 108 416 Д’У +685 956 946 944 Д8ц.2 + +123 792 201 984 ДУ +10 341 576 000 Д4ц2 + +273 469 584 Д2ц2 +1 086 528 ц2 +
+328 866 988 032 Д15ц+711 039 909 888 Д13|д + +596 824 129 536 Дпц +250 006 241 280 Д9ц + +55 862 845 440 Л7ц +6 480 411 648 Д5ц + +338 812 032 Д3ц +5 262 144 Дц+41 108 373 504 Д1б + +101 577 129 984 Д14 +99 470 688 256 Д12 + +50 001 248 256 Д10+13 965 711 360 А8 + +2 160 137 216 А6 +169 406 016 А4+5 262 144 А2 + +43 264=0. (21)
Заметим, что при малых ц и Д в полученной формуле преобладают члены с небольшими степенями.
Объединяя рис. 1 и рис. За, получим рис. ЗЬ.
Части графика функции (17), находящиеся в треугольных областях, можно не рисовать. В этих областях число р2, упомянутое в уравнении (19), отрицательное и собственные значения X = ±г'-Р — действительные. Следовательно, бифуркация Андронова-Хопфа не встречается.
Теперь мы можем сказать о типе состояний равновесия в каждой из полученных областей.
Области I и II: два состояния равновесия седло-фокус.
Область III: одно состояние равновесия устойчивый узел-фокус, одно — седло-фокус, два седла.
Область IV: одно состояние равновесия устойчивый узел-фокус, одно — седло-фокус.
Область V: два состояния равновесия устойчивый узел-фокус, два седла.
Область VI: два состояния равновесия устойчивый узел-фокус.
3.1.3. Глобальные перестройки фазового портрета усреднённой системы. Как мы установили, в системе (14) при переходе параметров через полученную выше бифуркационную ли-
нию может родиться предельный цикл. Такой цикл мы будем называть циклом первого рода. Какие глобальные бифуркации могут происходить с предельным циклом? Для ответа на этот вопрос фиксируем, А и изменяем параметр (х. Например, положим, А = 0.3. Обозначим через ц*(А) бифуркационное значение (ц*» 0. 4465). При ц & gt- ц* существуют два состояния равновесия: О, — устойчивый узел-фокус и Ог — седло-фокус с устойчивым одномерным многообразием (рис. 4). При переходе через бифуркационную кривую на рис. 3 сверху вниз из узла-фокуса родится устойчивый предельный цикл первого рода, лежащий на двумерном сепарат-рисном многообразии. При этом состояние равновесия О] становится неустойчивым «седло-фокусом» (рис. 4Ь).
С уменьшением параметра р. предельный цикл растет по величине, приближаясь к плоскости и2= 0. На этой плоскости сущест-
состояния равновесия
вуют
(
А
V
Два
2,0,|Л
, В
седловых
V z.
При ц = ц**(А) «0. 372
ществует устоичивыи предельный цикл первого рода, то решение x (t), w (t) двухчастотное.
3.2. Случай высших резонансов. При
усредненная система принимает вид: и1 _ и2
(22)
предельный цикл влипает в контур, составленный из сёдел А, В и их одномерных сепаратрис
Г1 и Г2 (рис. 5а).
Затем от сепаратрисы Г2 рождается предельный цикл второго рода (периодический по Ф, рис. 5Ь).
Далее, для дискретного набора значений параметра, А повторяя описанную процедуру нахождения бифуркационного значения параметра ^**(А), мы получаем (в дополнение к ранее найденным) бифуркационные линии, представленные на рис. 6а. Для параметров ц и, А из областей А, В, С, Б в системе (14) существует предельный цикл первого рода, а из областей I и II — цикл второго рода. В области IV цикл второго рода отсутствует. Аналогичные бифуркационные линии были построены в [3].
3.1.4. О поведении решений исходной системы. Согласно теореме об усреднении, простому нетривиальному состоянию равновесия усредненной системы (14) соответствует периодическое решение периода 2% в исходной системе (1), а грубому предельному циклу первого рода — двухчастотное решение (как правило, квазипериодическое). На рис. 6 (6Ь, с) показаны графики решения системы (1) при 8 = 0. 1, А = 0. 3, ц = 0. 373. Так как при этих значениях параметров у усредненной системы су-
ат щ 2 7
а т 2 р аФ р2 — 2?2
Тт-^-Чр-
Первые два уравнения не зависят от Ф, и каждое имеет состояние равновесия: щ= 2 и
м2=-. Тогда на фазовой плоскости (щ, и2) Ч
существует нетривиальное устойчивое состояние равновесия, которому в исходной системе будет отвечать двумерный устойчивый инвариантный тор с периодической обмоткой.
3.3. Усредненная система в нерезонансном случае. Используя (11), (12), получаем
ащ щ
------ U і---------
di 2
аи2
— Ко
и2
(23)
а% * 2ю2
На фазовой плоскости (щ, и2) существует нетривиальное устойчивое состояние равновесия, которому в исходной системе при иррациональном (в2 отвечает двумерный устойчивый инвариантный тор с квазипериодической обмоткой. Заметим, что ряд в замене (13) в данном случае содержит лишь конечное число ненулевых членов.
Работа поддержана ФЦП «Кадры», НК-13П-13.
Список литературы
1. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976.
2. Rand R.H. Lecture Notes on Nonlinear Vibrations. Internet-First University Press, Cornell Univ., 2003. URL: http: //www. tani. comell. edu/randdocs.
3. Rompala K., Rand R., Howland H. Dynamics of three coupled Van der Pol oscillators with application to circadian rhythms // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2007. 12. P. 794−803.
4. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Госиздат, физмат, литер., 1958.
5. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.- Л.: Гос-техиздат, 1947.
6. Драгунов Т. Н., Морозов А. Д. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. М. -Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 304 с. (см. также учебное пособие тех же авто-
ров: Использование программы WInSet для визуализации динамических систем. Изд-во Нижегородского государственного университета, 2007).
7. Афраймович B.C., Гаврилов Н. К., Лукьянов В. И., Шильников Л. П. Основные бифуркации динамических систем: Учебное пособие. Горький: Изд. ГГУ, 1985.
ON INVESTIGATION OF QUASILINEAR SYSTEMS WITH TWO DEGREES OF FREEDOM
N.S. Krasulina, A.D. Morozov
Quasilinear systems with two degrees of freedom in resonant and nonresonant cases are considered. Shortened (averaged) systems (three-dimensional in a resonant case and two-dimensional in a nonresonant case) are given. These systems describe the behaviour of the initial four-dimensional system with accuracy up to small members. The consideration is illustrated by the example of two weakly coupled van der Pole equations. For the case of the main resonance, a three-dimensional averaged system is found which depends on two parameters, and the study of this system is carried out. Bifurcation curves found on the parameter plane are related to: 1) the change of number of equilibrium states, 2) the birth of a limit cycle (Andronov-Hopf bifurcation), 3) the birth of a limit cycle of the second kind. In case of higher-order resonances and also in nonresonant cases there exists a two-dimensional stable invariant torus in four-dimensional space of the initial system.
Keywords: resonances, limit cycles, equilibrium states, bifurcations, averaging.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой