Оперативный метод анализа переходных процессов в электрических цепях (концепция и реализация инженерного метода)

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы технических и прикладных наук и отраслей народного хозяйства


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 621.3. 064
ядерная А. А. Ковель
и альтернативная Сибирская пожарно-спасателъная академия —
энергетика
филиал Санкт-Петербургского университета ГПС МЧС России, г. Железногорск, Красноярский край, Россия
оперативный метод анализа переходных процессов в электрических цепях (концепция и реализация инженерного метода)
Предложен оперативный метод описания переходных процессов в электрических цепях, показано применение метода.
Ключевые слова: переходный процесс, нулевые условия, уровень условного
нуля.
A. A. Kovel
Siberian Institute of Fire Safety — branch of St. Petersburg University of State Fire Service of EMERCOM of Russia, Zheleznogorsk, Russia
THE EFFICIENT METHOD OF TRANSIENTS
IN ELECTRIC CIRCUITS ANALYSIS (CONCEPTION AND IMPLEMENTATION OF ENGINEERING APPROACH)
The efficient method of transients in electric circuits representation is proposed,
the method application is described.
Keywords: transient, zero conditions, reference level.
Переходные процессы (1111) в электрических цепях (ЭЦ) — специфический режим работы ЭЦ, что отражают математические модели (ММ) процессов, отличающиеся от ММ стационарных (установившихся) процессов, а также их возможные последствия.
Внимание к переходным процессам также определяет то обстоятельство, что прогрессирующее применение цифровой электроники делает их элементом нормального функционирования устройств наравне со стационарными режимами, а не эпизодическими явлениями при включении или выключении (коммутациях), что характерно для аналоговых устройств.
© Ковель А. А., 2014
Классический метод описания переходных процессов как сумма частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения однородного уравнения зачастую вызывает затруднения при физической интерпретации решения, так как понятия принужденного и свободного состояний ЭЦ — только удобная математическая модель, обеспечивающая расчет переходных процессов в линейных цепях [1].
Предложенный метод (инженерный) исходит только из физических процессов в ЭЦ.
Переходный процесс — изменение во времени параметров ЭЦ (токов, напряжений, зарядов), содержащей реактивные элементы (индуктивности, конденсаторы — РЭ, рис. 1), при переходе ЭЦ из одного стационарного
ИССЛЕДОВАНИЯ
КО-
М_Ш ИССЛЕ)
нлу
Ж г
ГРАДА
40
(установившегося) состояния в другое. На схеме эти состояния определяют два положения ключа (Кл).
Анализ переходных процессов предполагает определенные начальные условия, то есть значения токов и напряжений в ЭЦ при г = 0. Если непосредственно перед коммутацией (замыкание или размыкание Кл) все токи в ветвях и напряжения на пассивных элементах ЭЦ равны нулю, то имеют место нулевые начальные условия. И токи в ветвях с индуктивными элементами и напряжения на конденсаторах при переходных процессах начинают изменяться с нулевых уровней. При ненулевых условиях — с тех уровней, которые они имели непосредственно до коммутации [2].
После коммутации, используя правила Кирхгофа, состояние ЭЦ (зависимости между токами и напряжениями) о писывают дифференциальными уравнениями первого порядка [1]:
т-^ш=-яш и Е — ?ь (г) К L
й[Е-ис (г)] =_ ^
Е — ис (г)
Я
о
Кл
РЭ
я
н=ь
А (г) =-и йис (г)
ч (г) L ис (г)
К
-йг.
в т) и ис (г) = Е (1 — е т) при подклю-
г — г
при подключении РЭ к источнику Е (рис. 1, а, где в первом случае РЭ — -, во втором — с).
При отключении РЭ от источника Е (рис. 1,6) —
Результат интегрирования уравнений
(г) = Е (1
К е --
чении и и (г) = - е т и ис (г) = Ее т при отклю-
— V / К с
чении РЭ от источника Е (т — постоянные времени и КС ветвей, характеризующие динамику переходного процесса, равные соответственно — и КС). К
Обобщая полученные результаты и предваряя дальнейшие построения, первый
и второй результаты обозначены как
t t
У (t) = А У (1 — е) и У (t) = А У е ,
где У и ДУ — соответственно уровень и приращение уровня параметра (тока, напряжения), отражающие возрастающую и убывающую экспоненциальные зависимости при нулевых начальных условиях (рис. 2, а, б).
Приведенные результаты позволяют перейти к рассмотрению переходных процессов при ненулевых начальных условиях.
В графическом представлении фрагменты состояний параметров при ненулевых начальных условиях даны на рис. 3, а, б,
к*
о

1
РЭ
к
Рис. 1. Электрическая цепь
т К *
ЛУ
/ ч
и и -" * (
у (0т
Т~
ЛУ
I
Ь: & lt-- Ьш
а б
Рис. 2. Графики приращений параметров при переходных процессах: гк = 0 — момент (начало) коммутации, г — продолжительность переходного процесса
1
б
а
Рис. 3. Фрагменты состояния параметров переходных процессов: У и Ук — соответственно начальный и конечный уровни параметров, отражающие стационарные состояния в ЭЦ до и после 41
переходных процессов.
Таким образом, если до коммутации
(tK = 0) уровень параметра (начальный) был
У, а после t + t стал У (конечный), то пен к пп к 4
реходный процесс определяет приращение уровня, А У:
ДУ = |Уя — У
в интервале t.
пп
Это обусловлено тем, что процессы в ЭЦ, содержащих РЭ (L, C), обусловлены скоростями изменения токов или напряжений (di/dt, du/dt) и не зависят от стационарных начальных уровней. То есть только приращения уровней параметров на временном промежутке tnn запускают соответствующие переходные процессы.
Это хорошо иллюстрирует операторное представление переходного процесса:
L { f'-(t)}•=• pF (p) — f (0),
то есть при наличии исходного уровня [Ун = f0)] он исключается из формирования переходного процесса, и в обоих случаях [/(0) = 0 — нулевые начальные условия и /(0) ф 0 — ненулевые начальные условия] его картину определяет только компонента pF (p) — производная от f (t).
Это позволяет сформулировать алгоритм получения математических моделей переходных процессов в ЭЦ при ненулевых начальных условиях, именуемый далее инженерным методом:
— применяя правила Кирхгофа (или другие методы расчета), определяют уровни параметров стационарных состояний ЭЦ до начала переходного процесса (Ун) и после его окончания (Ук) —
— сопоставляя полученные уровни, определяют приращения (АУ) соответствующих параметров (токов, напряжений, зарядов) —
— один из уровней (Ун или Ук) принимают за уровень условного нуля — У (У0), относительно которого рассматривают развитие переходных процессов-
— для отражения хода переходного процесса используют математические модели, полученные при описании переходных процессов для нулевых начальных условий:
У (0 = ДУЭМ1 и У (^) = ДУ-ЭМ2,
Л --
где ЭМ1 — (1 — е т), а ЭМ2 — е т (соответствующие экспоненциальные множители) —
— к полученным результатам добавляют исключенные уровни условного нуля [У (У0)] и получают окончательные математические модели соответствующих переходных процессов.
Для иллюстрации представлены примеры описания переходных процессов в простых ЭЦ, полученные операторным и инженерным методами.
На рис. 4 — традиционное и операторное представление электрической схемы, содержащей источник ЭДС (Е), R и Ь элементы.
В исходном состоянии (Кл разомкнут) ток,
Е
протекающий в ветви Ь, равен -.
2R
Рис. 4. Электрические схемы с элементами E, R и L
ИССЛЕДОВАНИЯ
КО-
М_Ш ИССЛЕ)
нлу
Ж г
42
ГРАДА
При коммутации (замыкание ключа)
I (Р) =
Е (р) + LI0 = Р + 2Я
Я + pL ~ Я + pL
1 0,5 Е L
+
рЯ + pL Я Я + pL
1
0,5 Е
Я (л РL
РI 1 + -
Я
Я L
Я (Я
РI Р + ^
а
я я (1+я
0,5 Е 1
+~Я-Я р+1 0,5 Е 1
Я р (р + а) Я р + а •
• Еп 0,5 Е —
• = - (1 -е т)+ -- е т =
• Я Я
= Е — °15Е е& quot-Т= Е (1 — 0,5е) = I (I). Я Я Я
Применение инженерного метода предпочтительно начать с графического представления переходного процесса (рис. 5).
1(уо)
КО'- ^__+ !
1 а II р !
0,5Е
Я ! К
и, & lt-- и-«! 1
Я
Я
Е 0,5 Е — Е, л п г -ч
---2-е т = - (1 -0,5е т).
Я Я Я
Результат соответствует тому, который получен операторным методом, но более простыми средствами.
Второй пример (рис. 6).
К
Я
Я
Я

Кл
I
= 4
р
О
Кл
р1 По
е-
Рис. 6. Электрическая схема Исходное состояние — Кл замкнут.
I (Р)
Е ье_
_ Е (Р) + Ыр _ Р + R
2 R + р1 2 R + р1
ток после размыкания Кл.
После преобразований, аналогичных первому примеру, —
) 0,5Е, а 1 • I (р) =---- + Е-
Я р (р + а) р + а •
. 0,5Е, л -1 0,5Е 0,5Е —
.= --(1-е Т) + Ее 1 =-- + --в 1 = Я Я Я
0,5Е, л, ч
= (1 + * т) ='-().
Я
Графическое представление переходного процесса — рис. 7.
Рис. 5. Графическое представление переходного процесса
После коммутации = 0) начинается переходный процесс с исходного стационар-
(Т 0,5
ного уровня / = --, который принимают
У Я ] о 5Е
за уровень условного нуля 1(у0) = --. Тогда
Я
0 5 Е — -
?(-) = М¦ ЭМ1 = --(1 -е т) —
R
изменение тока относительно условного нуля (черта снизу). Окончательный результат:
I ()=т+1 (уо)= 0'-5 Е (1 — 0,5 е ^) + -0'-5 Е

Т 0,5Е Е Я Я *
0,5Е Я
(к Ьхп и& quot-
¦1(уо)
Рис. 7. Графическое представление переходного процесса
На рис. 7: Е — ток исходного (докомму-R 0,5 Е
тационного) стационарного уровня- --
ток конечного (посткоммутационного) уровня, который является уровнем условного нуля-
0,5 Е Т
-- = А/ - изменение тока между двумя стационарными уровнями за время. Тогда
г (г) = М • ЭМ 2 =
0,5 Е -1--е т
R
ММ переходного процесса относительно условного нуля и
0 5Е —
К *) = '-(*) + '-(Уо) = е & quot-
Е _ ис (0) 150 — 50 '-1(0+) =-^^ = = 2(А),
R
0, 5Е 0, 5Е
R
(1 + е т).
(1 е).
'-2(0 +) =
50
ис (0_) 50
R
= - = 1(А).
50
R R
Оба способа (операторный и инженерный) дают одинаковый результат.
Далее — сравнение классического и ин-
Тогда
?3(0+) = ?1(0+) — /2(0+) = 1(А). Свободные составляющие токов и на-
женерного методов. Использован пример из пряжений при г (0+) — разности между полны-
[2] - рис. 8.
Я

Я и
Кл
12 Я
с:
13
ми и принужденными значениями:
нс (0+)се ="с (0+)-«с (0+)п/, =50−75 = -25(5) —
/1(0+)св=/1(0+)-/1(0+)п/, =2−1,5 = 0,5(4) — '-2(0 +)се =/2(0+)-/2(0+)чр = 1−1,5 = -0,5(4) — '-з (0+)се=/з (0+)-/з (0+)», =1−0 = 1(4).
Так как
: _ С ЛиСсв
м™ — & quot-
то
ЛиСсв _ Чсе
Л 1
Л
С 100−10-
_ 104(ВС).
Рис. 8. Электрическая схема
По условиям — Е = 150 В, К = 50 Ом с = 100 мкФ.
Токи, протекающие в ветвях схемы (/ I ?3) после коммутации, находят в результате ре- Каждый ток — сумма принужденной и
шения дифференциальных уравнений, опи- свободной составляющих — ?(0+)св, умножен-сывающих процессы в схеме. Пусть это будут '- + св
уравнения Кирхгофа:
?1 — Ч — Ч = 0,
/1К + +2 Я = Е,
1 г
г3йг = 0.
К--
2 с
До коммутации
Е
/1(0_) = 12(0_) = - = 1(4), /з (0_) = 0, 3Я
ис (0_) = /2(0_) Я = 1 • 50 = 50(5). После коммутации
1(°+)пр = '-2(0+)пр = Е=150 = 1,5(А)'-
ис (0+ = '-2(0+ К Я = 1,5 • 50 = 75(В).
ной на е т —
t t ?1(t) = 1,5 + 0,5(А), ?2(t) = 1,5−0,5(А), t t ц (г) = (А), ис{г) = 75−25е-(В).
Получение тех же параметров инженерным методом представлено на рис. 9.
На рисунке использованы данные расчета классическим методом.
t
^) = М2 ¦ ЭМ1 = 0,5(1 — е^) —
г t
/2 (г) = /2 (г) + ^(у0) = 0,5(1 — е~т) +1 = 1,5 — 0,5е~ (А) —
t
ис (г) = Аис ¦ ЭМ1 = 25(1 — е -1) —
г г
ис (г) = ис (г) + ис (у0) = 25(1 -е ~т) + 50 = 75 -25е т (В) —
Для г (0+) уравнения Кирхгофа для двух контура (0+) К + ис (0+) = Е, /2 (0+) =
ис (0+)
н (г) = С
duс (г) dt
= -с — - 125е т = с-
1
0^с
е т = е т (А) —
К
Так как ис (0 +) = ис (0-) — второе правило коммутации, то
г г г
?1(Г) = 12(г) + 13(г) = 1,5−0,5е т + е т= 1,5 + 0,5е т (А).
43
и ИССЛЕДОВАНИЯ
Нлуко
ж ГРАДА
44
12 (у о) —
) V--- Ли-ом } & quot-<-*У —, , _ / У& quot- Аш=25 В ]
Г 12(0-)=1А 1,5 А ис (уо) ис (0-)=50 В 1?. >- '- 75 В
к } к i
а б
Рис. 9. Графическое представление переходного процесса
Оба решения (классическим и инженерным методами) дают одинаковый результат.
Следует отметить, что при определении ?3(г) значение т = 0,5КС, так как применение метода эквивалентного генератора относительно нагрузки © дает Квн = 0,5К (оба К оказываются соединенными параллельно).
Сравним анализ процесса, связанного с сохранением заряда (второе правило коммутации), классическим и операторным методами [1] (рис. 10).
_/_
с,
е2пр = с +с (С1иС10 + иС20) _ С2и2пр'- и1пр = и2 пр = С20 = 50(5).
С + с2
Тогда
о
Кл
Я
С2
Рис. 10. Схема для сравнения методов
При начальных ис10 = 100 В, ис20 = 25 В и с1 = 1 мкФ, с2 = 2 мкФ, К = 75 Ом необходимо рассчитать напряжение на конденсаторах и ток перезаряда после замыкания ключа Кл.
В установившемся режиме ток равен нулю, то есть
ит=и1пр+Ае
По второму закону коммутации Ц (0) = Ц. 1(), поэтому
11,(0+) = 50 +А и, А = и{(0+)-50 = 50(В) и
их (0 = 50 + 50е~ Аналогично
г
и2() = 50 — 25г~ * (В),
а
. ^ ии, С (2щ --..
I (г) = сх -1 = -С- -е = -е т (А),
Ж
ще т = ЯГ = Я
Ж
С1С2 С-сС2
и,
1пр
-и2 пр = 0 или
Чыр 42
пр
с,
с
где
91.
2
По закону сохранения заряда
910 + 920 = 91пр + 92 пр '-
910 = С1иС10, 920 = С2иС 20'-
с,
так как конденсаторы оказываются включенными последовательно.
Расчет инженерным методом (рис. 11).
пр
С,
-(С1иС10 + иС20) _ С, и, пр'-
Цу=и1(уо)
Рис. 11. Для расчета инженерным методом
После замыкания Кл и завершения переходного процесса на обоих конденсаторах установится одинаковое напряжение и (рис. 11), относительно которого устанавливают приращения напряжений (±Д?0 на каждом конденсаторе посля их перезаряда.
По закон, а с охрангния зарядя
н1а +н 20 к02ау 02 р, а Я0120ОЮ 02Р020'-
и к С иоа ра22 =о20 к 50(().
у Со+С2 У '-
Тоода
г и2 к и с о. 50 (В
Дио = иу-ис-0 = 2 5(()(-
т
с1 (г) ад в 51 0 е^ (во),
ир) ущВ) 221= (у) =00& lt-г 0220 55(1 е ^+2(ВВ) —
г
С ((0)Д с0 ЭХ0 =5(2 е^ХВ),
u2 О) = 4. 1= + В Оо) =
t t
= В 5 (1 — е~^)в 255 = 50- 22е5=В) —
?(1) = «^ = --T (А) dt + '-
Как и при решении классическим мето-
дом,
CC
& lt-М+<-1
3−10−6 0
Показано, что инженерный метод дает те же результаты, что и традиционные методы, но горр аздо оперативнее и «меньшей кровью».
Большой опыт применения традиционных методов показал их широкие возможности, и эти возможности, требующие высокой квалификации специалистов, незаменимы при глубоком изучении «тонких» деталей при исследовании различных процессов в ЭЦ. Когда же речь идет о получении оперативных результатов, оперативном построении математических моделей переходных процессов при -экспериментальной отработке, регулировке и испытаниях электронных и электрических у стройств, инженерный метод является очень продуктивным.
Б иблиографические ссылки
1. Зевеве Г. В., Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы теории цепей. М.: Энергоиздат, 1989. 749 с.
2) Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Эле ктрические цепи. М.: Гардарики, 2007. 701 с.
Статья поступила в редакцию 05. 11. 2014 г.
45

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой