О пересечениях максимальных подалгебр разрешимых конечномерныхалгебр Ли

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 512. 55
О ПЕРЕСЕЧЕНИЯХ МАКСИМАЛЬНЫХ ПОДАЛГЕБР РАЗРЕШИМЫХ КОНЕЧНОМЕРНЫХАЛГЕБР ЛИ
А. Ф. Васильев, A.B. Сыроквашин
Подалгеброй Фратгини конечномерной алгебры Ли называется пересечение всех ее максимальных подалгебр. В работе исследуются пересечения различных семейств максимальных подалгебр разрешимых конечномерных алгебр Ли, не содержащих нильрадикал. Доказано, что в разрешимой конечномерной алгебре Ли подалгебра Фратгини совпадает с пересечением всех ее максимальных подалгебр данного вида.
Ключевые слова: конечномерная алгебра Ли, максимальная подалгебра, идеал, подалгебра Фраттини, нильрадикал, ш-функтор.
Введение
В 1885 году Фраттиии в [8] впервые исследовал подгруппу, равную пересечению всех максимальных подгрупп конечной группы, называемую сейчас подгруппой Фраттини. В 1953 году Гашюц [9] изучил свойства пересечения ненормальных максимальных подгрупп. Различные типы пересечений максимальных подгрупп конечных групп исследовали многие авторы: Дескинс, Бейдлеман, Л. И. Шидов, В. И. Ведерников и Н. Г. Дука и др. Следующий этап в развитии данного направления связан с возникновением теории формаций и введением понятия F-абнормальной максимальной подгруппы. Теория пересечений подгрупп данного вида в классе конечных разрешимых групп была построена В. В. Шлыком в [1], а для произвольных конечных групп Л. А. Шеметковым [2] и М. В. Селькиным (см. [3, с. 89 100]). Новый этап развития теории пересечений максимальных подгрупп связан с развитием теории подгрупповых функторов, полученные здесь результаты отражены в монографиях М. В. Селькина [3] и С. Ф. Каморникова и М. В. Селькина [4].
Развитие теории пересечений максимальных подалгебр конечномерных алгебр Ли берет старт с работ Маршала [10], Барнса [11], Тауэрса [12] и в настоящее время еще существенно отстает от соответствующей теории для конечных групп. Многие теоретико-групповые результаты хотя и имеют аналоги в алгебрах Ли (особенно в теории разрешимых конечномерных алгебр Ли), однако во многих случаях не могут быть прямо перенесены.
Основная цель настоящей настоящей работы — получить для разрешимых конечномерных алгебр Ли аналоги результатов В. С. Монахова [5−6] о пересечениях максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.
1 Предварительные результаты
В работе рассматриваются только конечномерные алгебры Ли над полем P. Обозначения и терминалогия соответствуют [7].
Определение 1.1. Подалгебра M называется максимальной подалгеброй алгебры Ли L, если M Ф L и из строгого включения M ^ P, где P — подалгебра из L, следует, что P = L.
Определение 1.2. Пусть {Ma, a е I} - (возможно пустое) множество максимальных подалгебр в L. Подалгебра Фраттини O (L) определяется, как сама L, если I пусто, и как пересечение O (L) = & lt-^aGlMa в противномслучае.
Если M — подалгебра из алгебры Ли L, то ML обозначает максимальный идеал алгебры Ли L ,
содержащийся в M. Цоколь алгебры Ли L, т. е. сумма всех ее минимальных идеалов, обозначается так: Soc (L). Через N (L) будем обозначать нильрадикал алгебры Ли L.
Теорема 1.3. (Тауэре, [12]) Пусть L — конечномерная алгебра Ли, O (L) = Ф, & lt-p (L) = ф, N (L) = N. Тогда (р (L / (р) = {о}, а также
1) фп N = N2-
2) N (L/ф) = N/ф = Soc (L/ф) —
3) Идеал N / ф дополняем в L / ф, т. е. для некоторой подалгебры M / ф из L / ф справедливо L/ф = N/ф® M/ф.
Лемма 1.4. Пусть L — алгебра Ли над полем P. Тогда
1) если M — подалгебра в L такая, что L = M + A, где A — абелев минимальный идеал в L, то M является максимальной подалгеброй в L и L = M © A —
2) если M — максимальная подалгебра из алгебры Ли L и A — абелев минимальный идеи L, не содержащийся в M, то L = M © A.
Доказательство. Докажем сначала 1). Пусть P — максимальная подалгебра в L, содержащая M. Тогда из тождества Дедекинда P = M + P n A. Из абелевости идеала A имеем, что P n A — идеал в L. Из минимальности идеала A следует P о A = {о}. Тогда P = M и M о A = {о}. Утверждение 2) следует из 1). Лемма доказана.
Лемма 1.5. Пусть L — разрешимая алгебра Ли над полем P и M — максимальная подалгебра из L такая, что L = M + A, где A — минимальный идеал в L. Пусть Soc (L) Ф A. Тогда ML Ф {о}.
Доказательство. Из 2) леммы 1.4 следует, что L = M © A. Заметим, что Soc (L) n M *{0}. Из разрешимости алгебры Ли L следует, что идеал Soc (L) абелев. Отсюда и из L = Soc (L) + M следует, что Soc (L) О M — идеал в L. Тогда ML Ф {о}. Лемма доказана.
Лемма 1.6. Пусть L — разрешимая алгебра Ли над полем P, и M — максимальная подалгебра в L такая, что ML = {о}. Тогда L имеет единственный минимальный идеал N, причем L = M © N
и CL (N) = N.
Доказательство. Если dim (L) = 1, то CL (N) = N = L и лемма верна. Пусть теперь dim (L) ^ 1. Пусть M — максимальная подалгебра в L такая, что ML = {о}. Из разрешимости L следует, что в ней найдется абелев минимальный идеал N. Ввиду 2) леммы 1.4 получаем, что L = M © N. Так как ML = {о}, то из леммы 1.5 следует, что N — единственный минимальный идеал в L.
Докажем теперь, что CL (N) = N. Включение CL (N) 3 N следует из абелевости идеала N. Допустим, что CL (N) 3 N. Тогда CL (N) П M Ф {о}. Пусть о Ф y е CL (N) о M и z е L. Тогда z = m + n, где m е M, n e N. Далее zy = my e CL (N) о M. Следовательно, CL (N) о M — идеал в L
и CL (N) оM с ML = {о}. Получили противоречие с CL (N) 3 N. Лемма доказана.
Лемма 1.7. Пусть L — разрешимая алгебра Ли над полем P и M — подалгебра в L такая, что L = Soc (L) 0 M. Тогда CL (Soc (L)) = Soc (L).
Доказательство. Так как идеал Soc (L) абелев, то Soc (L) с CL (Soc (L)). Предположим, что CL (Soc (L)) Ф Soc (L). Выберем произвольный элемент х е CL (Soc (L)) Soc (L). Тогда x = n + m, где n e Soc (L), m e M. Далее xa = na + ma = ma для всякого элемента a e Soc (L). Из xa = о следует, что ma = о. Тогда m е CL (Soc (L)) о M. Из L = Soc (L) 0 M следует, что CL (Soc (L)) оM с ML = {о}. Тогда m = о и x = n e Soc (L). Получили противоречие с выбором х. Тогда CL (Soc (L)) = Soc (L). Лемма доказана.
Лемма 1.8. Пусть L — алгебра Ли над полем P и N — абелев идеал в L. Тогда для любого элемента n е N эндоморфизм 1 + adn пространства L является автоморфизмом алгебры Ли L.
Доказательство. Выберем произвольные элементы x, y е L, n е N. Из абелевости идеала N следует, что
(x (1 + adn))(y (1 + adn)) = (x + xn)(y + yn) = xy + (xn)y + x (yn). Из тождества Якоби имеем x (yn) = -n (xy) — y (nx) = -n (xy) — (xn)y. Откуда (x + xn)(y + yn) = xy — n (xy) = xy + (xy)n = (xy)(a + adn).
Выберем произвольные элементы x, y, z из образа алгебры Ли L при отображении 1 + adn. Пусть a, b, c — произвольные элементы из L, такие что a (1 + adn) = x, b (1 + adn) = y, c (1 + adn) = z. Тогда (xy)z + (yz)x + (zx)y есть образ элемента (ab)c + (bc)a + (ca)b — о. Поэтому (xy)z + (yz)x + (zx)y = о. Заметим, что отображение 1 + adn взаимно однозначно (обратное к нему
1 — adn). Поэтому 1 + adn — автоморфизм алгебры Ли L. Лемма доказана. 2 Обобщенная подалгебра Фраттини
Определение 2.1. Назовем m -функтором на классе алгебр Ли над полем P отображение в,
. юторое ставит в соответствие каждой алгебре Ли Ь некоторое подмножество ее максималъ. подалгебр и саму алгебру Ли Ь.
Данное подмножество обозначим через 0(Ь). Из определения Ь е 0(Ь).
Определение 2.2. Пусть в — т -функтор на классе алгебр Ли над полем Р. Назовем в -подалгеброй Фраттини алгебры Ли Ь подалгебру Ф0 (Ь) = пМ, где М е в (Ь).
В случае, когда в (Ь) содержит все максимальные подалгебры алгебры Ли Ь, то Фе (Ь) = Ф (Ь). Определение 2.3. Назовем т -функтор в регулярным, если:
1) для любой алгебры Ли Ь и идеала N в Ь из М е#(Ь) следует, что М + N / N е#(Ь / N) —
2) для любой алгебры Ли Ь и идеала N в Ь из М / N е#(Ь / N) следует, что М е д (Ь). Теорема 2.4. Пусть в — регулярный т -функтор, заданный на классе всех алгебр Ли над полем
Р. Тогда Фе (Ь) — идеал для любойразрешимой алгебры Ли Ь.
Доказательство. Индукцией по йт (Ь). Если йт (Ь) = 1, то Фе (Ь) = {о}.
Пусть теперь йт (Ь) & gt- 1 и в (Ь) = (Ь, М^, j е /}. Предположим, что МЬ Ф {о} для всех г е I. Пусть Ni — некоторый минимальный идеал алгебры Ли Ь такой, что Ni ^ МЬЬ, j е I. Обозначим через ФgN (Ь) пересечение всех элементов из д (Ь), которые содержат в себе Ni. Из регулярности т -функтора в имеем, что Фе (Ь /Ni) = Ф^ (Ь)/Ni. По индукции для алгебры Ли Ь/Ni следует, что
Фе ?^ (Ь)/Nj — идеал в Ь /Ni. Откуда Фе ?^ (Ь) — идеал в Ь. Тогда подалгебра Фе (Ь) = ош Фе ?^ (Ь) -идеал в Ь.
Предположим теперь, что МЬ = {о} для некоторого j е I. Обозначим соответствующую подалгебру = М. По лемме 1.6 алгебра Ли Ь имеет единственный минимальный идеал N, причем СЬ (N) = N и Ь= М Ф N. Покажем, что в этом случае Фе (Ь) = {о}. Допустим, найдется элемент х еФе (Ь), х Ф 0. Из х еФе (Ь) е М, М о N = {о} и СЬ (^ = N, следует, что найдется элемент п е N, п Ф о, такой что хп Ф о. Так как идеал N абелев, то по лемме 1.8 отображение 1 + adn -автоморфизм алгебры Ли Ь. Пусть у = х (1 + adn) = х + хп. Из регулярности ^ имеем (Фе (Ь))(1 + adn) = Фе (Ь). Откуда у = х + хп еФв (Ь) е М. Для любого И е N имеем уЬ = хИ + (хп)И = хИ. Тогда (у — х) И = о и (у — х) е СЬ ^) оМ = {о}. Откуда у = х. Тогда хп = о, что противоречит выбору элемента п. Откуда Фе (Ь) = {о}. Теорема доказана.
Пусть Ь — алгебра Ли над полем Р и н — абелев идеал в Ь. Если М — подалгебра в Ь и И е Н, то обозначим подалгебры МИ = М (1 + adh) и Фн, М (Ь) = пМИ, где И е Н.
Лемма 2.5. Пусть Ь — алгебра Ли над полем Р и М — максимальная подалгебра в Ь. Пусть Н — абелев минимальный идеал из Ь, не содержащийся в М. Тогда М И п Н = {о} для любого И е Ни
Фн, М (Ь) с Сь (Н).
Доказательство. По 2) леммы 1.4 следует, что М оН = {о}. Пусть И е Н, И Ф о. Из леммы 1.8 следует, что 1 + adИ — автоморфизм алгебры Ли Ь. Поэтому подалгебра МИ = М (1 + adh) является максимальной в Ь. Рассмотрим Мк п Н. Предположим, что Мк п Н ^{о}. Выберем х е Мк п Н, х Ф о. Тогда найдется у е М такой, что у (1 + adИ) = х и у^о. Откуда у = х — уИ е Н о М = {о}. Тогда у = о. Откуда х = о. Получили противоречие.
Пусть х еФ Н м (Ь) и ИеН. Тогда х е Мк п М. Откуда х (1 + adh) е Мк и хИ е Н п Мк.
Так как Н П МИ = {о}, то хИ = о. Лемма доказана.
Лемма 2.6. Пусть Ь — ненильпотентная разрешимая алгебра Ли над полем Р. Тогда е Ь найдется максимальная подалгебра М, не являющаяся в ней идеалом и такая что М + N (Ь) = Ь.
Доказательство. Пусть Ь — алгебра Ли наименьшей размерности, для которой теорема неверна.
Зсли Ф (L) Ф {0}, ТО в L / Ф (L) найдется максимальная подалгебра M / Ф (L), не являющаяся в идеалом и такая, что M / Ф (L) + N (L / Ф (L)) = L / Ф (L). Из 2) теоремы 1.3 следует, что N (L / Ф (L)) = N (L)/ Ф (L). Откуда M / Ф (L) + N (L)/Ф (L) = L / Ф (L). Поэтому M + N (L) = L и подалгебра M — искомая. Получили противоречие.
Пусть Ф (L) = {0}. Тогда из 3) теоремы 1.3 следует, что в L найдется подалгебра M такая, что L = N (L) ФM, причем N (L) = Soc (L). Из разрешимости L следует, что ML ={о}. Так как Soc (L) = A1 0… 0 As — сумма минимальных идеалов из L, то найдется число к такое, что
1 & lt- к & lt- S и MAk * {0}. В противном случае ML = M. Подалгебра M 0 A1 0…0 Ak1 0 Ak+1 0…0 As
— искомая. Лемма доказана.
Определение 2.7. Назовем m -функтор в m -функтором Фраттини-Гашюца на классе всех алгебрЛи надполем P, еслидля любойненилъпотентнойалгебрыЛи L множество в (L) содержит все максимальные подалгебры из L, не являющиеся в ней идеалами.
Лемма 2.8. Пусть в — регулярный m -функтор Фраттини-Гашюца на классе всех разрешимых алгебр Ли над полем P. Если M и N — идеалы разрешимой алгебры Ли L такие, что N? Фе (L) и
M / N — нилъпотентная алгебра Ли, то M — нилъпотентная алгебра Ли. В частности, Фе (L) нилъпотентна.
Доказательство. Пусть m -функтор Т такой, что для каждой разрешимой алгебры Ли L множество т (L) содержит все максимальные подалгебры из L, не являющиеся в ней идеалами, а также саму L, и только их. Ясно, что Фе (L) (L) для любого регулярного m -функтора
Фраттини-Гашюца в на классе всех разрешимых алгебр Ли над полем P. Так как N (L)? Фт nM, то M / Фт ni M нильпотентна. Применяя следствие 2.8 и лемму 2.3 из [13] получаем нильпотентность M.
Лемма доказана.
Сформулируем теперь основной результат данной работы.
Теорема 2.9. Пусть 0 — регулярный m^yHKmop Фраттини-Гашюца на классе всех
разрешимых алгебр Ли над полем P. Тогда L) совпадает с пересечением всех максимальных подалгебр M разрешимой алгебры Ли L таких, что M G 6(L) и M + N (L) = L.
Доказательство. Если алгебра Ли L нильпотентна, то N (L) = L и утверждение теоремы выполняется. Пусть L не нильпотентна. Обозначим через Ф^ (L) пересечение всех максимальных подалгебр M алгебры Ли L таких, что M e#(L) и M + N (L) = L. Ясно, что Фе (L) сФ^ (L). Предположим, что обратное включение неверно и выберем алгебру Ли L наименьшей размерности, для которой Ф^ (L) & lt-х Фе (L).
Предположим, что Фе (L) Ф {0}. В силу леммы 2.8 из ненильпотентности L следует, что Фе (L) Ф L. Из регулярности функтора 0 и теоремы 2.4 следует, что Фе^) — идеал в L и Фе (L / Фе (L)) = Фе (L)/ Фе (L) = {0}. Ввиду выбора алгебры Ли L получаем, что Ф"(L / Фе (L)) = Фе (L / Фе (L)) = {0}.
Из леммы 2.8 имеем Фе (L) е N (L). Тогда N (L)/ Фе (L) е N (L / Фе (L)). Пусть H / Фв (L) = N (L / Фв (L)). Из леммы 2.8 следует, что H c N (L) и H / & lt-&-e (L) c N (L)/ & lt-&-e (L). Откуда N (L) / Ф, (L) = N (L / Ф, (L)).
Пусть M / Фе (L) — максимальная подалгебра в L / Фе (L) такая, что M/Фе (L) + N (L)/Фе (L) = L/Фе (L) и M/Фв (L) g0(L/Фв (L)). Тогда M + N (L) = L и M e0(L). Откуда ®,(L)/ Фе (L) сФД L / Фе (L)). Теперь из Ф^^ / Фе (L)) = {0} следует, что Ф^(L) = Фе (L). Получили противоречие с нашим предположением.
Пусть теперь Фе (L) = {0}. Тогда O (L) = {0}. Из 2) теоремы 1.3 имеем N (L) = Soc (L). Так ^г® алгебра Ли L имеет конечную размерность, то N (L) = N1 Ф… Ф Nk, где Ni пробегает все минимальные идеалы алгебры Ли L. Из леммы 2.6 следует, что в L найдется максимальная подалгебра M, не являющаяся в L идеалом и такая, что M + N (L) = L. Так как в — регулярный m -функтор
Фраттини-Гашюца, то M е d (L). Кроме того, найдется число i & lt- k такое, что идеал H = Ni не содержится в M. Откуда по лемме 1.4 имеем L = H Ф M. Из леммы 2.5 следует, что Mh о H = {0} для любого элемента h е H. Из регулярности в имеем, что Mh е #(L) и Ф^ (L)& lt-^ФHM (L). Из леммы 2.5 следует, что Ф^(L) с CL (H). Далее для любого j = 1,…, k найдется максимальная подалгебра M е d (L) такая, что N j не содержится в M. В противном случае для некоторого s & lt- k идеал Ns ^ Фе (L). Это противоречит тому, что Фе^) = {0}. Повторяя для каждого j = 1,…, k рассуждения, аналогичные для случая H = Ni, получим, что Ф п (L) со jCL (Nj) с CL (N1 Ф … Ф Nk). Из 2) теоремы 1.3 и леммы 1.7 следует, что Ф^ (L) с N (L). Но тогда Ф^ (L) = Фе (L). Получили
противоречие. Теорема доказана.
Следствие 2. 10. Подалгебра Фраттини O (L) разрешимой алгебры Ли L над полем P совпадает с пересечением всех максимальных подалгебр M из L таких, что M + N (L) = L.
Если функтор в ставит в соответствие каждой алгебре Ли L множество 0(L) всех максимальных подалгебр, не являющихся в ней идеалами, а также саму L, и только их, то будем обозначать Фе (L) = А (L).
Следствие 2. 11. Подалгебра A (L) разрешимой ненилъпотентной алгебры Ли L над полем P совпадает с пересечением всех максимальных подалгебр M из L таких, что M не является идеалом в L и M + N (L) = L.
Frattini subalgebra of a finite-dimensional Lie algebra is the intersection of all its maximal subalgebras. This paper investigates the intersections of maximal subalgebras different families that do not contain nilradical of solvable finite-dimensional Lie algebras. It has been proved that a solvable Lie algebra of a finite-dimensional Frattini subalgebra coincides with the intersection of all its maximal subalgebras of the same types.
The key words: finite-dimensional Lie algebra, maximal subalgebra, ideal, Frattini subalgebra, nilradical, m-functor.
Список литературы
1. Шлык B.B. О пересечении максимальных подгрупп в конечных группах // Мат. заметки. 1973. Т. 14. № 3. С. 429−439.
2. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. 278 с.
3. Селькин М. В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп. Минск: Бел. Навука, 1997. 144 с.
4. Каморников С. Ф., Селькин М. В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Бел. Навука, 2003. 254 с.
5. Монахов B.C. Замечание о максимальных подгруппах конечных групп // Доклады HAH Беларуси. 2003. Т. 47, № 4, С. 31−33.
6. Монахов B.C. Замечание о пересечении ненормальных максимальных подгрупп конечных групп // Известия Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины. 2004. — № 6 (27). С. 81.
7. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. Москва: Наука, 1985. 448 с.
8. Frattini G. Intorno alla generasione dei gruppi di operazioni // Atti Acad. dei Lincei. 1885. V. 1. P. 281−285.
9. Gaschutz W. Uber die Ф-untergruppen endlicher Gruppen // Math. Z. 1953. Bd. 58. S. 160−170.
10. Marshall E. The Frattini subalgebra of a Li algebra // J. Lond. Math. Soc. 1967. V. 42. P. 416−422.
11. Barnes D .W. The Frattini argument for Li algebras // Math. Z. 1973. Bd. 133. P. 277−283.
12. Towers D. Frattini theory for algebras. // Proc. London Math. Soc. 1973, V. 27. P. 440−462.
13. Towers D. On maximal subalgebras of Lie algebras containing Engel subalgebras // J. Pure Appl. Algebra. 2011. Available online 26 September 2011.
Об авторах
Сыроквашин A.B. — филиал Брянского государственного университета имени академика
.Г. Петровского в г. Новозыбкове, ассистент, syrokvashin87@gmail. com
Васильев А. Ф. — доктор физико-математических наук, профессор Гомельского университета имени Франциска Скорины, formation56@mail. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой