Описание хаотических решений с помощью ряда Лорана с существенной особой точкой

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ОПИСАНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДА ЛОРАНА С СУЩЕСТВЕННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ
Евгений Георгиевич Якубовский
инженер вычислительного центра, Национальный Минерально-Сырьевой
Университет «Горный» РФ, г. Санкт-Петербург
E-mail: yakubovski@rambler. ru
DESCRIPTION CHAOTIC SOLUTIONS USING LAURENT SERIES WITH
AN ESSENTIAL SINGULARITY
Jakubowski Evgeny
engineering Computer Center, National University of Mineral-Raw & quot-Mountain"-,
Russia St. Petersburg
АННОТАЦИЯ
Эволюционные квазилинейные дифференциальные уравнения сводятся к системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. В статье [2] исследовано их решение в случае не кратных положений равновесия. В предлагаемой статье исследованы эти уравнения в случае кратных положений равновесия.
ABSTRACT
Evolutionary quasilinear differential equations reduce to a system of nonlinear ordinary differential equations. We studied these equations in [2], in the cases, when equilibrium positions are onefold. In this paper we studied these equations in the case of multiple equilibrium position.
Ключевые слова: хаотические решения- ряд Лорана с существенно особой точкой- кратные положения равновесия.
Keywords: chaotic solutions- Laurent series with an essential singularity- multiple equilibrium position.
Лемма 1. Сумма коэффициентов
1 __*_
'- & quot- (a- - a])… (a/ - a^ - a/+1)… (a/ - aS)
по индексу 5 равна нулю, т. е. 2 1 = 0.
5 = 1
Для доказательства этого тождества рассмотрим полином 5 — 1 степени относительно у
р (у) =? (у — *])…(у — а/-1)(у — а/+1)…(у — а5)
=1 (а/ - а})… (а/ - а/-1)(а/ - а/+1)… (а/ - а/)'-
В точках положения равновесия у = а/, 5 = 1,…, 5 полином удовлетворяет
Р (а/) = 1. В силу единственности полинома степени 5 -1, проходящего через 5
точек, получаем Р (у) = 1, так как это значение удовлетворяет точкам
аппроксимации. Распишем формулу для полинома, равного единице, разделив
1 5
его на произведение (у — а1)… (у — а 1), получим
2
5=1 (а/ - а])… (а/ - а/-1)(а/ - а/+1)… (а/ - а^)(а/ - у)
+
+
(у — а!)…(у — а/-1)(у — а/)(у — а/+1)…(у — а?)
0
1
1
5 +1
полагая, у = а]5+1 получим тождество 2 1 = 0, в случае, если имеется
5 = 1
5 + 1 положение равновесия.
Опишем структуру возможно хаотического решения, которое является турбулентным при кратных положениях равновесия. В случае уравнения Навье-Стокса кратные корни, это свойство комплексного решения, или турбулентного решения.
Теорема 1. В случае системы (1) с двукратным корнем положения равновесия решение задачи Коши в комплексной плоскости для системы
дифференциальных уравнений (1) с действительными и комплексными положениями равновесия будет определяться рядом Лорана с существенной особой точкой и, следовательно, при приближении к особенности может носить хаотический характер. Может иметь полюсы со знаменателем 1/[?0) — ,?о)]1(К+1), где К + 2 количество положений равновесия. Положений равновесия должно быть больше двух. В общем случае решение задачи не единственно, а имеется счетное количество решений. Причем реализуется состояние с наименьшей энергией. Аргумент решения / является
действительным. Система дифференциальных уравнений (1) запишется в виде

= Р1 (*!,…, хм), 1 = 1,…, N. (1)
от
Доказательство.
Решение уравнения (1) в случае кратных положений равновесия исследовалось в [3], [4]. Уточним эти решения.
В случае двух кратного корня ап систему дифференциальных уравнений (1) можно представить в виде
Сх К + 2
-х- = ехр[^ (Х1,…, XN)]П (х — а), 1 = 1,…, N -1 — к=1 (2)
= ехр[^(*,…, XN)](XN — аК+1)2П К — 4) — к=1
где введен не обращающийся в ноль множитель ехр[С- (х1,…, xN)], который
К+2
равен ехр[С-(х1,…, хы)] = ?1 (х1,…, хы)/П (х- - ак). При подстановке этого
к=1
множителя в (2), получим (1). Покажем, что этот множитель в ноль не обращается. Величины ак удовлетворяют условию
^(а1к,…, акы) = 0,5 = 1,…, N1 к = 1,…, К+2, где величина К конечна.
При условии х1 ® а}, к = 1,…, К имеем конечный предел
ехр[С,(х)] = дР'-^--4] /|(ак — а1)… (ак — аГ)(а} - а}+'-)… (а} - аК+2)]
ох,
ехр[С, (Х1,…, х,)]
(а1к,…, К/^ 1
/[(а,)… (ак аЫ1)(а, аЛ+1)… (а, аК+2)]
к+Ь
, К+2ч
ох
N
При условии х, ® аК+1 тоже имеем конечный предел
2 г / _К+1 «к+к 0 ^(а1_%)
2Эх2 г
ехр[С,(х ,…, х,)] = /[(аК+1 — а,)… (а/+1 — аК)]
В случае совпадающих корней сокращается множитель (х, — а1)2. При
этом получается не обращающийся в ноль множитель ехр[С, (х1,…, х,)]. При этом дифференциал
^ = П^ - а}Х^Ь-, = (х, — аК+1)21! (х, — а,)
^Н1(г, 10) }=1 dHN (t, 10) }=1
с, (3)
Н,(г, 10) = | ехр{С- [х^),…, х,
о
где Н1 (г, г0) стремящаяся к бесконечности функция при условии г. В случае решения в действительной плоскости это монотонная функция.
Запишем дифференциальное уравнение с кратным значением положения равновесия
(х К
* - ехр[С*(X!,…, х*)](х* - аК+1)2П (х* - 4)
к-1

— (х* - аК1)2П (х* - а*), И*(г, го) -{ ехр[С*(х^…, х*)](г
к г
ахи _/ «К+К2
(И*(г, го) * & quot- '- к-! 4 * - -0
го
Величина ехр[С*(х1,…, х*)] в ноль не обращается. Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
и К+1 г
X 11п хн — ак\го + и К+1 1го — И* (г, го) — ехр[С* (х1,…, х*)](г, (4)
к хи ам го
ак координаты положения равновесия, величина ак+1 значение двух кратного положения равновесия.
Имеем три возможных варианта разложения функции в ряд. Либо в точке V — г1 имеется существенная особая точка, и решение стремится к произвольным точкам при приближении к особенности, либо справедливо
к а
К+1 + I ак (V- 4) к +1 V- И*(г, го). (5)
к-1 к-1 (V — г1)
хы — аы + I а
либо решение регулярно. Допустим справедливо (5). Определим решение этого дифференциального уравнения, для чего подставим часть решения в виде а
полюса хы --х- в уравнение
* (V- г1) ь
сх-- - - К
(IV
* - (х* - аК+1)2 П (х* - а*). (6)
к-1
При этом оказывается, что приравниваются члены ар аК+2
что приводит к равенству
(V — 1) р+1 (V — к+2)'-
р +1 = р (К + 2), р = 1/(К +1) Ф1 и для множителя справедливо — р = ак+1. При этом решение при условии р = 1/(К +1) имеет сложную структуру и не имеет однозначного решения в комплексной плоскости, т. е. в точке ?1 имеется ветвление решения и значит, возможен переход к комплексному решению. Откуда имеем, а = [- 1п (К +1) -1ж + 21яз]/(К +1). Т. е. решение в этом случае является турбулентным, комплексным и имеющим множество ветвей.
Допустим, решение регулярно. Разложим решение в окрестности точки аК+1 по положительным степеням V- ?1, т. е. х* - аК+ = ЫУ- О + - ^)2. Тогда
тк+1
решение представимо в виде 1*+11п (х* - аК+1) ± = /(V). Т. е.
ыу — ?о
цК+1
справедлива формула х* - аК+1 = ехр{[ /(V) ---]/1*+1}
Ф -11)
Т. е. предположение о регулярности решения не подтверждается, решение имеет бесконечное число членов с отрицательной степенью V — ?1. Значит, решение имеет существенную особую точку при условии V = ?1.
При этом решение с существенной особой точкой определяется из уравнения (5).
?
х* = аК+'- +1 (7)
н (V — ?1)'-
Причем решение конечно до координаты положения равновесия, что следует из уравнения (4), т. е. ряд (7) имеет бесконечный радиус сходимости. Т. е. по мере приближения к положению равновесия а-К+1,1 = 1,…, N координаты х* величина V = Н*(?, ?0) ® ?, что следует из уравнения (4) и (7), но при этом пересекает точку ?1, в которой происходит скачок решения. Этот скачок
решения является произвольным, так как решение в виде ряда Лорана содержит существенную особую точку и при приближении к особой точке, значение функции xN произвольно см. [1]§ 10. В результате решения в окрестности кратного положения равновесия, получаются ряды Лорана с существенной особой точкой.
Причем коэффициенты ряда Лорана могут оказаться многозначной функцией, так же как и решение в случае полюса.
При этом многозначное решение имеет вид ряда Лорана и может иметь существенно особую точку, а может быть многозначное решение имеет вид
XN = аГ + ± ак (V — ti)'- + ~ V = HN (Ut0) (7)
k=1 (K + 1)(^ - h)
Выводы
В случае кратных положений равновесия, решение имеет хаотический характер. Оно определяется рядом Лорана с существенно особой точкой, и значит, по мере приближения аргумента функции к существенно особой точке наблюдается произвольное значение решения.
Список литературы:
1. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. III, ч. 2., М., «Наука», 1974 г., — 672 с.
2. Якубовский Е. Комплексные, ограниченные решения уравнений в частных производных «Теоретические и практические аспекты естественных и математических наук»: Материалы международной заочной научно-практической конференции. Новосибирск: Изд. «СибАК», 2012 г., — стр. 19−30. [Электронный ресурс] - Режим доступа. — URL: www. sibac. info
3. Якубовский Е. Решение уравнения Навье-Стокса. Применение решений и следствие из них. LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013, — 102 с.
4. Якубовский Е. Турбулентные течения в цилиндрических трубах. Экспериментальное подтверждение комплексного решения. LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013, — 52 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой