Описание прочностных свойств структурно-неоднородных сред с периодической структурой

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 539. 3, 534. 1
А.В. Талонов
ОПИСАНИЕ ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД
С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ
Предлагается методика описания прочностных свойств структурнонеоднородных сред с периодической структурой до стадии разрушения конструкции. Этот вопрос является чрезвычайно важным, так как до появления магистральной трещины наблюдается допредельное разрушение материалов, связанное с развитием большого числа микротрещин. В качестве критерия разрушения одного из компонентов неоднородного материала может быть использован критерий, предложенный автором работы.
A.V. Talonov STRUCTURAL-NONUNIFORM MEDIUM STRENGTH PROPERTIES DESCRIPTION WITH PERIODIC STRUCTURE
The strength properties description of the structural-nonuniform medium with periodic structure up to the stage of destruction of a design is offered here.
This question is extremely important becfuse before occurrence of the main crack the prelimit destruction of materials connected to development of the big number of microcracks is observed. As criteria of one of a component destruction of a non-uniform material the suggested by the author criteria can be used.
Введение
При расчете устойчивости конструкций часто возникает необходимость моделирования прочностных свойств материалов с периодической структурой. К подобным материалам могут быть отнесены большинство композиционных материалов, а также геоматериалы и мерзлые грунты.
Многочисленные экспериментальные исследования показывают, что до стадии разрушения конструкции при появлении магистральной трещины наблюдается допредельное разрушение материалов, связанное с развитием большого числа микротрещин [1]. Стадия допредельного разрушения характеризуется изменением свойств отдельных компонентов структурно-неоднородного материала вследствие развития микротрещин при сохранении целостности конструкции. Для теоретического описания процесса допредельного разрушения в структурнонеоднородном материале возникает необходимость разработки методов усреднения полей напряжения в средах, содержащих неоднородности в широком спектре размеров.
1. Рассмотрим линейно-упругую среду с периодической макроструктурой, ослабленную большим числом микротрещин. Будем предполагать, что распределение микротрещин в каждом материале позволяет выделить элемент объема с характерным размером ю, содержащий большое число микротрещин и удовлетворяющий условию Ю& lt-<-А<-<-Н, где, А — характерный размер макронеоднородностей в среде (слоев, волокон, макровключений), H — характерный размер рассматриваемого материала, содержащего большое число ячеек периодичности. Для описания прочностных свойств подобных сред рассмотрим процесс развития микротрещин на масштабном уровне, характеризуемом размером ю. В работах [2,4] было показано, что изменение макроскопического тензора деформаций элемента среды, ослабленного большим числом изолированных трещин, подверженного воздействию внешнего поля напряжений oik, может быть представлено в виде:
Se, =8е0 + 2SJ (nV + nV) F (Y)dY, (1. 1)
где e0k — тензор деформации сплошной линейно-упругой среды- т — компоненты нормального единичного вектора к поверхности трещины- V — компоненты вектора среднего скачка
К & lt- к1с
К1с & lt- К & lt- К * (1. 3)
к & gt- к *,
смещений берегов трещин- Г (У) — функция распределения микротрещин по набору определяющих параметров У (размеры, пространственная ориентация трещин и др.). Компоненты вектора среднего скачка смещений берегов трещин определяются из решения задачи теории упругости о подвижке берегов изолированного разреза (моделирующего трещину) во внешнем поле напряжений. В общем случае возможности роста трещин и взаимодействия берегов в поле сжимающих напряжений вектор среднего скачка смещений берегов трещины будет являться функцией траектории нагружения.
В работах [2−3] в рамках решения задачи теории упругости о подвижке берегов изолированной трещины были получены соотношения компонент вектора среднего скачка смешений сдвиговых и отрывных трещин в поле растягивающих и сжимающих напряжений. В работе [4] было исследовано развитие изолированной сдвиговой трещины в поле сжимающих напряжений и получены соотношения для среднего скачка смещений с учетом возможности роста трещин в процессе нагружения. Условие предельного равновесия трещины определялось неравенством:
(Кх1К1с)2 + (*2/*2С)2 & lt- (!. 2)
где К и К2 _ коэффициенты интенсивности отрывных и сдвиговых напряжений- Кхс, К2с _ постоянные, связанные с разрушением материала.
В работах [2,3] для описания кинетики роста изолированной трещины была предложена следующая зависимость скорости роста трещины V от коэффициентов интенсивности напряжений:
Г0
V = & lt- v0 А ехр (ХК)
Л
где К = у]К? + (К1сК2 / К2с)2 — v0 _ предельная скорость роста трещин- К* _ порог разрушения
с предельной скоростью- А, X _ постоянные, определяемые материалом.
С учетом возможности роста трещин деформация трещиноватой среды в общем виде определяется уравнением:
Эеа = Эе° + ^ Эо, + Вт о, (1. 4)
где компоненты тензоров, Вк, определяются из соотношения (1. 1) на основе решения
задачи о подвижке берегов изолированной трещины во внешнем поле напряжений с учетом кинетики роста трещин. В работе [4] были получены соотношения для компонент тензоров, ВЩ1 рассчитанные для случая нагружения трещиноватой среды в поле сжимающих
напряжений для сложнонапряженного состояния.
В случае, если функция распределения трещин не меняется в среде, деформационное уравнение может быть записано в виде:
8е" = 5о,+ до, (1. 5)
где Бк, _ тензор, описывающий неупругие деформационные свойства среды, связанные с наличием трещин, тензор 5°, для однородной упругой среды определяется следующим соотношением:
у0 д д 1+у
^ г-*, 1 г-* (Н к
Е0 Е0
где Е0и у0 _ модуль Юнга и коэффициент Пуассона сплошной линейно-упругой среды.
ї, =8, 8,+ ^ (8,8, + 8,8,), (1. 6)
Компоненты тензора 8^ описывают деформационные свойства среды, связанные с
наличием микротрещин, и пропорциональны степени трещиноватости среды П = N13, где
N — объемная концентрация трещин- I — средний размер трещин. Для реальных материалов степень трещиноватости становится близкой к единице только на стадии полного разрушения материала и для описания деформационных свойств трещиноватой среды уравнение (1. 5) может быть представлено в виде:
то рс г'-О 5. Г- I Г'-О рс г'-О рс г'-О, п^п3 (1 7)
С0 & lt-?с С0 8є + С0 & lt-?с С0 & lt-?с С0 8є + 0(03)
с1к]1 ° ]1рд Срдпт пт Сік]1 °]1рд Срдпт °пт-мг С'-мт ы °(ДЛ /?
С0
С ік]
2(1 + у 0)
2у,
1 — 2уп
-5,8
Таким образом, упругие характеристики трещиноватой среды на стадии допредельного разрушения определяются следующим соотношением:
0 0 (1. 8)
С
С ік]
С о с о сс С о + С о Sc С о Sc С о
ік] ікпт птрд рд]1 ік^ іїрд рдпт птш '-мг]1 *
2. Для описания характеристик среды с периодической макроструктурой (по сравнению с характерным размером микротрещин) предлагается использовать метод асимптотического усреднения [5−7]. Рассмотрим периодическую среду с характерным размером ячейки периодичности 1. Тогда система уравнений теории упругости в перемещениях запишется в
виде:
_д_
дх,
дм.
С] © -^
Эх,
= іі (х) и І, к, I = 1 2, 3
где Сщ-1 — периодический тензор, компоненты которого бесконечно дифференцируемые всюду, кроме, быть может, некоторых поверхностей 81, на которых они терпят разрывы первого рода, а ^=х/? — вектор так называемых «быстрых» переменных-? — параметр, определяемый как отношение размера ячейки периодичности к характерному размеру задачи. Для среды, содержащей много ячеек периодичности, выполняется условие ?& lt-<-1.
Будем рассматривать задачу теории упругости с граничными условиями смешанного типа (см. рисунок):
ди,
иі 1эо1 иі
(2. 2)
да 2
где 8G=8G1u8G2 — кусочно-гладкая граница рассматриваемой области пространства, занимаемая средой, 8G1n8G2=0- и0 — заданный на поверхности тела вектор перемещений-? -заданная на поверхности нагрузка- п=(п1,п2,п3) — вектор нормали к границе тела.
На поверхностях 81, где терпят разрыв компоненты тензора жесткости СШ]1, предполагается выполнение условий идеального контакта, которые имеют следующий вид:
г ди,
С"' дх, п'
= 0.
(2. 3)
Условия идеального контакта говорят о том, что на границе раздела сред с различными характеристиками перемещения и вектор напряжения не терпят разрыва.
В рамках метода асимптотического усреднения [5−6] решение задачи ищется в виде:
иі = и (0)(х, ?) + є и®(х, ?) + є2м (2) +… (2. 4)
где и (к)(х, ^) 1 — периодические по ^ трёхмерные функции.
64
п
к
(2. 1)
Подставим сумму (2. 4) в левую часть уравнения (2. 1) и воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. В результате получим:
2 э Г Эм (0) ^ / э Г Эм (1) ^ э Г Эм (0) ^ э Г Эм (0) ^
_2 ^ ] і г. _1 Г'- 1 Ґ* 1 Г* 1
С ік]
+ є
і
С
С ік]1
±
С ]
ікІі дх к ихі)
+ -
Эх,
С ]
С ік]1
+
+ є0
С
дм (2)) д Г Эм (1) ^ э Г Эм (1) ^ э Г Эм (0) ^
& lt-?
+ -
С '- 1 С ікіі
дхі
+ -
Эх,
С '- 1 С ікіі
+ -
Эх,
С ___________
ікіі дх, к илі))
+
(2. 5)
+ є1
Эм (2) ^ э Г Эм (2) ^ э Г Эм (1) ^ 2 э Г Эм (2) ^
С -і
ік]і дх к °лі)
+ -
Эх,
С '- 1 С ікіі
З^і
±
Эх,
С '- 1 С ікіі
дхі
+ є2
))
Эх,
С '- 1 С ік1і
дхі
+… = /і.
Неоднородная среда под действием внешних сил:
80! — граница области, на которой задана поверхностная нагрузка-
802 — граница области, на которой заданы перемещения-
§ - поверхности контакта разнородных материалов
-2 -1 о
Приравняем слагаемые порядков? ,? ,? к нулю, чтобы был возможен предельный
1 2
переход при ?-& gt-0, и отбросим слагаемые порядков? и? , которые составят невязку уравнения (2. 5). Тогда асимптотика решения задачи щ будет удовлетворять уравнению (2. 1) с точностью до членов порядка ?. При этом функции и (0)(х, ?), и (1)(х, ?), и (2)(х, ?) будут определяться из следующих условий:
д
Ък
дм (0) ^
С. _________1-
ікі ~ ?
. 1 ^
=0,
Э Г дм (1) }
^ С ______________________1_
Сікй -?
1 ^
С
С ік1і
э Г Эм (0) ^ э Г Эм (0) ^
С
кі
дхі
Эх,
С
кі
С
к дх к илі)
Эх,
С
С ік1і
дм (1) ^ Э Г — дм (0) ^
Эх,
+1,
(2. 6)
(2. 7)
(2. 8)
где х и ^ считаются независимыми переменными.
є
Э
Подставляя разложение (2. 4) в граничное условие (2. 2), получаем следующие соотно-
шения:
к'-& quot-' к= «? •
с,
ЦЫ
ЭиТ
ЭЕ,
=о,
ЭС2
[к01)», = о •
7
С _________
V уИ дх
V Эх1
д"*0), г дм® |
к2' к= о •
С Эит
с Э"^ + с
с--и — +с
Эх,
цы
ЭЕ,
Э"к2)
ЭЕ,
= р1,
Э02
д2
о.
Аналогично могут быть записаны контактные условия (2. 3):
Эм (о)
["Г I = о ,
с,
1]И
ЭЕ,
=о,
["-¦'к = о ,
[а21 к = о.
Сс Э"'" — + с да-111
сиы _ + с--.
LV Эх,
С Э"(1) с Э"^ + с
сиы — '- сi-,
ц Эх
LV Эх,
/1
ЭЕ, у
Э"к2)Л ЭЕ,
П-
= о,
= о.
(2. 9) (2. Ю) (2. 11)
(2. 12)
(2. 13)
(2. 14)
Следует отметить, что при рассмотрении среды с периодической структурой компоненты тензора жесткости также будут являться периодическими функциями и зависеть только от локальной переменной Е.
Уравнения (2. 6)-(2. 8) с граничными и контактными условиями (2. 9)-(2. 14) образуют цепочку уравнений для определения асимптотики решения задачи (2. 1).
В работах [5,7] было показано, что решением уравнения (2. 6) при условии периодичности функции сы, (Е), граничных и контактных условиях (2. 13), (2. 14) является функция, не
зависящая от Е, т. е. «го (х, Е) = и { (х) и последующие члены разложения функции «, (2. 4) могут быть представлены в виде:
Э ти, (х)
«& quot-«(х, Е) = (Е)
2 & quot- т Эх, Эх, … Эх,
г1 г2 гт
(2. 15)
где N 12, (Е) — матрицы-функции, удовлетворяющие условию периодичности, т. е.
& lt-N., (Е) & gt-о.
12 -гт
Задача нахождения матриц-функций N1 (Е) и N1, 2 (Е) определяется подстановкой соотношения (2. 15) в уравнения (2. 7) и (2. 8). Значение матриц-функций определяется контактными условиями и структурой ячейки периодичности.
Используя соотношение (2. 15) и условие периодичности функций N, 1 (Е), N12 (Е),
сац, (Е), можно показать, что необходимым и достаточным условием разрешимости уравнения (2. 8) с контактными условиями (2. 14) в классе 1-периодических функций, является следующее равенство:
, сЦк1 + сЦкт
(2. 16)
п
Б
Б
Данное условие можно рассматривать как уравнение для определения нулевой поправки в соотношении (2. 4). При этом следующую матрицу:
СіукІ (СіукІ + Сіркт
щ
ЭЕт
(2. 17)
можно рассматривать как эффективные упругие модули среды с периодической структурой.
Пусть V, ?Ц, а ц — компоненты перемещений, деформаций и напряжений находятся из решения усреднённой задачи теории упругости в перемещениях (нулевое приближение в методе асимптотического усреднения), а с,/к1 — элементы эффективного тензора жёсткости, которые определяются соотношением (2. 17). Тогда локальные изменения поля напряжений в первом приближении определяются выражением:
ґ
(2. 18)
3. В рамках метода асимптотического усреднения с помощью соотношений (2. 16) —
(2. 18) для заданной конфигурации ячейки периодичности и условий нагружения среды может быть определено распределение поля напряжений в неоднородной периодической среде. Использование в соотношении для локального поля напряжений тензоров жесткости, определяемых соотношением (1. 8), позволяет учесть влияние микротрещин в среде.
Для каждого из компонентов неоднородной среды закон изменения степени трещиноватости с учетом кинетики роста трещин на стадии допредельного разрушения, определяемой соотношением (1. 3), может быть записан в виде:
дПі = По --Э
1+V 01 (С у КпН (К — Кар Н (К /у — К)+Н (К — К /у)) & amp- 0
К = Л/ПЮ& lt- (П і/По)1/б/(1 -пр /"*)т. ,і=1, 2 •••,
(3. 1)
где Пр — степень трещиноватости, характеризующая р-ю компоненту неоднородной среды и соответственно Су, Кар, Щу, 10у, П0у — параметры и характеристики исходной трещиноватости одного из компонентов материала.
Влияние процессов развития трещиноватости в других компонентах учитывается в соотношении для эффективного коэффициента интенсивности напряжений, где проводится усреднение степени трещиноватости среды. Неоднородность поля напряжений может быть учтена следующим образом:
0 ½
Т* = (12(1+ц2)) + 2М* I р
11 = Спу Ф У + С22у Фу + Сззу Фу '
12 ^ [(^11у'- Фі22у ФУ) + (^22г/ ФІІ Сззу ФІІ) + (Сз3у ФІІ Сну ФІІ) ] +
+ (Сш/ Фі)2 + (С 23у Фі)2 + (^13Іі Фіі)2'
(3. 2)
Су =
(3. 3)
где ц — усредненное значение коэффициента трения между берегами трещин.
3
і
п
В качестве критерия разрушения одного из компонентов неоднородного материала
*
может быть использовано условие [8]:.
ЛИТЕРАТУРА
1. Прочность и деформация горных пород в допредельной и запредельной областях / А. Н. Ставрогин, Б. Г. Тарасов, О. А. Ширкес, Е. Д. Певзнер // Физико-технчиеские проблемы разработки полезных ископаемых. 1981. № 6. С. 28−34.
2. Вавакин А. С. Эффективные упругие характеристики тел с изолированными трещинами, плоскостями и жесткими неоднородностями / А. С. Вавакин, Р. Л. Салганик // Известия А Н СССР. Механика твердого тела. 1978. № 2. С. 36−41.
3. Талонов А. В. Расчет деформационных свойств трещиноватых горных пород с учетом допредельного разрушения / А. В. Талонов, Б. М. Тулинов // Известия А Н СССР. Физика Земли. 1987. № 6. С. 12−18.
4. Талонов А. В. Расчет деформации хрупких материалов с учетом допредельного разрушения / А. В. Талонов, Б. М. Тулинов // Прикладная механика и техническая физика. 1989. № 3. С. 13−17.
5. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов / Б. Е. Победря. М.: МГУ, 1984. 336 с.
6. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике / Ю. А. Митропольский. Киев: Наукова думка, 1971. 168 с.
7. Бахвалов Н. С. Осреднение процессов в периодических средах / Н. С. Бахвалов, Г. П. Панасенко. М.: Наука, 1984. 352 с.
8. Талонов А. В. Структура плоской волны разрушения в хрупких телах / А. В. Талонов, Б. М. Тулинов // Известия А Н СССР. Механика твердого тела. 1991. № 6. С. 51−57.
Талонов Алексей Владимирович —
кандидат физико-математических наук, доцент
Московского государственного инженерно-технического института
(технического университета)

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой