О подходах в моделировании транспортной динамики

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 39. 31:22. 183.5 ББК 656. 13:519. 872
Й. Елинек, Я. Высока О ПОДХОДАХ В МОДЕЛИРОВАНИИ ТРАНСПОРТНОЙ ДИНАМИКИ1 J. Jelinek, J. Vysoka ON APPROACHES TO MODELING TRAFFIC DYNAMICS
Движение транспортных средств по дороге может быть смоделировано по-разному.
В большинстве случаев это микроскопические и макроскопические модели и их комбинации. Микроскопические модели детально описывают поведение отдельных транспортных средств и их взаимодействие друг с другом, макроскопические модели изучают транспортные потоки по аналогии с потоками жидкости при ее протекании по водостоку. Проводится сравнение двух подходов в решении простой дорожно-транспортной ситуации. Макроскопическая модель использует для решения проблемы один из численных методов, который применяется для решения парциальных дифференциальных уравнений, описывающих данную ситуацию, а микроскопическая модель представляет собой имитацию движения отдельных транспортных средств. Проведено сравнение динамики плотности дорожного движения на определенном участке дороги и в конкретный отрезок времени при помощи вышеназванных моделей. Показано, что по своим результатам модели являются сопоставимыми.
Ключевые слова: плотность, функция потока, скорость, имитация, транспорт, мультиагент-ное моделирование.
The movement of vehicles on the communication can be modeled in different ways. We can distinguish microscopic and macroscopic models and their combinations. Microscopic models describe the detailed behavior of individual vehicles and their interactions, macroscopic models study the traffic flow similarly to fluid flow in a tube. This paper provides a comparison of the two main approaches when solving simple situation on the road. Macroscopic model uses numerical methods for solving partial differential equations describing the situation to solve the problem while microscopic simulation model is based on behavior of individual vehicles. The aim is to compare the dynamics of traffic density in a given part of the road and time obtained with the help of the described models. The results show that the models are comparable.
Key words: density, flow function, velocity, simulation, traffic, multiagent modeling.
Введение
Целью исследования является сравнение результатов двух совершенно разных подходов к моделированию динамики транспортных потоков и развитие идей, представленных в [1]. Выбор метода моделирования транспортных систем зависит от многих факторов. Существенную роль здесь играет доступность материала для данного метода моделирования и, конечно же, требуемый уровень детализации. Мы выделяем три основные группы моделей. Первую группу представляют макромодели, ориентированные на общее поведение системы и требующие глобальных входных данных (примером может служить использование принципов системной динамики). Противоположностью являются микромодели, специализирующиеся на детальном
1 Статья написана при поддержке внутреннего гранта № 3/2013 Технико-экономического института в Чешских Будейовицах.
описании поведения отдельных элементов модели. Для транспортных систем в этом случае весьма подходящим является многоагентный подход, при котором модель состоит из большого числа объектов с автономным поведением, которые именно благодаря этому поведению и отстаиванию своих взаимоотношений формируют глобальную характеристику целого. Между этими двумя группами располагается третья — группа так называемых мезоскопических моделей, сочетающих в себе элементы макро- и микромоделей.
Материал исследований структурирован следующим образом. Прежде всего мы сосредоточимся на математическом моделировании транспортных потоков, основанном на законе сохранения количества автомобилей на дороге, по аналогии с потоками жидкости при ее протекании по водостоку (категория макромоделей). Модель характеризуется плотностью, течением и скоростью транспортного потока, ее можно описать при помощи парциальных дифференциальных уравнений первого порядка гиперболического типа. Далее следует краткая презентация этой модели и описание численного метода Лакса — Фридрихса, который был использован для решения уравнения — определения плотности транспортного потока в данный момент времени и в данном месте. В следующем параграфе содержится описание решения на основе многоагентного подхода к моделированию данной проблемы. Затем идет описание начальных условий, которые были выбраны таким образом, чтобы они соответствовали действительности, рассмотренной с обеих точек зрения. В заключение приводится обзор результатов экспериментов с моделью и их анализ. Цель состоит в том, чтобы подтвердить наши исследовательские предположения относительно сходства по результатам обоих экспериментов и сравнить достоинства и недостатки использованных моделей.
Макроскопическая модель
Плотность и поток автомобилей. Исследуем в данном временном интервале участок дороги, где скорость транспортного потока задается значением функции v (x, t), а плотность q определена значением функции q (x, t) в точке x и в момент времени ^ где t & gt- 0, x е К. Плотность транспортных потоков определяем как количество транспортных средств на единицу длины дороги. Предположим, что на данном участке установлена максимальная скорость, обозначим ее vmax. Тогда можно выразить зависимость скорости от плотности следующим образом [2]:
Ф (Ч) =
(
тах
1 —
где Чтах является плотностью, при которой возникает затор- 4 & lt- Чтах.
Другое важное понятие, определяющее характер движения транспортных средств, -транспортный поток, представляющий собой совокупность транспортных средств, которые проедут точку х за определенную единицу времени t. Эту функцию будем обозначать символом Ф (х, t). Поток транспортных средств можно определить по-разному, самый простой способ -это произведение плотности транспортных средств и скорости, с которой движется транспорт:
Ф (Ч) = vq. (1)
Если на контролируемом участке скорость транспортных средств будет варьироваться в зависимости от дорожных условий, например при аварии транспорта или в связи с приказом об ограничении скорости, либо станет следствием реакции на световую сигнализацию, то в таком случае функция потока не является линейной функцией и будет зависеть от других параметров (максимальная скорость, максимальная плотность транспорта). При выборе зависимости Ф на Ч по соотношению (1) функцию потока можно переписать следующим образом [2]:
Ф (Ч)= *тах Ч
1 --Ч
(2)
Вывод модели. Движение транспортных средств на дороге можно описать по аналогии с движением потоков жидкости при ее протекании по водостоку. Здесь речь идет о законе сохранения количества транспортных средств, т. е. количество транспортных средств, которое въедет на данный участок дороги, совпадает с количеством транспортных средств, которые выедут с этого участка за тот же промежуток времени. Эту зависимость можно переписать в виде парциального дифференциального уравнения первого порядка гиперболического типа в следующей форме:
Ч, + Фх = ^ (3)
где с помощью символа или же фх обозначаем первую парциальную деривацию функции Ч (х,) согласно переменной, или же первую парциальную деривацию функции ф (х,) согласно переменной х. Уравнение (3) можно переписать далее в виде
Ч, + ф'-(Ч) Чх = ^
где Чх есть первая парциальная деривация функции ч (х, ,) согласно переменной х.
В случае, если функция потока ф (ч) задана в линейной форме, как в (1), уравнение (3) принимает вид
Ч, + Щх = °.
Плотность размещения транспортных средств в определенном месте и в определенное время сможем установить, как только будем знать плотность транспортных средств в данном месте и в данное время. Самым распространенным и наиболее естественным выбором условий является начальное размещение плотности транспортных средств, т. е. описание ситуации в начале наблюдаемого события в виде начального условия
Ч (х, 0)= Чо (х), (4)
где функция Ч0 (х) описывает функцию ч (х,) в момент времени, = 0.
Численные методы. Уравнение (3) с начальным условием (4) можно решить аналитическим способом, например с помощью метода характеристик или с помощью численных методов. Область, имеющая дело с численным решением парциальных дифференциальных уравнений первого порядка гиперболического типа, весьма обширна. Приведем здесь краткое описание выбранного метода, который мы использовали для численного решения нашей конкретной модельной ситуации. Речь идет о методе Лакса — Фридрихса, который относится к категории дифферентных методов. Дифферентные методы основаны на том, что к аппроксимации деривация использует дифференцию, в случае метода Лакса — Фридрихса речь идет о дифференции центральной [3].
Описание метода Лакса — Фридрихса. Если рассматривать три соседние точки, а узловые значения выразить при помощи ряда Тейлора вокруг средней точки, то можно метод для решения нелинейной задачи (3) определить следующим образом [3]. Интервал, на котором ищем решение, разделим на определенное количество N подынтервалов, предполагая, что все подынтервалы имеют одинаковую длину. Обозначим (/ + 1)-ю точку деления символом х}. ,
/ = 0, к, N, а расстояние между соседними узлами символом Ах, следовательно, остается в силе х/ = /Ах. Аналогично введем константное разделение временного интервала с временным шагом А, =, п+1 —, п для п & gt- 0, и остается в силе, п = пА,. Предположим, что значение А, / Ах является константным. Аппроксимацию точного решения в точке х/ и в момент времени, п, обозначенную символом чП, будем записывать как Qrj. Дифферентные формулы можно вывести, например, при помощи ряда Тейлора. Если рассматривать три соседние точки х/-1, х/ и х/. +1, а узловые значения выразить при помощи ряда Тейлора вокруг средней точки, то метод для решения нелинейной задачи (3) определяется следующим образом [3]:
/ = 2 (е-_, + о+,)-2^ [ф (е-+,)-Ф (е--,)]. (5)
2^-& gt- 2 Ах
Этот метод известен под названием метода Лакса — Фридрихса. Если мы выберем подобную функцию в виде (2), то отношение (5) примет вид
А,
2- + е+1)-2Ах
*'-=1 (ей + еп+1)
V
тах
еп
/+1
еп
1 — е/+±
тах
Чтах у
Условия конвергенции метода. Успешность использования описанного выше метода обеспечивает так называемая теорема Лакса, утверждающая, что каждый консистентный линейный метод является конвергентным именно тогда, когда он стабильный [4]. Стабильность обеспечивает гарантию методу в том, что ошибки, которые могут сопровождать входные данные задачи, при вычислении являются ограниченными. Стабильность может быть результатом выполнения так называемого критерия Куранта — Фридрихса — Леви (критерий КФЛ), а именно тогда, когда в силе остается vАt / Ах & lt- 1, в случае нелинейной задачи критерий КФЛ принимает
форму тах ф'-(еп)| А, / Ах & lt- 1. Данный критерий в нашем алгоритме контролируется с помощью
теста. Консистенция метода с данным дифференциальным уравнением представляет собой свойство, когда соответствующая дифферентная схема идентична данному дифференциальному уравнению. Понятие конвергенции приблизительного решения к точному решению для А, ^ 0 и для Ах ^ 0 означает, что полученное решение можно произвольно уточнять, уменьшая размер временного шага. В данном исследовании мы не будем эту тему рассматривать подробно.
Имитационная модель
Описание модели. Второй подход, который был исследован и применен для разработки модели транспортного потока, является мультиагентным- поведение всей системы будет моделироваться как агрегация поведения отдельных транспортных средств [5] (и здесь, однако, необходимо использовать определенные данные — параметры, описывающие систему в целом). Преимуществом такого подхода для многих пользователей может быть тот факт, что знание вышеупомянутых парциальных дифференциальных уравнений и работа с ними не являются обязательными для этого типа модели — на уровне моделирования отдельных транспортных средств они не будут необходимыми для описания системы. Глобальными параметрами в этом случае являются допустимая скорость на отдельных участках дороги и частота появления транспортных средств, которая была установлена в фиксированном диапазоне: одно транспортное средство в течение трех секунд. Следующие глобальные параметры — длина транспортного средства, принятая равной 4,5 м, и минимальное расстояние от транспортного средства до другого исследуемого транспортного средства, находящегося непосредственно перед ним, принятое равным 0,5 м. Вышеуказанная частота появления транспортных средств соответствует плотности 24 транспортных средств/км при максимальной скорости 50 км/ч.
Концептуальная модель задачи исходит из моделирования транспортного средства в качестве независимого агента и его местоположения в среде движения наблюдаемого участка дороги. При входе в среду агент инициализован и помещен на позицию на вступительных условиях (, = 0 с) либо (на момент времени, & gt- 0 с) в начале моделируемого отрезка (х = 0 м). Агент в момент своей инициализации вкладывает также информацию об агенте, находящемся непосредственно перед ним, чтобы обеспечить возможность определения взаимного расположения транспортных средств. При инициализации установлена также целевая точка, в которую агент должен добраться, т. е. конец наблюдаемого отрезка.
Дальнейшее поведение агента моделируется при помощи диаграмм состояния, и основной деятельностью агента является движение на контролируемом участке дороги, причем в регулярных интервалах (в модели используется 0,05 с моделируемого времени), агент контролирует свою дистанцию относительно автомобиля, едущего впереди. Во время этой проверки важно, чтобы это расстояние не было меньше расстояния безопасного для данной скорости, которая (выражена во времени при данной скорости) составляет 2 с. Если расстояние меньше, то агент реагирует на эту
ситуацию, регулируя свою скорость так, чтобы расстояние можно было бы считать опять безопасным. Если расстояние между транспортными средствами достаточное, то агент движется со скоростью, которая максимально допустима на этом отрезке. Для выполнения модели и наглядного изображения результатов было использовано программное обеспечение AnyLogic [6].
Проведенные эксперименты
Начальные условия. Наблюдаемый отрезок дороги длиной в 1000 м разделен на три части:
— отрезок 0−500 м с максимальной скоростью 50 км/ч, транспортные средства здесь соблюдают безопасное расстояние в 2 с-
— отрезок 500−600 м с максимальной плотностью транспортных средств, имитирующих колонну перед светофором (максимальная скорость 0 км/ч) —
— отрезок 600−1000 м с максимальной скоростью 30 км/ч.
Начальное условие задано на первом отрезке значением q1 = 24 транспортных средства/км, на втором отрезке q2 = 200 транспортных средств/км (транспортный затор — qmax), и на последнем отрезке начальное значение плотности выражено значением q3 = 46 транспортных средств/км (рис. 1).
г1
q I ---------------------------:
— '- I
> Л'-
500 G00 1000
Рис. 1. Начальное условие — плотность транспортных средств в зависимости от расстояния для t = 0 с
В момент времени t = 0 с на светофоре загорается зеленый сигнал, и транспортные средства начинают разъезжаться.
Г рафические результаты. Решенный переходный процесс можно наблюдать и в плоскости х — q, т. е. при помощи мониторинга значений плотности транспортных средств в пространстве и в конкретное время. Иллюстративное развитие этой плотности по всему наблюдаемому отрезку в конкретных интервалах времени показано на рис. 2−6, на которых нанесена также кривая абсолютных значений дифференции между значениями, установленными макромоделью и имитацией. Значение плотности в имитационной мультиагентной модели определяется из взаимного расстояния транспортных средств. Впоследствии она будет пересчитана на количество транспортных средств на единицу расстояния и приписана месту на трассе, где находится последнее транспортное средство из тех, между которыми было замерено соответствующее расстояние. Недостаток этого метода расчета виден на процессе плотности в момент времени t = 432 с, где под ее влиянием происходит деформация процесса. На рис. 2−6 мы видим направление плотности транспортных средств в нескольких выбранных моментах. Первым является момент времени t = 0 с, когда, в сущности, речь идет о входных условиях и загорается зеленый сигнал светофора. Далее следует момент времени t = 120 с, когда переходный процесс уже идет. Следующее изображение плотности было заимствовано для модельного времени t = 120 с, когда переходный процесс находится в состоянии кульминации. Затем следует изображение для модельного времени t = 326 с, когда процесс начинает идти на спад, а последнее изображение -для момента времени t = 432 с, когда переходный процесс уже завершен.
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
1 1 1 Макромодель
11 1 Имитация
1 1: Дифференция
г.: 5

г
р *
е
/:

1 1 1 1 г
900 1000
Рис. 2. Поступательное движение плотности транспортных средств q в зависимости от расстояния х для / = 0 с
Рис. 3. Поступательное движение плотности транспортных средств q в зависимости от расстояния х для t = 120 с
Рис. 4. Поступательное движение плотности транспортных средств q в зависимости от расстояния х для t = 200 с
Рис. 5. Поступательное движение плотности транспортных средств q в зависимости от расстояния х для t = 326 с
Рис. 6. Поступательное движение плотности транспортных средств q в зависимости от расстояния х для t = 432 с
Поступательное движение плотности в момент времени и пространстве было визуализировано также в режиме 3D, как это показано на рис. 7. На оси х представлено модельное время эксперимента, на оси у — расстояние данного места от начала наблюдаемого отрезка. Плотность транспортных средств в данном месте и времени обозначена фоном. Темный фон указывает на места с высокой плотностью, светлые области, наоборот, — на места с низкой плотностью. В серых областях отражен переходный процесс, но без экстремальных состояний.
Рис. 7. Изображение поступательного движения плотности в момент времени и с учетом расстояния в режиме 3D
Значительные изменения плотности транспортных средств требуют существенного изменения их скорости, что может создать потенциально опасную ситуацию (особенно при торможении). Негативное воздействие имеет также тот момент, когда пик плотности достигает максимальных значений, нежели при нормальных условиях на первом или втором отрезках пути (максимальная скорость 30 и 50 км/ч). В этих местах возникают колонны, и транспортные средства должны замедлить скорость движения.
Сравнение результатов
Основной целью нашего исследования было сравнение двух методов описания динамики транспортного потока при заданных начальных условиях. Сходство результатов, представленных в графическом виде, у обеих моделей очевидно. Основанием для этого вывода является сравнение абсолютных отклонений значений обеих моделей плотности. Приведенные утверждения можно подкрепить также суммированием значений абсолютных отклонений плотности транспортных средств у обеих моделей для конкретных моментов модельного времени. Из результатов следует, что самые большие различия были в моменты времени ^ = 0 с и ^ = 432 с. В первую очередь это связано с использованным методом имитации и расчета плотности транспортных средств в микромодели.
Значения абсолютных отклонений плотности q
Время, c Сумма (абс (макромодель — имитация))
0 907,92
120 264,74
200 194,58
326 37,66
432 93,37
Таким образом, можно сформулировать следующий вывод: обе модели описали выбранный переходный процесс с минимальной разницей между количественными значениями, чем была подтверждена основная гипотеза, проверить которую было целью нашего исследования. При сравнении экспериментальных результатов необходимо иметь в виду и различный характер обеих моделей — макроскопический и микроскопический. Численная макроскопическая модель не имеет возможности изобразить детально переходный процесс, поэтому необходимо решить проблему непрерывности начальных условий. Для детального изучения переходного процесса предпочтительнее микроскопическая модель (имитация), которая, однако, при выполнении вычислений считается более сложной. После создания модели можно использовать ее, с относительно незначительными изменениями, для имитации и других состояний системы.
Заключение
Таким образом, нами было проведено сравнение двух методов моделирования динамики транспортного потока — имитационная многоагентная модель и численная математическая модель для решения парциального дифференциального уравнения. Принципы обеих моделей существенно отличаются, однако по итогам экспериментов ясно, что по своим результатам модели являются сопоставимыми. Имитационная модель для выполнения вычислений считается более сложной.
Мы намерены продолжить начатое исследование, изучая другие дорожные ситуации и процессы. Может быть проанализирован, в частности, более широкий спектр числовых моделей. При использовании микроскопического подхода необходимо сосредоточить внимание на более точном моделировании поведения водителей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Jelinek J. Modelovani dynamiky dopravniho proudu / J. Jelinek. J. Vysoka // Silnice zeleznice. 2013. № 2. S. 73−76.
2. LeVeque R. J. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems / R. J. LeVeque. Cambridge University Press, 2002. P. 203−213.
3. LeVeque R. J. Numerical Methods for Conservation Laws / R. J. LeVeque. Basel: Birkhauser Verlag, 1990.
4. Mika S. Numericke metody reseni parcialnich diferencialnich rovnic / S. Mika, P. Prikryl. Zapadoceska univerzita Plzen, 1995. 88 s.
5. Sieber P. O. Introduction to Multi-Agent Simulation / P. O. Sieber, U. Aickelin. In: F. Adam & amp- P. Humphreys, eds. Encyclopedia of Decision Making and Decision Support Technologies. Pennsylvania: Idea Group Publishing, 2008. P. 554−564.
6. AnyLogic Company, 1992−2012. Available at: http: //www. anylogic. com (accessed: 2. 11. 2012)].
REFERENCES
1. Jelinek J., Vysoka J. Modelovani dynamiky dopravniho proudu [Modelirovanie dinamiki transportnykh potokov]. Silnice zeleznice, 2013, no. 2, pp. 73−76.
2. LeVeque R. J. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge University Press, 2002, pp. 203−213.
3. LeVeque R. J. Numerical Methods for Conservation Laws. Basel, Birkhauser Verlag, 1990.
4. Mika S., Prikryl P. Numericke metody reseni parcialnich diferencialnich rovnic [Chislennye metody resheniia podobnykh differentsial'-nykh uravnenii]. Zapadoceska univerzita, Plzen, 1995. 88 p.
5. Sieber P. O. Introduction to Multi-Agent Simulation / P. O. Sieber, U. Aickelin. In: F. Adam & amp- P. Humphreys, eds. Encyclopedia of Decision Making and Decision Support Technologies. Pennsylvania: Idea Group Publishing, 2008. P. 554−564.
6. AnyLogic Company, 1992−2012. Available at: http: //www. anylogic. com (accessed: 2. 11. 2012)].
Статья поступила в редакцию 30. 09. 2013
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Елинек Ииржи — Технико-экономический институт в Чешских Будейовицах, Чешская Республика- канд. наук- старший преподаватель кафедры «Естественные науки" — jelinek@mail. vstecb. cz.
Elinek Jirzhy — Ceske Budej ovice Technical and Economic Institute, Czech Republic- Candidate of Sciences- Senior Lecturer of the Department & quot-Natural Sciences& quot-- jelinek@mail. vstecb. cz.
Высока Яна — Технико-экономический институт в Чешских Будейовицах, Чешская Республика- RNDr- ассистент кафедры «Естественные науки" — vysoka@mail. vstecb. cz.
Vysoka Jana — Ceske Budej ovice Technical and Economic Institute, Czech Republic- RNDr- Assistant of the Department & quot-Natural Sciences& quot-- vysoka@mail. vstecb. cz.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой