О подобно однородных локально-компактных пространствах с внутренней метрикой

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Известия вузов. Математика 2008, 4 (551), с. 28−42
http: //www. ksu. ru/journals/izv_vuz/ етаіі: izvuz. matem@ksu. ru
И.А. Гундырев
О ПОДОБНО ОДНОРОДНЫХ ЛОКАЛЬНО-КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С ВНУТРЕННЕЙ МЕТРИКОЙ
Аннотация. В статье частично обобщена теорема В. Н. Берестовского о характеризации подобно однородных (неоднородных), т. е. допускающих транзитивную группу метрических подобий, но не движений, римановых многообразий на случай локально-компактных подобно однородных (неоднородных) пространств с внутренней метрикой, удовлетворяющих дополнительному условию, что канонически конформно эквивалентное однородное пространство ?-однородно или имеет ограниченную снизу кривизну по А. Д. Александрову. При тех же условиях доказана гипотеза В. Н. Берестовского о топологической структуре таких пространств.
Ключевые слова: подобно однородные пространства, внутренняя метрика, субметрия, пространства А. Д. Александрова ограниченной снизу кривизны, однородные пространства, ?-однородные пространства.
В работе изучаются подобно однородные (неоднородные), т. е. допускающие транзитивную группу метрических подобий, пространства с внутренней метрикой. Простейшим примером такого пространства является открытая евклидова полупрямая. Начало изучения подобно однородных пространств было положено в работе [1]. В теореме 2.1 из [1] доказано, что подобно однородное пространство однородно тогда и только тогда, когда оно полно. Каноническим образом построено однородное пространство, конформно эквивалентное (см. определение 9) подобно однородному ([1], теорема 1. 2). В этой же статье доказано, что связная эффективная транзитивная группа Ли подобий подобно однородного неоднородного риманова многообразия допускает такую риманову Сш-метрику, что левые сдвиги группы действуют на ней подобиями, но, вообще говоря, не изометриями. Доказано также, что всякая связная односвязная разрешимая группа Ли G размерности п & gt- 1 с левоинвариантной римановой метрикой ц) допускает такую конформно-эквивалентнyю риманову метрику V, что левые сдвиги группы G действуют на (@, V) подобиями, но не обязательно изометриями. Последнее утверждение показывает, что пока недоступна классификация связных подобно однородных неоднородных римановых многообразий. Возможна характеризация таких многообразий условиями теоремы 4.4 в [1], необходимость которых здесь обобщается на случай подобно однородных неоднородных локально-компактных пространств с внутренней метрикой, если соответствующее конформно-эквивалентное однородное пространство имеет кривизну & gt- к по А. Д. Александрову или ?-однородно. Доказательство теоремы в первом случае существенно опирается на теорему Ямабе [2] и возможность представления рассматриваемого пространства в виде метрического проективного предела многообразий
Поступила 04. 04. 2007
УДК: 517. 982:513. 813
1. Введение
([3], теорема 2. 1- [1], теорема 4. 5). В доказательстве теоремы для второго случая используется метрика Буземана на группе движений и теорема Кон-Фоссена. ?-однородные пространства изучались в работах [4] и [5]. В теории таких пространств еще много открытых вопросов.
В разделе 2 приведены основные определения и предварительные результаты. Примеры подобно однородных пространств приведены в разделе 3. Раздел 4 содержит основные результаты. В разделе 5 приведено доказательство гипотезы из статьи [1] о топологической структуре локальнокомпактного подобно однородного неоднородного пространства с внутренней метрикой в случае, когда конформно эквивалентное пространство имеет кривизну & gt- к (& lt- к) по А. Д. Александрову или ?-однородно.
2. Определения и предварительные результаты
Определение 1. Пусть X — пространство с внутренней метрикой, 7: М ^ X — параметризованная длиной дуги геодезичежая. Геодезическая 7 называется метрической прямой, если любой ее замкнутый подинтервал является кратчайшей.
Определение 2. Биекция f: X ^ X метрического пространства (Х, р) на себя называется а-подобием (а € М+), где М+ есть множество всех положительных вещественных чисел, если для любых точек х, у € X выполняется равенство р (f (х)^(у)) = ар (х, у). Биекция f: X ^ X называется подобием, если f — а-подобие при некотором, а € М+.
Обозначим через Гр группу всех подобий метрического пространства X (групповая операция
— композиция подобий). Группа Г всех движений (изометрий) пространства X является нормальной подгруппой в Гр. Для любого h € Гр определим функцию а: Гр ^ М+, а (К) = а, если h — а-подобие. Отображение а: Гр ^ М+ является гомоморфизмом с ядром Г.
Определение 3. Метрическое пространство X называется однородным (подобно однородным), если группа его изометрий (подобий) действует транзитивно на X.
Обозначим замкнутый шар в пространстве (X, р) с центром в точке х € X радиуса г через Вх (х, г) или, когда понятно, о каком пространстве идет речь, — через В (х, г).
Определение 4. Метрическое пространство X называется локально-полным, если для каждой его точки х существует положительное число г (х) такое, что замкнутый шар В (х, г (х)) с индуцированной из X метрикой является полным метрическим пространством. Точную верхнюю границу таких чисел г (х) для фиксированной точки х (возможно бесконечную) будем обозначать с (х) и называть радиусом полноты (пространства X в точке х).
Если хотя бы для одной точки х € (X, р) выполнено равенство с (х) = +го, то пространство (X, р) полное. В противном случае функция с = с (х) удовлетворяет неравенству
с (х) — с (у)& lt-р (х, у) Ух, у € X. (2. 1)
Из неравенства (2. 1) следует, что с: (X, р) ^ М+ - нерастягивающее отображение.
Определение 5. Отображение метрических пространств ф: X ^ У называется субметрией, если для каждого числа г € М+ и каждой точки х € X образ замкнутого шара радиуса г в X с центром в точке х есть замкнутый шар радиуса г в У с центром в точке ф (х). Слабая субметрия определяется аналогично с заменой замкнутых шаров на открытые. Субметрия называется собственной, если прообраз компактного подмножества компактен.
Всякая субметрия является слабой субметрией. Из определения субметрии непосредственно следует предложение: всякая субметрия является нерастягивающим отображением- следовательно, является непрерывным (липшицевым) отображением (с константой 1).
Определение 6. Пусть Ж1, Х2, Хз, x'-:i — точки метрического пространства (X, р). Тогда (Ж1Ж2Ж3) означает Х2? {х1,хз} и р (х1,хз) = p (xi, x2) + р (х2,хз). Пространство (Х, р) удовлетворяет условию неналегания кратчайших, если из выполнения условий (х1×2хз), (х1×2×3), р (х2,хз) = р (х2,х'-з) следует х'-з = хз.
Как доказано в предложении 1 из [6], если отображение ф: X — Y — субметрия, то каждое из свойств пространства X (полнота, внутренний характер метрики, соединимость любых двух точек кратчайшей, локальная компактность, неналегание кратчайших) наследуется пространством Y.
Определение 7. Полупрямым произведением G X H групп G и H называется прямое произведение множеств G х H, снабженное (групповой) операцией по формуле (gi, hi)(g2,h2) = (gig2,hi?(gi)h2), где ?: G — Aut H — гомоморфизм группы G в группу Aut H автоморфизмов группы H. Если G, H — топологические группы, то на группе G X H задается топология произведения на G х H, при этом операции произведения и обращения элемента должны быть непрерывны. Ясно, что (g, h)-1 = (g-1,?(g-1)(h-1)).
Определение 8. Пусть дано семейство {Gn | n? N} групп, индексированных натуральными числами, и семейство {фпт: Gm — Gn | n & lt- m} гомоморфизмов со следующими свойствами:
1) для любых n? N и g? Gn справедливо фnn (g) = g-
2) фnk = фпт? фmk для любых n, m, k? N, где n & lt- m & lt- k.
Обратный предел системы групп {Gn} и гомоморфизмов {фпт: Gm — Gn}n& lt-m определяется
как подгруппа прямого произведения Gn
n€N
G := lim Gn = Ugi, g2,…, gm,…)? Ц Gn gn = фпт^т) для всех n & lt- m.
^ n€N '-
Групповая операция в Gn определяется покомпонентно: для произвольных элементов g =
nGN
…, gm,…) и h = (h1, h2, … hm,.. .
) из G имеем gh = (gihi, g2h2,…, gmhm,…). Для любого n? N определена естественная проекция фп: G — Gn, сопоставляющая элементу g = (gi, g2,…, gm,. .) его n-ю компоненту фп (g) = gn.
Для системы топологических групп обратный предел определяется аналогичным образом, на группе G = lim Gn в таком случае задается топология, индуцированная тихоновской топологией --------------
произведения в Ппен Gn.
Определение 9 ([1]). Пусть (Х, р) — пространство с внутренней метрикой и Л = Л (х), х? X,
— положительная непрерывная вещественная функция на X. Для каждого параметризованного длиной дуги спрямляемого пути? = ?(s), 0 & lt- s & lt- а, в (X, p) определим новую его длину
а
l (?, Л) := f Л (?(, з))(1,в. Затем определим новую (внутреннюю) метрику р на X, полагая p (z, y)
0
для z, y? X равным точной нижней границе длин 1(?, Л) по всем спрямляемым в метрике р путям ?, соединяющим точки z, y. Будем говорить при этом, что метрика р получена конформным изменением метрики р с коэффициентом конформности Л или что метрика р конформноэквивалентна метрике р с коэффициентом конформности Л.
Заметим, что метрики р и рх имеют одну и ту же (метрическую) топологию.
Предложение 1. Пусть X — локально-полное подобно однородное неоднородное метрическое
пространство c фиксированной точкой x Е X. Тогда для каждой точки x Е X существует единственное число a = a (x) такое, что существует a-подобие g пространства X c условием g (x{) = x.
Доказательство. По определению подобно однородного пространства существует подобие g Е Гр с условием g (xi) = x. Из выражения для радиуса полноты c (x) = c (g (xi)) = a (g)c (xi) следует
a = a (x) = a (g) = c (x)/c (x1). ?
Замечание 1. Функция a (x) из предложения 1 непрерывна на X в силу неравенства (2. 1). Сле-
довательно,
1) если в пространстве (X, р) выбрана точка xi Е c-1(1), то для любого g Е Гр будет верно соотношение a (g) = c (g (xi)) —
2) если на Гр задана компактно-открытая топология, то гомоморфизм а: Гр ^ R непрерывен как композиция непрерывных отображений
p: Гр ^ X (p (g)= g (xi)) и c: (X, p) ^ R+.
Справедлива простая
Лемма. Пусть K — компактная подгруппа топологической группы G, ф: G ^ (R+, •) — непрерывный гомоморфизм. Тогда K С ф-1(1).
Доказательство. Из непрерывности функции ф и компактности подгруппы K следует, что ф (К) компактно в R+. Кроме этого, ф (К) — подгруппа, так как ф — гомоморфизм. В группе (R+, •) нет других компактных подгрупп, кроме тривиальной (т. е. состоящей только из единичного элемента), значит, ф (К) = {1}. ?
В доказательстве теоремы 1.2 из [1] для всякого локально-полного подобно однородного пространства (X, р) с внутренней метрикой каноническим образом построено конформно-эквивалентное (в смысле определения 9) однородное пространство (X, рх) с внутренней метрикой (с функцией Л = 1/c, если (X, p) неоднородно, Л = 1, если (X, p) однородно).
3. Примеры
В этом разделе приведены простые примеры подобно однородных неоднородных пространств с внутренней метрикой.
Пример 1. Простейшим примером локально-полного подобно однородного неоднородного пространства с внутренней метрикой служит мультипликативная группа (R+, •) положительных вещественных чисел со стандартной метрикой, индуцированной вложением R+ С R. (Левые) сдвиги этой группы составляют группу подобий, действующую просто транзитивно на R+.
Пример 2. Непосредственным обобщением примера 1 является пространство X := (Rn) +: = Rn-1 х R+, n & gt- 2, с метрикой, индуцированной вложением (Rn)+ С Rn, где Rn — n-мерное евклидово пространство со стандартной метрикой р. Очевидно, это пространство подобно однородно, но не однородно. Соответствующее ему пространство (Rn, рх) изометрично пространству Лобачевского секционной кривизны k = -1.
Пример 3. Пространство X := Rn{0}, n & gt- 2, с евклидовой метрикой. Конформно-эквивалентное ему пространство (X^x) изометрично Sn-1 х R, где Sn-1 — сфера единичного радиуса в Rn.
Большее число примеров рассмотрено в работе [1].
4. Основные результаты
C помощью конструкции метрического проективного предела теорема 4.4 из [1], доказанная для подобно однородных неоднородных римановых многообразий, может быть обобщена.
Определение 10 ([1], [3]). Пусть (X, p) — локально-компактное пространство с внутренней метрикой. Пространство (X, p) называется метрическим проективным (обратным метрическим) пределом последовательности (Xn, pn) многообразий Xn с внутренней метрикой рп и отображений Pnm: (Xm, pm) — (Xn, Pn), П & lt- m, если
1) X = lim (Xn, pnm) (обратный предел последовательности множеств и связывающих их
отображений) как множество-
2) каждое отображение pnm: (Xm, pm) — (Xn, pn), n & lt- m, — собственная субметрия и Pnk = Pnm? Pmk для n & lt- m & lt- k-
3) естественная проекция pn: (X, p) — (Xn, pn) является собственной субметрией-
4) Pn = Pnm? Pm, если n & lt- m-
5) pn? (pn x pn) — p при n — ж равномерно на каждом компактном подмножестве в X х X.
Определение 11. Два подмножества Mi, M2 метрического пространства (M, p) называются эквидистантными, если для каждой точки x Е Mi существует точка y Е Mj, i = j, такая, что p (x, y) = p (Mi, M2). Метрическим расслоением F полного метрического пространства (M, р) называется разбиение M на попарно изометричные (относительно метрик, индуцированных р) и эквидистантные замкнутые подмножества.
Теорема 1. Пусть (X, p) — подобно однородное неоднородное локально-компактное пространство с внутренней метрикой и (X, p) — соответствующее ему ([1], теорема 1. 2, X = 1/c) однородное локально-компактное пространство с внутренней метрикой — имеет кривизну & gt- k по А.Д. Александрову- G — наибольшая связная транзитивная локально-компактная топологическая группа подобий (движений) пространства (X, p) ((X, p)), существование которой гарантировано предложением 4.1 в [1]- группа I — наибольшая подгруппа изометрий пространства (X, p) в группе G- Хо Е c1(1) и H С I — стабилизатор точки Хо в группе G- смежный класс gH Е G/H естественно отождествляется с точкой g (xo) при помощи отображения f: G/H — X, f (gH) = g (xo). Тогда
1) группа G, снабженная компактно-открытой топологией относительно действия G на X, изоморфна некоторому полупрямому произведению топологических групп (R, +) X I (с нормальной подгруппой I) так, что
2) элементы подгруппы (R, +) X {e} коммутируют с элементами компактной подгруппы H С I и I/H — эффективное однородное пространство группы I-
3) (X, p) = (G/H, p) — однородное эффективное пространство с G-инвариантной внутренней метрикой р относительно канонического левого действия G на G/H-
4) пространство (X, p) естественно изометрично пространству (G/H, p), функция c: (G/H, р) — R+ - субметрия и одноврем, енно '-радиус полноты пространства (G/H, р), где c ((t, i) H) = exp (t), (t, i) Е (R, +) X I (с учетом п. 1)).
Доказательство. По условию теоремы а1(1) = I- H С G — компактная подгруппа в G, следовательно, H С I по лемме. В доказательстве теоремы 4.5 из [1] при помощи теоремы Ямабе [2] показана справедливость следующих утверждений.
а) Пространство (X, р) является метрическим проективным пределом последовательности (Xn, рп) подобно однородных неоднородных многообразий с внутренней метрикой и собственных субметрий pnm: Xn — Xm, n & lt- m.
b) Группа G является обратным пределом последовательности групп Ли Gn, связанных естественными эпиморфизмами групп Ли qnm: Gm — Gn, n & lt- m, где Gn — связная, локальнокомпактная, непрерывная, эффективная и транзитивная группа преобразований многообразия Xn. (Обозначим qn: G — Gn — каноническая проекция.)
c) Подгруппа I является обратным пределом последовательности групп Ли In — наибольших подгрупп движений многообразий (Xn, pn).
Метрика рп в ходе доказательства вводится так, что действие группы Gn на (Xn, pn) есть действие метрическими подобиями. На каждом многообразии Xn зададим метрику pn, конформноэквивалентную (см. определение 9) метрике pn. По теореме 2.1 из [3] пространство (X, р) является обратным метрическим пределом последовательности (Xn, pn).
Естественная проекция pn: (X, р) — (Xn, pn) — субметрия (см. предложение 2.2 и теорему 2.1 в статье [3]). Воспользовавшись предложением 3.4 статьи [7] и теоремами статьи [4], получим, что пространство (Xn, pn) — риманово однородное многообразие с секционной кривизной & gt- к, а группа Ли Gn действует на (Xn, pn) транзитивно изометриями.
Для пространства (Xn, pn) применима теорема 4.4 из [1], поэтому группа Ли Gn изоморфна (R, +) X In. Введем обозначения
Фn: Gn — (R, +) X In — соответствующий изоморфизм, cn: Xn — R+ - радиус полноты пространства (Xn, pn), an: Gn — R+ - коэффициент подобия в пространстве (Xn, pn), p: G — G/H = X — каноническая проекция.
Из п. 2) теоремы 4.5 в [1] получаем cn о pn = с и cn о pnm = cm, n & lt- m, следовательно, для любого числа a G R+
c-1(a) = Pn (c-1(a)) = Pnm (Pm (c~1(a))) = pnm (cma)), n & lt- m. (4. 1)
Из первого равенства в (4. 1) видно pn (xo) G c-1(1). В силу соотношения (4. 1) из статьи [1] имеем
равенство, а = с о p. Пусть a (g) = c (g (xo)) = a, тогда an (gn) = an (qn (g)) = Cn (gn (Pn (xo))) = a.
Доказано равенство
а = Cn о pn о p = an о qn. (4. 2)
Представим элемент g G G в виде g = (gi, g2, …, gn,…), где gn G Gn, n G N. Выберем произ-
вольное n G N и положим Фn (gn) = (tn, in). Из доказательства теоремы 4.4 в [1] и доказанного равенства (4. 2) следует
tn = ln (an (gn)) = ln (an (qn (g))) = ln (a (g)).
Это равенство показывает, что t := tn не зависит от n, поэтому Фn (gn) = (t, in), n G N.
Введем отображение Ф: G — (R, +) X I:
Ф (3) := (t, (ii, i2,…, in,…)).
По предыдущим рассуждениям получаем
G = lim Gn = lim ((R, +) X In) = (R, +) X lim In = (R, +) X I,
4- 4- 4--
второе равенство в этой цепочке понимается как изоморфизм. Таким образом, Ф — изоморфизм топологических групп. Первый пункт теоремы доказан.
Утверждение п. 3) теоремы следует из определения группы G и отождествления G/H с (X, рх) посредством отображения f.
В п. 2) теоремы возьмем (t, e) = (t, (ei, в2,…, en, …)), где en — единичный элемент в In. Элемент h G H представим в виде h = (h1,…, hn,…). Для каждого n G N верно hn (t, en) h-1 = (t, en)
([1], теорема 4. 4, п. 2)), следовательно, h (t, e) h-1 = (t, e). Пусть iH, I2H — два различных элемента (I/H, p) — тогда I2i-l? I — изометрия на I/H и переводит iH в %2Н. Эффективность действия подгруппы I на пространстве I/H следует из п. 3).
В п. 4) функция c: (G/H, p) — R+ по определению является радиусом полноты пространства (X, p) = (G/H, p) и субметрией по теореме 4.1 из [1]. Пусть Ф^) = (t, i), из доказательства п. 1) следует t = ln (a (g)). Поэтому exp (t) = a (g) = c (g (xo)) = c (f (gH)). Воспользовавшись тем, что функция f отождествляет G/H и X, а отображение Ф — изоморфизм, получим равенство exp (t) = c (gH) = c ((t, i) H). Это доказывает п. 4). ?
Замечание 2. Если в условии теоремы 1 пространство (X, р) имеет кривизну & lt- к (вместо & gt- k), то, как показано в работе [4], (X, р) является однородным римановым многообразием секционной кривизны & lt- к, значит, по теореме 4.4 из [1] все утверждения теоремы 1 верны и в этом случае.
Другая техника доказательства аналогичной теоремы применима в случае, если (X, р) o-однородно.
Определение 12 ([4]). Пусть (X, р) — метрическое пространство, x? X. Изометрия g: X — X называется o (x)-смещением, если для любой точки y? X p (y, g (y)) & lt- p (x, g (x)). Пространство с внутренней метрикой называется o-однородным, если для любых двух точек x, y? X существует o (x)-смещение, переводящее x в у.
Понадобится тот факт, что множество двоично-рациональных чисел всюду плотно в множестве R. Обозначим
DR (n) := {m/2n | m? Z}, n? N U {0}-
множество всех двоично-рациональных чисел DR = U DR (n).
neNU{0}
Замечание 3. Пусть (X, р) — локально-компактное подобно однородное пространство с внутренней метрикой- (X, p) — соответствующее ему (по теореме 1.2 из [1]) локально-компактное однородное пространство с внутренней метрикой и функцией Л = 1/c. Тогда
1) отображение F = lnoc: (X, p) — R — субметрия (функция c вычисляется на (X, p)) ([1], теорема 4. 2) —
2) разбиение пространства (X, р) на множества уровня функции F является метрическим расслоением ([1], теорема 4. 2) —
3) для произвольных точек x, y? (X, р) в силу того, что субметрия не увеличивает расстояний, выполнено неравенство
lF (x) — F (У)1& lt- Px (x, y). (4. 3)
Определение 13 ([8]). Метрическое пространство называется конечно-компактным, если любое его замкнутое ограниченное подмножество компактно.
Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1, но вместо ограничения кривизны & gt- к для (X, p) выполнено условие, что (X, p) — o-однородное пространство. Тогда верны пп. 1), 3), 4) теоремы 1.
Доказательство. В п. 1) по условию теоремы точка xo? c-l (1), значит, xo? F-1(0). В силу замечания 3
X = |^J F-1(a), F-1(a1) П F-1(a2) = 0 при a1 = a2,
F: (X, p) — R — субметрия.
Возьмем шар Вп = В (хо, гп = ½п), п € М, в (X, р). По определению субметрии
F (Вп) = ^(хо) — Гп^(хо) + Гп] = [-½п, ½п].
Выберем точку хп& gt-1 € Вп П F-1(½п). При помощи неравенства (4. 3) получаем оценку
=F (хо) — F (хп, 1) & lt- рх (хо, хп, 1) & lt- 2п.
Поэтому
р (хо, хЩ1) = ½п. (4. 4)
Пространство с внутренней метрикой (X, р) полное и локально-компактное. Следовательно, по теореме Кон-Фоссена ([12], теорема 2.5. 28, с. 60) (X, р) конечно-компактно. Поэтому все шары Вп компактны и любые две точки в (X, р) можно соединить кратчайшей (возможно, не единственной). Группа G действует транзитивно движениями на ?-однородном пространстве (X, р), поэтому существует ?(хо)-смещение дп € G такое, что дп (хо) = хп, 1. Из равенства (4. 4) и изомет-ричности дп € G на (X, р) получим рх (дЩ (х0), дпт+1 (х)) = ½п для любого т €.
Коэффициент подобия элемента дп относительно метрики р (см. замечания 1, 3 и определение дп) равен
а (дп) = с (д (хо)) = с (хп, 1) = ер (Хп1 = е½& quot-.
Из этого равенства, доказательства предложения 1 и гомоморфности, а следует, что для любых х € F-1 (а), т € ^
т
F (дт (х)) = 1п (с (дт (х)) = 1п (ат (д)с (х)) = т 1п (а (д)) + 1п (с (х)) = - + а. (4. 5)
Для произвольной изометрии д: (X, рх) ^ (X, рх), произвольной точки х € X, при любых т, к € ^ верно неравенство
рх (дт (х), дк (х)) = рх (х, дт-к (х)) & lt-т — крх (х, д (х)). (4. 6)
Чтобы его доказать, достаточно воспользоваться определением изометрии и неравенством треугольника.
Движение дп — ?(хо)-смещение. Тогда для любых т, к €, х € X из (4. 6) и (4. 4) следует
рх (дт (х), дп (х)) & lt-т — крх (х, дп (х)) & lt-т — крх (хо, дп (хо)) = - (4. 7)
в силу соотношений (4. 3) и (4. 5) получаем
рл. дт (х), дп (х)) & gt- ^ (дт (х)) — F (дк (х))| =
Из неравенств (4. 7) и (4. 8) получаем, что для любой точки х € X и любых т, к € ^
рЖ'(х), дк (х)) = т^. (4. 9)
Для произвольных точек х, у € (X, рх) обозначим через [х, у] соединяющую их кратчайшую (возможно не единственную!). Поскольку группа G действует на (X, рх) изометриями, то д ([х, у]) = [д (х), д (у)] для любых точек х, у € (X, рх) и любого элемента д € G. Пусть т, к € ^ и т & gt- к, тогда в силу равенства
т-1 т-1 л |, |
2 рх (дп (х), дп+1(х)) = ^2^ = -2п = рх (дп (х), дп (х))
3=к з=к
т к
а + - - а — - 2п 2п
т — к
2п '-
(4. 8)
объединение
m-Wn {х), дПп+1{х)
J=k
является кратчайшей, соединяющей точки дП (x), д^(х), m & gt- k, m, k G Z.
Метрику на группе G введем, как в книге ([8], с. 30, (4. 7)): для всех д'-, д& quot- G G
5хо (д'-, д& quot-) '-¦= sup {px (g'-(x), g& quot-(x))e-px (x, xo)). (4. 10)
xeX
Из факта, что (X, р) — конечно-компактное пространство, следует, что группа G тоже конечнокомпактна [8]. Для разных точек Xi, X2 G X метрики 5Х1, 5Х2 эквивалентны. Это следует из неравенств ([8], (4. 10))
Х (д'-, д& quot-)е-^Х1,Х2) & lt- 5×2(д', д& quot-) & lt- 5хг (д1, д& quot-)ер^Х1 Х (4. 11)
Непосредственно из определения видно, что 5Х0 — левоинвариантная метрика на группе G. Для любых д, д1, д11 G G выполнено равенство ([9], (5))
?хо (д'-д, д& quot-д) = ?д (Хо)(9,д& quot-). (4Л2)
Метрическая топология Буземана на группе движений конечно-компактного пространства эквивалентна компактно-открытой топологии ([3], теорема 1. 1- [10], теорема 5).
В силу замечания 1 отображение Ф: (G, 5Х0) ^ (R, +), определенное формулой Ф (д) = 1п (а (д)), является непрерывным гомоморфизмом (как композиция непрерывных гомоморфизмов ln и а) и
Ф (д) = 1п (а (д)) = 1п (с (д (хо))) = F (д (хо)). (4. 13)
Для всех двоично-рациональных чисел t = m/2n G DR (n) П [-1,1] (m G Z, n G N) определим отображение
gn (t) = gn (m/2n) := (дп)т: X ^ X.
Используя гомоморфность отображения Ф и (4. 5), получим равенство
Ф (§ п (t)) = F (gn (t)(xo)) = F (д^(хо)) = m/2n = t.
Для произвольных ti = m/2n, t2 = k/2n G DR (n) П [-1,1] в силу (4. 9) выполнены равенства
PX (gn (ti)(x), gn (t2)(x)) = PX^^^n (x)) = '-m--k = t1 — t2. (4. 14)
Ввиду (4. 14) получаем, что расстояние между gn (ti) и gn (t2) в пространстве (G, 5Х0) равно
?хо (gn (tl), gn (t2)) = SUp (px (gn (tl)(x), gn (t2~)(x'-)'-) e-Рх (Х, Х°) =
ХвХ
= sup (ti — t2 е-рх (Х'Х0)) = ti — t2.
ХЕХ
Следовательно, для любого n G N отображение gn: DR (n) П [-1,1] ^ (G, 5Х0) — изометрия на gn (DR (n) П [-1,1]) (в частности, липшицево с константой 1).
Из равенства (4. 9) следует, что для любых n G N, m G Z
Px^дnm (x), x) = mn¦ ¦
Обозначим через М единичный элемент группы G. Выберем произвольные числа п € N и t = т/2п € DR (n) П [-1,1]. Тогда
?хоЫп^), И) = sup (рх (д™(х), М (х))е Р*(Х, Х°)) =
хеХ
= sup (рх (дпт (х), х) е р^^^, Х0'-)) = вир Ге Рх (х, х0Л & lt- 1.
хех хех V 2п)
Это неравенство показывает, что {gn (DR (n) П [-1,1])}пем содержится в ограниченной области пространства ^^хо).
Воспользовавшись канторовским диагональным процессом, теоремой Асколи-Арцела и конечной компактностью группы, ?хо), можно выбрать такую подпоследовательность {пк}, что для всех I € N и {0} последовательность § пк равномерно сходится на множестве [-1,1] П DR (l) к некоторому липшицеву отображению (с константой 1)
§: [-1,1] П DR ^ ^?хо).
Применив тот факт, что множество DR всюду плотно в М, можно по непрерывности доопределить § на весь отрезок [-1,1]- получим отображение §: [-1,1] ^, ?хо). Для любых чисел tl, t2, tl + t2 € DR (n) имеем равенство § п1 + t2) = § п1)§ п2), поскольку § п (^ - гомоморфизм. Этим же свойством обладает функция §, т. е. для любых ^^21 + t2 € [-1,1] 1 + ^ = §^1)32).
Отображение § может быть расширено на М: для любых t € [-1,1], п € N определим §(пЪ): = § п (^). Проверим корректность определения: пусть tl, t2 € [-1,1], п, т € М, mtl = Ш2, тогда tl = тt2 € [-1,1], следовательно, 1) = § п2/т). Возведем это равенство в степень т:
Е (тЬ) = § т (и) = (§ т2/т))п = § п2) = §^2).
Построена однопараметрическая подгруппа {§(^ t € М} в G с условиями: для произвольных t, t1, t2 € М, х € X
Ф (Е& amp-)) = F (ф)(хо)) = ^ (4. 15)
рх (§(Ь)(х), §^2)(х)) = Ь — t2, (4. 16)
ё (Ь + t2) = Е (и МЬ). (4. 17)
Из этих условий следует, что под действием гомоморфизма §: М ^, ?хо) каждая точка х
движется по метрической прямой в (X, рх). По определению метрики Буземана (см. (4. 10)) и
свойству (4. 16) для любых tl, t2 € М
?хо (§(Ь), Ф2)) = Ь — t2. (4. 18)
В силу (4. 17) верно
(Ф))-1 = §(-). (4. 19)
Воспользовавшись определением функции Ф и равенствами (4. 13), (4. 15), относительно пространства (X, р) вычислим
а (§^)) = еф (ё (г)) = ер (е№хо)) = е. (4. 20)
Если некоторое движение д € G пространства, рх) переводит хо в х, то Ф (д) = F (х) = t.
Тогда из (4. 13) следует
а (д) = еф (д) = ег.
Сопоставим элементу д пару (§(?),, где i € I — изометрия пространства (X, р), определяемая отображением 0:, ?хо) ^ (I, ?хо) (с учетом того, что Ф (д) = ^
i = 0(д) := д • (Ф))-1 = д§(-). (4. 21)
(Коэффициент подобия a (i) = а (д) ¦ a (g (-t)) = ег ¦ e-t = 1.) Необходимо отметить, что 0:
(G, 5Х0) — (!,$Х0) — непрерывное отображение (ввиду непрерывности операции умножения и взятия обратного элемента в топологической группе). Любому элементу группы G единственным образом сопоставлено произведение элементов из подгрупп {g (t) t G R} С G и I С G- первая подгруппа очевидно изоморфна (R, +). Тем самым определено отображение Ф (д) := (t, i), где
t = Ф (д), i = 0(д).
Докажем, что отображение Ф — изоморфизм между (G, 5Х0) и (R, +) X (I, 5Х0), где в определено формулой
e (t)(i) := g (t)i (g (t))-i = g (t)ig (-t) (4. 22)
(см. определение 7 и (4. 19)). Пусть д'-, д& quot- G G и Ф (д'-) = (ti, ii), Ф (д& quot-) = (t2,i2), Ф (д'-д& quot-) = (t3,i3). В силу гомоморфности Ф (д'-д& quot-) = t3 = ti + t2. По определению 0 (см. (4. 21))
i3 = д'-д'-^(-Ф (д'-д& quot-)) = д'-д'-^(-и -12).
По определению полупрямого произведения
(ti, ii)(t2, i2) = (ti + t2, iie (ti)(i2)) = (ti + t2, iig (ti)i2g (-ti)).
Получаем
Ф (. д'-)Ф (д"-) = (ti, ii)(t2,i2) = (ti + t2, iig (ti)i2g (-ti)) = = (ti + t2, д, g (-tl)g (tl)д& quot-g (-t2)g (-tl)) = (ti +12, д'-д'-^(-Ь -12)) = Ф (д'-д& quot-).
Следовательно, Ф — гомоморфизм. Из равенств Ф (д'-) = Ф (д& quot-) = (t, i), учитывая (4. 21), получаем д1 = ig (t) = д& quot-. Поэтому Ф — инъекция. Для любого (t, i) G (R, +) X I существует элемент
д = ig (t) G G такой, что Ф (д) = (t, i).
Согласно определению полупрямого произведения на (R, +) X (1,5Х0) задана тихоновская топология произведения. Отображения Ф: (G, 5Х0) — (R, +) и 0: (О, 5Х0) — (1,5Х0) непрерывны.
Из проведенных рассуждений получаем, что Ф: (G, 5Х0) — (R, +) X (1,5Х0) (Ф (д) = (ф (д), 0(д))
— непрерывная биекция). Выберем произвольную точку (ti, ii) G (R, +) X I. По определению Ф-1(Ь, п) = iig (ti) = дь Зададим произвольное число е & gt- 0. Пусть 5i = е/2, 52 = e/(2e[tl]{) и выполнены неравенства t — tl & lt- 5l и 5Х0(i, il) & lt- 52. Воспользуемся неравенством треугольника, левоинвариантностью метрики 5Х0, соотношением (4. 12), неравенством (4. 11) и равенствами (4. 18), (4. 16), чтобы оценить расстояние между д = Ф-l (t, i) = ig (t) и дl = Ф-1(^, ii) = iig (ti) в пространстве (G, 5Х0):
5хо (д, д1) = ?хо (ig (t), ilg (tl)) & lt- 5хо (ig (t), ig (tl)) + 5хо (ig (tl), ilg (tl)) = = 5хо (g (t), g (ti)) + 5фл) Ы)(ь ii) & lt- t — tl + 5хо (i, ^)ерх (хо'ё (^(хо) & lt-
& lt-5i + ?2 е] tl] = 2 + 2ещ е ] * ]= е. (4. 23)
Из цепочки неравенств (4. 23) следует, что Ф-1: (R, +) X (I^^) — (G, 5Х0) — непрерывное отображение.
Резюмируя рассуждения, получаем, что Ф — изоморфизм топологических групп G и (R, +) X I с функцией в из формулы (4. 22). Утверждение п. 1) теоремы доказано.
Доказательство п. 3) в точности такое же, как в теореме 1.
В п. 4) функция c: (G/H, p) — R+ по определению является радиусом полноты пространства (X, р) = (G/H, р) и субметрией по теореме 4.1 из [1]. Пусть p: G — G/H — каноническая проекция. Из соотношения (4. 1) в [1] а = с о p. По определению F = ln ос. Тогда
c ((t, i) H) = (exp oF)(p (t, i)) = (exp oF)(g (t)(xo)) = exp (t) —
во втором равенстве использовано соотношение F (g (xo)) = F (g (t)(xo)), а в третьем — формула (4. 20). ?
Замечание 4. Вторая часть утверждения п. 2) теоремы 1 выполнена в случае теоремы 2. Неизвестно, верна ли первая часть утверждения п. 2) теоремы 1 (о коммутировании элементов подгруппы (R, +) X {e} с элементами компактной подгруппы H С I) в случае теоремы 2. Доказательство соответствующего пункта теоремы 4.4 в статье [1] существенно опирается на римановость пространства (X, р) и свойства групп Ли.
Замечание 5. Как доказано в теореме 1.1 статьи [4] каждый локально-связный фактор G/H локально-компактной, связной, обладающей первой аксиомой счетности группы G по компактной подгруппе H допускает внутреннюю метрику кривизны & gt- к для некоторого к, инвариантную относительно действия G. Если G/H компактно, то можно взять к = 0.
Определение 14. Пусть (X = G/H, d) — однородное локально-компактное пространство с внутренней метрикой, G — транзитивная локально-компактная (топологическая) группа изометрии пространства (X, d), H — стабилизатор точки xi G X. Пространство (X, d) называется G-нормальным в обобщенном смысле, если группа G допускает биинвариантную внутреннюю метрику r такую, что естественная проекция p: (G, r) ^ (G/H, d) — субметрия.
Замечание 6. В статье [4] (при помощи результатов из [3]) показано, что произвольное ?-однородное пространство является обратным метрическим пределом ?-однородных многообразий. Любое ^)-нормальное в обобщенном смысле однородное локально-компактное пространство с внутренней метрикой является ?-однородным ([5], следствие 1).
5. Гипотеза о топологической структуре
В статье [1] сформулирована гипотеза о топологической структуре подобно однородных неоднородных локально-компактных пространств.
Гипотеза. Всякое локально-компактное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой (X, р) гомеоморфно прямому топологическому произведению c-1 (a) xR+ (следовательно, c-1(a) x R), где c-1(a) — произвольное множество уровня функции с (радиуса полноты) на (X, p). В обозначениях теоремы 1 топологическая группа G гомеоморфна прямому топологическому произведению I x R+ (следовательно, I x R).
Заметим, что в ([11], раздел 5) построен пример локально-полного (не локально-компактного) подобно однородного неоднородного пространства, показывающий существенность условия локальной компактности в этой гипотезе.
Доказательство следующей теоремы опирается на замечание 2 и доказательства п. 1) в теоремах 1, 2 ([1], теорема 4. 4).
Теорема 3. Пусть (X, р) — локально-компактное подобно однородное пространство с внутренней метрикой и (X, p) — соответствующее ему ([1], теорема 1. 2, X = 1/с) однородное локально-компактное пространство с внутренней метрикой. Выполнено одно из следующих условий: пространство (X, р)
A) имеет кривизну & gt- к по А. Д. Александрову,
Б) имеет кривизну & lt- к по А. Д. Александрову,
B) 5-однородно.
Тогда (в обозначениях теоремы 1)
1) топологическая группа G гомеоморфна прямому топологическому произведению I x R+ (следовательно, I x R) —
2) (X, р) гомеоморфно прямому топологическому произведению с-1 (а) х М+ (следовательно, с-1 (а) х М), где с-1 (а) — произвольное множество уровня функции с (радиуса полноты) на (X, р).
Доказательство. 1. Отображение Ф: G л (М, +) X I, построенное в ходе доказательства п. 1) в теореме 1 (для случая А)), теореме 4.4 из [1] (в силу замечания 2 подходит к случаю Б)) и теореме 2 (для случая В)), является изоморфизмом топологических групп, следовательно, Ф — гомеоморфизм между топологическими пространствами G и М х I.
2. В силу совпадения топологий, порожденных метриками р и рх на пространстве X, и теоремы 4.2 в [1] (см. также замечание 3) достаточно показать, что (X, рх) гомеоморфно прямому топологическому произведению F-1(0) х М (по определению F = 1п ос, следовательно, F-1(0)= с-1 (1)).
Пусть х € X — произвольная точка и хо € F 1(0) (точка из формулировки теорем 1, 2). Группа G действует транзитивно на пространстве X. Следовательно, существует д € G такое, что д (хо) = х. Применим к д изоморфизм Ф: G л (М, +) XI, построенный в доказательстве п. 1) теорем 1 и 2, Ф (д) = ^,^.
Обозначим через §: М л G однопараметрическую группу подобий (движений) пространства (X, р) ((X, рх)), которая отождествляется с М. Для элементов этой подгруппы выполнены соотношения
Ф (§(Ф = F (д^)(хо)) =t
(см. (4. 15) в доказательстве теоремы 2 и [1], равенство (4. 5)), §(0) = Ы — единичный элемент группы G и g (t)(F-1(а)) = F-1(1 + а) для любого, а € М.
Определим отображение А: F-1(0) х М л X формулой
А (У^) = §(^у. (5Л)
Для любой точки х € X существует точка (у, 1) = (g (-F (х))(х)^(х)) € F-1(0) х М такая, что А (у^) = х. Если х = А (у1 ^1) = А (у22), то по определению, А выполнено равенство
х = §(-Ь)(У1) = §(-Ь)(У2). (5. 2)
Следовательно,
F (х) = F = F Ы^Ы^. (5. 3)
Отображение §^): X л X переводит F-1(0) на F-1(t), поэтому равенство (5. 3) верно только
при условии tl = t2. Тогда из (5. 2) получаем у1 = у2. Доказано, что, А — биекция.
Отображение вычисления J: G х X л X (, 1 (д, х) = д (х)) непрерывно ([9], § 1). Непрерывность, А легко следует из непрерывности отображений §: М л G и J, поскольку
А: (у^) € F-1(0) х М л Ш, у) € G х F-1(0) Л §(^(у) € X.
Докажем непрерывность отображения А-1: X л F-1(0) х М:
А-1(х) = ^(^ (х))(х)^(х)).
Выберем произвольно точки х1 € X и х2 € X. Вычислим F (х1) = tl, F (х2) = t2. Тогда А-1(х1) = (§(-Ь)(х1), Ь), А-1(х2) = (§(^2)(х2)^2). Из неравенства (4. 3) следует
Ь — t2 = F (х1) — F (х2) & lt- рх (х1,х2). (5. 4)
При помощи неравенства треугольника получаем соотношения
рхЫ (-Ь)(х1), §(-Ь)(х2)) & lt- рхЫ (-Ь)(х1), §(^2)(х1)) + рхЫ (^2)(х1), §(^2)(х2)) =
= рх (х1, §(Ь — t2)(xl)) + рх (х1, х2). (5. 5)
Из (5. 4) следует, что если х2 — х1, то tl — t2. Поэтому при х2 — х1
рх (х1, §(Ь — t2)(xl)) — рх (х1, §(0)(х1)) = рх (х1,х{) = 0. (5. 6)
Из неравенства (5. 5) при помощи (5. 6) получаем
рх (§(-и)(х1), §(^2)(х2)) — 0 при х2 — х1.
В силу произвольности выбора точек х1, х2 € X делаем вывод, что отображение А-1: (X, рх) — F-1(0) х М непрерывно.
Резюмируя все вышесказанное, получаем, что отображение
А: F-1(0) х М —, рх),
заданное формулой (5. 1), является гомеоморфизмом. ?
Определение 15 ([8]). Евклидово произведение ^х^^) х ^22) метрических пространствг, с! г) — г = 1, 2, есть декартово произведение X = Xl х X2 множеств, снабженное метрикой
d ((Xl, X2), (У1,У2)) =.
Предложение 2. Если пространство (X, рх) (из теорем 1, 2) имеет кривизну & gt- к и 5-однородно, то отображение А-1: (X, рх) — F-1(0) х М — изометрия, где F-1(0) х М рассматривается как евклидово произведение.
Доказательство. По теореме 1. 13 из [4] пространство (X, рх) имеет неотрицательную кривизну (по А.Д. Александрову). В доказательстве теоремы 2 показано, что точка хо € F-1 (0) (Е = 1пос: X — М, см. замечание 3) под действием гомоморфизма §: М — G движется по метрической прямой §(М)(хо) в (X, рх).
Согласно теореме о расщеплении ([12], с. 439, теорема 10.5. 1) пространство (X, рх) изометрично евклидову произведению У х §(М)(хо), где (У, рх) — подпространство неотрицательной кривизны в (X, рх), содержащее точку хо. Пространство У х §(М)(хо) изометрично У х М посредством биекции
(У, §^)(хо)) — (y, t), следовательно, (X, рх) изометрично У х М. Обозначим эту изометрию
Ь: (X, рх) — У х М (Щх) = (у, {)).
Отображение Е: (X, рх) — М — субметрия ([1], теорема 4. 2). В силу изометричности пространств (X, рх) и У х М будем рассматривать Е: У х М — М (Е (у, 1) = Е (х)). Пусть ^(хо) = (хо^о). Известно, что Е (§(Ь)(хо)) = t (см. равенство (4. 15)), поэтому на прямой {хо} х М С У х М выполнено равенство Е (хо, Ь) = t.
Докажем, что для любой точки (у,^) € У х М верно равенство
Е (У^) = t.
Воспользуемся методом от противного: допустим, что для какой-то точки (у1, tl) = ^(хх) выполнено Е (у1^{) = t2 = tl. Рассмотрим случай t2 & gt- tl. В пространстве У х М выберем точку (хо^) = Ь (хо) на прямой {хо} х М, где t & lt- t1. Обозначим рх (хо, у]) = а, рх (х'-о, х1) = г = д/а2 + t -11 2.
Поскольку Е — субметрия и точка (у1^) € В ((хо,^), г), то
Е (У1, Ь) = t2 € Е (В ((хо^), г)) = ^ - г^ + г]. (5. 7)
Решим неравенство t + г & lt- t2 (в рассматриваемом случае t & lt- tl & lt- t2):
,____________________________________ ^ ^ _ а2
t + /а2 + t — и2 & lt-t2 & amp- а2 + (- Ь)2 & lt- (Ь2 — ?)2 & amp- t & lt- 2 — 1 ,..
Щ2 — Ч'-)
t2-t2- а?
Следовательно, при t & lt- ^(t-ti) нарушается (5. 7). Получилось противоречие. Аналогичные рассуждения в случае F (yi, ti) = t2 & lt- ti (тогда выбираем точку (xo, t) = Is (x?0), t2 & lt- ti & lt- t) тоже
приводят к противоречию.
Поэтому для любой точки (y, t) G Y х R выполнено равенство F (y, t) = t и пространство Y = F-1(0). С учетом предыдущих рассуждений получаем, что отображение
А-1: (X, px) ^ F-1(0) х R, построенное в доказательстве теоремы 3, является изометрией. ?
Следствие. Пусть пространство (X, p) (из теорем 1, 2) имеет кривизну & gt- к и ?-однородно. Если точки xi, x2 G F-i (t), то кратчайшая, соединяющая эти точки, целиком лежит в F-i (t).
Литература
[1] Берестовский В. Н. Подобно однородные локально полные пространства с внутренней метрикой // Изв. вузов. Математика. — 2004. — № 11. — C. 3−22.
[2] Yamabe H. A generalization of a theorem of Gleason // Ann. of Math. — 1953. — V. 58. — № 2. — P. 351−365.
[3] Берестовский В. Н. О структуре однородных локально-компактных пространств с внутренней метрикой // Сиб. матем. журн. — 1989. — Т. 30. — № 1. — С. 23−34.
[4] Berestovskii V., Plaut C. Homogeneous spaces of curvature bounded below // J. of Geomet. Anal. — 1999. — V. 9. -№ 2. — P. 203−219.
[5] Berestovskii V.N., Nikonorov Yu.G. On S-homogeneous Riemannian manifolds // arxiv: math. DG/61 1557v2.
[6] Берестовский В. Н. Субметрии пространственных форм неотрицательной кривизны // Сиб. матем. журн. -1987. — Т. 35. — № 4. — С. 44−56.
[7] Berestovskii V., Plaut C., Stallman C. Geometric groups 1 // Trans. Amer. Math. Soc. — April 1999. — V. 351. -№ 4. — P. 1403−1422.
[8] Буземан Г. Геометрия геодезических. — М.: Физматгиз, 1962. — 503 с.
[9] Берестовский В. Н. Однородные G-пространства Буземана // Сиб. матем. журн. — 1982. — Т. 23. — № 2. -С. 3−15.
[10] Сосов Е. Н. О конечной компактности и полноте некоторых пространств отображений с метрикой Буземана // Изв. вузов. Математика. — 1993. — № 11. — C. 62−68.
[11] Андреев П. Д. Полулинейные метрические полурешетки на R-деревьях // Изв. вузов. Математика. — 2007. -№ 6. — С. 3−13.
[12] Бураго Ю. Д., Бураго Д. Ю., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск: РХД, 2004. -512 с.
И.А. Гундырев
аспирант, кафедра математического моделирования,
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского,
644 077, г. Омск, пр. Мира 55-а
E-mail: gundyrev@omsu. ru, ivangundyrev@yandex. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой