О положительности функций Грина функционально-дифференциального уравнения

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Kuterin Fedor Alekseevich, Nizhny Novgorod State University named after N.I. Lobachevskiy, Nizhny Novgorod, the Russian Federation, Assistant, e-mail: kuterin. f@yandex. ru
УДК 517. 929. 7
О ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ ГРИНА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
© С.М. Лабовский
Ключевые слова: функция Грина- функционально-дифференциальное уравнение. Рассматривается двухточечная краевая задача для функционально-дифференциального уравнения. Получено необходимое и достаточное условие отрицательности функции Грина в терминах собственных чисел двух вспомогательных краевых задач.
Задача
Результат данной работы обобщает результаты, полученные в [1] в случае п = 3. Рассматривается задача об условиях отрицательности функции Грина двухточечной краевой задачи
I
Си (х) := и (п)(х) — У и (з)й3т (х, в) = /(х), х € [0,1], (п ^ 3) (1)
0
В (и) := (и (0), и'-(0),…, и (п-2)(0), и (1)) = 0, (2)
(символ := означает равно по определению) в предположениях, приведенных ниже. Отметим, в частности, предположение неубывания функции т (х, в) по второму аргументу, что для случая сосредоточенных отклонений
1 т
/ u (в)dsт (x, в) = ^ Рг (х)и (Нг (х)), (3)
0
означает неотрицательность коэффициентов р ^ 0.
Аналог задачи в случае п = 2 рассматривался в [2], а также в случае запаздывания в [3−5].
Основной результат — необходимые и достаточные условия отрицательности в терминах наименьших собственных чисел для вспомогательных краевых задач. Эти числа могут быть эффективно оценены, и получены эффективные условия отрицательности. Для уравнения с запаздывающим аргументом задача рассматривалась в [6]. Помимо основной задачи, которую можно записать в виде
Си = /, В (и) = 0
будем рассматривать и неоднородную задачу
Си = /, В (и) = а. (4)
В случае однозначной разрешимости (4) решение имеет вид
u = Gf + Ua.
При этом G имеет интегральное представление Gf (ж) = /0 G (x, s) f (s)ds, а отрицательность G (x, s) ^ 0 функции Грина эквивалентна импликации f ^ 0 ^ Gf ^ 0. Аналогичное свойство может иметь отображение U. Это свойство назовем положительной разрешимостью, что означает положительность оператора-пары (G, U). Однако для задачи с вектор-функционалом B (u) краевых условий, определенным равенством (2), это свойство не имеет места, и мы будем понимать положительную разрешимость в более узком смысле, согласно следующему определению.
Определение! Задача (4) частично положительно разрешима, если она однозначно разрешима при любых допустимых правых частях, и из
n-2
f & lt- 0, a = (С. 70, an-i, an) ^ 0
следует неотрицательность u ^ 0 ее решения (т.е. u (n-2)(0) ^ 0, u (1) ^ 0, u (0) = u'-(0) = = ••• = u (n-3)(0) = 0).
Предположения
Примем, что г (ж, s) не убывает по s для почти всех ж € [0,1], г (ж, 0) = 0, г (ж, s) измерима по ж € [0,1] для всех s € [0,1], и г (ж, 1) интегрируема на [0,1]. Функция f (ж) интегрируема на [0,1]. Решение ^ж) есть функция с абсолютно непрерывной производной u (n-1), удовлетворяющая (1) почти всюду на [0,1].
В случае (3) рДж) интегрируема по Лебегу на [0,1], а функции Л^(ж) измеримы (если Л,(ж) € [0,1], u (h^)) = 0). Условие неубывания г (ж, s) означает неотрицательность коэффициентов рДж) ^ 0.
Результат
Уравнение
I
Lau := ^& quot-'-(ж) — Л J u^d^r^, s) = 0 о
будет задачей о собственных значениях при краевых условиях
B0(u) := (u (0), u'-(0),…, u (n-1)(0)) = 0
и
B|(u) := (u (0), u'-(0),…, u (n-3)(0), u (1), -u'-(1)) = 0.
Пусть Л (0) и л" наименьшие положительные собственные значения задач {Lau = = 0, B0(u) = 0} и {Lau = 0, B0(u) = 0} соответственно3. Если одно (или оба) из них не существует, оно принимается равным плюс бесконечности. Собственные числа
Л (0)
и Л (0 могут быть эффективно и точно оценены с помощью теорем об интегральных и дифференциальных неравенствах (см., например, [7, 8]. Двухточечная задача рассмотрена в сингулярном случае в [9].
3Каждая из этих задач эквивалентна задаче о собственных значениях для компактного положительного оператора. В [10] показано, что наименьшее собственное число просто, положительно и 1/А = р, где р -спектральный радиус оператора.
Основной результат представлен в следующей теореме. Теорема1. Условие
(А (0) & gt- 1) Л (A (i) & gt- 1)
необходимо и достаточно для того, чтобы задача (4) была частично положительно '-разрешима, причем если — f0 f (x) dx + an-1 + an & gt- 0, то u (x) ^ cxn-1(l — x) для некоторого c& gt- 0.
Эффективные условия положительной разрешимости могут быть получены с помощью теорем об оценке спектрального радиуса положительного оператора. Такие теоремы известны, см., например, [7]. В нашем случае удобно использовать их варианты из [8, 9].
Теорема 2. Пусть существует неотрицательное решение неравенств Lu = ф ^ 0, Bo (u) 0.
Тогда А (0) & gt- 1.
Теорема 3. Пусть существует неотрицательное решение неравенств Lu = ф ^ 0, Bi (u) ^ 0, причем либо /0 ф (s)ds & gt- 0, либо Bi (u) = 0. Тогда А (1)) & gt- 1. Следствие! Пусть
/ i n!
ess sup r (x, l) & lt- -.
n!
Доказательство. Пусть ess sup r (x, l) = in (1 +). Полагая в теореме 2 u (x) =
Тогда А (0) & gt- 1. Доказа
= xn + exn-11, имеем
n! — t (sn + esn-1l)dsr (x, s) ^ n! — ln (1 + e) 0
n! 0.
ln (1 + e)
Для получения оценки A (i) используем теорему 3. С л е д с т в и е 2. Пусть
ess sup r (x, l) ^
4(n — 2) n-2 ln'-
i n! nn
Тогда A (i) & gt- 1, исключая случай J u (s)dsr (x, s) = -2)n-^nu (x0), где x0 = (n-2)l/n.
Доказательство. Положим в теореме 3 u (x) = xn& quot- ~2(l — x)2. Так как
max{xn-2(l — x)2: 0 & lt- x & lt- l} = 4(n 2 ln,
Lu = n! — t sn-2(l — s)2dsr (x, s) ^ n! — 4(n — 2) n 2 lnr (x, l) ^ 0.
0 nn
ЛИТЕРАТУРА
1. Labovskiy S., Volinsky I. On positivity of Green functions for a functional-differential equation // Functional Differential Equations. 2014. № 21 (1−2). P. 17−30.
2. Labovskiy S. On positivity of the Green operator for functional differential equation // Functional Differential Equations. 2012. № 19 (3−4). P. 323−333.
3. Лабовский С. М. О дифференциальных неравенствах для уравнения с запаздывающим аргументом // Труды Московского института химического машиностроения. 1975. № 64. C. 40−45.
4. Лабовский С. М. О сохранении знака вронскиана фундаментальной системы, функции Коши и функции Грина двухточечной краевой задачи для уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1975. № 11(10). C. 1780−1789.
5. Симонов П. М., Чистяков А. В. О некоторых признаках сохранения знака функции Грина для дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.: Московский физико-технический институт (государственный университет), 1999.
6. Лабовский С. М. О линейных дифференциальных неравенствах. PhD thesis, Математический институт им. Размадзе. Тбилиси, 1975.
7. Krasnosel'-skii М., Lifshits Е., Sobolev А. Positive linear systems. The method of positive operators. Transl. from the Russian by Jurgen Appell. Berlin: Heldermann-Verlag, 1989. Zbl 0674. 47 036.
8. Лабовский С. М. О положительных решениях линейных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1984. № 20(4). C. 578−584.
9. Лабовский С. М. Положительные решения двухточечной краевой задачи для сингулярного линейного функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1988. № 24(10). C. 11 161 123.
10. Крейн М. Г., Рутман М. А. Вполне непрерывные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха // Успехи математических наук. 1948. № 1(23). C. 3−95.
Поступила в редакцию 9 июня 2015 г.
Labovskiy S.M. ON POSITIVENESS OF GREEN FUNCTIONS OF A FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION
We consider the two-point boundary value problem for a functional-differential equation. A necessary and sufficient condition for the negativity of the Green function in terms of the eigenvalues of two auxiliary problems is obtained.
Key words: Green function- functional differential equation.
Лабовский Сергей Михайлович, Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: labovski@gmail. com
Labovskiy Sergei Mikhailovich, Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Higher Mathematics Department, e-mail: labovski@gmail. com
УДК 519. 6
ОБ ОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ПОТЕНЦИАЛА В НЕЧЕТНО-ПЕРИОДИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
© Е. Б. Ланеев, М. Н. Муратов, Е.Ю. Пономаренко
Ключевые слова: некорректно поставленная задача- обратная задача потенциала- метод регуляризации Тихонова.
Получено устойчивое решение линейной обратной задачи потенциала для для бесконечно тонких плоских тел в случае, когда поле потенциала задано на неплоской поверхности.
Как известно, обратная задача потенциала [1] некорректно поставлена. Ее решение может не существовать, существующее решение может быть не единственным и неустойчивым в естественных постановках. В данной работе рассматривается постановка линейной обратной задачи потенциала для бесконечно тонких плоских тел, сводящаяся к линейной задаче продолжения поля потенциала [2]. Устойчивое решение строится с использованием метода регуляризации Тихонова [3]. Задача рассматривается в рамках периодической модели

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой