О пороговых амплитудах волны смещения в динамической задаче о трещине продольного сдвига

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 539. 3
Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2004, вып. 4
Ю. В. Петров, В. И. Смирнов
О ПОРОГОВЫХ АМПЛИТУДАХ ВОЛНЫ СМЕЩЕНИЯ В ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ О ТРЕЩИНЕ ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА
В большинстве моделей динамики инициирования и роста трещин, развиваемых в рамках механики сплошной среды, решение сначала строят для некоторого простого закона изменения нагрузки во времени. Обычно в качестве такой нагрузки принимается дельта-функция Дирака $(?). Очевидным следствием заданности граничного условия как напряжения такой временной формы является то обстоятельство, что смещение на фронте волны имеет вид функции Хевисайда, т. е. терпит скачок. Закономерно возникает вопрос о возможном нарушении сплошности среды на фронте волны нагрузки. Ответ на него можно дать, лишь обладая некоторой количественной характеристикой, которая одновременно есть физический параметр среды и имеет размерность длины. Сравнив величину указанного параметра, принимаемого в качестве константы материала, со значением амплитуды скачка на фронте волны, можно оценить таким образом пределы применимости модели. Подобным линейным параметром может быть принят структурный размер в, введенный в работе [1] и модифицированный впоследствии в [2−5] применительно к задачам линейной механики разрушения.
Наиболее простой иллюстрацией предлагаемого подхода в данном случае может служить динамическая задача о полубесконечной антиплоской трещине в упругой среде.
В декартовой системе координат (ж, у, г) рассмотрим полубесконечную трещину, подвергающуюся нестационарному нагружению на берегах и находящуюся в условиях антиплоской деформации. В этом случае имеет место лишь один компонент вектора перемещения (к — единичный орт)
и = ю (х, у,{)к-
нормальные компоненты тензора напряжений отсутствуют:
0'-х = СГу = (Тг = 0.
Ненулевые касательные напряжения выражаются через перемещение следующим образом:
дю дю
Единственное уравнение движения среды относительно перемещения и) имеет вид
1 д2 д2 = о, = ^ +
где с = у/ц/р — скорость поперечных волн- ц — модуль сдвига- р — плотность среды. Зададим граничные и начальные условия:
Г = {(х, 2/), у = 0, ж& lt-0},
Ю. В. Петров, В. И. Смирнов, 2004
= 0 в М2Г, == ~Р (*) наГ& gt- |4& lt-0 = 0, & gt- 0, IV = 0(г@), г = (х2 + у2)½ 0, р & gt- 0.
Здесь р (?) — заданная нагрузка. Последнее условие накладывает ограничение на энергетические процессы в вершине трещины, которая не должна быть источником энергии. Пусть нагрузка
иТТ
(1)
Р (0 = ^ ?(4),
где II — постоянная величина, характеризующая интенсивность нагрузки- 6(Ь) — дельта-функция Дирака. Введем новую переменную ?'- = с?, и далее для удобства штрих опускаем. Тогда, учитывая равенство
— ад = 5(сг), с
(2)
условия краевой задачи перепишем так:
¦ши-Ч2'-Ш = 0 в К2Г,
~ = -176(1) на Г, ду
ы |4& lt-0 = 0,
У? & gt- 0: и) = 0(г/3), г -)• 0, 0 & gt- 0.
(3)
Решение начально-краевой задачи (3) может быть найдено с помощью преобразования Фурье и последующего применения Винера-Хопфа в комплексной плоскости. Приведем искомые компоненты на линии разреза [3]:
ии I У=±о, = и
х& lt-0
±Я (с?) -аг^
сЬ + х
Н (сЬ + х)
, у=о, = 0-
. ци Я (с? + х)
СГхг у=±0, = т--======, (Тхг у=о, =и-
*& lt-° 7 Г у/-х{сЬ + х) -& gt-°
«I № «I _ №
& lt-7уг 1/=°. ---0(1), СГу2 «=о, — --
«& lt-0 С *& gt-о тгсЬ

(4)
Дадим оценку решения (сгу2) при х -«• 0. Так как
/с? — ж = л/с? — + 0(х2), х О,
то
я& gt-0
Ко (1) у/Ъкх

где Хо — коэффициент интенсивности напряжений
у 7гс? а:
х 3
Тогда в зависимости от соотношения х и et возможны следующие оценки:
У/21ГХ
К О)
2) ж ~ с? ~ е, =Ф- 0 ~ е-1, д{х, Ь) ~ е-1. у/2жх
В первом случае оцениваются точки, лежащие далеко позади фронта волны, т. е. реализуется сингулярный режим, когда для описания поля напряжений достаточно лишь главного (сингулярного) члена асимптотического разложения. Во втором случае точки наблюдения расположены в окрестности фронта волны, т. е. рассматриваются малые времена относительно начала нагружения. В этом случае необходимо учитывать также регулярное слагаемое разложения, у которого тот же порядок сингулярности, что и у главного члена.
Итак, в обсуждаемой начально-краевой задаче граничное условие задано таким образом, что величина II имеет физический смысл скачка смещения на фронте волны:
w (y, t) x& lt- о = UH (ct + y).
Действительно, тогда
°угх& lt-0 = = Ци5(сЬ + у). (5)
При у = Ос учетом равенства (2) получим (с точностью до знака) граничное условие (1). Таким образом, возникает вопрос о возможном нарушении сплошности среды на фронте волны. Для оценки величины указанного скачка воспользуемся структурно-временным критерием [4]
4 й
так J dt'-J а^х^'-) dx & lt- сгс сР/с, (6)
Ь-й/с о
где 01 — главное нормальное напряжение- ас — предел статической прочности- с — скорость распространения колебаний- й — характерный структурный параметр разрушения, который можно определить через ас и квазистатическое значение критического коэффициента интенсивности напряжений К1С: (1 = 2К^с/(тга^).
Определим главное напряжение на продолжении трещины. Раскрывая определитель
О — а 0 ах2 О 0 — а а%
'-yz
axz Vyz О — (7
= 0,
будем иметь, а = yj+ При у = 0, х & gt- 0 axz = 0, =& gt-• сг = cri = & lt-ryz.
Минимальным разрушающим импульсом считаем наименьшее значение U, при котором выполняется условие (6). В этом случае в соотношении (6) будет реализовы-ваться знак равенства. Таким образом, подставляя в (6) величину ау2 из (4) при х & gt- 0, найдем пороговое значение U*. При интегрировании по х следует рассмотреть такие случаи: 1) 0 & lt- et & lt- d- 2) et & gt- d (et — фронт волны). В первом верхним пределом переменной интегрирования х в (6) будет et, во втором — d. С учетом этого обстоятельства
находим
Г? iU/2 при 0 & lt- t & lt- d/c, F{t) = | nU d (ct — d) + ct arcsin у/ЩЩ /{net) при t & gt- d/c,
d
F (t) = J & lt-ri (z, i'-) dx.
о
Соответствующий график показан на рисунке. Как из него видно, на временном
Fit)
ct/d
График функции F (t).
интервале 0 & lt-? & lt- d|c сила, действующая на структурный элемент со стороны волнового поля, максимальна и постоянна по величине. Начиная с момента Ь = d/с, она монотонно убывает, стремясь при? -» оо к нулю. Таким образом,
тах. Р (?) = /х?7/2 —
интегрируя это выражение по времени, согласно (6), для предельной амплитуды и* найдем
и — ?СГс — ----,
д Е
где Е — модуль упругости материала- и — коэффициент Пуассона.
Представляет интерес сравнить полученную пороговую амплитуду скачка и* с вариантами, когда: а) волна (5) распространяется в среде без трещины и б) волна (5) падает на трещину (фронт волны параллелен плоскости расположения трещины). В
случае а) интегрирование по? произведем с учетом расположения носителя ?-функции на временной оси:

Ь-й/с
тогда
тах — ц11 I 6(в) йв уП, г-й/с
и пороговая амплитуда по критерию (6) будет равна
2(1 + и) ас Л
и* =
Е
Случай б) объединяет два вышерассмотренных варианта: нагрузка приложена к берегам трещины и волна распространяется в среде без трещины. Напряжение на продолжении трещины (у — 0, х & gt- 0) в этом случае будет следующим:
& gt-уг
= ?ли

(7)
Интегрирование по х дает
F (?) = & lt- с Дит + ПРИ ° & lt- '- ~
й] - + с? агсвт у/в,/ (с?) /(7гс?) при Л & gt- с?/с,
откуда видно, что
тах^(*) = + ^
ь с 2*
I «11*6(8) + & lt-18 = & lt-ГС (Р/с.
г-а/с
Отсюда находим пороговую амплитуду
2 а А{1 + и) аса
и — - о г — --.
3 с ц 3 Е
В таблице приведены значения пороговой амплитуды для некоторых конструкционных материалов, применяемых в транспортном машиностроении.
Если принять, что для среднестатистического материала выполняется соотношение ас = Е/(2тг) «0,16 Е [2], то в зависимости от величины коэффициента Пуассона пороговую амплитуду скачка 17* можно выразить в общем виде непосредственно через значение структурного элемента в,. Приведем полученные для трех вариантов результаты. Нижний предел соответствует минимальному значению коэффициента Пуассона {у = 0), верхний — максимальному {и = 0,5):
1) нагрузка приложена к берегам трещины: 17* = (0,64 — 0,96)й-
Режим нагружения
Материал Нагрузка Волна распро- Дифракция на
приложена страняется трещине (фронт
к берегам в среде без волны падает
трещины трещины параллельно трещине)
Сплав B95
d, мм 4,19 4,19 4,19
U*, мм 0,136 0,068 0,044
U'-/d, % 3,2 1,6 1Д
Рельсовая сталь
d, мм 0,7 0,7 0,7
U*, мм 0,02 0,01 0,007
IT/d, % 3,0 1,5 1,0
Сферопластик
d, мм 1,12 1,12 1,12
{/*, MM 0,029 0,014 0,010
U'-/d, % 2,6 1,3 0,9
Стекло
d, мм 1,8 1,8 1,8
U*, мм 1,37-Ю-3 0,69- Ю-3 0,46- Ю-3
IT/d, % 0,076 0,038 0,025
Бетон
d, мм 0,36-г 102 0,36-г 102 0,36 Ч-102
U*, мм 0,0001 -г 0,007 (0,5 -г 35) • Ю-4 (0,373 -г 23) • Ю-4
U*/d, % 0,031 4−0,007 0,016 -г 0,0035 0,010 0,002
2) волна распространяется в среде без трещины: U* = (0,32 -т- 0,48)с?-
3) дифракция на трещине: U* = (0,21 -г 0,32)d.
Как из них вытекает, для рассмотренных способов нагружения предельная амплитуда скачка смещения на фронте волны U* всегда меньше структурного параметра d. В рамках предлагаемого структурно-временного подхода к процессу разрушения это означает, что сплошность среды на фронте волны не нарушается, т. е. процесс разрушения будет происходить дискретно, по элементарным ячейкам, со сторонами, имеющими размер, кратный d. Причем наиболее неблагоприятным, с точки зрения прочности материала, будет третий случай, так как при таком характере нагружения пороговая амплитуда является наименьшей.
Summary
Petrov Y. V., Smirnov V. I. On the threshold amplitudes of the wave of displacement in dynamic problem of antiplane crack.
The antiplane-strain problem of a semi-infinite crack in ал unbounded elastic medium is considered. The faces of the crack are subjected to suddenly applied uniform shear stress. The incubation-time criterion has applied to obtain the value of jump on the displacement wave front.
Литература
1. Новожилов В. В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // Прикл. математика и механика. 1969. Т. 33, № 2. С. 212−222.
2. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М., 1984. 230 с.
3. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Дискретные и гибридные модели механики разрушения. СПб., 1995. 160 с.
4. Морозов Н. Ф., Петров Ю. В. Проблемы динамики разрушения твердых тел. СПб., 1997. 129 с.
5. Морозов Н. Ф., Петров Ю. В., Уткин А. А. К расчету предельной интенсивности импульсных динамических нагрузок в механике трещин // Изв. АН СССР. Механика тв. тела. 1988. № 5. С. 180−182.
Статья поступила в редакцию 19 октября 2004 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой