О потенциалах для одного вырождающегося b - эллиптического уравнения

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Дифференциальные уравнения
УДК 517. 956
Ф. Г. Мухлисов, А. Ш. Хисматуллин
О ПОТЕНЦИАЛАХ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ В — ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Строятся фундаментальные решения и потенциалы типа простого и двойного слоев для вырождающегося В — эллиптического уравнения второго порядка. С помощью этих потенциалов краевые задачи сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
1. Формулы Грина. Пусть Е2+ - первый квадрат координатной плоскости Оху, Б — симметричная относительно координатных осей конечная область, Г — её граница, Б+ = Е2+ п Б,
Г+ = Е2+п Г, Б+ = Е2+ Б +.
В области Б+ рассмотрим вырождающееся В — эллиптическое уравнение вида
д2и
Eb (и) = ymBxu + - = 0,
cy
(1)
2k д
где Вхи = ^-~ ±- = х 2к — I х/к — - оператор Бесселя, т & gt- 0. Множество функций и (х, у) из
dx x dx
dx
2 k
dx
С (Б+) (из С1 (Б+)), удовлетворяющих граничному условию и|у=0 = 0
ди
ду
=0
y=0
обозначим
через Со (Б+) (С (Б+)).
Пусть и, Vє С2 (Б+)пС1 (Б +)п С0 (Б +)иС (Б+)^. Непосредственным вычислением
можно доказать, что имеет место тождество
(
vEB (и)x2k +
y
dv ди + dv ди dx dx dy dy

x2k =
du
, ymx2kv ,
dx I dx J dy
д f 2k du ^ x 2kv
dy
Интегрируя обе части этого тождества по области Б+ и пользуясь формулой Остроградского, получаем
ЦvEB (и~)x2kdxdy + ЦI y'-
dv ди + dv ди ^ dx dx dy dy
x2kdxdy = [ vAu]x2kdr ,
(2)
ди du
где Au] = ym cos (n, x) — + cos (n, y) — - конормальная производная, n — внешняя нормаль к
кривой Г +. Меняя в формуле (2) местами и и V, получаем
dv du dv Си ^
ЦuEB (v) x2kdxdy + Ц l y"
dx dx dy dy
x2kdxdy = [ uAv]x2kdГ.
(3)
Вычитая из (2) формулу (3), получаем
Ц уЕВ (и) — иЕВ (V) х2кёхёу = | (vA [и ]- иА [V]) х2кёГ. (4)
Б+ Г+
Формулы (2) и (4) называются соответственно первой и второй формулами Грина для оператора Ев.
Если и и V суть чётные по х решения уравнения (1) в области Б +, то из формулы (4) имеем
Если u = V и u (x, y) — чётное по x решение уравнения (1) в области Б+, то формула (2) принимает вид
я& gt-
у
ди У (ди ^
ду
ykdxdy = | иА[и]ykdГ.
Наконец, из формулы (2), полагая V = 1, будем иметь
| А[и]x2kdГ = 0,
(6)
(7)
т. е. интеграл от конормальной производной решения уравнения (1) по границе Г+ равен нулю.
2. Фундаментальные решения уравнения (1). Будем искать решения уравнения (1) в виде:
2-(k+р)
где ст = - р =
т
2(т + 2)'-
(2 к+ р) /
и = 1 гх) а (ст)
4
(8)
(т + 2)'-
(т+2 т+2 2 ,
У 2 -У02), Г1
2 2 2 = x ¦
(т + 2)
4 / т+2 т+2 2
(У 2 + Уо2) •
Подставляя функцию (8) в уравнение (1), получаем
ст (1- ст) ю& quot- + [1 + k — (1 + k + 2р^)ст~^ а'- - р (k + р^)а = 0. (9)
Известно [1], что в окрестности ст = 1 уравнение (9) имеет два линейно-независимых решения
(r)1 (^у- У0) = Р (Р^ + Р, 2Р-1-ст), (10)
а
'-2 (x, у- У0) = (1-ст)1−2р Е (1-р, 1 + k — р, 2−2р-1-ст).
Подставляя (10) и (11) в (8), получаем решения уравнения (1):
ч (^ у- У0) = а (Г12){к+р Е (р, к+р, 2р-1-ст),
(x, у- у0) = а2 (г, 2)& quot-(k +Р)(1-ст)1& quot-2Р Е (1-р, 1 + k — р, 2−2р-1-ст):
(11)
(12)
(13)
где, а и а2 — некоторые постоянные, Е (а, Ь, с- т) — гипергеометрическая функция. Эти решения могут быть представлены в виде
ч (x, у- у0)=а1 (Г12)
(к+р)
Г (2р)Г (к)
_-к
г (Р)г (р — к) г (2р)Г (к)
Е (р, к + р, к +1- ст) +
Г (Р)Г (к + р)
Е (Р, Р — к, 1- к-ст)
(14)
/ ! 2-(к +Р) (л 1−2р
Ч (^ у- у0) = а2 (Г1) (1-ст)
Г (2−2р)Г (-к)
+ст~'-
Г (1-Р)Г (1 + к — р) Г (2−2р)Г (к)
Е (1-р, 1 + к — р, к +1-ст) +
Г (1-р)Г (1 + к — р)
Е (1-р, 1-к — р, 1-к-ст)
(15)
Отсюда следует, что решения (12) и (13) при г ® 0 имеют степенную особенность вида г~2к и, следовательно, являются фундаментальными решениями уравнения (1) с особенностью в точке (0, у0). Для получения фундаментального решения уравнения (1) с особенностью в точке0, у0),
применим к функциям (x, у- у0) (}=1,2) оператор обобщённого сдвига TXX0:
у-xо, у0) = TxXo (x, у-^у0), 7 = I, 2- (16)
Известно [2], что при р = (x — x0)2 +
(т + 2)'-
(т+2 т+2 2
у 2 -у02) ® 0, функция (14) допускает
оценку
е] (x, у-Xо, у0) = 0(1пр), 7 = 1,2. (17)
Поэтому фундаментальные решения е}- (x, у- x0, у0) (7 = 1,2) могут быть представлены в виде
2
= 0- е2 (х, у- х0, у0)| у=0 = 0 (20)
у=0
(х, у-Х0,У0) = Л} 1пР + у (х, у-х0,У0), j = 1,2, (18)
где AJ — нормирующие постоянные, функции уj (х, у- х0, у0), j = 1,2 при с ® 0 имеют оценку
Уj (х, у-х0,у0) = О (1пр), j = 1,2. (19)
Нетрудно проверить, что
(х у- х0, у0)

для всех х& gt-0.
Пусть функция и е С2 (В+) п С1 (В+) п С0 (В+) и С (В+)] является четным по х решением уравнения (1) в области В+ и М0 (х0, у0) е В+. Рассмотрим овал СМг с В+, определяемый
уравнением р2 = г2. Обозначим через В^ область, ограниченную отрезками ОЛ и ОВ соответственно осей Ох и Оу, кривой Г+ и овалом См^г
В области Вг функции гj (х, у- х0, у0) (j = 1,2) являются четными по х решениями уравнения (1) и согласно (20) и (5) имеют место формулы
| (г- (х у- х0, у0) Л[и ]- иЛ _г} (х у- х0, у0)]) х2кЛГ =
Г+
= | (иЛ _г] (х у- Х0, у0)] - г] (х у- x0, у0) Л[и ]) х 2kdCM0г, j = 1,2. (21)
См0г
Переходя в этих формулах к пределу при г ® 0, получаем:
и (х у)= I (гj (x, у- xo, у0) Л[и ]- иЛ _г} (x, у- у0)])^2к^Г.
Г+
3. Потенциалы для уравнения (1). Полагая в формуле (21) при ]'-=1 Л[и ] = т (Х, г), -и (Х, г) = и (Х, г), а при j=2 Л[и ] = т (Х, г), -и (Х, г) = и (Х, г) и заменяя в обеих формулах (х0, у0) на (х, у), получаем:
и (х, у)= I т, (%я)г} (Х, п- х, у) лк^Г + | и] (Х, п) Л [г- (Х, п- х, y)~hkdГ = у{ 1)(х, у) + w (1}(х, у), j = 1,2.
Г+ Г+
Интегральные операторы у (1) (х, у) и w (1) (х, у) будем называть N — потенциалами типа
простого и двойного слоев соответственно, а интегральные операторы V 2)(х, у) и w ('- 2)(х, у) —
В-потенциалами типа простого и двойного слоев соответственно.
Из свойств фундаментальных решений следует, что фундаментальные решения уравнения (1) имеют такие же особенности, что и фундаментальное решение уравнения Лапласа. Поэтому
для потенциалов V (1) (х, у) и w ('-1) (х, у), j = 1,2, так же, как для их аналогов для уравнения Лапласа, имеют место следующие теоремы:
Т е о р е м, а 1. Пусть Г — кривая Ляпунова и (Х, г), j = 1,2, — четные по Х, непрерывные
на Г функции, такие, что при г ® 0 и1 = о (г), и и2 = О (г). Тогда для В и N — потенциалов типа двойного слоя, справедливы следующие предельные соотношения:
и (^у0) м/ ч и (xo, у0)
^ (^у0) = -^-у--------+ ^ (xo, у0), ^ (xo, у0) = ^"у--------+ ^ (xo, у0) j =1,2,
где w (1)(х0, у0) и w^e 1)(х0, у0) означают предельные значения потенциалов в точке (х0, у0) еГ при (х, у)®(х0, у0) соответственно изнутри и извне Г+, а w^)(x0, у0), j = 1,2, прямые значения потенциалов w ('-1) (х, у), j = 1,2, на Г+.
Т е о р е м, а 2. Пусть Г — кривая Ляпунова и т (Х, г), j = 1,2, — четные по Х, непрерывные функции на Г+ такие, что при г ® 0 т = о (г), и т = О (г). Тогда В и N — потенциалы типа простого слоя — непрерывные функции в Е+.
Т е о р е м, а 3. Пусть Г — кривая Ляпунова и т (Х, г), j = 1,2, — четные по Х, непрерывные
функции на Г+ такие, что при г ® 0 т = о (г) и т = О (г). Тогда для В и N — потенциалов типа простого слоя — справедливы следующие предельные соотношения:
т (^ у0)
где А
'-(хо& gt- Л)
А и А
Vй'- (х0,Уо)
(^ Уо))(х0, Уо)
Ъ (хо, Уо)
Vй'- (Хо, Уо)
, І = 1,2,
(Хо, Уо)
(22)
(23)
означают предельные значения конормальной производной Б и N-потенциалов типа простого слоя в точке (х0, у0) еГ+ при (х, у)®(х0, у0) соответственно изнутри и извне Г+, а Л у^)(х0,у0), j = 1,2, прямые значения конормальной производной этих потенциалов на Г+.
4. Постановка краевых задач для уравнения (1).
Внутренняя задача типа Дирихле (задача В[). Найти четное по х решение уравнения (1) в области В+, непрерывное в В+ и удовлетворяющее граничным условиям
ІУ=о
= о- иг+ = ф2 (?, ц),(Х, п) еГ+.
(24)
Внешняя задача типа Дирихле (задача Бе). Найти четное по х решение уравнения (1) в области Б+, непрерывное в Б+, обращающееся в ноль на бесконечности и удовлетворяющее граничным условиям
и1У=о = °- и1 г+=у (°,-з), (о, з)є Г±
Внутренняя задача типа Неймана (задача N). Найти четное по х решение уравнения (1) в области Б+, непрерывно дифференцируемое в Б+ и удовлетворяющее граничным условиям
ди
ду
=о- А[и ]г+ = ф (х, п) —
У=о
Внешняя задача типа Неймана (задача Ыг). Найти четное по х решение уравнения (1) в области, непрерывно дифференцируемое в, обращающееся в ноль на бесконечности и удовлетворяющее граничным условиям
ди
дУ
=о- А[и ]г+ =У (х, п), (х, п) ег+.
У=о
Внутренняя смешанная задача типа Дирихле-Неймана (задача Вг- - N). Найти четное по х решение уравнения (1) в области В+, непрерывное в В+, непрерывно дифференцируемое в В + и Г (0) и удовлетворяющее г
ди
дУ
аничным условиям
= о- и|г+ = & amp- (х, п), (х, п) ег+,
У=о
где Г (0) = ОЛ — отрезок с концами в точках О (0,0) и Л (а, 0).
Внешняя смешанная задача типа Дирихле-Неймана (задача Ве — N, 0. Найти четное по х решение уравнения (1) в области В+, непрерывное в В+е, непрерывно дифференцируемое в
В, и Г, 0), обращающееся в ноль на бесконечности и удовлетворяющее граничным условиям
ди
Су
= о- и| г+ = У1 (х, п) •
У=о
Внутренняя смешанная задача типа Неймана-Дирихле (задача N1 — Вг-). Найти четное по х решение уравнения (1) в области В+, непрерывное в В+, непрерывно дифференцируемое в В+ иГ+ и удовлетворяющее граничным условиям
1у=о
=о- А[и ]г+= & amp-2 (х, п), (х, п)^г+.
Внешняя смешанная задача типа Неймана-Дирихле (задача Ne — De). Найти четное по x решение уравнения (1) в области D+, непрерывное в D+, непрерывно дифференцируемое в De и Г+, обращающееся в ноль на бесконечности и удовлетворяющее граничным условиям:
иу=0 = 0 AiU ]Г+ = f2 (X, h), (%Я)еГ+.
Во всех задачах & lt-р}- (X, h), Wj (X, h), gj (X, h), fj (X, h) & quot- непрерывные на Г+ функции и при
h ® 0 j =Wi = gi = f = O (h), j =W2 = g2 = f2 = O (h).
5. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Решение задачи Dt ищем в виде D-потенциала типа двойного слоя
и (x, y) = w{2)(x, y)= J U2 (x, h) A [S2 (x, h- x, y)%2kdr. (25)
Г+
Ясно, что функция (25) является решением уравнения (1) и удовлетворяет первому граничному условию (24). Неизвестную плотность и2 найдём из требования, чтобы эта функция и (x, у)
удовлетворяла второму граничному условию (24). С этой целью подставим её в это граничное условие. В результате, с учётом формулы скачка (22), при j=2 получим
U2 (x0, у0). (2) / (К
----------- + w ЧX0, У0) = Ф2 (X, h)
или
(Di) u2(x, У)-2 Ju2(x, h) Ax _si (x, h-x, У)]x2kdr = ~2j2(xy). (26)
Г+
Это есть интегральное уравнение, соответствующее задаче Dj. Аналогично выводятся интегральные уравнения, соответствующие задачам De, Nt, Ne, Dt — Nt, De — Ne, Nt — Dt и Ne — De. Они имеют вид:
(De) u2(xy) + 2 Ju2(x, h) Ax _s2 (x, h-x, y)]X2kdr = 2y2 (xy), (27)
Г+
(Ni) m (x y)+2 Jm (x, h) Ax [si (x, h- x y)]X2kd r = 2j (x, y), (28)
Г
(Ne) m (x y)-2 Jm (x, h) Ax _ei (x, h-x, y)] x2kdr = -2Wi (x y), (29)
Г
(Di- N,) u (x, y)-2 Ju (x, h) Ax _ei (x, h- x, y)]^2kdr = -2gi (x, y), (30)
Г
(De-Ne) u (x, y)+2Ju (x, h) Ax _ei (x, h-x, y)]t2kdr = 2f (x, y), (3i)
Г
(Ni- D,) m (x y)+2 Jm (x, h) Ax _e2 (x, h-x, y)] X2kdr = g2 (x, y), (32)
Г
(Ne- De) m (x, y)-2 Jm (x, h) Ax _e2 (x, h- x y)] х2^Г = -2Л (x y). (33)
Г
Здесь Ax — конормальная производная к границе Г+ в точке (?^)еГ+, а Ax — конормальная производная к границе Г+ в точке (x, y) е Г+. Отметим некоторые свойства интегральных уравнений (26) — (33).
1) Формулы (i8) и (i9) показывают, что уравнения (26) — (33) суть интегральные уравнения со слабой особенностью.
2) Ядра Ax _ej (X, h-x, y) и Ax [еу (X, h-x, y)] получаются одно из другого подстановкой точек (x, y) и (X, h). Так как эти ядра являются вещественными, то они сопряженные. Отсюда
следует, что уравнения (26) и (33), (27) и (32), (28) и (3i), (29) и (30) — попарно сопряженные.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 3. Ч. 2. М.: Наука, i957. 680 с.
2. Weinstein A. Generalized axially symmetric potential theory //Bull. Amer. Math. Soc. i953. V. 59. №i. P. 20−38.
Поступила 10. 03. 2004 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой