Определение акустического поля, рассеянного упругим сфероидом с несколькими сферическими полостями

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 73−80 Механика
УДК 539. 3:534. 26
Определение акустического поля, рассеянного упругим сфероидом с несколькими сферическими полостями *
Л. А. Толоконников
Аннотация. Получено аналитическое решение задачи рассеяния плоской звуковой волны на упругом сфероиде с несколькими сферическими полостями.
Ключевые слова: рассеяние, звуковые волны, упругий сфероид, сферическая полость.
В работе [1] решена задача дифракции плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью, расположенной произвольным образом. В настоящей работе находится аналитическое решение задачи рассеяния плоской звуковой волны на упругом сфероиде с несколькими сферическими полостями.
Рассмотрим однородный изотропный упругий сфероид, содержащий N сферических полостей радиусов Е1, Е2,…, Ем, расположенных произвольным образом. Полуось вращения сфероида равна а, а вторая полуось — Ь.
Будем считать, что окружающая упругий сфероид жидкость является идеальной и имеет в невозмущенном состоянии плотность р и скорость звука с.
Пусть из внешнего пространства на сфероид произвольным образом падает плоская монохроматическая звуковая волна с временным множителем в-гш*, потенциал скоростей которой равен
Ф0 = А0 ехр[г (к • г — шЩ,
где Ао — амплитуда- к — волновой вектор падающей волны- г — радиус-вектор- и — круговая частота. В дальнейшем временной множитель в-гш1 будем опускать.
Введем прямоугольные системы координат х, у, г с началом в центре сфероида и х^, у^, (з = 1, 2,…, N) с началами в центрах сферических
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11−01−97 509-р-центр-а).
полостей так, чтобы соответствующие оси всех декартовых координат были параллельными и одинаково ориентированными, а ось вращения сфероида располагалась на оси z.
Свяжем с основной системой координат x, y, z и локальными системами координат Xj, yj, Zj сферические системы координат г, в, ф и rj, 0j, pj (j = = 1, 2,…, N).
Тогда в основной сферической системе координат г, в, ф будем иметь
k • Г = kr [cos в cos во + sin в sin во COs (^& gt- - фо)],
где во и фо — полярный и азимутальный углы волнового вектора падающей волны k соответственно- k = u/c — волновое число внешней среды. Без ограничения общности можно положить фо = 0.
Плоская волна в системе координат г, в, ф может быть представлена разложением [2]
ГО П
-)Ш (П
п=о m=-n
фо = Е Е Ynjn (kr)Pnm (cos ву™*, (1)
где
1ши = 2 N-РЛссв во) —
^шп
РШ (х) — присоединенный многочлен Лежандра степени п порядка т-
• 1 тл, т 2 (п + т)!
Зп (х) — сферическая функция Бесселя порядка п- Nшn = -------------- -------
(2п + 1) (п — т)!
— квадрат нормы присоединенных многочленов Лежандра.
Определим акустическое поле, рассеянное сфероидом, и поле смещений в упругом теле.
В установившемся режиме колебаний потенциал скоростей отраженной от сфероида звуковой волны Ф5 является решением уравнения Гельмгольца
[3] 2
ДФ5 + k2Фs = 0. (2)
Потенциал скоростей Ф5 должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности. Поэтому решение уравнения (2) будем искать в виде
оо п
Ф° = Е Е АшпЬп (кт)РШ (со8 в) вгш^, (3)
п=0 ш=-п
где Нп (х) — сферическая функция Ханкеля первого рода порядка п. Потенциал скоростей полного акустического поля Ф равен
Ф = Фо + Фз- (4)
Скорость частиц и акустическое давление во внешней среде определяются соответственно по формулам
V = gradФ- р = гршФ. (5)
Распространение упругих волн в упругом сфероиде в установившемся
режиме движения описывается скалярным и векторным уравнениями
Гельмгольца [3]
ДФ1 + к2Ф1 = 0- (6)
ДФ + к2Ф = 0, (7)
где Ф1 и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения- к = и/с
— волновое число продольных упругих волн- кТ = и/ст — волновое число поперечных упругих волн.
При этом вектор смещения и определяется по формуле
и = gradФ1 + гс^Ф, divФ = 0, (8)
а скорости продольных и поперечных волн соответственно равны
С1 = у/(Л + 2^)/р1'-- Ст = у/ ц/р1,
где Л и ц — упругие коэффициенты Ламе- р1 — равновесная плотность материала упругого сфероида.
Решение уравнения (6), то есть поле продольных волн в упругом теле, будем искать в виде
N
Ф1 = Еф (Л, (9)
3=0
где
оп
Ф (0) = Е Е ВШ1зп (к1 г) РпШ (0О8 в) ешр-
п=0 ш=-п
оп
Ф (3) = Е Е В3 Ьп (кг)Рпш (со8 вз Ушр- (3 = 1,2,…, N).
п=0 ш=-п
Для отыскания поля поперечных волн представим векторный потенциал смещения Ф в виде [4]
Ф = гс^го^ти ег) + кт го1(тУ ег), (10)
где ег — орт сферической координатной оси г- и, У — некоторые скалярные функции.
В результате вместо векторного уравнения (7) получим два скалярных уравнения Гельмгольца относительно введенных выше скалярных функций
Ди + к? и = 0-
ДУ + к2тУ = 0.
Функции U и V будем искать в виде
N N
и = Еи (j) — v = Еv (j), (її)
j=0 j=0
где
СЮ n
U (0) = E E ClSjnkr)-C (cos «)e'-m" —
n=0 m=-n
ro n
U (j) = E E «mU"* rj) iT (cos 6j) er& quot-f? (j = 1,2,…, N) —
n=0 m=-n
ro n
V (0) =? E01jn (fcrr)Pnm (cos 6) eimp-
n=0 m=-n
n
v (j) = E E ds. ^rj)pnm (cos"j)emn j = 1,2,…, n).
n=0 m=-n
Коэффициенты разложений Amn, B^n, 01., Dmn (j = 0,1,…, N) подлежат определению из граничных условий.
Уравнение сфероидальной поверхности в сферической системе координат имеет вид
r (6) = а (1 — e sin2 6)-½ Причем для вытянутого сфероида (a & gt- b)
Є2 f b2 N ½
e = є^г- Є = (1 — a2
а для сплюснутого сфероида (a & lt- b) —
a2 ½
е =- е =^ - ^2)
Здесь е — эксцентриситет сфероида.
Граничные условия на поверхности сфероида т = т (в) заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений: при т = т (в)
ШЧп = Уп- @пп = р- @пт = 0- & amp-пр = °- (12)
На границах полостей тз = Кз должны выполняться граничные условия, заключающиеся в отсутствии нормальных и тангенциальных составляющих тензора напряжений:
& lt-7 $ = 0- arJ = 0- °
гв иТ (р (13)
Граничные условия (12) записаны в основной системе координат, а условия (13) — в ] - ой локальной системе.
Нормальные компоненты вектора скорости V и вектора смещения и определяются через соответствующие компоненты векторов в сферической системе координат по формулам
(14) по
vn = vr cos 7 + ve sin y- un = ur cos 7 + ue sin 7,
а нормальные и касательные компоненты тензора напряжении формулам
апп = arr cos2 7 + 2are sin 7 cos 7 + авв sin2 7-
Vnr = (Orr + авв) sin 7 cos 7 + Огв (cos2 7 — sin2 7) — (15)
On^ = OrV cos 7 + авф sin 7,
где 7 — угол между внешней нормалью n к поверхности сфероида и радиус-вектором г.
При этом
cos y
1 +
e sin в1 cos в
п
1 — e sin2 ві
2-і

На основании формул (5), (8) и (10) получим следующие выражения для компонент векторов V и и в основной сферической системе координат:
3Ф 1 3Ф
Ут дг ' Ув г 30 '
дГ2 (гУ)+ кт2(гУ)
ur = ~дт +кт
dr
1 дФ1 кт
ue = -яТГ + r дв r
1 дФ1 кт
uip r sin в dp + r
кт d (rU) + ^ (rV)
sin в dp 1
(Ьдв
(16)
д2 д
~~в дГдГ (rV) — кт дв (rU) sin в drop дв
Компоненты тензора напряжений в упругом теле в основной сферической системе координат записываются в виде [5]:
. dur X / дне 1 дчш
Orr = (X + 2^)-^----------І-(2ur ±7- + ctg 6u0 ±---
dr r дв si- в др
. dur 2(X + а) (X + 2а) due X i 1 duV
оее = ^^ur +К----------------^ + - ctgeue + s- -V
ar r r ав r si- в ар
dur + 2(Л + ?) dr
Л due (Л + 2?)
r дв
.. _ 1 duv
aw = ^^7 ±------ ---ur + -^7г±------1--- (ctg вщ +
sin в dp
/1 dur щ дщ
а'& gt- = ?71» '- r + irr) '- (17)
(1 dur um dum
Vry =? I ----: -a ~a------------+ «я-
r sin в dp r dr
? (1 дщ i dum
& quot-S- + -dr _ ctg в^
r sin в dp дв
В локальной сферической системе координат rj, ej, Pj (j = 1, 2,…, N) компоненты вектора смещений и компоненты тензора напряжений имеют аналогичные выражения (компоненты вектора смещений, компоненты тензора напряжений должны быть записаны с индексом j).
Используя выражения (4), (5), (14) — (17), запишем граничные условия (12) и (13) через искомые функции Ф5, Фі, и, V, а затем подставим в эти условия разложения (1), (3), (9), (11).
В полученных уравнениях будут присутствовать функции координат основной r, e, p и локальных систем rj, ej, Pj (j = 1, 2,…, N). На внешней границе r = r (e) необходимо все функции записать в основной сферической координатной системе, а на границах полостей rj = Rj (j = 1, 2,…, N) — в локальных сферических координатах.
Для этого воспользуемся теоремами сложения для сферических волновых функций [2], которые имеют следующий вид:
го q
jn (kT rj) Pnm (cOS ej) eimmj =E E Qpqmn (rjl, ejl, Pjl, kT) jq (kT rl) PP (cOS ві)eWl-
q=0 p=-q
hn (kTr3)pm (cOS в3) eimm =
Ё? Rpqmn (r jl, в jl, Pjl, кт) hq (кт П) P^ P (cOS ві)ei (m ,
q=0 p=-q
где
. д-п д+п
ЯРЯшп = 2 — ]Т га Ъ (Птдр)За (кТ га) Pm-P (cos вя) вг (т-р)^-
Рд а=д-п
д+п га
Вт = 2гд-п Е ^-ЪдПтар)За к гл) РР (^ вЛ) вгр^-
а=д-п 1Ура
(3,1 = 0,).
Здесь через та1,0а1,ра1 обозначаются сферические координаты начала 0
в системе с началом 03, а коэффициенты Ъ (птдр'-) определяются через коэффициенты Клебша-Гордана [2].
Приведенные выше теоремы сложения позволяют функции, записанные в 3 — ой системе координат, выразить в I — ой координатной системе. При этом нулевой индекс относится к основной системе координат.
В результате для нахождения коэффициентов Атп, В^п, Стп0^ (з = = 0,1,…, N) приходим к бесконечным системам линейных уравнений вида
со д N
ЕГ, А + ^(в (А) ВА) + ^(а) СА) + ?(а) 0(а))] =
/ у У^тпрд^ рд 1 / Л^тпрд рд 1? тпрд^рд 1 ътпрд рд п Чтп'-& gt-
д=0р=-д А=0
г = 1, 2,…, 7- т = 0, ±1,…- п = |т|, ш + 1,
Выражения для элементов матриц и правых частей системы здесь не приводятся ввиду их громоздкости.
Решение бесконечной системы можно найти методом усечения [8].
Определив коэффициенты Атп, вт1, СтпО^п (з = 0,1,…, N),
получаем аналитическое описание рассеянного акустического поля по формуле (3).
Необходимо отметить, что представление рассеянного акустического поля в виде разложения (3) возможно, если поверхность упругого сфероида удовлетворяет гипотезе Рэлея [6]. Тогда ряды по сферическим функциям будут сходящимися. В [7] показано, что для вытянутого сфероида гипотеза
Рэлея справедлива при е & lt-, а для сплюснутого сфероида сходимость
2
будет всюду, кроме плоскости хОу.
Рассмотрим дальнюю зону рассеянного акустического поля. Используя асимптотическую формулу при кг & gt->- 1 [9]
Акт
Нп (кт) — (-«& quot-+' 1 Г,
из (3) находим
= 2» ехр (гкг)^(9,р),

где 2 о п
Р (°, р) = ка^ ^ Н) п+1АтпРпт (-в)егт*. п=0 т= - п
С помощью выражения для амплитуды рассеяния Р (в, р) изучаются угловые и частотные характеристики рассеянного акустического поля.
Список литературы
1. Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью, расположенной произвольным образом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С. 169−175.
2. Иванов Е. А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.
3. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 с.
4. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2. М.: ИЛ, 1960. 886 с.
5. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
6. Шендеров Е. Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989. 302 с.
7. Кюркчан А. Г. Границы применимости представлений Рэлея и Зоммерфельда в трехмерных задачах дифракции волн // Радиотехн. и электрон. 1983. № 7. С. 1275−1284.
8. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 708 с.
9. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовица М., Стигана И. М.: Наука, 1979. 832 с.
Толоконников Лев Алексеевич (tolla@tula. net), д.ф. -м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Definition of the acoustic field scattered by an elastic spheroid with several spherical cavities
L. A. Tolokonnikov
Abstract. The analytical decision of a problem scattering of a plane sound wave by an elastic spheroid with several spherical cavities is received.
Keywords: scattering, sound waves, elastic spheroid, spherical cavity.
Tolokonnikov Lev (tolla@tula. net), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 02. 02. 2012

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой