Определение квазистатических режимов пространственного движения неуправляемого тела

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц, А Г И
Том I 19 70 Мб
УДК 629.7. 015. 7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ НЕУПРАВЛЯЕМОГО ТЕЛА
В. А. Ярошевский
Рассматривается задача об отыскании квазистатических режимов пространственного движения вращающегося тела при полете в атмосфере. Получены формулы для определения этих режимов для тела вращения с малой весовой и аэродинамической асимметрией и тела с плоскостью симметрии под произвольным углом атаки с малым нарушением этой симметрии.
Выводятся приближенные уравнения, определяющие квазиста-тические режимы изменения углов атаки и скольжения и продольной угловой скорости для случая, когда тело имеет немалую продольную угловую скорость. Подобный подход применялся в работах [1] -[4]. В [1] содержится подробный анализ таких режимов в линейной (по углам атаки и скольжения) постановке применительно к самолетным конфигурациям, имеющим плоскость симметрии. Полученные результаты, в частности, позволяют установить, в каких случаях возможно развитие неблагоприятных режимов интенсивного вращения. В [2] подобные режимы рассматриваются в нелинейной (по углу атаки) постановке применительно к телам вращения. Получен целый ряд интересных результатов, относящихся к влиянию массовой асимметрии, в частности, наличию центробежных моментов инерции у тела вращения.
В настоящей статье квазистатические режимы рассматриваются в двух вариантах: для тела вращения с малой весовой асимметрией в линейной по углам атаки и скольжения постановке с учетом центробежных моментов инерции, а также для тела с плоскостью симметрии в нелинейной по углу атаки постановке.
1. Рассмотрим тело почти осесимметричной формы, центр масс которого смещен с геометрической оси на малую величину, а эллипсоид инерции близок к телу вращения и повернут на малый угол по отношению к геометрической оси. Предположим, что тело совершает полет в атмосфере, причем угол между вектором скорости и геометрической осью мал. Будем считать, что отличие формы тела от осесимметричной выражается только в возникновении малого аэродинамического момента МХа, направленного по геометрической оси.
Введем правую систему ортогональных центральных связанных с телом осей х, у, г: ось х параллельна геометрической оси, ось у расположена в плоскости центр масс — геометрическая ось. Уравнения движения имеют вид.
Щз- + & lt-0^ к, — ш2 кя =- М" (1& gt-
йК
у
ш
йК,
сИ
где
+ «г Кх — шх К2 = Му& lt- (2)
+ & lt-°хКу — °& gt-У Кх = мг, (3& gt-
кх Л: и) х ~ху „у Iхг шг& gt-
Ку = Iху 10х Ч- /у *_ууг °г& gt-
Кг = ~ шл- + 7уг „у + 4 ШГ
Проектируя вектор скорости на указанные оси, введем угол 1/у „V,
атаки, а =------и угол скольжения р = -у-.
Аэродинамические моменты при малых углах, а и р можно представить в следующем виде: Мх = МХо-1-М1 $ + М™х юх-г М™у шу& gt- Му = Му р М*х ых + МуУ а& gt-у, Мг = М2о + Мга + М*гц& gt-г (эффектами нестационарное™ пренебрегаем), где
Мх0 = тХоЯ81, М9Х = т ^5/, т3х = - сапАу, М = М& amp- = М*=т* цБ1, ю= „•••
V
мга = т2“ т2п = с~ Ду.
— Ду
Здесь Д_у = -у- - Д_у-смещение центра масс- с, — коэффициент тангенциальной силы- с* - производная коэффициента нормальной
Р2 — с /
силы по углу атаки- & lt-7 = -*-^------скоростной напор, 6 и I — харак-
терные площадь и длина тела. Разница между Му и ЛГ* имеет второй порядок малости по а, Р и Ду, поэтому ею можно пренебречь.
Производные демпфирования /га® — выразим через значения производных для тела с несмещенным центром масс (Ду =0, индекс „0“):
здесь принято допущение о том, что аэродинамическими моментами, обусловленными ВЯЗКИМ трением (т*х)о, (туХ)о& gt- можно пренебречь.
Если пренебречь влиянием гравитационных сил, то связь между углами и угловыми скоростями определяется соотношениями
йя.
сИ
сIр йЬ
где
= со + асо, — 7) Р,
(5)
(сап — с-) Я5 _ с'-дЭ
^ тУ тХ '
Попытаемся с помощью выписанных уравнений найти приближенное частное квазистатическое решение, соответствующее случаю, когда углы атаки и скольжения, а также угловые скорости медленно изменяются в процессе полета.
Считая асимметрию тела малой, приписываем центробежным моментам инерции, разности моментов /г -/, возмущающему моменту тХо) а также смещению Ду параметр малости е. Угловая скорость со, имеет порядок 1. Тогда нетрудно убедиться, что в квазистатическом режиме
а = 0(е), р = 0 (з), а = 0 (а2), (5 = 0 И,
и) х=°(?). иу = 0(®), шг = 0(е) — шу = 0 (а3), сог = 0(?2).
Для определения этого решения выпишем вначале уравнения (2) и (3) и с их помощью найдем, а и р в функции от ш, а затем, подставляя полученные выражения в уравнение (1), найдем изменение со, по времени.
Сохраняя в уравнениях (2) и (3) только члены порядка е, получим:
а (- Д/4-М*- чЛГ) + р (г)Д/-МГ)со, = Мго + 1ху *"=- V
— а (тг)Д/ - Мт) со, Р (- ДЛол — ¦/И& lt-р -- 7) Жт) = Мух со, — 1хг шх.) ()
Здесь Д/ = /- 1Х, 1у12 — 1. Разрешая эту систему уравнений, получим выражения для аир:
(Мг + /хч сор (Д/и)2 -{-М^-^-чМ“) + (Т]Д/-/Иш)(УИ"-“ со^ - /, гсоЗ)
(т]Д/ - му а& gt-% + (Д/а? + М9 + гМУ
(Д/а?+Л1* + 71 ЛГ) (/, г — Мух со,) + (у)Д/- ЛГ)(М,. +1ху"1у
р =
(О.
(т]Д/ - му со, + (Д/& lt- + м9 + -цМУ
(7)
Если считать, что аэродинамические коэффициенты и скоростной напор изменяются медленно [0(^) = е], то нетрудно убедиться,
что 0(а) = 0((3) = е2, а '-это оправдывает сделанные оценки порядков. Эти выражения следует подставить в уравнение (1), которое имеет следующий вид (сохранены только члены порядка е, которые подчеркнуты, и члены порядка г2):
(- а1хг — ^ху) -¦"]& lt-„*(- №хг + а1ху) + Мх Р +
+ Мт/ + Мху (-ашх + -ф) + МХп. (8)
Следует отметить, что при плавных искажениях поверхности тела порядка г коэффициент тХа, подсчитанный по теории Ньютона, имеет порядок е2. Тогда все члены в (8) имеют одинаковый порядок.
Тот факт, что углы, а и? вычисляются в первом приближении
с точностью до порядка е, не противоречит удерживанию в урав-
нении (1) членов порядка в2, поскольку эти углы умножаются в уравнении (1) на коэффициенты порядка г (Мх, 1хг, 1ху).
г-г I IХУ, а ^хг
При | 0), | - ОО, а ------д^“, -д7
ш МГх* АР + 1ху АI (Мшу* + Мшху) + ЛГ (4, + 11г)
л- шх
-Условие -*
АР '-
& lt-0 гарантирует от неограниченной рас-
со ^ = 00
крутки тела. При с“, 0 а — - м?. °Мт = Чал, р — О,
м м-* (м1 + г, м-у) 4-мга (- -п!ху — м»
-?---& gt- М х-----'-------------------------------------1
(71Д/-Жш)Мго (М^+
+
Условие
(М* + -цму
& lt- 0 гарантирует существование устойчивого
режима вращения с малой угловой скоростью, если момент МХа достаточно мал.
Особый интерес вызывает окрестность критической угловой скорости [1] - [4], где возможно резкое увеличение угла атаки или угла скольжения. Пространственный угол атаки равен
,______(Мг, + /, у & lt-«*)2 + (М"х шх — !хг ш2х)2
8 _ /а2 + В3 = - ________Х1Л1--------*--------Х±Л!_---. (9)
(т, Д /- ЛГ)2 О)2 + (Д 1ш1 + м* + ^му
Нетрудно заметить, что в случае М9 & lt-^0, Д/& gt-0 (сплюснутый ЭЛЛИПСОИД инерции) при небольших демпфирующих членах Т] и Мт пространственный угол атаки резко возрастает, если шх = о/ =
АI '-
„, *ч | ° А/
°К)
М9 + -чМш (М"у*~-1хгтх? Д7
(, 4/-ЛГ). '- м'-+^'-
АI
Проанализируем, как изменяются величины а, р и ш, в окрестности со, = ш*х. Обозначим а& gt-, — о/ = Дев,. При малых Ли, любую из названных величин можно представить в виде
аДсо, + Ьх
с, (И)
где а, Ь, с — некоторые коэффициенты- у = т]Д/-ЛГ.
Величина 2 обращается в нуль в точке Дсо, =------и дости-
гает экстремума в точках
(Дш4г)и= (--|-+|/'--|2-+4^7г)х = -257-(-а±У1 + П (12)
где
2Д/& amp-
к =-----,
а
причем
2 [(Д"л)и] = ±-----7-- а-----------------------с. (13)
IV х& gt-. _ 4Д/[у1 +Л"п: Л]х ^ '-
Нетрудно видеть, что при не очень больших значениях с экстремумы имеют разные знаки. Следовательно, при малых / названные величины достигают больших экстремальных значений противоположных знаков в малой окрестности соА. = между которыми располагается значение 2 = 0.
Для названных величин значения, а и Ъ равны:
^ 2Д/(Л1,0+/""-*)
— * & gt-
(X) у
ч = 2Д/(/“ со, — ЛГ*), Ьа =… МГ* + /
* 3
--------, у, г. =5= 0, с?"0,
со,
1 Г / Г * 2 Г * ¦ 1||) * I
а- = -у- [а» (- «& gt-•* - г/*у ~ Л/, У си,) +
+ ар (- /, у 42 + г1хг& lt-ьх 4- /Их + ^Л4"у)],
Ьт = А- [Ьа (- - У*у «С — Л4& quot-» 4) 4-
.V 1 у.
+ (- 4У «-Г2 & quot-ЬХ2ФХ + М? х + ^М"У)]& gt-
С (ц ^'-(мхЛму"х).
X
Отметим, что по аналогии со случаем плоского движения роль производных демпфирования зависит от величины безразмер-

ного параметра р. = -[1]. Действительно, условие с», = 0(1)
означает, что члены ЛГ и Д/св* имеют одинаковый порядок. Тогда, сравнивая, например, члены М1 и ЛГа& gt-г или члены ЛГр и ЛГ соу,
учитывая соотношения (5) и считая, что углы, а и ковый порядок, получим:
имеют одина-
0 (ЛГ «д = О (Г Ю = 0 Мю а
м& gt-
д/
Отсюда следует, что
0(ЛГ& lt-ог)
та
(14)
где
Дг
т12 '-
Следовательно, при больших ^ демпфирующие члены типа и ¦/)& lt-* являются малыми и пространственный угол атаки может достигать немалых значений в окрестности критической угловой скорости 0)^ = 0)* [см., например, (10-]. К тому же изменение углов атаки и скольжения в окрестности сох = & lt-«- может происходить
достаточно быстро, что противоречит условию, а = 0(е2), (3 = 0 (е2). Поэтому линейная квазистатическая теория может привести в окрестности «* к неточным количественным оценкам, хотя качественная картина, по-видимому, верна, если разность 1у — /2 достаточно мала.
С помощью уравнений (7) и (8) можно проанализировать возможные режимы установившегося вращения (если значения и V и аэродинамические коэффициенты постоянны или достаточно медленно изменяются), им соответствуют точки (0,(0),) = 0. Устойчивость этих режимов зависит от наклона фазовой кривой в этих точках [1], [2] при условии, что обеспечена устойчивость по, а и р.
Рассмотрим несколько типичных случаев. Пусть Д/& gt- О, ЛГ^О,
& lt-0,
«) =0
& lt-0. Тогда в зависимости от величины МХл
могут существовать один, три или пять режимов установившегося вращения, из которых устойчивы (отмечены кружками) соответственно один, два или три режима (фиг. 1).
а/& gt-0- /, гДу (ст-О& lt-0- -
Фиг. 1
& lt-0- ^ 0 шх
& lt-0
При Л/& lt-0 типичными являются один или три режима установившегося вращения, из которых устойчивы один или два соответственно (фиг. 2).
4 — Ученые записки № 5
49
Если использовать допущение о малости демпфирующих членов, то квазистатические решения для углов атаки и скольжения могут быть найдены и в более общем случае, когда тело не является осесимметричным, но имеет плоскость симметрии, причем массовая асимметрия сводится к малому отклонению центра масс от плоскости симметрии Дг и малым центробежным моментам 1 Г, и 1у2 (центробежный момен
в квазистатическом режиме угол атаки такого большим, хотя угол скольжения считаем по-прежнему малым.
1ху не является малым). При этом тела может быть
Д/& lt-0- 1Х2 Ду (ст — сап) & lt- 0- «
О
Фиг. 2
& lt-0-
& lt-0
Искажение симметрии формы тела относительно плоскости сводится к возникновению вектора аэродинамического момента, лежащего в этой плоскости, а также к возмущающей силе, нормальной к этой плоскости.
Введем правую систему ортогональных центральных осей х, у, z: ось х, служащая для отсчета угла атаки, может быть выбрана произвольно в плоскости, параллельной плоскости симметрии, ось z нормальна к этой плоскости. Определим углы атаки и скольжения формулами
^ Vy ¦ о V'-
Sin, а =---_ __ ss-----, sin 3 = -гг-.
Yv*-vt V V
Аэродинамические моменты при малых р и малых Дz можно определить в следующем виде (с точностью до малых первого порядка)
Мх = МХо (а) + Ml (а) р + М°х* (а) а& gt-, + М°ХУ (а) (а) qSIAz,
Му = МУо (а) + Ml (а) р + М^ (а)+ МГу у (а) & lt-«у — (а) qSl& amp-Z,
Mz = Мг (a) + Мт/ (а) шг,
где все аэродинамические коэффициенты моментов определяются относительно точки, соответствующей несмещенному центру тяжести (Дг = 0). Если пренебречь гравитационными силами, то связь между углами и угловыми скоростями определяется соотношениями
Су (a) qS
i^sina ту ,
,., [cl (я) + C- (a)] PtfS-f cZo qS
о) у cos, а + ш sin, а 4-
у х mv
Уравнения движения по-прежнему заданы в форме (1) -(3). В данном случае следует вначале рассмотреть уравнение (3) и, отбрасывая члены второго порядка малости, найти зависимость Я) — После этого можно разрешить уравнения (1) и (2) относительно р и со, отбрасывая члены третьего порядка малости, и получить в итоге уравнение, определяющее изменение со, по времени.
Проиллюстрируем все необходимые выкладки, — приписывая малым величинам параметр малости з в нужной степени. Напомним, что малыми являются члены, характеризующие асимметрию тела, а также в силу допущения ^^& gt-1 демпфирующие производные и силовые члены в соотношениях (15). Подставляя в уравне-
ние (3)
. (cl + cz) $qS + cz"qS — mV$ n. 2
со = - со tg a — s2 -i-1----'------------------!- = - со tg a -f- 0 (s2),
у X ь my cos a v /*
CO =-SCO tga- gt°x2g +0(e2), y cos2a
еРШлг, SCyQS, •
* cos a mV
mz = 0 (®2)& gt-
Mt (a) + МУ сог + My cov + MУ a), = Mz (a) + 0 (г2),
I. xzxzi fyz ®^уг& gt-
получим уравнение для определения, а (со, q):
Ч [(4 — Ix) tg, а + IXy (1 — tg2 «)] + («) = 0 (г2). (16)
Далее, подставляя выписанные выражения в уравнения (1) и (2), получим:.
Ршлг, су qS
Iv I — со tg ж — -- I — /гсо -|~ шх 1 ------------------------1------Г7----1- a) (4 — 4) «f~
•v * & amp- cos2 a / Vcosa т V '-
(Pa& gt-, cyqS
+ Lz «d + 7У* «jc (- tg a) — ^ (- «*tg =t) p- Л*, 0 — Жэу P — ж-- О), — му (- a), tg a) — c, ?SMi ] = О И, (17)
со, a., v / pco, ?y & lt-7*5
X (4 — 4) — /у* К tg «)2 — 1хг шд (- «х tg «) + 1ху + + я) —
-МХо~м1р- му со, — му (- со, tg а) — ся Д г] = 0 (а3). (18)
Уравнения (17) и (18) являются линейными относительно ш, и р. Разрешая их, получим выражение для р и уравнение для изменения со,.
Анализируя полученные уравнения, можно заметить, что они могут быть записаны в более компактном виде, если использовать полусвязанные оси. Для этого представим себе тело под углом атаки, а и с малым углом скольжения р, вращающееся с угловой
COS a
в направлении ско-
скоростью, которая имеет проекцию 2-
рости и проекцию на-направление (фиг. 3), оси х и у лежат в плоскости симметрии.
Тогда уравнения (16), (17) и (18) могут быть преобразованы к виду
— (/,-«)= м~- 1 Т? № - м7+ м-
dt
JL. (_ Ij7 Q) = М~ I77 Q* + (/г- I7W
(19)
(20)
0 — /~~ Q2.
Здесь /~, 17~
(21)
обозначают моменты инерции, зависящие от а, пересчитанные на новые оси х, у- ось z не изменяется:
I~ - Ix cos2 a + 2/лу sin a. cos a -f-+ Iy sin2 a-
hy = (cos2 a — sin2 a) +
+ (/v — Ix) sin a cos a,
I~~ = Ixz cos a — /j, zsin a.
Аэродинамические моменты определяются формулами
М-
Ж~+Ж
М-Q —
Ж~ = Ж- + MU + Ж^ 9 — (/г — /~)
cvqS
— у Щ-¦
mV ху'-
Су
где
¦у Уо '- & quot-'-Уг 1 & quot-'-У '-& quot-г '-х& gt- ту
М~ = Л1×0 cos a — Жд, 0 sin a + c qSIAz,
Q.
Ж- = Mxx cos2 a — (Ж"у + Ж"*) sin a cos a + Ж"у sin2
a-

Ж& quot--1 cos2 a -f- (Ж& quot-
.y … -----, x… x Ж"у) sin a cos a — Ж"у$т2а.
Производные Ж"/ могут быть взяты для тела с несмещенным
в боковом направлении центром масс (Дг = 0), поскольку А2- малая величина порядка е. Разрешая систему уравнений (19) и (20), получаем:
& quot- & quot- -I~~Q2)} dQ
= W~ + (b-I7)& amp-
Mz
X у
cy qS
dt
+ (Ж
-/гт0*)}|_Ж~ + /гт9» + 0 d
— ~di^7y)
m V ху

dt
~h)
cy qS m V
Решая это уравнение совместно с уравнением (21), получим закон изменения 2(0- При этом угол скольжения определяется соотношением
Если, например, тело представляет собой тело вращения со смещенным центром тяжести (случай, рассмотренный в [2]), то считая Дг = 0, получим:
Из приведенных формул, в частности, следует, что при вычислении производных демпфирования для тела вращения нельзя пренебрегать смещением центра тяжести Ду, поскольку в противном случае можно ошибиться в оценке эффекта демпфирования на порядок его величины.
Сравнивая полученные уравнения с уравнениями, приведенными в [2], можно убедиться, что они несколько различаются. Помимо того, что в приведенных выше уравнениях учтены демпфирующие слагаемые, причина различия заключается в следующем. При выводе уравнений в работе [2] использованы оценки
(cos а) = 0 (е2), -^(sin а) = 0 (s2), которые можно считать справедливыми лишь при условии, что эллипсоид инерции близок к сфере и аэродинамическая характеристика тг{о) мало зависит от числа М.
сп (а)АУ.
— 7
Sin а
Т огда
т
т~ = т*(о0 ctg, а — Дусп (а) —
т7 = - *Усп («) ctS, а — & quot-Ч (& lt-*) —
Сп (а) Д уг COS2 a + У (а) Д_у Sin2 a COS, а + mZo (a) sin a COS, а А у
— /и& quot-v sin3 а
у
sin а
Используя уравнения (21) и (22), можно, аналогично предыдущему, проанализировать возможные режимы вращения, пользуясь построениями в фазовой плоскости.
Автор выражает благодарность Г. Е. Кузмаку и Р. В. Студневу за ценные замечания по содержанию работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бюшгенс Г. С., Студнев Р. В. Динамика пространственного движения самолета. М., «Машиностроение& quot-, 1967.
2. Шилов А. А. Влияние массовой и аэродинамической несим-метрии тела на характер его пространственного движения. ДАН, т. 183, № 5, 1968.
3. Migotsky Е. On a criterion for persistent re-entry vehicle roll resonance. AIAA Paper No. 67−137.
4. Frank J. Barber a. An analytical technique for studying the anomalous roll behavior of ballistic re-entry vehicles. AIAA Paper No. 69−103.
Рукопись поступила 9/XII 1969 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой