Определение напряженно-деформированного состояния протектора шины в местах крепления шипов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 144−152
Механика =
УДК 539. 3
Определение напряженно-деформированного состояния протектора шины в местах крепления
шипов *
В. О. Кондрашов, М. Ю. Соколова
Аннотация. Приведена постановка задачи об определении напряженно-деформированного состояния протектора зимней шины, учитывающая конечность деформаций шины и ее разогрев в процессе эксплуатации.
Ключевые слова: протектор, деформация, автомобильная шина.
Автомобильные шины являются важным и конструктивно сложным элементом современного автомобиля. На рис. 1 схематически показана конструкция бескамерной шины, основными элементами которой являются каркас (1), каркас и брекер (2), протектор (3), боковина (4), борт (5), бортовое кольцо (6) и наполнительный шнур (7). Брекер шины образован слоями кордной ткани, относящейся к одному из видов композитных материалов. В зависимости от расположения нитей в кордной ткани все шины делятся на диагональные и радиальные. В диагональных шинах нити корда смежных слоев каркаса и брекера перекрещиваются друг с другом, составляя углы в 45−60° с воображаемой линией вращения колеса. В радиальных шинах нити корда расположены под углом, близким к 90° с воображаемой линией вращения колеса.
Тенденциями современного развития шин являются: 1) создание низкопрофильных (H/B = 0, 71 — 0, 88) и сверхнизкопрофильных (H/B не более 0,7) шин, что позволяет установить тормозные механизмы больших размеров и снизить деформации боковых поверхностей шин- 2) снижение сопротивления качению шин за счет использования новых материалов протектора- 3) использование шипов или ламелей для улучшения сцепления автомобиля с дорогой при движении по льду и снегу. В связи с этим интерес представляет
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13−01−97 501-р_центр_а, 15−01−1 875-а).
Рис. 1. Конструктивные элементы и основные размеры шин (по материалам сайта http: //www. topof. ru/help): 1 — каркас, 2 — брекер, 3 — протектор, 4 — боковина, 5 — борт, 6 — бортовое кольцо, 7 — наполнительный шнур- Б — наружный диаметр, Н — высота профиля, В — ширина профиля, й — посадочный размер обода колеса
исследование напряженно-деформированного состояния протектора зимних шин и влияние на него шипов различных конструкций.
Различные модели поведения автомобильных шин рассматривались в работах [1−6 и др.]. В работах [1−4] рассматривалось трехмерное моделирование шин с помощью метода конечных элементов с учетом конечности деформаций и с применением разработанного трехмерного оболочечного элемента. Работы Ю. А. Гамлицкого посвящены проблемам описания нелинейного поведения резин и резинокордных материалов [6, 7].
Целью настоящей работы является исследование напряженно-деформированного состояния протектора зимней шины с учетом его взаимодействия с дорожным покрытием в окрестности шипа. Расчетная схема задачи представлена на рис. 2. Исследуются плоские деформации поперечного сечения шины, которая рассматривается как двухслойная конструкция, состоящая из резинокорда, моделируемого ортотропным материалом, и собственно протектора, изготовленного из искусственного каучука и моделируемого изотропным упругим материалом. Условия между слоями задаются как условия полного прилипания. В первом приближении шипы будем рассматривать как абсолютно твердые цилиндры, а дорожное покрытие — гладким и абсолютно твердым. Технология установки шипов позволяет считать контакт между шипами и протектором удовлетворяющим условиям полного прилипания. Контакт между протектором и дорожным покрытием меняется в процессе деформирования, пятно контакта будет определяться в процессе расчета.
Известно, что деформации шины в процессе эксплуатации лежат в пределах 20% [7]. В связи с этим для адекватного описания напряженно-деформированного состояния требуется учет геометрической нелинейности.
& lt-1
Рис. 2. Расчетная схема задачи: 1 — резинокорд, 2 — протектор, 3 — шип
Кроме того, материал протектора обладает существенной физической нелинейностью. В процессе эксплуатации температура протектора нормальная температура шины изменяется в пределах 70−80 °С, но может в самых «горячих» местах достигать 125 °C. Постановка рассматриваемой задачи должна учитывать указанные особенности поведения протектора и включает соотношения, приведенные в монографии [8].
Система термомеханических уравнений включает в себя соотношения, описывающие движение материальных точек деформируемого тела при приложении внешних механических и тепловых воздействий, а также определяющие соотношения. При описании процессов конечного деформирования необходимо учитывать, что напряженно-деформированное состояние тела определяется не только смещениями точек тела в данный момент времени, но и всей историей деформирования. В связи с этим целесообразно использовать условия равновесного протекания процессов, требующие удовлетворения равновесия не только для напряжений и деформаций, но и для их приращений, вызываемых приращениями внешних воздействий в данный момент времени.
На основании принципа Журдена возможная мощность активных нагрузок и сил инерции, действующих на частицу среды в фиксированный момент времени Ь, равна нулю. Возможная мощность подсчитывается на поле возможных в данный момент скоростей, тогда соответствующее вариационное соотношение имеет вид
/(*¦8± ш)) шу = 0 (1)
у
где Б — тензор истинных напряжений Коши, V — скорости точек среды, р, — плотность материала и плотность массовых сил, действующих на частицу.
После преобразований, использующих теорему Остроградского-Гаусса, вариационное уравнение (1) приводим к следующему виду:
У Б • ¦WdУ = У Р (п) ¦ ШЕ + ! (р — ^ ¦ 5УрйУ = 0, (2)
У? У
где Ш = ^ ^Уу+уУ^ - тензор деформации скорости, Р (п) — поверхностные силы, действующие на поверхности ?. Для задания правой части уравнения (2) на части поверхности задается распределение внешних напряжений
Р (п) = РППп + Рг^т[ + Р^тъ. Здесь т, т2 — перпендикулярные единичные векторы в плоскости, касательной к поверхности ?. Если на части поверхности задано поле скоростей, то оно не варьируется, и правая часть уравнения (2) на этой части обращается в ноль. Кроме того, могут задаваться смешанные граничные условия, когда известны нормальная составляющая внешнего напряжения и тангенциальные составляющие скорости (напряжения).
Условия равновесного протекания процесса конечного деформирования тела, ограниченного поверхностью ?, в объёме У приведены в монографии [8]. В предположении, что массовые и инерционные силы отсутствуют, эти условия имеют вид
Б +Б в -уУ ¦ Б ¦ ?у У
У
) ¦ ?уУ] йУ = ^ Р (п) +Р (п) (в -п ¦ W ¦ п)
¦ ?УЖ. (3)
Соотношения (3) в монографии [8] названы основным вариационным соотношением. Данное соотношение содержит абсолютные производные по времени от тензора напряжений Коши, скорости точек тела и поэтому описывает квазистационарное движение сплошной среды при произвольных определяющих соотношениях и заданных законах изменения нагрузок и скоростей точек на соответствующих материальных поверхностях, ограничивающих рассматриваемую среду.
Таким образом, для равновесного течения процесса необходимо и достаточно, чтобы распределение напряжений внутри тела и распределение поверхностной нагрузки в каждый момент времени удовлетворяли вариационному соотношению (2), а скорости их изменения удовлетворяли основному вариационному соотношению (3).
В качестве соотношений, определяющих поведение упругого материала, используем связь между скоростями напряжений и деформаций в виде [8]
= С ¦¦W — В Т,
(4)
где Sv = Б +и — Б — 13 -и — яуманновская производная тензора напряжений, и = 1Уу — у У^ - тензор вихря, С — тензор упругости материала, В = С ¦ ¦ а — направляющий тензор температурных напряжений, а — тензор коэффициентов температурного расширения, Т — абсолютная температура. Соотношения (4) в начальный момент времени при бесконечно-малых деформациях совпадают с соотношениями Дюгамеля-Неймана.
Подставим выражение для яуманновской производной тензора напряжений в условие (3) и после преобразований получим вариационное соотношение в виде
/ Г + Б в -+ Б -и) •• ?уУ
у К)
Р (п) +р (п) ^ -й- W П
I
?
(V =
(5)
•?у (?.
Граничные условия статического типа предусматривают задание в каждой точке поверхности? р закона изменения внешних сил как функции времени:
Ро = р*(х, г) УХ е? р Уг& gt- го. (6)
При задании граничных условий кинематического типа в каждой точке поверхности? и определяется закон изменения перемещений материальных точек
и = и*(Х, г) ух е? и Уг& gt- го. (7)
В каждой точке поверхности? ри могут быть заданы граничные условия смешанного типа, то есть разноименные составляющие векторов
ро = Р*(Х, г) и и = и*(Х, г) ух е? ри Уг & gt- го. (8)
Поверхности? р, ?и, ?ри не пересекаются: ?0 = ?р и? и и? ри.
В соответствии с рис. 2 на указанных поверхностях требуется задать:
51: Р (п) = -ори, 53: и, п = 0, Рт = 0,
на поверхностях 52 и 54 задаются условия полного прилипания.
Тепловое воздействие на тело определяется притоком тепловой энергии через поверхность ?, ограничивающую объем V, и местными источниками тепла, имеющими физико-химическую природу и в дальнейшем не учитывающимися. Общий тепловой поток через поверхность? за время Аг представим в следующем виде:
А"=Ч (9)
где т — вектор теплового потока, характеризующий приток тепла через единичную поверхность в направлении внешней нормали тп в единицу времени.
Если направления д и п противоположные, то AQ имеет знак + и тело нагревается, если же т и п направлены одинаково, то тепло отводится. Используя теорему Остроградского-Гаусса, из (9) получаем
AQ = - J У ¦ тйУАЬ. (10)
У
Тепловое воздействие на единицу объема получим в виде
= -У ¦ А (11)
Вектор теплового потока полагаем связанным с неоднородным температурным полем законом Фурье [8]
т (Х, Ь) = А ¦УТ, (12)
где, А — тензор теплопроводности, определяемый природой вещества, УТ — градиент температуры.
Для изотропного материала полагают, А = АС, где Л — коэффициент теплопроводности, С — метрический тензор текущего состояния. При этом закон Фурье принимает вид (?(х, Ь) = АС ¦ УТ. В анизотропном материале тензор, А определяется присущей материалу симметрией термических свойств.
Соотношение (11) позволяет определить скорость притока тепла к еди-
• °
нице объема материала в виде Q = - У т, которая с учетом закона Фурье для теплового потока (12) принимает вид
Q = У ¦ (а ¦ Ут^. (13)
В изотропном материале Q = -А У2Т, где У2 = У ¦ С ¦У — оператор Лапласа.
Скорость притока тепла Q входит и в закон изменения энтропии, откуда в случае обратимых процессов
Q = РТЯ, (14)
где п — скорость изменения удельной энтропии.
Приравнивая правые части (13) и (14), получим уравнение теплопроводности в общем виде:
рТЦ = У ¦ (А ¦УТ), (15)
оторое должно быть конкретизировано на основании представления для энтропии п. Для нелинейно упругих материалов выражение для скорости изменения энтропии принимается в виде [8]
• 1 Т
п = - В ¦ ¦ W + с? Т, (16)
р Т
где ве — удельная теплоёмкость материала.
Умножим левую и правую части уравнения (15) на отличную от нуля во всех точках рассматриваемого материального объема вариацию скорости
изменения температуры? Т и проинтегрируем это уравнение по объему:
рТП? Т (V = I У- (А- УТ^ ?Т (IV. (17
У У
Преобразуем правую часть выражения (17), используя теорему Остроградского-Гаусса:
[а- Ут^ ?Т (V = у У ¦ (А ¦ Ут? т) (V — J (А- УТ^ ^ (Ур) (V =
У У У
= - J и ¦ q? T (? — J (А- УТ^ ^? (УТ) (V.
? У
Подставив преобразованное слагаемое в уравнение (17), получим уравнение теплопроводности в вариационной форме:
J РТП? Т (V = - J n¦q?T (? — J (а ¦УТ) ^ (У Т^) (V. (18)
У? У
Требуется задать на части поверхности? т закон изменения температуры
Т = Т*(Х, г) УХ е? т Уг& gt- го, (19)
на части поверхности? я — закон изменения теплового потока:
р = р*(х, г) УХ е? д Уг& gt- го. (20)
На части поверхности? с может происходить свободный теплообмен с окружающей средой, температура которой Те (Х, г) известна. Закон теплообмена очень сложен, но для упрощения задачи во многих случаях он может быть принят в виде закона Ньютона. По закону Ньютона, количество тепла, передаваемое в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды. По закону сохранения энергии, это количество
тепла должно быть равно тому количеству тепла, которое передается через единицу площади поверхности за единицу времени вследствие внутренней теплопроводности. Это приводит к граничному условию
п ¦ А ¦УТ + ао (Т — Те) = 0 Ух е Ес УЬ& gt-Ьо, (21)
где ао — коэффициент теплообмена, который в общем случае зависит от разности температур Т — Те, от характера поверхности и окружающей среды, то есть от радиус-вектора х. В случае, когда материал рассматриваемого тела изотропный и коэффициент теплообмена не изменяется, не зависит от температуры и одинаков во всех точках поверхности тела, условие (21) принимает вид
дТ
А- + ао (Т — Те) = 0. дп
Поверхности Еу,, Ес не пересекаются: Ео = Еу и и Хс.
Эволюционные соотношения для перемещений, напряжений и температуры имеют вид
У (Х, Ь) =, Б (Х, Ь) =, Т (Х, Ь) = ^ Ух е Уо. (22)
Начальные условия характеризуют состояние тела в начальный момент времени Ьо:
и (х, Ьо) = ио (х), Б (х, Ьо) = Бо (х), Т (х, Ьо) = То (х). (23)
Таким образом, постановка рассматриваемой краевой задачи включает уравнение равновесия сплошной среды в вариационной форме (2), условия равновесного протекания процесса (5), уравнение теплопроводности в вариационной форме (18), соотношения, определяющие связь между напряжениями, конечными деформациями и температурой в нелинейно упругом теле (4), эволюционные соотношения (22), начальные условия (23) и граничные условия (7)-(8), (19)-(21). Численное решение задачи выполняется с использованием метода конечных элементов.
Список литературы
1. Лопухин К. А., Шешенин С. В. Применение многосеточного метода для решения задачи о шине // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2010. № 1. С. 62−66.
2. Шешенин С. В. Трехмерное моделирование шины // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2007. № 3. С. 12−21.
3. Шешенин С. В. Трехмерное моделирование пневматических шин // Упругость и неупругость. 2011. С. 458−463.
4. Определение модулей резинокорда при плоско-напряженном состоянии / С. В. Шешенин, П. Н. Демидович, П. В. Чистяков, А. В. Муравлев // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. № 5. С. 49−53.
5. Ненахов А. Б., Гальперин Л. Р., Соколов С. Л. Оптимизация конструкции пневматических шин на стадии проектирования // Каучук и резина. 2000. № 2. С. 25−34.
6. Гамлицкий Ю. А. Нелинейная механика резин и резинокордных композитов. Теория, эксперимент и методы испытаний // Каучук и резина. 2001. № 5. С. 30−38.
7. Гамлицкий Ю. А. Нелинейные механические свойства резин и резинокордных композитов и работоспособность деталей шин: дис.. . д-ра техн. наук. М., 2014.
8. Маркин А. А., Соколова М. Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. М.: Физматлит, 2013. 320 с.
Кондрашов Вадим Олегович (kondrashov071@gmail. com), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Соколова Марина Юрьевна (m.u. sokolova@gmail. com), д.ф. -м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Determination of stress-strain state of tire tread in places of
fastening studs
V. O. Kondrashov, M. Yu. Sokolova
Abstract. The statement of a problem of determining the stress-strain state of the tread of winter tires taking into account finite deformations of the tire and its heating during operation is given.
Keywords: protector, deformation, automobile tyre.
Kondrashov Vadim (kondrashov071@gmail. com), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Sokolova Marina (m.u. sokolova@gmail. com), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 12. 05. 2015

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой