Определение нестационарного теплового потока по измеренной температуре

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И
То м IV 197 3
№ 6
УДК 536. 6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ПО ИЗМЕРЕННОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ
На основе метода регуляризации в линейной постановке рассматривается приближенный способ решения обратной задачи нестационарной теплопроводности для полуограниченного пространства и пластины конечной толщины при переменных граничных условиях второго рода с произвольным начальным распределением температуры. Способ позволяет определять тепловые потоки по температурам, измененным в любой внутренней точке пластины. Точность метода демонстрируется численными примерами. Рекомендуется пользоваться двумя критериями выбора наилучших приближений: принципом невязки и квазинаилучшим параметром регуляризации. Метод предлагается для обработки экспериментальной информации.
Решение обратной задачи теплопроводности заключается в отыскании теплового потока на границе области по известному (измеренному) закону изменения температуры во времени в какой-либо внутренней точке тела.
Температурное поле Цх, т) в бесконечной теплоизолированной с одной стороны пластине толщиной Я, создаваемое переменным тепловым потоком & lt-7(т), входящим через границу х = /? с учетом начального распределения температуры, может быть представлено в виде следующего интегрального уравнения [1]:
А. Я. Колп
я
г
х
/йС*. 6, 0) і(5, 0)^ + Іе{х, V, Я, *4)0Сїі)*і -*(¦*. ¦'-)" (1)
а
о
о
где
?(& lt-*, ¦ч)
(2кЯ-(?-. *)" 4 а (х — т,)
& lt- (2? + 1) /? +*& gt-а '- 4 а (т —
} & lt-Р (х — х,),. (2)
?•(*, х- ?, -функция Грина для уравнения теплопроводности с гра-
ничными условиями второго рода для пластины конечной толщины-
1. т & gt- 0 «
& lt-?(х — 1^= 0 т& lt--0 — единичная разрывная функция- я — глубина
установки термопары- а, ~к — соответственно коэффициенты температуропроводности и теплопроводности материала пластины-
* (?, 0) = А + В + С + И ^|3 -г Е — начальное распреде-
ление температуры- А, В, С, О и Е — постоянные величины, характеризующие условия теплообмена на границе л: = 0.
Обозначим через Ьправ (х, х) величину, связанную с учетом «диффузии* начального распределения температуры:
я
Цх, х)~ х- 0)^(5, 0)(II = tЭKcn (х, х) —
со Я
2 J ехр [-
«-____лп n V L
(2 kR + S — x)*
+
+ exp [- {2 kR Jt Х-Ц t (6, 0) d = tBtm (X, X)}. (3)
Тогда уравнение (1) примет вид
. X.. '
J? (¦*-& gt- ^l) Я (^l) —прив (•*•& gt- (4)
0
Прямое решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода (4) после замены интеграла конечной суммой, как правило, приводит к неустойчивости за счет неточного задания температуры t3Kcn (x, х), обусловленного погрешностями измерения, и из-за погрешности аппроксимации интегрального уравнения.
Для решения таких задач академик А. Н. Тихонов [2], [3] ввел понятие класса регуляризуемых некорректно поставленных задач и предложил общий метод их решения, так называемый метод регуляризации. Под этим, понимается построение семейства! корректных задач, зависящего от параметра регуляризации а, которое обладает тем свойством, что при «-"0и при одновременном стремлении к нулю погрешности правой части решение корректной задачи стремится к истинному решению исходной некорректной задачи.
1- При этом строится регуляризирующий функционал вида
X X
УИ01 (li),прив (-^! т)] =: J [J ё (¦*& gt- xl) Ч (xl) '-^привС*'-) ] dl --
о и.
'- х г 1 ! -
+ aj /га (х1)^-^2 (х1) + /7(х1)^2(х1) rfx, (5)
и L 1. ¦ '
и рассматривается задачаоптимизации функционала. Здесь a — параметр регуляризации (а& gt-0), т (xj, ^(х,) — некоторые гладкие заданные неотрицательные множители функции xt.
Наиболее простым способом минимизации функциойала (5) при заданном, а является решение краевой задачи для уравнения Эйлера
Взяв свертку выражения (8), с помощью изображения Лапласа получаем
В окончательном виде интегро-дифференциальное уравнение (6) для пластины конечной толщины будет иметь вид
Наиболее простым путем решения уравнения (6) является его «алгебраизация», т. е. замена конечноразностным аналогом с приведением к системе линейных алгебраических уравнений, которую в матричном виде можно записать в виде.
где, А — левая треугольная матрица- А'- - транспонированная матрица- С — симметричная, положительно определенная матрица регу^ ляризации, получаемая путем разностной аппроксимации дифференциального члена в выражении (6). Например, при т=, р = 1,.
N=3
при т = 0, р — 1 С — Е — единичная матрица, Л =-шаг по'-
при заданных граничных условиях
Ч (0) = соші- г = 0, (7& gt-
(7& gt-
(8& gt-
Л
g (x) х, є) -итерированный оператор-
X
(9& gt-
X 00
(ЛМ + оС) да=А'-В,
(11).
& quot- 1/Л2 — 1/Л2 0 •
с= -1/Л2 2/Л2 4−1 -1/Л2 —
О -1/Л2 1/Л2
(12}
Т
времени, я = 1, 2, 3.. , Ы- ------число точек решения.
Таким образом, метод регуляризации сводится к многократному решению аппроксимирующей системы (11). В интегральной части уравнения производилась замена интеграла квадратурной формулой прямоугольников при различных значениях параметра а, по величине стремящихся к нулю:
а = а^=: Да•<-*,_!, где Да& lt-1, 8=1, 2, 3,.. .
Решение полученной системы алгоритмических уравнений представляет определенные трудности. Для ее решения был использован метод, разработанный В. В. Воеводиным [4] и [5].
Центральным вопросом при решении плохо обусловленных систем с использованием регуляризации является выбор параметра а. ¦С одной стороны, а желательно брать как можно меньше. Но, с другой стороны, в силу некорректности обратной задачи очень малые значения, а брать нельзя, так как неизбежные ошибки при аппроксимации интегралов в управлении будут сильно влиять на решение. Поэтому применяются специальные критерии гладкости.
В данной работе для определения значения, при котором & lt-?* является приближением, близким к оптимальному, для заданного, а применялись следующие критерии гладкости: критерий невязки [2] и [6]
К (а) = пип
(13)
где Ы — погрешность измерения температуры-
критерий квазинаилучшего [7] и [8]:
1(а) = тт {шах | ?"'-(ху) — (х-) |}. (14)
'-'-
Решая систему (11) при каждом а, выбираем приближенное решение {& lt-7"}, для которого К (а) или? (а) достигает минимума, при этом для критерия Ь (а) выбирает первый локальный минимум справа вслед за первым локальным максимумом слева.
Выбранное таким образом {^} и будет дискретной аппроксимацией приближения к искомому решению на заданной сетке значений {а^} (в= 1, 2, 3, …).
С целью анализа точности метода были проведены вычисления решений обратной задачи для случая, когда тепловой поток и соответствующее ему температурное поле для неограниченной пластины задается аналитически
Я^) = Уа^ (15)
* (*, х) = *** 2 [ ** еп (+ Реп /(М±М±?
* 2Га (х-х1)Г 2Уа (х-х1)
— (16)
Я (*) = Яоехр (-Вх), В = ч~, (17)

где д0- единичный тепловой поток-
1) Я — х
(т — Т!& gt-
+ ехр
(2к+ 1)# + *П, 101 «У"Ч-х,) 11'(18)
ф (ї 8)_± Ґ
и ./ (5_»)2 + р ао& gt-
Я
5 = У й (х — Ті), р
л, = 1 — аг//?, л2 = 1 + х//?, лг3 = З
¦ х//?,.. при к= 1, 2, 3,.. .
Расчеты, проведенные по температурам, рассчитанным по уравнениям (16) и (18) для любой внутренней точки пластины, привели к устойчивым решениям обратной задачи. На фиг. 1 приведены приближенные значения тепловых потоков, вычисленйых при оптимальном значении параметра регуляризации аор1 на основании точных значений температур (16), взятых с различной величиной абсолютной погрешности* для точек аг = 0,8 /?
(вблизи от наружной поверхности)
Фиг. 1. Изменение квазипостоян-ного теплового потока вида
Я (*) = (ЯоІЮ:
1, 2 — аналитические значения относительной температуры (16), вычисленные соответственно в точках х = 0,8 /? и 0,1 Я- 3-аналитическое значение теплового потока- 3& gt- О — приближенные значения теплового потока» вычисленные из относительных температур соответственно в точках х = 0,8 /?
и ОД і? при Ы=± 5−10--а, «ор*=10-
• - приближенное значение теплового потока, вычисленное из температуры в точке
х =0,1 Я при 5/=+5−10"5, ал"*=Ю~1° ^ Яо
*орГ
15 20 НаХ
и х = 0,1/?. Для сравнения здесь же приведено значение аналитического выражения теплового потока.
Расчеты показали, что для относительных температур, взятых с величиной абсолютной погрешности + 5−10−8, в точках, а = 0,8/? и 0,1/?, вычисленное значение теплового потока отличается от аналитического с относительной погрешностью на первых трехчетырех интервалах от 46 до 7%, до 4% на последних двух-трех интервалах и менее 0,5% на остальных интервалах. Выбор решения при этом проводится из условия минимума критерия /С (*).
Увеличив погрешность в задании температур до двух-трех значащих цифр [округляя значения температуры, подсчитанные по формуле (16) до +5−10−4 для точки х = 0,8/? и +5* 10−5 для точки аг = 0,1 /?, что соответствует погрешности регистрации температур в реальных условиях], получили решение обратной задачи, отличающееся от аналитического с относительной погрешностью от 77 до 6% на первых пяти интервалах и менее 1−2% на остальных интервалах для точки х = 0,8/? и от 150 до 6% на первых восьми
* Величина абсолютной погрешности задавалась на ЭЦВМ датчиком случай ных чисел для равномерного закона распределения плотности вероятностей.
интервалах, от 3 до 18% на последних восьми интервалах и менее 2% на остальных интервалах для точки х -0,1/?. Выбор решения проводился также из условия минимума критерия К (а).
На фиг. 2 приведено приближенное значение теплового потока, вычисленного при различных значениях параметра регуляризации на основании точного значения относительной температуры (18), взятой с постоянной величиной абсолютной погрешности +5−10~3 в точке х = 0,9/?. Как видно из фиг. 2, наилучшее приближение восстановленного значения теплового потока к аналитическому, выбранного из условия минимума критерия К (а), будет при оптимальном значении параметра регуляризации aOpt=10−10, при этом максимальная относительная погрешность составляет 27−4% на двух первых и последних интервалах и менее 0,5% на остальных интервалах. Выбор решения из условия минимума критерия L (а) будет При *opt — Ю-15.
Отметим, что, рассматривая уравнение Вольтерра первого рода, в отличие от интегральных уравнений типа Фредгольма [9] приходится сталкиваться с трудностями, связанными с тем, что при малых значениях аргумента интеграл заменяется квадратурной суммой с малым числом членов и, следовательно, с большой относительной погрешностью. Этим можно объяснить заметное отличие вычисленного теплового потока от аналитического на первых интервалах (см. фиг. 1 и 2). Заметные отклонения кривых на последних интервалах отражают тот факт, что тепло, поступающее в тело в поздние моменты времени, не успевает заметно изменить температуру в рассматриваемой точке, так как вследствие удаленности чувствительного элемента датчик температуры не реагирует на изменение температуры в рассматриваемой точке. Поэтому
я& lt-?о
' $ 10Ц
1 1 V
vl
V L /
Ш
1 Y
j '-А

t
S


Aft '- 5 10 IS ЛлС
Фиг. 2. Влияние параметра регуляризации на восстановление теплового потока вида я (г) = ?0ехр (- Ьг):
/-аналитическое значение относительной температуры (18), вычисленное в точке лг=0,9/?- 2~ аналитическое значение теплового потока- д, V, ?, X, О, С& amp- - приближенные значения теплового потока, вычисленные из относительной температуры (18)
в точке х = 0,9 при -- 5/= ± 5−10 3 К Я о
ственно для, а — 10
• 10
10& quot-
и 10
— 15
информация, которую дает метод регуляризации, для этих последних моментов времени является недостаточной. Этот факт отражен й в графическом материале работ [7], [10]. Интерпретация по-явлейия загибов подтверждается тем, что при продолжении счета теплового потока (при введении дополнительной информации о температуре в последующие моменты времени) загибы кривых перемещаются в сторону более поздних моментов времени. Число 80
интервалов, охватываемых загибом, зависит от характера теплового потока и величины погрешности, с которой измеряются температуры- оно растет при увеличении глубины залегания внутренней точки, в которой производится измерение температуры (см. фиг. 1).
Были проведены также расчеты по определению реального теплового потока по температуре, измеренной термопарой, которая находилась в теплозащитном материале, на некотором расстоянии от поверхности нагрева (фиг. 3).
Приближенное значение теплового потока, выбранного из условия минимума критерия К (а), с погрешностью, не превышающей в среднем 4%, совпадает с аэродинамическим тепловым потоком, вычисленным по формуле Фея, Риддела [11].
Для проверки правильности определения теплового потока по измеренной температуре была численно решена прямая задача
Фиг. 3. Восстановление реального теплового потока, вычисленного по температуре, измеренной термопарой в теплоза-51 щитном материале:
/ - температура на глубине 3. 36−10-*± ± 5* 10 4 м от поверхности нагрева, измеренная хромель-алюмелевой термопарой диаметром 1 '10 ^ мм с погрешностью измерения ± 5°от 2 — аэродинамический тепловой поток- О-приближенное значение реального теплового потока & lt-7а» восстановленное расчетным путем по кривой 1 при & lt-*0р^ = 1(Г~3- О — приближенное значение температуры, вычисленное по методом конечных разностей
теплопроводности методом конечных разностей. Незначительное отличие рассчитанной таким образом температуры от измеренной подтверждает правильность восстановления реального теплового потока.
Все решения проводились с матрицей регуляризации С, взятой в виде (12) без учета начального распределения температуры. При вычислении по формулам (16), (18) было взято: к = 0,005, а = Х = = /? = 1, 7 = 25, к — Ъ. При отработке реального эксперимента:
к -4с, а= 3,56−10−7 м3/с, Х = 0,5778, /?==Ы0−2м,? = 3.
Расчеты показали, что выбор решения можно проводить как из условия минимума критерия К (& lt-х), так и I (а). Для более точного и надежного восстановления теплового потока целесообразнее использовать сочетание принципа невязки (13) с методом квазинаи-лучшего параметра (14). При этом алгоритм поиска ос^ был таков: от, а невязки находился минимум и соответственно первый локальный минимум справа вслед за первым локальным максимумом слева для, а квазинаилучшего и по этим значениям, а определялась область а0р1. При этом всегда аНев& gt-«к. н, что определяет в случае критерия невязки более «сглаженные11 результаты (см. фиг. 2).
6-Ученые записки ЦАГИ № 6
81
1. Б у д, а к Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сб. задач по математической физике. М., ГИТТЛ, 1956.
2. Т и х о н о в А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методике регуляризации. ДАН СССР, т. 152, № 3, 1963.
3. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. ДАН СССР, т. 153, № 1, 1963 г.
4. Воеводин В. В. Численные методы алгебры (теория и алгорифмы). М., «Наука», 1966.
5. Воеводин В. В. О методе регуляризации.. Журнал вычисл. матем. и матем. физики», т. 9, № 3, 1969.
6. Морозов В. А. О регуляризующих семействах операторов. Вычислительные методы и программирование. Сб. статей ВЦ МГУ, вып. VIII, 1967.
7. Тихонов А. Н. р Г л, а с к о В. Б. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах.. Журнал вычисл. матем. и матем. физики», т. 5, № 3, 1965.
8. Т и х о н о в А. Н. О неконкретно поставленных задачах. Вычислительные методы и программирование. Сб. статей ВЦ МГУ вып. VII, 1967.
9. Г л, а с к о В. Б., 3 а и к и н П. Н. О программе регуляризующе-го алгоритма для уравнения Фредгольма первого рода. Вычислительные методы и программирование. Сб. статей МГУ, вып. V, 1966.
10. Тихонов А. Н., Г л, а с к о В. Б. К вопросу о методах определения температуры поверхности тела. «Журнал вычисл. математики& quot- и матем. физики», т. 7, № 4, 1967.
11. Проблемы движения головной части ракет дальнего действия. Сб. статей под редакцией Самуйлова Е. В. и Шпильрайна Э. Э. М., Изд. иностр. лит., 1959. -
Рукопись поступила З/УП 1972 Переработанный вариант поступил Щ1У 1973

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой