Определение параметров механики разрушения для тел вращения в нестационарных задачах динамики

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 539. 3
В. А. БАЖЕНОВ, I. I. СОЛОДЕЙ, М. О. ВАБ1ЩЕВИЧ (КНУБА, Ки1в)
ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТР1 В МЕХАН1КИ РУЙНУВАННЯ ДЛЯ Т1Л ОБЕРТАННЯ В НЕСТАЦ1ОНАРНИХ ЗАДАЧАХ ДИНАМ1КИ
На 0CH0Bi напiваналiтичного методу скшчених елементiв проведено дослщження вiрогiдностi та ефекти-вносп визначення параметрiв механiки руйнування для тш обертання в нестацiонарних задачах динашки. Представлено новi методики обчислення J-iнтеграла та апроксимаци трiщини при ди динамiчних наванта-жень.
Ключовi слова: скшчений елемент, вiрогiднiсть, сшнчено-елементна модель, динамiчнi навантаження
В рамках полуаналитического метода конечных элементов проведены исследования достоверности и эффективности определения параметров механики разрушения для тел вращения в нестационарных задачах динамики. Представлены новые методики вычисления J-интеграла и аппроксимации трещины при действии динамических нагрузок.
Ключевые слова: конечний элемент, вероятность, конечно-элементная модель, динамические нагрузки
On the basis of semi-analytical final elements method data validity research and research of effective determination of fracture mechanics parameters for bodies of revolution in non-stationary dynamics problems were conducted. New method of J-integral calculation and crack approximation under dynamic impact are presented. Keywords: finite element, probability, finite-element model, dynamic loadings
Вступ
Багато вузлiв та деталей, що ниш викорис-товуються в машинобудуванш, енергетищ та шших галузях техшки представляють собою просторовi тша обертання складно! форми та структури поперечного перерiзу. До них вщно-сяться елементи трубопроводiв, посудини тис-ку, зразки для визначення динамiчних парамет-рiв мехашки руйнування i ш. Нерщко вони пе-ребувають пiд дieю довiльно розподшених у просторi i часi нестащонарних динамiчних на-вантажень рiзноi тривалосп. Прагнення до зб& gt- льшення термiну! х експлуатацii призводить до використання таких елеменпв i деталей при наявносп в них трiщин. Найбшьш поширений i унiверсальний чисельний метод для дослщжен-ня означеного класу об'-екпв е нашваналггич-ний метод скшчених елементiв (НМСЕ).
При визначенш трiщиностiйкостi об'-ектiв, як правило, використовують два параметри -J-iнтеграл Черепанова-Райса та коефщент ш-тенсивностi напружень (К1Н). Питанням обчислення параметрiв руйнування в просторових задачах статики присвячена значна кiлькiсть робiт. В той же час, основними об'-ектами мехашки руйнування при динамiчному наванта-женш залишаються двовимiрнi тша. Питання механiки руйнування при динамiчному наван-таженнi на основi нашванаттичного методу скiнчених елементiв взагалi не шдшмались.
Метою роботи е дослщження вiрогiдностi та ефективностi визначення параметрiв механiки
руйнування для тiл обертання в нестащонарних задачах динамши на основi напiваналiтичного методу скiнчених елеменпв.
НМСЕ в задачах динам1ки просторових тш обертання
Для дискретизацii тш обертання при дина-мiчному навантаженш застосовуеться кшьце-вий скiнчений елемент (СЕ) [7] (рис. 1).
точки? нтегрування р'-'-(х3), f -'-(х3), о13(х3)
Рис. 1. Кшьцевий замкнений скшчений елемент
Р= Р" — = 0. ^ = djWLa = 0'- ^ ^х"^'- (1)
де р — щшьнють матер1алу, d'-lkl — компоненти тензора пружних постшних, g — визначник метричного тензора.
Зовшшне навантаження i напруження дов1-
льно змшюються вздовж ос х3 i обчислюють-ся в необхщнш кшькосп точок штегрування.
© Баженов В. А., Солодей I. I., Вабщевич М. О., 2011
За HeB^OMi при розв'-язанш задачi прийма-ються компоненти пeрeмiщeнь, швидкостей та прискорень вузлiв СЕ (u: u: u) k, в базиснш сис-
TeMi координат z, де к'- - напрямок в базиснш OTCTeMi координат.
Розподш нeвiдомих в напрямку х3 опису-еться 2п — перюдичними функцiями на основi тригонометричних рядiв Фур'-е. При умовi на-явност хоча б одше! площини симетри:
L 1
(u: u: u)(=Z (u: u: u)(vk — (2)
1=0
Для замкненого тiла обертання в цилiндричнiй систeмi координат:
У1 — = у2 '- = cos IX, '- = sin IX, I0 = 0,
0 & lt- x3 & lt- 2n (3)
В площинi перетину елемента прийнято 6i-лiнiйний розподiл перемщень, швидкостей i прискорень:
(u: u: u) k, = Х1ПfS (n)x (n) + 2)(: u: й),^} (4)
S1 S2 n=1 V /
Для подання дeформацiй використовуеться моменту схема сюнченого елемента (МССЕ) [5], застосування яко! дозволяе iстотно шдви-щити eфeктивнiсть чисельного дослiджeння просторових конструкцш на основi методу сю-нчених eлeмeнтiв [3, 6].
Слiд зазначити, що компоненти тeнзорiв на-пружень i дeформацiй приймають вигляд по-вних рядiв Фур'-е:
8 f = Zё fУ'- +8 f, a'-f = Z°fУ '- fv3 '- (5)
1=I0 1 =I0
Динамiчнi процеси в неоднорщному iзотро-пному тiлi, об'-емом V, обмеженого поверхнею S описуються рiвнянням:
8W + 8T -8A = 0 (6)
де: 8 W = Jaf8sfdV- 8T = Jpu'-'-8u. dV —
V V
8A = J f'- '- 8ut dV + J p'-'- 8u. dS (7)
V Sp
Пщставляючи апроксимаци (2) до (7), можна представити варiацil потенцшно!, кшетично! eнeргiй та роботи зовшшшх як суму! х амплi-тудних складових:
8Ж = ?Щ, 8 Т — ?8Т1, 8Л — ]Г8Лг (8)
I-10 I-10 I -10
Для однорiдних вздовж направляючо! просторових тiл система рiвнянь (6) розпадаеться на ряд незалежних амплiтудних пiдсистем для ко-жно1 з гармонiк [3]:
8Щ +8Т -8А1 -0 (9)
Дискретна форма рiвняння (9) мае вигляд [4]:
М] {^Г+И. РГ-Ш (Ю)
Спещальш скiнченi елементи з трiщиною для задачi динам1ки
Складнощi апроксимаци трщини, що вини-кають при розв'-язанш нестащонарних задач механiки руйнування для об'-екпв iз складною формою та конфпуращею поперечного перер& gt- зу, можуть бути подоланi на основi викорис-тання спецiальних скiнчених елементiв, матер& gt- ал яких не сприймае дда нормальних та дотич-них до траектори трiщини напружень.
Розглянемо кшьцевий замкнений скiнчений елемент з поперечним перерiзом у виглядi чо-тирикутника довiльного обрису, що перетина-еться трiщиною (рис. 2).
Рис. 2. Спещальний к1льцевий замкнений ск1нчений елемент з трщиною
Для спецiальних скшчених елементiв з трь щиною (ССЕТ) введемо ортогональну систему координат у'- (див. рис. 2) таким чином, щоб у2 проходила по дотичнш до траектори тр& gt- щини, а у1 — по нормалi i утворювала з додат-нiм напрямком ос г1 кут ф. Вважаеться, що на берегах трщини нормальш та дотичнi напру-ження повинш дорiвнювати нулю:
С1 '- - 0, с1 & quot-2 '- - 0, с1 & quot-3 '- - 0 (11)
Необхщшсть виконання умов рiвностi нулю напружень на поверхнi трiщини призводить до корекци тензора пружних констант:
1 тт1 '-р
1 тт1

(12)
Складники корегуючих членiв тензора пружних констант обчислюються через коефщен-ти Ляме та тензори перетворень, яю визнача-ють зв'-язок мiж базисною системою координат та системою координат трщини:
р
2ц,
1+А

^тп
(13)
тп
де л =¦
2ц'-
*тп + ст сП
1 тт1 пя т1. тя Ы., пг «тя. тг т
ас = Ц (Г1& quot- Г2& quot- + Г1& quot- Г2& quot- + Г1& quot- Г2& quot- + Г1& quot- Г2& quot-)
?тгий /пи т1. «те Ы. Ы тя., тК, пя
т _ «т к'- тя _ т я
С1& quot- = Ск'-Сг& quot-, Г& quot- = С (г& quot-)С (г"-)
ст = дхт/згк'-
ск& quot-= 008Р, в — (^к — У& quot-)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
К (Г) = 1 К Я) + К ^)
(19)
а ^ & lt- р'-Ч+с -7& gt-3'- иК1

и
н^(г, е)
к (20)
н[(г, е)
Важливою перевагою запропонованого шд-ходу, заснованого на змш вiдповiдним способом мехашчних характеристик матерiалу, е те, що деформоване тiло з трщиною апроксиму-еться за допомогою повнiстю сумiсних типiв скiнчених елеменпв. При цьому, обчислення коефiцiентiв ефективно! матрицi жорсткостi спецiального скiнченого елемента виконуеться по тим самим формулам, що i для звичайних СЕ, обмежуючись корекцiею елементiв мат-риць пружних сталих.
Алгоритми визначення параметрiв механiки руйнування в задачах динамики
Визнаними основними параметрами мехаш-ки руйнування е коефщент iнтенсивностi напружень та J-iнтеграл Черепанова-Райса, яю обчислюються на основi, так званих, прямих та енергетичних методiв i мають однозначний зв'-язок в межах лшшно! механiки руйнування.
В данш роботi пропонуеться комбiнацiя ССЕТ, як моделi iз прямою корекцiею тензора напружень звичайного СЕ, та алгоритму усере-днення отриманих розв'-язкiв по ефективнш привершиннiй пiдобластi [1, 8, 9], що дозволяе зберегти регулярну структуру дискретно! моде-лi i значно зменшити чисельнi витрати:
де Н ^ (г, е), Н (г, е) — вiдомi функцп асимп-
тотичних формул компонент тензора напружень i перемiщень в обласп вершини трiщини.
Координатнi величини динамiчних К1Н ви-значаються за формулою:
КЛ () = Т К (О, ?=I, II, III (21)
I=10
та використанням усереднення значень як за напруженнями, так i за перемiщеннями по при-вершиннш областi 66 елементiв.
Визначенню величини J-iнтеграла на основi методу сюнчених елементiв присвячена численна кшьюсть робiт. Ефективнiсть запропоно-ваних методик великою мiрою залежить вiд мiрностi задачi, певних обмежень на форму i розмiри областi iнтегрування. При цьому по-стають питання задоволення фундаментальним властивостям J-iнтеграла: його iнварiантностi вiдносно областi iнтегрування та рiвностi нулю при iнтегруваннi по замкнутому контуру. Кла-сична формула J-iнтеграла мае вигляд:
¦ =
Аг
л •!
(Ж + т) пк
дх
й? (22)
К =¦?, кП = ¦ПЕ, кш = V2Ц¦ ш (23)
В роботах [1, 2] показано високу ефектив-шсть застосування ново! методики (метод реа-кцiй) обчислення J-iнтеграла в задачах статики на основi величин, що безпосередньо входять до рiвнянь методу скiнчених елементiв — вузло-вих реакцiй та перемщень скiнчено елементно! моделi. Крiм того, запропонований пiдхiд задо-вольняе фундаментальним властивостям J-iнтеграла. Для лiнiйних задач динамши [9]:
2
1
Ш*}г, —
¦к = I '-, .
1=1 2 (Аха)
N ,
-I 77А-Ш*), —
1=1 2 (Аха)
м ((пк. пк («к «к
-I
1=1
(+ ,)(и* - и*'-)
2Аха
л
м2
-I
1=1
(
((±
2Аг (
^ ^ 1 (((±
1=1
N4
-I
1=1
2Аха
'-((+о -о
2Аха
4+А = 14
г
(24)
(25)
г=г»
Вузловi реакцн в задачах динамки iз стацю-нарною трщиною при використаннi прямого метода штегрування рiвнянь руху будуть обчи-слюватись на основi виразу:
{*}-={Ц+Аг-{Я}г (26)
де
№(! [ т {-в}-+^II [ а^Ь}
[р=1 12 а=1 }

I= «о [М] {и}
р}I =[М] {"о {иГ + «2 {и}- + «3 {и/}^}
У випадку, коли динамiчний розв'-язок зада-чi базуеться на розкладi розшукуваного ршен-ня по формам власних коливань конструкций
{Я}-=Я}М*р}т (27)
де Я}НК]т {и}- {Я}МлНМI{и}т
Вiрогiднiсть та ефективнiсть запропонованих алгорш^в в з задачах динамики
Вiрогiднiсть обчислення параметрiв мехаш-ки руйнування при апроксимаци трiщини спе-цiальними СЕ для рiзних швидкостей наванта-ження об'-екту продемонстровано на прикладi пластини з центральною трщиною, що знахо-диться пiд дiею змiнного у часi рiвнорозподiле-ного розтягуючого iмпульсу тиску [10].
Розглянуто два випадки iмпульсного наван-таження: миттево прикладений iмпульс тиску, який збертаеться на всьому часовому iнтервалi дослiдження (рис. 4), та у вигщщ функци, що мае профшь трикутника (рис. 5).
0 2 4 С в 10 12 14
Рис. 4. Миттево прикладений 1мпульс тиску
2. 5
7. 5
10
125
15
Рис. 5. Навантаження у вигляд1 функци, що мае профшь трикутника
Графши отримаш в [10] показано кружками, за допомогою представлено! методики -суцшьною лiнiею, прямим методом — штрих пунктирною. Вщмшшсть результат, отрима-них при використанш енергетичного методу (I-iнтеграла) не перевищуе 1,5…2% у порiвняннi з [10], а величини ДК1Н, визначенi прямим методом, не перевищують 1% в област максима-льних значень та 3% в областях розвантажен-ня.
Аналiз впливу апроксимаци трiщини спеща-льними скiнченими елементами на точнють обчислення параметрiв механiки руйнування проведено на прикладi розтягу квадратно! пластини з центральною трщиною [8].
Виконаш дослщження точностi обчислення параметрiв руйнування iз застосуванням як ССЕТ, так i СЕ, жорсткiсть яких дорiвнюе нулю. Отриманi результати (рис. 6) вказують на перевагу використання ССЕТ (точнiсть обчис-лень приблизно в два с половиною рази вища) на всьому дiапазонi змши розмiрiв сiтково! область
Для обгрунтування достовiрностi результата, отриманих при розрахунку тiл обертання з кiльцевими трiщинами, що перебувають шд дiею динамiчного несиметричного навантажен-
ня, вир1шена задача про динам1чнии згин тон-костшного цил1ндра з кшьцевою трщиною.
0. 25 0.2 0. 15 0.1 0. 05 О
к/ III Н/2 Н/2
В|СЬ ОбЕ ртання И'-«-
г) м *
/ /
1 7"'-
л
* & gt-
& gt-
1 о НМСЕ --[232]
*

0. 125 0. 25 0. 375 0.5 0. 625 0. 75
б 0. 875
обертання з трщинами. В процес дослщжень застосовувалися нов1 типи спещальних скшче-них елеменпв, що апроксимують трщину, та нова методика (метод реакцш) визначення. Ынтеграла з урахуванням шерцшних сил. В1-ропдшсть отриманих результат { ефектив-шсть шдходу шдтверджеш розв'-язанням конт-рольних приклад1 В.
Рис. 6. Дослвдження збшносп ДКИ за розм1рами СЕ
На першому еташ запропоновано результа-ти статичного розрахунку модел1, що характе-ризують залежшсть максимальних по окружнш координат К1Н вщ вщносно! довжини трщини 5 = 2^/(О -й) (рис. 7).
0.5 0. 45 0.4 0. 35 0. 3
Рис. 7. Граф1к змши максимальних значень К1Н
Спостер1гаеться добра узгоджешсть значень К1Н з отриманими в робот [3].
На другому еташ дослщжень розглядалась задача динамши з навантаженням у вигщщ миттево прикладеного 1мпульсу тиску.
Як видно з графшв змши К1Н у час (рис. 8) спостер1гаеться гарна узгоджешсть результат, як отримаш на основ1 прямого та енергетично-го метод1 В.
На рис. 9 вщображаеться розподшення ди-нам1чного К1Н вздовж тв1рно! цилшдра для р1з-них вщносних довжин трщини.
Висновки
Таким чином, на основ1 нашванал1тичного методу скшчених елементв розроблена ефек-тивна методика дослщження перехщних проце-с1 В динам1чного деформування просторових тш
Рис. 8. Еволющя ДК1Н у час
Рис. 9. Розподшення ДК1Н по тв1рнш
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Нашваналггичний метод ск1нчених елеменпв в задачах руйнування простових тш [Текст]: мо-нограф1я / В. А. Баженов, О. I. Гуляр, С. О. Пискунов, О. С. Сахаров. — К.: КНУБА, 2005. -298 с.
2. Баженов, В. А. Особливосп визначення I-штеграла в дискретних моделях метода сшн-ченних елеменпв [Текст] / В. А. Баженов 1 ш. // Отр матер1ал1 В 1 теор1я споруд: наук. -техн. зб. — К.: КНУБА, 2005. — № 76. — С. 86−97.
3. Баженов, В. А., Полуаналитический метод конечных элементов в механике деформируемых тел [Текст] / В. А. Баженов, А. И. Гуляр, А. С. Сахаров, А. Г. Топор. — К.: Випол, 1993 -376 с.
4. Баженов, В. А. Алгоритми розв'-язання р1внянь р1вноваги для динам1чних задач нашваналггач-ним методом сшнченних елеменпв [Текст] / за. ред. В. А. Баженова // Отр матер1ал1 В 1 тео-
рш споруд: наук. -техн. зб. — К.: КНУБА, 2006. -Вип. 79. — С. 43−62.
5. Сахаров, А. С. Моментная схема конечных элементов МСКЭ с учетом жестких смещений [Текст] / А. С. Сахаров // Сопротивление материалов и теория сооружений. — 1974. — Вып. 24. — С. 147−156.
6. Сахаров, А. С. Метод конечных элементов в механике твердых тел [Текст] / А. С. Сахаров и др. — К.: Вища школа, 1982. — 479 с.
7. Солодей, I. I. Ефектившсть сшнченоелементно! бази нашваналггичного метода скшчених еле-менпв для апроксимаци тiл обертання та при-зматичних тiл в задачах динашки [Текст] / I. I. Солодей // Отр матерiалiв i теорiя споруд: наук. -техн. зб. — К.: КНУБА, 2008. — Вип. 82. -С. 154−163.
8. Солодей, I. I., Розв'-язання нестацюнарних задач мехашки руйнування на основi апроксимаци трiщини спещальними ск1нченими елементами
[Текст] / I. I. Солодей, М. О. Вабщевич, О. I. Гуляр // Onip матерiалiв i TeopiH споруд: наук. -техн. зб. — К.: КНУБА, 2009. — № 85 -С. 86−97.
9. Солодей, I. I. Обчислення коефщента штенсив-носп напружень в нестацюнарних задачах ди-намши просторових тiл на основi енергетично-го подходу [Текст] / I. I. Солодей i iн. // Ошр ма-теpiалiв i теоpiя споруд: наук. -техн. зб. — К.: КНУБА, 2009. — № 84. — С. 86−97.
10. Yang, Z. J., Transient Dynamic Fracture Analysis Using Scaled Boundary Finite Element Method [Текст]: a Frequency-Domein Approach / Z. J. Yang, A. J. Deeks, H. Hao // Engineering Fracture Mechanics 74, 2007. — Р. 669−687.
Надшшла до редколегп 28. 04. 11.
Прийнята до друку 12. 05. 2011.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой