Определение понятия равновесия в математической модели образовательной системы региона и доказательство необходимых условий его существования

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНІ
НАУКИ
УДК 519. 86
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ РАВНОВЕСИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ РЕГИОНА И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЕГО СУЩЕСТВОВАНИЯ
Косенкова М. В.
Кемеровский государственный университет
Исследована математическая модель функционирования образовательной системы региона в виде многокритериальной задачи оптимального управления, определено понятие равновесия этой системы, сформулированы и доказаны необходимые условия его существования.
Ключевые слова: математическое моделирование, система образования, оптимальное управление, многокритериальная оптимизация, равновесие.
П остановка проблемы. Математическое моделирование является мощным инструментом научного познания, позволяющим охватить все аспекты проблемы с помощью формального математического аппарата. Одним из актуальных направлений использования математических моделей является анализ функционирования образовательных учреждений и систем образования и выработка путей их оптимизации. При этом изучаются как частные вопросы, так и выбор стратегических направлений развития системы образования в целом с учетом социально-экономических факторов и региональных особенностей.
Анализ последних исследований и публикаций. Широкое распро-странение получили модели формирования учебных групп и прогнозирования числа учащихся, переходящих из одной образовательной категории в другую, имитационные модели планирования учебной работы и др. [3].
В Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН с 1995 года ведутся работы над структурными моделями, показывающими, как будет меняться общая эффективность системы образования. В статье [1] на базе этих исследований обсуждается проблема экономического анализа роли высшей школы в создании инновационной среды в России.
Козловым А. Н. разработана комплексная модель оценки качества деятельности ВУЗа на основании нейросетевого подхода, компетентностного подхода и системы сбалансированных показателей [4].
Сотрудниками Центра бюджетного мониторинга Петрозаводского государственного университета были разработаны алгоритмы и математические модели макроэкономической методики прогнозирования потребностей экономики в квалифицированных кадрах [6].
В статье Добрыниной Н. Ф. построена и исследована математическая модель распространения знаний и управления процессом обучения в студенческой среде с учетом уровня квалификации преподавателей [2].
В предыдущих работах автора предлагаемой статьи исследовалось моделирование процесса перехода обучающихся с одной образовательной ступени на другую и функционирование системы регионального образования в Российской Федерации в виде задачи оптимального управления (см., напр., [5]).
Выделение нерешенных ранее частей общей проблемы. Математическому моделированию проблем образования посвящено большое число публикаций, однако многие вопросы, такие как прогнозирование характеристик системы образования, определение оптимальных параметров ее функ-
ционирования и путей перехода к ним и пр., по-прежнему остаются не решенными.
Цель статьи. В данной статье исследуется математическая модель функционирования образовательной системы (ОС) российского региона в виде многокритериальной задачи оптимального управления [5]. Целью работы является определение понятия равновесия в рассматриваемой системе, формулировка и доказательство необходимых условий его существования.
Изложение основного материала. Описание модели. При моделировании ОС население было разбито на классы по сочетанию значений двух признаков: тип образовательного учреждения (ОУ), укрупненные группы специальностей (УГС) в РФ. В результате получились следующие группы: среднее общее образование (СОО), начальное специальное образование (НПО), среднее специальное образование (СПО), высшее образование (ВПО). На каждой ступени обучения были отделены первый и последний (выпускной) годы обучения. Дополнительно была выделена группа людей, не участвующих в процессе обучения. В результате, окончательно по типам ОУ и продолжительности обучения получилось 29 классов.
По типу УГС было определено 28 значений и введено нулевое значение для учащихся школ и лиц, не участвующие в процессе обучения.
Изменение численности учащихся разных ступней обучения представляется уравнениями следующего вида:
о- (у) = о- (t-1) +? ? =- 2 jUk (i) —? j^a--? rj-x (у) -f. B (t) — (1)
r=1 -=1 k=1 r=1 -=1 k=1
где m=29 — общее количеств о класс ов, е=2 9 — количество специальностей, x-(t) — численность объ=кто к в ело тс-е R. на с печтачьности s в чомент времени у ubt)=(u?(t9,… -u?(t)9 — впкппр, коордипа-оы которого представляют собой ин вести ции и со -итв=тствую кцую сферу финансирования- Пи Пи у -иислинносиь объектов класса К. специальности s, переходящие: в мимеит времени t в класс R специальности г, i, j =),…, m, s, r =1,…, e- a- - элемент, значение которого равно 1, если возможен переход из класса 0 в класс j =) сое циал=110=: -«- s) а г, иначе 0-
В момент ?=0 зафиксировано начальное число объектов в классах х:
х. (О0 = х-°,. = 1,.., о, г = Г,.., л. (2)
Предполагается, чтя
а хо & lt- х* во & lt- р* (/), * = г,…, к ,. в г,…, в, ^=1,…, л, ,(3)
где а'(о), р ()г) — границы численности класса Б по специальности я.
© Косенкова М. В., 2014
Из каждого класса не может выйти объектов больше, чем ВНЄМ ИМеется:
М ММ М=и1 (Ь) 0 & lt- В — Ц, *-е,-, Г,: -1,.., с, а-1,… ,і „(4)
Так как численность объектов, персходящих из класса Я с^егциальности а^ е класс К. специальности г, не мож (от быас 03рицатєільной, то
М в, а110 („- 0' СЬ-О „б и, а,)-1, „“ ,і. Ь — 1,., 0″ (5)
Ограничение на количньтно денежных средсов, выделяемых на каждую из с фе р финансирования, в мнмєно врсмени 0 записывастся системай 1ера-в е нет в:
0 0иг (ь)0& lt-уг (Ьб Г-1,. 11,1, Ь-1,“““, 0, (6) В качестве первого критерия эффективности во еде от ма кьимизацию до1и выпускников, трудоустроенных по отециальности, для ктждого типа ОУ:
?1ІХ°, и) = НМ1 МПт*», (3) +) М29МН) — М^ ОММ -тт. (7)
З ((х0, и) — ММ|МпбB (9гМ (Ь) + ММ)29ГИ)іь)+ММ" 2, г11)(+)сМ+ ММ -тт.
(=1 а=1 V)=1
,, , (8)
Рз (х, и) =1 ^^гх 020 291и. (-) + ?^23 29ки)(-) (_ ?¦725 29ки)(-) (_
+2^'-я2и29(«1(*)^й (з1("(): 1)^ еп.™, е (
где Я'-ЦиЦ'-о'-о^ЦиЦ'-о'-о, „в=u=?)(- количества вакантных мест для выпускников НПО, СПО и ВПО по специальности г в году? соответственно.
Еще одним видом критерия будет максимизация числа выпускников:
14 (х°, и) 1 (2 У (^""А (-) + '-п'-. -вА (-))т тах.
З5(х°, и) =? ?? (^l'-B (9)иг (Ь) + (1) (9)иг (Ь) + & gt-713 29) и) т аХ.
(10)
(11)
РЬ (х& quot-, и) 1 (2 У (^20 29кик (-) + & gt-?23 29кик (-) + П.) 2) А (0 +И: ^9ки. :г П Т таХ ¦ (1- 29)
Следующий критерий отражает уеловие эконо-мии денежныхсредств:
р1{х°, и) = лл Лл и (*))^пт. (13)
В итоге получаетсямногокритериальная задача оптимального управления с уравнением движения (1), начальными уеловиями (2), ограничениями на управлеиия (у (-)6) и на фазовые переменные (3), критериями качества (7)-(13).
Для уешолил мно (окритеpиaльнom задачи (1) — (13) применим описанный в [5] методсвертки, кото-рый поволоот в ?(?)висимост- 0х)'- оыбpанныx п^€^с^& lt-е-вых коэффициентов учитывать изадавать степень значимоотл критариев задачи. Функцию свертки в за даче (11 — к=-3) запишем следующим образом:
Р (х0,и) =о в ¦-1г (х0,и) в в -р2(х0,и) в- вв -Р3(х0, и (в
в (14 ¦(-Л4(x0,u))в8(¦ (-?25(х0,и^)^)-в/16 ¦ (^-2°б (^2С0,-в- С ¦х7(хРи) -ттТ, ^^-4)
7
где: о& lt-в<-и = ¦,…, 7,(в = г.
Тогда под оптимальным решением в задаче (1) — (13) будем понимать управление
и*(-) = {и 2 Г (,¦¦¦, u'-(Г): и соответствующую ему траекторию х'-(¦) = ?л: „(О- и-„(Г),…, х'-ял} системы (1) — (2), удовлет-воряющие условиям (3) — (6) и минимизирующие сверткукритериев (14).
Определение понятия равновесия. Приисследо-вании ОСважную роль играют равновесныережи-мы ее функционирования, когда отдельные компо-нентыопределенным образом сбалансированы друг по отношению к другу.
Выдвигаемые ниже требования для определения понятия равновесия являются достаточно жестки-
ми и трурно о-рт: (в-е^твимыми на праитак-, поэтому зададим дяя них возможность отклонения от строги х рзвезото ивре- коэффициенты Ц-, Ц-, Ц*, /лг-,. вВ-,… ,(-]0, о=УоГо8.
р^фсирм]^лир-,^ев урловия? эг^рвноие^сия для задачи
(1) — (х),)1г1и: '-
1. lKзл^^l ([ГE¦k=г)^вo учащихся, поступивших в ОУ, должно по истечовви -оo^'-I^u (нввленнигв срока быть ра^нх) ]: to, P)00]^^elUT]Eiг0 выпускиивов (?5=1 и-)+8.):
х-(?) = (-)& quot-))^ У) О: 50(?)) = (?i!-x4l (?-Г), (Г5)
х) (?(l0^oо (?-2(, (Г^ oя) г (?:)l¦4)x1)o (?-Г), (Г8)
т (х (=^5)Cl)2|: ?-^i (. и1≠) x17(?'(= ¦(. хВ П — 3), Т-^ОО
xio ())l^1н)8()-4), (21) х2 В (Х) = ,)яИxJ)(] -^ 3), (2))
X2)5()(109=I4(? -В и^З) хВ,(Х) = хКоХ25(- - 2) — Х-
х.се Iз: 7)^п-=_:?кН1тки =^(^)(1(должны поезупитз 15 о^l--р^мхх)(ни= I3) П]?(. СПО и, ои (^ИТТО:
0х (х. С-) В х. (^) -в -хг2 (() -4- х=2 ^?) в х)((?) в х.) (?) в x5l (?)) и
)=1 (oя=
и 14 (хВ (Х -О 1) в х ((- - 1)).
3. в! хсло В]ь^птвх1сн14)^1х ОУ по ^^: :^-и)дoiо вхецо^-=ль-ности д, глж^o я1^: тв ]э^зно лиличеству вакантных местдля всех уровней о^^]эато: (Е1НХ1-¦
. „Х) в х))(^) = (Х'-),-ь = 1)¦¦., 28, (26)
x1)](?) -в хЛ (Х'-) вВ х1)7(Х) = ¦"О1),) = 1,…, 28, (27)
х0(в'-(в ^?И2^(Х^ в х2((-т х: 2И^. ^'-^ = т13"3 ((0, ь = Г,, 28. °28)
В результата п^лзьчается система ограничений (15) — (28) дополняющих. модель (1) — (6), (14) и позволяющих проанализировать функционированив ОС региона с хочки трения равновесности ее развития.
Определение 1. Оптимальную траекторию х* (•) задачи (1)-(6), (14), вдоль которой выполняютвх (вс-ловия (15) — (2х) назовем ^^^н-]^е-ной ираекторией.
Исследованхе ио¦нoо?ив сущиствования равновесия. При помощи увхв (?евхя lооижвнис В) _^слс^г!и-я (15) — (28)запишем следующим образом:
т=1)=1^)=1 -=1
= м11×0іо)+?
, г, Г1: и Т=1
х5 (о)+Ц |]С (
)=1 ^)=1 і=1
+ Х XI ХХКП)-а0Ж))|и)(т)
)}*)(т) =
)^г (т)
'-з1(1) — а1- (11 г) и)
НІ | х)(0) +^ ^ X (а))П)0г — ОпОг/ и)
Т=1)=1 ^)=1 з=1
)|“)(т)
¦9 (0) +Х
]х|]Х :Х (а
399) а9 -П9 -)
)|“)(т)
X-1 (а1п)7г- 33)|“)(т)
)=1 I)=1 3=1
хп (0) + Ё |3(а. і^1Пі^1г- а’иіПЄ1і))|'-г (т)
= ,& lt-()а| хТ0(0(+ ^ X-1 Х („(а-210& gt-7):10г — аЦ-))и,(т)
т=1)=1 ^)=1 3=1
х1)(0)+| ]т ]т ^п)!)) — аi) Inб)I))|и)(т)
т=1)=1 ^)=1 3=1
Нт 1 хТ ((0)+х
IX X (а
'-1(Пу1() а1(-П1(-)
)|“)(т)
7 (0(+Х
= н6| хТ5(0)+X1 ^/X (а: 3Е5п: зЕ5) — ат) и)
т=1)=1 I)=1 3=1
)|“)(т)
Е0 (0(+ X
)=1V)=1 3=1
і (0П-(0) а (03П (0
)|»)(т)
хТ8(0)+Ь& gt-: X [X X ('-
т=1)=1 V)=1 3=1
Ла312П 318) а18 3П18 3)
)|")(т)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)

& amp-
К
& lt-
И
=1
=1 т=1)=1
=1 V)=1 3=1
=1
)=1 V)=1 3=1
л
Т=1
х
=1
НАУКИ
ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНІ
НАУКИ
10
«Молодий вчений» • № 3 (06) • березень, 2С& gt- 1 ¦=4- р.
х2з с°)+ t tftt (
т=1 4=1 ^ «=1 д=1
Гд23Пд23к 023"П23 ««
): (т)
-0 (0) + (о) + x25(0) + х-і(0) +
АI X-1(0) +1
0j2lVj21k 021дП21 ««
)k (т)
-5(о)^5П
?1 ??fc: «"-
m м
'-]2'И]2(к 0 25jП25»» / ?»
?і ??k^»» «24"П 2А"к.) (?к (Т)
= /| ?24(0)^^
'-1(0) + Х 8^(0^^О')*!'"21,к -0−8 п'-гг «к)|М» (т)
/& gt-10 І 4−26 (0) + 4 ?1 ?»?20"2бп"2Тк — 026"П2'"к ! ?к
)к W
???1
««'Пік — «і"П'дк + ««7 «- «7П"к +
+ 0"10П-10І «10"^10,?* +0 aJ10? l-2к — «12» П1? a + + «=5* - «1^» і15""к + ««& quot-і к""1ік — «1"І"к +
+ а-0ln-01^: — «21 ?"І2 }к
tW
1І -з0(0)+x50(o)+^^ ?1 ??fcv. i- «з
хі(0) + х9(0) + ?
?"3/: «l)Пз «к + ««і1! }5к «5 «П5 «І
Xі ххі ««'І- «Г»»»». «4 і: «» = ((««)),
— 0=97"9к «^?/^к
+11П -11к «11/І 1»» + аі 14П-4к «14 ?Л+
~ «jul-17к — «17"^1-/-к
(т)
О (і)),
(36)
(37)
(38)
+ ?
«» 20 П» 20 к «20 «П 20 «к + «» 23П «23 к «23 «П23 «к +
+ °%n%k — a05"пі»». + ««lin"^» — «I» п 21 «к
(т)
=3- (И (& lt-)). (42)
(39)
(40)
(41)
Приведенные выкладки доказывают теорему о необходимых условиях равновесности для траекторий системы (1) — (6), (14).
Теорема 1. Пусть в задаче (1) — (6), (14) х*(•) — равновесная траектория. Тогда порождающие ее оптимальные управления ^(•) будут удовлетворять условиям (29) — (42).
Выводы и предложения. Основным результатом работы является математическая модель функционирования ОС региона в виде многокритериальной задачи оптимального управления, для которой была сформулирована и доказана теорема о необходимых условиях существования равновесия. При помощи построенной модели можно определить оптимальное распределение средств в различные сферы финансирования с целью достижения рав-, новесного состояния системы образования региона. Дальнейшие исследования могут быть направлены на уточнение условий равновесия и включение их в более детализированные модели ОС региона, в том числе и с нелинейной динамикой.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 12−01−31 516, мол_а).
Л
=1
«=1 «=1 «=1
X (0) + X (0) + Х1 0 (0) + Х12 (0) + Х15 (0) + X1 (0) + X 1 (0)
-11 (0) + -14 (0) + -17(0)
Списоклитературы:
1. Ахромеева, Т. С. Новые направления системного анализа и компьютерного моделирования образовательной стра-тегиии политикиРоссии [Электронныйресурс] / Т. С. Ахромеева, М. А. Капустин, С. А. Кащенко и др. — М. — 2001.
— http: //www. keldysh. ru/papers/2001/prep89/prep200189. html.
2. Добрынина, Н. Ф. Математические модели распространения знаний и управление процессом обучения студентов [Текст] / Н. Ф. Добрынина // Фундаментальные исследования. — 2009. — № 7.
3. Исследование операций: В 2-х томах. Пер. с англ. [Текст] / Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. — М.: Мир, 1981.
— Т. 2. — 677 с.
4. Козлов, А. Н. Разработка методов и моделей оценки качества образовательной деятельности в высшем учебном заведении: дисс. … канд. экон. наук: 08. 00. 13 [Текст] / А.Н. Козлов- МЭСИ. — 172 с.: 61 09−8/1355. 25. 02. 2009
5. Косенкова, М. В. Построение математической модели функционирования системы регионального образования в виде многокритериальной задачи оптимального управления и исследование признаков оптимальности ее решения [Текст] / М. В. Косенкова, Е. А. Николаева, С. Л. Злобина // Вестник КузГТУ. — 2013. — № 4 (98). — С. 114−123.
6. Рынок труда и образовательных услуг. Регионы России [Электронный ресурс]. — иИЬ: http: //labourmarket. ru/ Pages/metodika/03. php.
Kosenkova M.V.
Kemerovo State University
DEFINITION OF EQUILIBRI UM IN MATHEMATICAL MODEL OF THE REGIONAL EDUCATIONAL SYSTEM AND THE PROOF OF NECESSARY CONDITION OF ITS EXISTENCE
Summary
The mathematical model of educational system in the region as a multicriterial optimal control problem is investigated, the concept of equilibrium of the system is defined, the necessary conditions for its existence are formulated and proved. Keywords: mathematical modeling, educational system, optimal control, multicriterial optimization, equilibrium.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой